志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 2.4圆的方程 2.4.1 圆的标准方程 课后·训练提升 基础巩固 1.圆(x+1)2+0-2)2=4的圆心与半径分别为() A.(-1,2),2 B.(1,-2),2 C.(-1,2),4 D.(1,-2),4 答案：A 2.方程(x-1)√x2+y2-3=0所表示的曲线是( A.一个圆 B.两个点 C.一个点和一个圆 D.一条直线和一个圆 答案D 解析：方程(x-1)Vx2+y23-0可化为x1=0或x2+y2-3, 故方程(x-1)√x2+y23=0表示一条直线和一个圆， 3.若点(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1的内部，则实数a的取值范围是() A.la<1 B.a< C.lal D.lal结 答案D 解析：依题意有(5a)2+144a2<1, 所以1692<1， 所以a<即lal品故选D. 4.己知点A(-4,-5),B(6,-1),则以线段AB为直径的圆的方程是() A.(x+1)2+0y-3)2=29 B.(x-1)2+0y+3)2=29 1
1 2.4 圆的方程 2.4.1 圆的标准方程 课后· 基础巩固 1.圆(x+1)2+(y-2)2=4 的圆心与半径分别为( ) A.(-1,2),2 B.(1,-2),2 C.(-1,2),4 D.(1,-2),4 答案:A 2.方程(x-1)√𝑥 2 + 𝑦 2-3=0 所表示的曲线是( ) A.一个圆 B.两个点 C.一个点和一个圆 D.一条直线和一个圆 答案:D 解析:方程(x-1)√𝑥 2 + 𝑦 2-3=0 可化为 x-1=0 或 x 2+y2=3, 故方程(x-1)√𝑥 2 + 𝑦 2-3=0 表示一条直线和一个圆. 3.若点(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1 的内部,则实数 a 的取值范围是( ) A.|a|<1 B.a< 1 3 C.|a|<1 5 D.|a|< 1 13 答案:D 解析:依题意有(5a) 2+144a 2<1, 所以 169a 2<1, 所以 a 2< 1 169,即|a|< 1 13,故选 D. 4.已知点 A(-4,-5),B(6,-1),则以线段 AB 为直径的圆的方程是( ) A.(x+1)2+(y-3)2=29 B.(x-1)2+(y+3)2=29
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org C.(x+1)2+03)2=116 D.(x-1)2+y+3)2=116 答案B 解析：由题意得圆心为线段AB的中点(1，-3)，半径为四=专，(6+42+(1+5)2=V2西，所以所求圆 2 21 的方程为(x-1)2+0y+3)2=29.故选B. 5若实数xy满足+y=1,则好的最小值是 答案子 解析二的几何意义是点(x,)与点(1,2)连线的斜率，而点(x)在圆2+少=1上. v.1 过点P(1,2)作圆的切线， 由图知直线PA的斜率不存在，直线PB的斜率存在，且直线PB的斜率即为所求 ∴.设直线PB的方程为y-2=kx-I),得kx-yk+2=0. 又直线PB和圆相切， 超1，得k Vk2+1 号的最小值是子 x.1 6.己知圆C与圆C1:(x-1)2+y2-1关于直线y=-x对称，则圆C的标准方程为 答案x2+y叶1)2-1 解析：由已知圆C1:(x-1)2+y2=1,得圆心C1的坐标为(1,0)，半径n=1. 设C1(1,0)关于直线y=-x的对称点的坐标为(a,b), 则 倍1=1 得8=91 所以圆C的标准方程为x2+y+1)2=1。 7.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是_ 2
2 C.(x+1)2+(y-3)2=116 D.(x-1)2+(y+3)2=116 答案:B 解析:由题意得圆心为线段 AB 的中点(1,-3),半径为|𝐴𝐵| 2 = 1 2 √(6 + 4) 2 + (-1 + 5) 2 = √29,所以所求圆 的方程为(x-1)2+(y+3)2=29.故选 B. 5.若实数 x,y 满足 x 2+y2=1,则 𝑦-2 𝑥-1的最小值是 . 答案: 3 4 解析: 𝑦-2 𝑥-1 的几何意义是点(x,y)与点(1,2)连线的斜率,而点(x,y)在圆 x 2+y2=1 上. 过点 P(1,2)作圆的切线, 由图知直线 PA 的斜率不存在,直线 PB 的斜率存在,且直线 PB 的斜率即为所求. ∴设直线 PB 的方程为 y-2=k(x-1),得 kx-y-k+2=0. 