志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 2.5.2 圆与圆的位置关系 课后·训练提升 基础巩固 1.圆(x-3)2+0y+2)2-1与圆x2+y2-14x-2y+14=-0的位置关系是( A.外切 B.内切 C.相交 D.外离 答案：B 解析：将圆的方程x2+y2-14x-2y+14=0转化为标准方程为(x-72+-1)2=36,得圆心坐标为(7,1)，半径为 n=6.圆(x-3)2+0y+2)2=1的圆心坐标为(3，-2)，半径为n=1, 故圆心距d=、(7-3)2+[1-(-2)-5-6-1=n-n,故两圆内切 2.若圆C1:(x+2)2+0m)2-9与圆C2:(x-m)2+y+1)2-4外切，则m的值为( A.2 B.-5 C.2或-5 D.不确定 答案：C 解析：由题意得两圆的圆心坐标分别为(-2，m),(m,-1),两圆的半径分别为3,2， 由题意得，(m+2)2+(1-m)2-3+2, 解得m=2或-5. 3.设>0，圆(x-1)2+0y+3)2=2与圆x2+2-16的位置关系不可能是() A.内切 B.相交 C.内切或内含 D.外切或外离 答案D 解析：由题意得两圆的圆心距为 d=(1-02+(-3-02=而， 两圆的半径之和为+4， 因为√10<+4， 所以两圆不可能外切或外离，故选D. 4.若圆x2+y2.2x+F=0和圆x2+y2+2x+E4=0的公共弦所在的直线方程是xy+1=0,则() A.E=.4.F=8 B.E=4,F=-8 C.E=-4,F=-8 D.E=4.F=8 答案：C 1
1 2.5.2 圆与圆的位置关系 课后· 基础巩固 1.圆(x-3)2+(y+2)2=1 与圆 x 2+y2 -14x-2y+14=0 的位置关系是( ) A.外切 B.内切 C.相交 D.外离 答案:B 解析:将圆的方程 x 2+y2 -14x-2y+14=0 转化为标准方程为(x-7)2+(y-1)2=36,得圆心坐标为(7,1),半径为 r1=6.圆(x-3)2+(y+2)2=1 的圆心坐标为(3,-2),半径为 r2=1, 故圆心距 d=√(7-3) 2 + [1-(-2)] 2=5=6-1=r1-r2,故两圆内切. 2.若圆 C1:(x+2)2+(y-m) 2=9 与圆 C2:(x-m) 2+(y+1)2=4 外切,则 m 的值为( ) A.2 B.-5 C.2 或-5 D.不确定 答案:C 解析:由题意得两圆的圆心坐标分别为(-2,m),(m,-1),两圆的半径分别为 3,2, 由题意得√(𝑚 + 2) 2 + (-1-𝑚) 2=3+2, 解得 m=2 或-5. 3.设 r>0,圆(x-1)2+(y+3)2=r2 与圆 x 2+y2=16 的位置关系不可能是( ) A.内切 B.相交 C.内切或内含 D.外切或外离 答案:D 解析:由题意得两圆的圆心距为 d=√(1-0) 2 + (-3-0) 2 = √10, 两圆的半径之和为 r+4, 因为√10<r+4, 所以两圆不可能外切或外离,故选 D. 4.若圆 x 2+y2 -2x+F=0 和圆 x 2+y2+2x+Ey-4=0 的公共弦所在的直线方程是 x-y+1=0,则( ) A.E=-4,F=8 B.E=4,F=-8 C.E=-4,F=-8 D.E=4,F=8 答案:C
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 解析：联立方程组+y2-2x+F=0, ① x2+y2+2x+Ey-4=0,② ②-①可得4x+Ey-F.4=0, 即x号学0 由两圆的公共弦所在的直线方程为xy叶1=0， 月8 44=1, 4 5.(多选题)设集合A={(x,y)x2+y2≤8}，B={(x,y)川x-1)2+0-1)2≤2(r>0)},则下列r的值满足AnB=B的 是( A.1 B时 C.2 D.2 答案：ABC 解析：当A∩B=B时，圆(x-1)2+0-1)2=2(>0)内含或内切于圆x2+y2-8,所以两圆的圆心距 d=V12+12≤2√Z-r解得03+2V2 解析：将圆的方程化为标准方程为(x-a)2+2-2,x2+0b)2=1,则两圆的圆心坐标分别为(a,0),0,b),两圆的 半径分别为VZ,1.因为两圆外离，所以Va2+b>√2+1，即a2+b2>3+2V2 7.两圆相交于两点A(1,3)和B(m,-1),两圆圆心都在直线x-y+c=0上，则m+c的值为」 答案：3 解析：由题意知直线AB与直线xy叶C=0垂直， kB×1=1,即3-1，解得m=5, m-1 AB的中点坐标为(3,1) 又AB的中点在直线x-y+c=0上， ∴.3-1+c=0,.c=-2,∴m+c=5-2=3. 8.圆C1:x2+y2-2x-8=0与圆C2:x2+y2+2x-44=0的公共弦长为 答案：2√7 解析：圆C1和圆C2的标准方程为(x-1)2+y2-9,(x+1)P+0-2)2-9.由圆C1与圆C2的公共弦所在的直线1 的方程为xy+1=0,得点C(1,0)到直线1的距离为d=-0+L=V2圆C的半径为n=3,所以圆G与 12+-1)2 圆C2的公共弦长为2√-亚-2,32(V2)2-2V7, 23
