第六章 计数原理 6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原 理 课后训练提升 基础巩固 1.已知书架的第1层有3本不同的数学书，第2层有5本不同的语文书，第3层有 8本不同的英语书，现从中任取1本书，不同的取法共有() A.120种 B.16种 C.64种 D.39种 答案B 解析：书架上有3+5+8=16本书，从中任取1本书，依据分类加法计数原理，共有16 种不同的取法 2.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，若一条长裤与一件上衣配成 一套，则不同的配法种数为() A.7 B.12 C.64 D.81 答案B 解析：要完成配套，分两步：第一步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同的选 法：第二步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同的选法.依据分步乘法计数 原理，共有4×3=12种不同的配法 3.若x,y∈N,且x+y≤5，则有序自然数对x,y)的个数为() A.6 B.8 C.9 D10 答案D 解析：分四类，第1类，当x=1时y=1,2,3,4,共构成4个有序自然数对； 第2类，当x=2时y=1,2,3,共构成3个有序自然数对： 第3类，当x=3时y=1,2,共构成2个有序自然数对： 第4类，当x=4时y=1,共构成1个有序自然数对 根据分类加法计数原理，共有N=4+3+2+1=10个有序自然数对 4.(多选题)已知a∈{1,2,3}，b∈{4,5,6,7}，r∈{8,9}，则方程(x-a}2+0y-b)2=2可表示不 同的圆的个数用式子表示为() A.4+4+4+4+4+4 B.4+4+4+4 C.3×4 D.3×4×2
第六章 计数原理 6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原 理 课后· 基础巩固 1.已知书架的第 1 层有 3 本不同的数学书,第 2 层有 5 本不同的语文书,第 3 层有 8 本不同的英语书,现从中任取 1 本书,不同的取法共有( ) A.120 种 B.16 种 C.64 种 D.39 种 答案:B 解析:书架上有 3+5+8=16 本书,从中任取 1 本书,依据分类加法计数原理,共有 16 种不同的取法. 2.现有 4 件不同款式的上衣和 3 条不同颜色的长裤,若一条长裤与一件上衣配成 一套,则不同的配法种数为( ) A.7 B.12 C.64 D.81 答案:B 解析:要完成配套,分两步:第一步,选上衣,从 4 件上衣中任选一件,有 4 种不同的选 法;第二步,选长裤,从 3 条长裤中任选一条,有 3 种不同的选法.依据分步乘法计数 原理,共有 4×3=12 种不同的配法. 3.若 x,y∈N* ,且 x+y≤5,则有序自然数对(x,y)的个数为( ) A.6 B.8 C.9 D.10 答案:D 解析:分四类,第 1 类,当 x=1 时,y=1,2,3,4,共构成 4 个有序自然数对; 第 2 类,当 x=2 时,y=1,2,3,共构成 3 个有序自然数对; 第 3 类,当 x=3 时,y=1,2,共构成 2 个有序自然数对; 第 4 类,当 x=4 时,y=1,共构成 1 个有序自然数对. 根据分类加法计数原理,共有 N=4+3+2+1=10 个有序自然数对. 4.(多选题)已知 a∈{1,2,3},b∈{4,5,6,7},r∈{8,9},则方程(x-a) 2+(y-b) 2=r2 可表示不 同的圆的个数用式子表示为( ) A.4+4+4+4+4+4 B.4+4+4+4 C.3×4 D.3×4×2