又直线 PB 和圆相切, ∴ |-𝑘+2| √𝑘 2+1 =1,得 k=3 4 . ∴ 𝑦-2 𝑥-1 的最小值是3 4 . 6.已知圆 C 与圆 C1:(x-1)2+y2=1 关于直线 y=-x 对称,则圆 C 的标准方程为 . 答案:x 2+(y+1)2=1 解析:由已知圆 C1:(x-1)2+y2=1,得圆心 C1 的坐标为(1,0),半径 r1=1. 设 C1(1,0)关于直线 y=-x 的对称点的坐标为(a,b), 则{ 𝑏 𝑎-1 ·(-1) = -1, - 𝑎+1 2 = 𝑏 2 , 解得{ 𝑎 = 0, 𝑏 = -1. 所以圆 C 的标准方程为 x 2+(y+1)2=1. 7.若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4x-3y=0 和 x 轴都相切,则该圆的标准方程是
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 答案：(x-2)2+01)2-1 解析：，圆心在第一象限，而且圆与x轴相切， ∴.可设圆心坐标为(a,1),>0 则圆心到直线4x-3y=0的距离为1， 即43-1，解得a=2或a=舍去)， .该圆的标准方程是(x-2)2+01)2=1. 8.求圆心在x轴上，且过A(1,4),B(2,3)两点的圆的方程 解：设圆心为(a,0), 由题意可知圆心到A,B两点的距离相等， 即(a-12+16= (a-2)2+9, 解得a=-2. 半径=(a-1)2+16=5 故所求圆的方程为(x+2)2+y2=25. 拓展提高 1.若直线y=ar+b通过第一、二、四象限，则圆(x+a)+0y+b)2-1的圆心位于() A第一象限 B.第二象限 C第三象限 D.第四象限 答案D 解析：因为直线经过第一、二、四象限，所以a0,又圆的圆心为(-a,-b),所以-a>0,-b<0.由各象限内 点的坐标的性质，得圆心位于第四象限。 2.已知直线(3+2)x+(31-2)y+5-1=0恒过定点P,则与圆C:(x-2)2+0y+3)2-16有公共的圆心且过点P的 圆的标准方程为( A.(x-2)2+0y+3)2-36 B.(x-2)2+0y+3)2=25 C.(x-2)2+0y+3)2=18 D.(x-2)2+0y+3)2=9 答案B 3
3 答案:(x-2)2+(y-1)2=1 解析:∵圆心在第一象限,而且圆与 x 轴相切, ∴可设圆心坐标为(a,1),a>0, 则圆心到直线 4x-3y=0 的距离为 1, 即 |4𝑎-3| 5 =1,解得 a=2 或 a=- 1 2 (舍去), ∴该圆的标准方程是(x-2)2+(y-1)2=1. 8.求圆心在 x 轴上,且过 A(1,4),B(2,-3)两点的圆的方程. 解:设圆心为(a,0), 由题意可知圆心到 A,B 两点的距离相等, 即√(𝑎-1) 2 + 16 = √(𝑎-2) 2 + 9, 解得 a=-2. 半径 r=√(𝑎-1) 2 + 16=5, 故所求圆的方程为(x+2)2+y2=25. 拓展提高 1.若直线 y=ax+b 通过第一、二、四象限,则圆(x+a) 2+(y+b) 2=1 的圆心位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案:D 解析:因为直线经过第一、二、四象限,所以 a0,又圆的圆心为(-a,-b),所以-a>0,-b<0.由各象限内 点的坐标的性质,得圆心位于第四象限. 2.已知直线(3+2λ)x+(3λ-2)y+5-λ=0 恒过定点 P,则与圆 C:(x-2)2+(y+3)2=16 有公共的圆心且过点 P 的 圆的标准方程为( ) A.(x-2)2+(y+3)2=36 B.(x-2)2+(y+3)2=25 C.(x-2)2+(y+3)2=18 D.(x-2)2+(y+3)2=9 答案:B
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 解析：由(3+2)x+(31-2)y+5-1=0, 得(2x+3-1)M+(3x-2y+5)=0, 则6,3=8解化=士 即P(-1,1). 圆C(x-2)2+0y+3)2=16的圆心坐标是(2，-3)， ∴PG=1-2)2+(1+3)2=5。 .所求圆的标准方程为(x-2)2+0y+3)2=25 故选B. 3.设P是圆(x-3)2+y+1)2=4上的动点，Q是直线x=3上的动点，则PQ1的最小值为() A.6 B.4 C.3 D.2 答案：B 解析：画出已知圆，利用数形结合的思想求解如图，圆心M(3,-1)与定直线x=-3的最短距离为1MQ1=3 (-3)=6.因为圆的半径为2，所以PQ1的最小值为6-2=4. x=-3 4.己知圆M的圆心坐标为(3,4)，且A(-1,1),B(1,0),C-2,3)三点一个在圆M内，一个在圆M上，一个在圆 M外，则圆M的方程为 答案：(x-3)2+04)2=25 解析M4=-13)2+(1-42=5, 1MB1=(1-3)2+(0-4)2-2V5 MC=(-2-3)2+(3-42=V26 ∴.lMBI<MA<MC, 点B在圆M内，点A在圆M上，点C在圆M外， ∴.圆的半径r=M4=5, ∴.圆M的方程为(x-3)2+0y-4)2=25. 5.若圆C与圆M(x+2)2+0y1)2-1关于原点对称，则圆C的标准方程是_ 4
