第2课时 离散型随机变量的方差 1.(多选题)下列说法正确的是( A.离散型随机变量的均值E()刻画了X取值的概率平均值 B.离散型随机变量的方差D(X)刻画了X取值的平均取值 C离散型随机变量的均值E()刻画了X取值的平均取值 D.离散型随机变量的方差D)刻画了X相对于均值的离散程度 答案CD 2.设某随机试验的结果只有A和A,且P(4)=m,令随机变量= 1,A发生，则的方差D0等 0,A不发生 于( A.m B.2m(1-m） C.m(m-1) D.m(1-m) 答案D 解析由题意可知，服从两点分布，P(4)=m,故D()=m(1-m. 3.同时抛两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币出现一枚正面朝上，一枚反面朝上的次数为X,则 D(X)=( A月 BIs D号 案] 解析☐：XB(10,) :D0=10x×2=月 4.已知的分布列如下表所示 -1 0 P 2 6 若1=2+2，则D()的值为( A月 B明 c唱 D 案D 解折□因为E(0=-10x分1x合号所以D0-(1+)×+(0+)}×+ (1+)2×g=号所以D)=D2+2)-4D⊙-9 5.已知随机变量X+Y=8,若X-B(10,0.6),则E(),DY)分别是( A.6,2.4 B.2,2.4 C.2,5.6 D.6.5.6 答案B 解析因为X+Y=8, 所以Y=8-X 因为X-B(10,0.6), 所以E(X)=10×0.6=6,DX)=10×0.6×0.4=2.4. 所以E()=8-E(X)=8-6=2, DY)=(-1)2DX)=DX)=2.4
第 2 课时 离散型随机变量的方差 1.(多选题)下列说法正确的是( ) A.离散型随机变量的均值 E(X)刻画了 X 取值的概率平均值 B.离散型随机变量的方差 D(X)刻画了 X 取值的平均取值 C.离散型随机变量的均值 E(X)刻画了 X 取值的平均取值 D.离散型随机变量的方差 D(X)刻画了 X 相对于均值的离散程度 答案 CD 2.设某随机试验的结果只有 A 和𝐴,且 P(A)=m,令随机变量 ξ={ 1,𝐴发生, 0,𝐴不发生, 则 ξ 的方差 D(ξ)等 于( ) A.m B.2m(1-m) C.m(m-1) D.m(1-m) 答案 D 解析 由题意可知,ξ 服从两点分布,P(A)=m,故 D(ξ)=m(1-m). 3.同时抛两枚均匀的硬币 10 次,设两枚硬币出现一枚正面朝上,一枚反面朝上的次数为 X,则 D(X)=( ) A.5 8 B.15 8 C.5 2 D.20 9 答案 C 解析 ∵X~B(10, 1 2 ), ∴D(X)=10×1 2 × 1 2 = 5 2 . 4.已知 ξ 的分布列如下表所示. ξ -1 0 1 P 1 2 1 3 1 6 若 η=2ξ+2,则 D(η)的值为( ) A.- 1 3 B.5 9 C.10 9 D.20 9 答案 D 解析 因为 E(ξ)=-1×1 2 +0×1 3 +1×1 6 =- 1 3 ,所以 D(ξ)=(-1 + 1 3 ) 2 × 1 2 + (0 + 1 3 ) 2 × 1 3 + (1 + 1 3 ) 2 × 1 6 = 5 9 ,所以 D(η)=D(2ξ+2)=4D(ξ)= 20 9 . 5.已知随机变量 X+Y=8,若 X~B(10,0.6),则 E(Y),D(Y)分别是( ) A.6,2.4 B.2,2.4 C.2,5.6 D.6,5.6 答案 B 解析 因为 X+Y=8, 所以 Y=8-X. 因为 X~B(10,0.6), 所以 E(X)=10×0.6=6,D(X)=10×0.6×0.4=2.4. 所以 E(Y)=8-E(X)=8-6=2, D(Y)=(-1)2D(X)=D(X)=2.4
6.一次知识竞赛由25道选择题构成，每道选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确 的，每道题选对得4分，不做或选错不得分，满分100分某学生选对任意一题的概率为0.6，则 该学生在这次知识竞赛中的成绩的均值为」 一，方差为 答案☐5096 解析设该学生在这次知识竞赛中选对的题目个数为X,成绩为Y,则Y-4X由题意可 知，X-B(25,0.6),故EX0=25×0.6=15,D)=25×0.6×0.4=6, 故E()=E(4)=4E()=60,D()=D(4X)=16D()=96.故该学生在这次知识竞赛中的成绩的均 值为60，方差为96. 7.若p为非负实数，随机变量X的分布列为 X 0 2 押 则E()的最大值是 DX)的最大值是 含案 1 解析☐由分布列性质可知pe0,引 则E00=p+1∈1，引 故E()的最大值为号 又D0-G-pjp+1)P+p+1-IyP+p*1-2y-prp+1-(0+)+ p∈0，引当p=0时，D)取得最大值1 8.某厂生产的一批产品的合格率是98% (1)求从中抽取一件产品为合格品的数量的方差； (2)从中有放回地随机抽取10件产品，求抽取的10件产品中合格品的数量的方差及标准差 解☐1)设抽取一件产品为合格品的数量为，则的值为0,1，即服从两点分布，且 P(=0)=0.02,P(=1)=0.98,故D(0=0.98×0.02=0.0196. (2)设抽取的10件产品中合格品的数量为X, 则XB(10,0.98),故D0=10x0.98×0.02=0.196√/Dx=7 50 9.某班从5名班干部（其中男生3人，女生2人）中选3人参加学校学生会的干部竞选.设所选 3人中女生人数为X,求X的方差 Y的所有可能取值为012，则-0-六Px-1)婴-P0-2)-警=音 c 故X的分布列为 3 0 10 故E00-0×+1号+2x 3 0=5 00-(0-9x品+(1-9×+29×品=云 10.已知甲、乙两个建材厂都想投标参加某重点建设项目，为了对重点建设项目负责，政府到 两个建材厂抽样验查，从中各取等量的样本检查它们的抗拉强度，指数如下表所示 110 120 125 130 135 0.1 0.2 0.4 0.2