答案：AD 解析：（方法一）完成表示不同的圆这件事有三步：第1步，确定α有3种不同的选取 方法：第2步，确定b有4种不同的选取方法：第3步，确定r有2种不同的选取方 法 由分步乘法计数原理，方程(x-α)}+0y-b)}=2可表示不同的圆的个数共有 3×4×2=24 (方法二)由分类加法计数原理得，当a=1时，b=4,5,6,7,r=8或9，有4+4=8种，当 a=2时，b=4,5,6,7,r=8或9，有4+4=8种：当a=3时，b=4,5,6,7,r=8或9，有4+4=8 种，故方程(x-a)2+y-b)2=2可表示不同的圆的个数共有4+4+4+4+4+4=24 5.现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的 一个讲座，不同选法的种数是( A.56 B.65 C5X6×5×4x3x2 2 D.6×5×4×3×2 答案：A 解析：由题意可知每名同学都有5种选择，共有5×5×5×5×5×5=56种选择 6.某人的电话号码为139×××××××，若前七位已定好，最后四位数字是由6或8组 成的，则这样的电话号码一共有() A.8个 B.16个 C.20个 D.32个 答案B 解析：采用分步乘法计数原理，最后四位数字由6或8组成，可分四步完成，每一步 有两种方法，共有2×2×2×2=24=16个 7.从颜色分别为黄、白、红、橙的4盆菊花和颜色分别为紫、粉红、白的3盆 山茶花中任取3盆，其中至少有菊花、山茶花各1盆，则不同的选法种数为() A.12 B.18 C.24 D.30 答案D 解析：选出符合要求的3盆花可分为两类：第1类，先从4盆菊花中选1盆，再从3 盆山茶花中选2盆，有4×3=12种选法，第2类，先从4盆菊花中选2盆，再从3盆 山茶花中选1盆，有6×3=18种选法.根据分类加法计数原理，不同的选法种数为 12+18=30 8.某班元旦联欢会原定的9个歌唱节目己排成节目单，但在开演前又增加了两个 新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同方法的种数为 答案：110
答案:AD 解析:(方法一)完成表示不同的圆这件事有三步:第 1 步,确定 a 有 3 种不同的选取 方法;第 2 步,确定 b 有 4 种不同的选取方法;第 3 步,确定 r 有 2 种不同的选取方 法. 由分步乘法计数原理,方程(x-a) 2+(y-b) 2=r2 可表示不同的圆的个数共有 3×4×2=24. (方法二)由分类加法计数原理得,当 a=1 时,b=4,5,6,7,r=8 或 9,有 4+4=8 种;当 a=2 时,b=4,5,6,7,r=8 或 9,有 4+4=8 种;当 a=3 时,b=4,5,6,7,r=8 或 9,有 4+4=8 种,故方程(x-a) 2+(y-b) 2=r2 可表示不同的圆的个数共有 4+4+4+4+4+4=24. 5.现有 6 名同学去听同时进行的 5 个课外知识讲座,每名同学可自由选择其中的 一个讲座,不同选法的种数是( ) A.5 6 B.6 5 C. 5×6×5×4×3×2 2 D.6×5×4×3×2 答案:A 解析:由题意可知每名同学都有 5 种选择,共有 5×5×5×5×5×5=5 6 种选择. 6.某人的电话号码为 139××××××××,若前七位已定好,最后四位数字是由 6 或 8 组 成的,则这样的电话号码一共有( ) A.8 个 B.16 个 C.20 个 D.32 个 答案:B 解析:采用分步乘法计数原理,最后四位数字由 6 或 8 组成,可分四步完成,每一步 有两种方法,共有 2×2×2×2=2 4=16 个. 7.从颜色分别为黄、白、红、橙的 4 盆菊花和颜色分别为紫、粉红、白的 3 盆 山茶花中任取 3 盆,其中至少有菊花、山茶花各 1 盆,则不同的选法种数为( ) A.12 B.18 C.24 D.30 答案:D 解析:选出符合要求的 3 盆花可分为两类:第 1 类,先从 4 盆菊花中选 1 盆,再从 3 盆山茶花中选 2 盆,有 4×3=12 种选法;第 2 类,先从 4 盆菊花中选 2 盆,再从 3 盆 山茶花中选 1 盆,有 6×3=18 种选法.根据分类加法计数原理,不同的选法种数为 12+18=30. 8.某班元旦联欢会原定的 9 个歌唱节目已排成节目单,但在开演前又增加了两个 新节目.如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同方法的种数为 . 答案:110