2 解析:联立方程组{ 𝑥 2 + 𝑦 2 -2𝑥 + 𝐹 = 0, 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥 + 𝐸𝑦-4 = 0, ① ② ②-①可得 4x+Ey-F-4=0, 即 x+𝐸 4 y- 𝐹+4 4 =0. 由两圆的公共弦所在的直线方程为 x-y+1=0, 得{ 𝐸 4 = -1, - 𝐹+4 4 = 1, 解得{ 𝐸 = -4, 𝐹 = -8. 5.(多选题)设集合 A={(x,y)|x2+y2≤8},B={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤r 2 (r>0)},则下列 r 的值满足 A∩B=B 的 是( ) A.1 B. 1 2 C.√2 D.2 答案:ABC 解析:当 A∩B=B 时,圆(x-1)2+(y-1)2=r2 (r>0)内含或内切于圆 x 2+y2=8,所以两圆的圆心距 d=√1 2 + 1 2≤2√2-r,解得 03+2√2 解析:将圆的方程化为标准方程为(x-a) 2+y2=2,x 2+(y-b) 2=1,则两圆的圆心坐标分别为(a,0),(0,b),两圆的 半径分别为√2,1.因为两圆外离,所以√𝑎 2 + 𝑏 2 > √2+1,即 a 2+b2>3+2√2. 7.两圆相交于两点 A(1,3)和 B(m,-1),两圆圆心都在直线 x-y+c=0 上,则 m+c 的值为 . 答案:3 解析:由题意知直线 AB 与直线 x-y+c=0 垂直, ∴kAB×1=-1,即 -1-3 𝑚-1 =-1,解得 m=5, ∴AB 的中点坐标为(3,1). 又 AB 的中点在直线 x-y+c=0 上, ∴3-1+c=0,∴c=-2,∴m+c=5-2=3. 8.圆 C1:x 2+y2 -2x-8=0 与圆 C2:x 2+y2+2x-4y-4=0 的公共弦长为 . 答案:2√7 解析:圆 C1 和圆 C2 的标准方程为(x-1)2+y2=9,(x+1)2+(y-2)2=9.由圆 C1 与圆 C2 的公共弦所在的直线 l 的方程为 x-y+1=0,得点 C1(1,0)到直线 l 的距离为 d= |1-0+1| √1 2+(-1) 2 = √2,圆 C1 的半径为 r1=3,所以圆 C1与 圆 C2 的公共弦长为 2√𝑟1 2 -𝑑2=2√3 2-(√2) 2=2√7
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 9.已知集合A={(xy)x2+2=4;,B={(x,y)川x-3)2+042=2},其中r>0,若AnB中有且仅有一个元素，则r 的值是 答案3或7 解析：，'A∩B中有且仅有一个元素 .圆x2+y2=4与圆(x-3)2+04)2=2相切 当两圆内切时，由V32+42=2-川，解得r=7: 当两圆外切时，由V32+42=2+r,解得=3. r=3或7. 拓展提高 1.圆(x+2)2+y2=5关于直线xy+1=0对称的圆的方程为( A.(x-2)2+2=5 B.x2+0-2)2=5 C.(x-1)2+0-1)2=5D.(x+1)2+0y+1)2-5 答案D 解析：由圆(x+2)2+y2=5,可知其圆心为(-2,0)，半径为V5. 设点(-2,0)关于直线x-y+1=0的对称点为(x,y), y-0 -1 x+2 xy+1山 上2+1川 解得1， y=-1, 12+1)2 V12+1)2 故所求圆的圆心为(1，-1) 又所求圆的半径为V5, 故圆(x+2)2+y2=5关于直线xy+1=0对称的圆的方程为(x+1)2+0y+1)2=5 2.已知点P在圆C1:x2+y2-8x-4y+11=0上，点Q在圆C2:x2+y2+4x+2y+1-0上，则P9的最小值是( A.5 B.1 C.3v5-5 D.3V5+5 答案：C 解析：已知圆C1:x2+y2-8x-4y+11=0,转化为标准方程即(x-4)2+2)2-9,圆心为C1(4,2,圆 C2:x2+y2+4x+2y+1-0,转化为标准方程即(x+2)2+0y+1)2=4,圆心为C2(-2,-1).两圆圆心距 d(4+2)2+(2+1)2-3V5>3+2=5,两圆相离，故Pg1的最小值为1C1C-n+2)=3V5-5. 3.若半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2+0y3)2=1内切，则此圆的方程是() A.(x-4)2+0-6)2=6 B.(x+4)2+06)2=6或(x-4)2+06)2=6 C.(x-4)2+0y-6)2=36 3