4 解析:由(3+2λ)x+(3λ-2)y+5-λ=0, 得(2x+3y-1)λ+(3x-2y+5)=0, 则{ 2𝑥 + 3𝑦-1 = 0, 3𝑥-2𝑦 + 5 = 0, 解得{ 𝑥 = -1, 𝑦 = 1, 即 P(-1,1). ∵圆 C:(x-2)2+(y+3)2=16 的圆心坐标是(2,-3), ∴|PC|=√(-1-2) 2 + (1 + 3) 2=5, ∴所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=25, 故选 B. 3.设 P 是圆(x-3)2+(y+1)2=4 上的动点,Q 是直线 x=-3 上的动点,则|PQ|的最小值为( ) A.6 B.4 C.3 D.2 答案:B 解析:画出已知圆,利用数形结合的思想求解.如图,圆心 M(3,-1)与定直线 x=-3 的最短距离为|MQ|=3- (-3)=6.因为圆的半径为 2,所以|PQ|的最小值为 6-2=4. 4.已知圆 M 的圆心坐标为(3,4),且 A(-1,1),B(1,0),C(-2,3)三点一个在圆 M 内,一个在圆 M 上,一个在圆 M 外,则圆 M 的方程为 . 答案:(x-3)2+(y-4)2=25 解析:∵|MA|=√(-1-3) 2 + (1-4) 2=5, |MB|=√(1-3) 2 + (0-4) 2=2√5, |MC|=√(-2-3) 2 + (3-4) 2 = √26, ∴|MB|<|MA|<|MC|, ∴点 B 在圆 M 内,点 A 在圆 M 上,点 C 在圆 M 外, ∴圆的半径 r=|MA|=5, ∴圆 M 的方程为(x-3)2+(y-4)2=25. 5.若圆 C 与圆 M:(x+2)2+(y-1)2=1 关于原点对称,则圆 C 的标准方程是
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 答案：(x-2)2+0y+1)2-1 解析：圆M(x+2)2+01)2-1的圆心坐标为M(-2,1),半径r=1,则点M关于原点的对称点为C(2,-1),圆C 的半径也为1，则圆C的标准方程是(x-2)2+y+1)2=1. 6.己知圆O的方程为(x-3)2+y-4)2-25,则点M2,3)到圆上的点的距离的最大值为 答案：5+V2 解析：由题意知点M在圆O内，MO的延长线与圆O的交点到点M2,3)的距离最大，最大距离为 /(2-3)2+(3-4)2+5=5+V2 挑战创新 已知xy满足x+0件42=4，求(x+1)2+y+1)2的最大值与最小值 解：设点P(x,),A(-1,-1),则，点P在圆Cx2++4)2=4上，其中圆心C(0,-4),半径r=2 P,A两点间的距离1PA=x+1)2+0y+1) 因为(-1)2+(1+4)2>4，所以，点A(-1,-1)在圆外 而4C=(0+1)2+(←4+1)2=V而，所以PA=x+1)2+y+1)2的最大值为4C+=V1而+2，最小 值为4C-r=V1⑩0-2. 5
5 答案:(x-2)2+(y+1)2=1 解析:圆 M:(x+2)2+(y-1)2=1 的圆心坐标为 M(-2,1),半径 r=1,则点 M关于原点的对称点为 C(2,-1),圆 C 的半径也为 1,则圆 C 的标准方程是(x-2)2+(y+1)2=1. 6.已知圆 O 的方程为(x-3)2+(y-4)2=25,则点 M(2,3)到圆上的点的距离的最大值为 . 答案:5+√2 解析:由题意知点 M 在圆 O 内,MO 的延长线与圆 O 的交点到点 M(2,3)的距离最大,最大距离为 √(2-3) 2 + (3-4) 2+5=5+√2. 挑战创新 已知 x,y 满足 x 2+(y+4)2=4,求√(𝑥 + 1) 2 + (𝑦 + 1) 2的最大值与最小值. 解:设点 P(x,y),A(-1,-1),则点 P 在圆 C:x 2+(y+4)2=4 上,其中圆心 C(0,-4),半径 r=2. P,A 两点间的距离|PA|=√(𝑥 + 1) 2 + (𝑦 + 1) 2 . 因为(-1)2+(-1+4)2>4,所以点 A(-1,-1)在圆外. 而|AC|=√(0 + 1) 2 + (-4 + 1) 2 = √10,所以|PA|=√(𝑥 + 1) 2 + (𝑦 + 1) 2的最大值为|AC|+r=√10+2,最小 值为|AC|-r=√10-2