解析：分两步完成：第一步，先将其中一个节目插入原节目单的9个节目形成的10 个空中，有10种方法；第二步，再把另一个节目插入前10个节目形成的11个空中， 有11种方法.依据分步乘法计数原理，共有10×11=110种不同的方法 9.如图1，若在这个电路中，只合上一个开关可以接通电路，有 种不同的 方法：如图2，若在这个电路中，合上两个开关可以接通电路，有 种不同 的方法 图1 ☒ 图2 答案56 解析：对于图1，按要求接通电路，分二类：第1类，合上A中的两个开关中的任意1 个；第2类，合上B中的三个开关中的任意1个.依据分类加法计数原理，共有 2+3=5种不同的方法. 对于图2，按要求接通电路必须分两步进行： 第一步，合上A中的任意一个开关，有2种方法： 第二步，合上B中的任意一个开关，有3种方法， 依据分步乘法计数原理，共有2×3=6种不同的方法 10.学校要组织数学课外小组，高一年级(1)、(2)、(3)、(4)班分别有7人、8人、9 人、10人，他们自愿组成数学课外小组 (1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？ (2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？ (3)推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？ 解(1)分四类：第一类，从(1)班学生中选1人，有7种选法；第二类，从(2)班学生中选 1人，有8种选法；第三类，从(3)班学生中选1人，有9种选法；第四类，从(4)班学生 中选1人，有10种选法.依据分类加法计数原理，共有N=7+8+9+10=34种不同的 选法」 (2)分四步：第一、二、三、四步分别从高一年级(1)(2八、(3)(4)班学生中选一 人任组长.依据分步乘法计数原理，共有N=7×8×9×10=5040种不同的选法 (3)分六类，每类又分两步：从(1)(2)班学生中各选1人，有7×8种不同的选法：从 (1)、(3)班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从(1)、(4)班学生中各选1人，有 7×10种不同的选法；从(2)、(3)班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从(2)
解析:分两步完成:第一步,先将其中一个节目插入原节目单的 9 个节目形成的 10 个空中,有 10 种方法;第二步,再把另一个节目插入前 10 个节目形成的 11 个空中, 有 11 种方法.依据分步乘法计数原理,共有 10×11=110 种不同的方法. 9.如图 1,若在这个电路中,只合上一个开关可以接通电路,有 种不同的 方法;如图 2,若在这个电路中,合上两个开关可以接通电路,有 种不同 的方法. 图 1 图 2 答案:5 6 解析:对于图 1,按要求接通电路,分二类:第 1 类,合上 A 中的两个开关中的任意 1 个;第 2 类,合上 B 中的三个开关中的任意 1 个.依据分类加法计数原理,共有 2+3=5 种不同的方法. 对于图 2,按要求接通电路必须分两步进行: 第一步,合上 A 中的任意一个开关,有 2 种方法; 第二步,合上 B 中的任意一个开关,有 3 种方法, 依据分步乘法计数原理,共有 2×3=6 种不同的方法. 10.学校要组织数学课外小组,高一年级(1)、(2)、(3)、(4)班分别有 7 人、8 人、9 人、10 人,他们自愿组成数学课外小组. (1)选其中一人为负责人,有多少种不同的选法? (2)每班选一名组长,有多少种不同的选法? (3)推选两人做中心发言,这两人需来自不同的班级,有多少种不同的选法? 解:(1)分四类:第一类,从(1)班学生中选 1 人,有 7 种选法;第二类,从(2)班学生中选 1 人,有 8 种选法;第三类,从(3)班学生中选 1 人,有 9 种选法;第四类,从(4)班学生 中选 1 人,有 10 种选法.依据分类加法计数原理,共有 N=7+8+9+10=34 种不同的 选法. (2)分四步:第一、二、三、四步分别从高一年级(1)、(2)、(3)、(4)班学生中选一 人任组长.依据分步乘法计数原理,共有 N=7×8×9×10=5 040 种不同的选法. (3)分六类,每类又分两步:从(1)、(2)班学生中各选 1 人,有 7×8 种不同的选法;从 (1)、(3)班学生中各选 1 人,有 7×9 种不同的选法;从(1)、(4)班学生中各选 1 人,有 7×10 种不同的选法;从(2)、(3)班学生中各选 1 人,有 8×9 种不同的选法;从(2)