3 9.已知集合 A={(x,y)|x2+y2=4},B={(x,y)|(x-3)2+(y-4)2=r2},其中 r>0,若 A∩B 中有且仅有一个元素,则 r 的值是 . 答案:3 或 7 解析:∵A∩B 中有且仅有一个元素, ∴圆 x 2+y2=4 与圆(x-3)2+(y-4)2=r2 相切. 当两圆内切时,由√3 2 + 4 2=|2-r|,解得 r=7; 当两圆外切时,由√3 2 + 4 2=2+r,解得 r=3. ∴r=3 或 7. 拓展提高 1.圆(x+2)2+y2=5 关于直线 x-y+1=0 对称的圆的方程为( ) A.(x-2)2+y2=5 B.x 2+(y-2)2=5 C.(x-1)2+(y-1)2=5 D.(x+1)2+(y+1)2=5 答案:D 解析:由圆(x+2)2+y2=5,可知其圆心为(-2,0),半径为√5. 设点(-2,0)关于直线 x-y+1=0 的对称点为(x,y), 则{ 𝑦-0 𝑥+2 = -1, |𝑥-𝑦+1| √1 2+(-1) 2 = |-2+1| √1 2+(-1) 2 , 解得{ 𝑥 = -1, 𝑦 = -1, 故所求圆的圆心为(-1,-1). 又所求圆的半径为√5, 故圆(x+2)2+y2=5 关于直线 x-y+1=0 对称的圆的方程为(x+1)2+(y+1)2=5. 2.已知点 P 在圆 C1:x 2+y2 -8x-4y+11=0 上,点 Q 在圆 C2:x 2+y2+4x+2y+1=0 上,则|PQ|的最小值是( ) A.5 B.1 C.3√5-5 D.3√5+5 答案:C 解析:已知圆 C1:x 2+y2 -8x-4y+11=0,转化为标准方程即(x-4)2+(y-2)2=9,圆心为 C1(4,2);圆 C2:x 2+y2+4x+2y+1=0,转化为标准方程即(x+2)2+(y+1)2=4,圆心为 C2(-2,-1).两圆圆心距 d=√(4 + 2) 2 + (2 + 1) 2=3√5>3+2=5,两圆相离,故|PQ|的最小值为|C1C2|-(r1+r2)=3√5-5. 3.若半径为 6 的圆与 x 轴相切,且与圆 x 2+(y-3)2=1 内切,则此圆的方程是( ) A.(x-4)2+(y-6)2=6 B.(x+4)2+(y-6)2=6 或(x-4)2+(y-6)2=6 C.(x-4)2+(y-6)2=36
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org D.(x+4)2+0-6)2=36或(x-4)2+06)2=36 答案：D 解析：由题意可设圆的方程为(-a)2+0-6)2=36.圆心距为 a2+(6-3)2=6-1,即2=16，故a=士4，圆的方 程为(x-4)2+0-6)2=36或(x+4)2+0y-6)2=36, 4.设两圆C1,C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆圆心的距离1CC2等于() A.4 B.4v2 C.8 D.8v2 答案：C 解析：两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)为 ∴两圆圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等 设两圆的圆心坐标分别为(a,a),(b,b),a>0,b>0, 则有(4-a)2+1-a)2=2,(4-b+(1-b)2=b2, 即a,b为方程(4-x)2+(1-x)2=x2的两个根 整理得x2-10x+17=0, .a+b=10,ab=17. ..(a-b)2=(a+b)2-4ab=100-4×17=32. ∴lCC=(a-b)2+(a-b)2=V32×2-8 5.经过直线x+y+1=0与圆x2+y2=2的交点，且过点(1,2)的圆的方程为 答案×23号-0 解析：由已知可设所求圆的方程为+2-2+x++1)-0,将(1,2)代入，可得=子故所求圆的方程为 y是寻号-0 6.若圆O:x2+y2=5与圆O1:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A,B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则 线段AB的长为 答案：4 解析：连接OO1,记AB与OO1的交点为C,如图所示 0 B 4