6.一次知识竞赛由 25 道选择题构成,每道选择题有 4 个选项,其中有且仅有一个选项是正确 的,每道题选对得 4 分,不做或选错不得分,满分 100 分.某学生选对任意一题的概率为 0.6,则 该学生在这次知识竞赛中的成绩的均值为 ,方差为 . 答案 60 96 解析 设该学生在这次知识竞赛中选对的题目个数为 X,成绩为 Y,则 Y=4X.由题意可 知,X~B(25,0.6),故 E(X)=25×0.6=15,D(X)=25×0.6×0.4=6, 故 E(Y)=E(4X)=4E(X)=60,D(Y)=D(4X)=16D(X)=96.故该学生在这次知识竞赛中的成绩的均 值为 60,方差为 96. 7.若 p 为非负实数,随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 P 1 2 -p p 1 2 则 E(X)的最大值是 ,D(X)的最大值是 . 答案 3 2 1 解析 由分布列性质可知 p∈[0, 1 2 ], 则 E(X)=p+1∈[1, 3 2 ], 故 E(X)的最大值为3 2 . 又 D(X)=( 1 2 -𝑝)(p+1)2+p(p+1-1)2+ 1 2 (p+1-2)2=-p 2 -p+1=-(𝑝 + 1 2 ) 2 + 5 4 , ∵p∈[0, 1 2 ],∴当 p=0 时,D(X)取得最大值 1. 8.某厂生产的一批产品的合格率是 98%. (1)求从中抽取一件产品为合格品的数量的方差; (2)从中有放回地随机抽取 10 件产品,求抽取的 10 件产品中合格品的数量的方差及标准差. 解 (1)设抽取一件产品为合格品的数量为 ξ,则 ξ 的值为 0,1,即 ξ 服从两点分布,且 P(ξ=0)=0.02,P(ξ=1)=0.98,故 D(ξ)=0.98×0.02=0.019 6. (2)设抽取的 10 件产品中合格品的数量为 X, 则 X~B(10,0.98),故 D(X)=10×0.98×0.02=0.196,√𝐷(𝑋) = 7√10 50 . 9.某班从 5 名班干部(其中男生 3 人,女生 2 人)中选 3 人参加学校学生会的干部竞选.设所选 3 人中女生人数为 X,求 X 的方差. 解 X 的所有可能取值为 0,1,2,则 P(X=0)= C3 3 C5 3 = 1 10,P(X=1)= C3 2 C2 1 C5 3 = 3 5 ,P(X=2)= C3 1 C2 2 C5 3 = 3 10. 故 X 的分布列为 X 0 1 2 P 1 10 3 5 3 10 故 E(X)=0×1 10 +1×3 5 +2×3 10 = 6 5 , D(X)=(0- 6 5 ) 2 × 1 10 + (1- 6 5 ) 2 × 3 5 + (2- 6 5 ) 2 × 3 10 = 9 25. 10.已知甲、乙两个建材厂都想投标参加某重点建设项目,为了对重点建设项目负责,政府到 两个建材厂抽样验查,从中各取等量的样本检查它们的抗拉强度,指数如下表所示. ξ 110 120 125 130 135 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
100 115 125 130 145 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 其中，1分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，比较甲、乙两厂材料哪一种稳定性更好。 解☐由已知，得E(0-110x0.1+120x0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125, E()=100×0.1+115×0.2+125×0.4+130×0.1+145×0.2=125, D()=0.1×(110-125)2+0.2×(120-125)2+0.4×(125-1252+0.1×(130-125)2+0.2×135-125=50, D()=0.1×(100-125)2+0.2×(115-125)2+0.4×(125-125y+0.1×(130-125)2+0.2×145-1252=165 因为E()=E(),D()<D(),所以甲厂的材料稳定性更好
η 100 115 125 130 145 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 其中 ξ,η 分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度,比较甲、乙两厂材料哪一种稳定性更好. 解 由已知,得 E(ξ)=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125, E(η)=100×0.1+115×0.2+125×0.4+130×0.1+145×0.2=125, D(ξ)=0.1×(110-125)2+0.2×(120-125)2+0.4×(125-125)2+0.1×(130-125)2+0.2×(135-125)2=50, D(η)=0.1×(100-125)2+0.2×(115-125)2+0.4×(125-125)2+0.1×(130-125)2+0.2×(145-125)2=165. 因为 E(ξ)=E(η),D(ξ)<D(η),所以甲厂的材料稳定性更好