(4)班学生中各选1人，有8×10种不同的选法，从(3)、(4)班学生中各选1人，有 9×10种不同的选法. 依据分类加法计数原理和分步乘法计数原理，共有 N=7×8+7×9+7×10+8×9+8×10+9×10=431种不同的选法. 11.有一项活动，需在3名教师，8名男同学和5名女同学中选人参加 (1)若只需一人参加，有多少种不同选法？ (2)若需教师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同选法？ (3)若需一名教师，一名学生参加，则有多少种不同选法？ 解(1)分三类：第1类，3名教师中选一人，有3种方法；第2类，8名男同学中选一人， 有8种方法：第3类，5名女同学中选一人，有5种方法.依据分类加法计数原理，共 有3+8+5=16种选法 (2)分三步完成：第一步选教师，有3种方法；第二步选男同学，有8种方法；第三步选 女同学，有5种方法.依据分步乘法计数原理，共有3×8×5=120种选法 (3)分两类，每一类又分两步.第一类：先选一名教师，再选一名男同学，共有3×8=24 种选法；第二类：先选一名教师，再选一名女同学，共有3×5=15种选法.依据分类加 法计数原理，共有24+15=39种选法 拓展提高 1.若xy∈N,且1≤x≤3，x+y<7,则满足条件的不同的有序自然数对(xy)的个数是 () A.5 B.12 C.15 D.4 答案：C 解析：分三类：第1类，当x=1时y的取值可能为0,1,2,3,4,5，有6种情况； 第2类，当x=2时y的取值可能为0,1,2,3,4，有5种情况； 第3类，当x=3时y的取值可能为0,1,2,3，有4种情况 根据分类加法计数原理，满足条件的有序自然数对(x,y)的个数为6+5+4=15. 2.定义集合A与B的运算A*B如下：A*B={(xy)r∈Ay∈B},若 A={a,b,c},B={a,c,d,e},则A*B的元素个数为() A.34 B.43 C.12 D.以上都不对 答案：C 解析：依据分步乘法计数原理，A*B的元素个数为3×4=12 3.若三角形三边均为正整数，其中一边长为4，另外两边长分别为b,c,且满足 b≤4≤c,则这样的三角形有() A.10个 B.14个 C.15个 D.21个 答案：A
(4)班学生中各选 1 人,有 8×10 种不同的选法;从(3)、(4)班学生中各选 1 人,有 9×10 种不同的选法. 依据分类加法计数原理和分步乘法计数原理,共有 N=7×8+7×9+7×10+8×9+8×10+9×10=431 种不同的选法. 11.有一项活动,需在 3 名教师,8 名男同学和 5 名女同学中选人参加. (1)若只需一人参加,有多少种不同选法? (2)若需教师、男同学、女同学各一人参加,有多少种不同选法? (3)若需一名教师,一名学生参加,则有多少种不同选法? 解:(1)分三类:第 1 类,3 名教师中选一人,有 3 种方法;第 2 类,8 名男同学中选一人, 有 8 种方法;第 3 类,5 名女同学中选一人,有 5 种方法.依据分类加法计数原理,共 有 3+8+5=16 种选法. (2)分三步完成:第一步选教师,有 3 种方法;第二步选男同学,有 8 种方法;第三步选 女同学,有 5 种方法.依据分步乘法计数原理,共有 3×8×5=120 种选法. (3)分两类,每一类又分两步.第一类:先选一名教师,再选一名男同学,共有 3×8=24 种选法;第二类:先选一名教师,再选一名女同学,共有 3×5=15 种选法.依据分类加 法计数原理,共有 24+15=39 种选法. 拓展提高 1.若 x,y∈N,且 1≤x≤3,x+y<7,则满足条件的不同的有序自然数对(x,y)的个数是 ( ) A.5 B.12 C.15 D.4 答案:C 解析:分三类:第 1 类,当 x=1 时,y 的取值可能为 0,1,2,3,4,5,有 6 种情况; 第 2 类,当 x=2 时,y 的取值可能为 0,1,2,3,4,有 5 种情况; 第 3 类,当 x=3 时,y 的取值可能为 0,1,2,3,有 4 种情况. 根据分类加法计数原理,满足条件的有序自然数对(x,y)的个数为 6+5+4=15. 2.定义集合 A 与 B 的运算 A*B 如下:A*B={(x,y)|x∈A,y∈B},若 A={a,b,c},B={a,c,d,e},则 A*B 的元素个数为( ) A.3 4 B.4 3 C.12 D.以上都不对 答案:C 解析:依据分步乘法计数原理,A*B 的元素个数为 3×4=12. 3.若三角形三边均为正整数,其中一边长为 4,另外两边长分别为 b,c,且满足 b≤4≤c,则这样的三角形有( ) A.10 个 B.14 个 C.15 个 D.21 个 答案:A