4 D.(x+4)2+(y-6)2=36 或(x-4)2+(y-6)2=36 答案:D 解析:由题意可设圆的方程为(x-a) 2+(y-6)2=36.圆心距为√𝑎 2 + (6-3) 2=6-1,即 a 2=16,故 a=±4,圆的方 程为(x-4)2+(y-6)2=36 或(x+4)2+(y-6)2=36. 4.设两圆 C1,C2 都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆圆心的距离|C1C2|等于( ) A.4 B.4√2 C.8 D.8√2 答案:C 解析:∵两圆与两坐标轴都相切,且都经过点(4,1), ∴两圆圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等. 设两圆的圆心坐标分别为(a,a),(b,b),a>0,b>0, 则有(4-a) 2+(1-a) 2=a2 ,(4-b) 2+(1-b) 2=b2 , 即 a,b 为方程(4-x) 2+(1-x) 2=x2 的两个根, 整理得 x 2 -10x+17=0, ∴a+b=10,ab=17. ∴(a-b) 2=(a+b) 2 -4ab=100-4×17=32, ∴|C1C2|=√(𝑎-𝑏) 2 + (𝑎-𝑏) 2 = √32 × 2=8. 5.经过直线 x+y+1=0 与圆 x 2+y2=2 的交点,且过点(1,2)的圆的方程为 . 答案:x 2+y2 - 3 4 x- 3 4 y- 11 4 =0 解析:由已知可设所求圆的方程为 x 2+y2 -2+λ(x+y+1)=0,将(1,2)代入,可得 λ=- 3 4 ,故所求圆的方程为 x 2+y2 - 3 4 x- 3 4 y- 11 4 =0. 6.若圆 O:x 2+y2=5 与圆 O1:(x-m) 2+y2=20(m∈R)相交于 A,B 两点,且两圆在点 A 处的切线互相垂直,则 线段 AB 的长为 . 答案:4 解析: 连接 OO1,记 AB 与 OO1 的交点为 C,如图所示
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 在Rt△001A中，IOA=V5,IO14=25, .100l=5 ÷M05x25-2,MB-4 5 挑战创新 已知圆01的方程为x2+0y+1)2=4,圆02的圆心为02(2,1). (1)若圆O1与圆O2外切，求圆02的方程； (2)若圆O1与圆O2交于A,B两点，且AB吲-2V2,求圆O2的方程 解(1)设圆O1、圆O2的半径分别为n,2, ,两圆外切，1OO2=n+2, 六n=010n=0-2)2+(1-1-2=22-1, .圆02的方程是(x-2)2+01)2-12-8V2 (2)设圆02的方程为(x-2)2+01)2=T2. 已知圆O1的方程为x2+0y+1)2=4,两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程4x+4y+r 8=0. 作OHLAB交AB于点H,则4M-之4B1-V2,0HA=JI0A-AH=22-W22=V2 从而圆心010，-1)到公共弦AB所在直线的距离3：=V2,解得怪4或2=20 4 故圆02的方程为(x-2)2+01)2=4或(x-2)2+012=20. 5
5 在 Rt△OO1A 中,|OA|=√5,|O1A|=2√5, ∴|OO1|=5, ∴|AC|=√5×2√5 5 =2,∴|AB|=4. 挑战创新 已知圆 O1 的方程为 x 2+(y+1)2=4,圆 O2 的圆心为 O2(2,1). (1)若圆 O1 与圆 O2 外切,求圆 O2的方程; (2)若圆 O1 与圆 O2 交于 A,B 两点,且|AB|=2√2,求圆 O2 的方程. 解:(1)设圆 O1、圆 O2 的半径分别为 r1,r2, ∵两圆外切,∴|O1O2|=r1+r2, ∴r2=|O1O2|-r1=√(0-2) 2 + (-1-1) 2 -2=2(√2-1), ∴圆 O2 的方程是(x-2)2+(y-1)2=12-8√2. (2)设圆 O2 的方程为(x-2)2+(y-1)2=𝑟2 2 . 已知圆 O1 的方程为 x 2+(y+1)2=4,两圆的方程相减,即得两圆公共弦 AB 所在直线的方程 4x+4y+𝑟2 2 - 8=0. 作 O1H⊥AB 交 AB 于点 H,则|AH|=1 2 |AB|=√2,|O1H|=√|𝑂1𝐴| 2 -|𝐴𝐻| 2 = √2 2-(√2) 2 = √2. 从而圆心 O1(0,-1)到公共弦 AB 所在直线的距离|𝑟2 2 -12| 4√2 = √2,解得𝑟2 2=4 或𝑟2 2=20. 故圆 O2 的方程为(x-2)2+(y-1)2=4 或(x-2)2+(y-1)2=20