解析：当b=1时，c=4:当b=2时，c=4,5,当b=3时，c=4,5,6;当b=4时，c=4,5,6,7.故共 有10个这样的三角形 4.如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路，其中共有6个焊接点A,B,C,D,E,F 若某个焊接点脱落，则整个电路就会不通如果现在电路不通了，那么焊接点脱落 的可能性共有( A.6种 B.36种 C.63种 D.64种 答案：C 解析：每个焊接，点都有脱落与未脱落两种情况，只要有一个焊接，点脱落，电路就不 通，故共有26-1=63种可能情况 5.(多选题)已知函数y=ax2+bx+c,其中a,b,c∈{0,1,2,3,4}，则不同的二次函数的个 数可以用式子表示为() A.4×5×5 B.5×5×5 C.4×4+4×4+4×4×4+4 D.5×4×3 答案：AC 解析（方法一）依分步乘法计数原理得，a有4种选择，b有5种选择，c也有5种选 择，共有4×5×5个不同的函数， (方法二)由题意可得a0,可分以下几类 第1类，b=0,c≠0，此时a有4种选择，c也有4种选择，共有4×4=16个不同的函数； 第2类，c=0,b≠0，此时a有4种选择，b也有4种选择，共有4×4=16个不同的函数： 第3类，b≠0，c0,此时a,b,c都各有4种选择，共有4×4×4=64个不同的函数； 第4类，b=0,c=0,此时a有4种选择，共有4个不同的函数， 由分类加法计数原理，可确定不同的二次函数共有N=16+16+64+4=100(个)】 6.如图，用五种不同的颜色分别给A,B,C,D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜 色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂法种数为() A.280 B.180 C.96 D.60 答案B
解析:当 b=1 时,c=4;当 b=2 时,c=4,5;当 b=3 时,c=4,5,6;当 b=4 时,c=4,5,6,7.故共 有 10 个这样的三角形. 4.如图,某电子器件是由三个电阻组成的回路,其中共有 6 个焊接点 A,B,C,D,E,F. 若某个焊接点脱落,则整个电路就会不通.如果现在电路不通了,那么焊接点脱落 的可能性共有( ) A.6 种 B.36 种 C.63 种 D.64 种 答案:C 解析:每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况,只要有一个焊接点脱落,电路就不 通,故共有 2 6 -1=63 种可能情况. 5.(多选题)已知函数 y=ax2+bx+c,其中 a,b,c∈{0,1,2,3,4},则不同的二次函数的个 数可以用式子表示为( ) A.4×5×5 B.5×5×5 C.4×4+4×4+4×4×4+4 D.5×4×3 答案:AC 解析:(方法一)依分步乘法计数原理得,a 有 4 种选择,b 有 5 种选择,c 也有 5 种选 择,共有 4×5×5 个不同的函数. (方法二)由题意可得 a≠0,可分以下几类, 第 1 类,b=0,c≠0,此时 a 有 4 种选择,c 也有 4 种选择,共有 4×4=16 个不同的函数; 第 2 类,c=0,b≠0,此时 a 有 4 种选择,b 也有 4 种选择,共有 4×4=16 个不同的函数; 第 3 类,b≠0,c≠0,此时 a,b,c 都各有 4 种选择,共有 4×4×4=64 个不同的函数; 第 4 类,b=0,c=0,此时 a 有 4 种选择,共有 4 个不同的函数. 由分类加法计数原理,可确定不同的二次函数共有 N=16+16+64+4=100(个). 6.如图,用五种不同的颜色分别给 A,B,C,D 四个区域涂色,相邻区域必须涂不同颜 色,若允许同一种颜色多次使用,则不同的涂法种数为( ) A.280 B.180 C.96 D.60 答案:B
解析：按区域分四步：第一步A区域有5种颜色可选；第二步B区域有4种颜色可 选：第三步C区域有3种颜色可选：第四步由于可重复使用区域A中已有过的颜 色，故也有3种颜色可选.依据分步乘法计数原理，共有5×4×3×3=180种涂法， 7.将一枚骰子（六点）连续抛掷三次，掷出的数字顺次排成一个三位数 (1)可以排出多少个不同的三位数？ (2)各数位上的数字互不相同的三位数有多少个？ (3)恰好有两个数字相同的三位数共有多少个？ 解(1)分三步：先排百位，再排十位，最后排个位.根据分步乘法计数原理知，可以排 出6×6×6=216个不同的三位数， (2)分三步进行：先排百位，再排十位，最后排个位.百位上数字的排法有6种，十位上 数字的排法有5种，个位上数字的排法有4种.根据分步乘法计数原理，各数位上 的数字互不相同的三位数有6×5×4=120个 (3)两个数字相同有三种可能，即百位和十位相同，十位和个位相同，百位和个位相 同，而每种都有6×5=30个，故满足条件的三位数共有3×30=90个」 挑战创新 用种不同的颜色为两块广告牌着色，如图，要求在①，②，③，④四个区域中相邻（有 公共边界)的区域不用同一种颜色 (1)若n=6,则为甲着色时共有多少种不同的方法？ (2)当为乙着色时共有120种不同的方法，求n的值 ① ② 甲 乙 解：完成着色这件事，共分为四个步骤，可以依次考虑为①，②，③，④这四个区域着色 时各自的方法数，再利用分步乘法计数原理确定出总的方法数 (1)分三步完成：第一步，为区域①着色时有6种方法：第二步，为区域②着色时有5 种方法：第三步，为区域③着色时有4种方法：第四步，为区域④着色时有4种方法」 依据分步乘法计数原理，不同的着色方法有6×5×4×4=480种。 (2)分三步完成：第一步，为区域①着色时有n种方法，第二步，为区域②着色时有(n 1)种方法；第三步，为区域③着色时有(n-2)种方法；第四步，为区域④着色时有(-3) 种方法.依据分步乘法计数原理，不同的着色方法数为n(n-l)(n-2)(n-3), 由题意知n(n-1)(n-2)n-3)=120,(n2-3n)(n2-3n+2)120=0, 即(n2-3n)2+2n2-3n)-120=0. 因此n2-3n-10=0或n2-3n+12=0(舍去) 解得n=5(负值舍去)】
解析:按区域分四步:第一步 A 区域有 5 种颜色可选;第二步 B 区域有 4 种颜色可 选;第三步 C 区域有 3 种颜色可选;第四步由于可重复使用区域 A 中已有过的颜 色,故也有 3 种颜色可选.依据分步乘法计数原理,共有 5×4×3×3=180 种涂法. 7.将一枚骰子(六点)连续抛掷三次,掷出的数字顺次排成一个三位数. (1)可以排出多少个不同的三位数? (2)各数位上的数字互不相同的三位数有多少个? (3)恰好有两个数字相同的三位数共有多少个? 解:(1)分三步:先排百位,再排十位,最后排个位.根据分步乘法计数原理知,可以排 出 6×6×6=216 个不同的三位数. (2)分三步进行:先排百位,再排十位,最后排个位.百位上数字的排法有 6 种,十位上 数字的排法有 5 种,个位上数字的排法有 4 种.根据分步乘法计数原理,各数位上 的数字互不相同的三位数有 6×5×4=120 个. (3)两个数字相同有三种可能,即百位和十位相同,十位和个位相同,百位和个位相 同,而每种都有 6×5=30 个,故满足条件的三位数共有 3×30=90 个. 挑战创新 用 n 种不同的颜色为两块广告牌着色,如图,要求在①,②,③,④四个区域中相邻(有 公共边界)的区域不用同一种颜色. (1)若 n=6,则为甲着色时共有多少种不同的方法? (2)当为乙着色时共有 120 种不同的方法,求 n 的值. 解:完成着色这件事,共分为四个步骤,可以依次考虑为①,②,③,④这四个区域着色 时各自的方法数,再利用分步乘法计数原理确定出总的方法数. (1)分三步完成:第一步,为区域①着色时有 6 种方法;第二步,为区域②着色时有 5 种方法;第三步,为区域③着色时有 4 种方法;第四步,为区域④着色时有 4 种方法. 依据分步乘法计数原理,不同的着色方法有 6×5×4×4=480 种. (2)分三步完成:第一步,为区域①着色时有 n 种方法;第二步,为区域②着色时有(n- 1)种方法;第三步,为区域③着色时有(n-2)种方法;第四步,为区域④着色时有(n-3) 种方法.依据分步乘法计数原理,不同的着色方法数为 n(n-1)(n-2)(n-3). 由题意知 n(n-1)(n-2)(n-3)=120,(n 2 -3n)·(n 2 -3n+2)-120=0, 即(n 2 -3n) 2+2(n 2 -3n)-120=0. 因此 n 2 -3n-10=0 或 n 2 -3n+12=0(舍去). 解得 n=5(负值舍去)