习题课 基本计数原理的综合应用 1.用0,1，…，9这10个数字可以排成有重复数字的三位数的个数为) A.243 B.252 C.261 D.648 答案☐B 解析0,1,2，.，9共能排成9×10×10=900个三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8-648 个，所以有重复数字的三位数有900-648=252个 2.某班有3名学生准备参加校运会的100米、200米、跳高、跳远四项比赛，若每班每项限 报1人，则这3名学生参赛的不同方法有() A.24种 B.48种 C.64种 D.81种 答案A 解析☐由于每班每项限报1人，因此当前面的学生选了某项之后，后面的学生不能再报，依据 分步乘法计数原理，共有4×3×2=24种不同的参赛方法. 3.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任意两人不相邻的坐法种数为() A.144 B.120 C.72 D.24 答案D 解析先将3把空椅子隔开摆放，此时3把空椅子中间和两边有4个空隙供3人（不妨记为 甲、乙、丙)选择就座，因此，可分三步：甲从4个空隙中任选一个空隙，有4种不同的选择；乙 从余下的3个空隙中任选一个空隙，有3种不同的选择；丙从余下的2个空隙中任选一个空 隙，有2种不同的选择.根据分步乘法计数原理，任何两人不相邻的坐法种数为4×3×2=24.故选 D 4.如图，现有4种不同颜色对四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则 不同的着色方法共有 () A24种 B.30种 C.36种 D.48种 答案D 解析如图，将4个部分分别标记为A,B,C,D,分四步完成：第一步，确定A部分的颜色，共有4 种方法；第二步，确定B部分的颜色，共有3种方法，第三步，确定C部分的颜色，共有2种方法， 第四步，确定D部分的颜色，共有2种方法.依据分步乘法计数原理，共有4×3×2×2=48种 5.古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次序用天干的“甲、丙、戊、庚、壬和地支 的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、已、 未、酉、亥”相配，共可配成 组 答案50
习题课——基本计数原理的综合应用 1.用 0,1,…,9 这 10 个数字可以排成有重复数字的三位数的个数为( ) A.243 B.252 C.261 D.648 答案 B 解析 0,1,2,…,9 共能排成 9×10×10=900 个三位数,其中无重复数字的三位数有 9×9×8=648 个,所以有重复数字的三位数有 900-648=252 个. 2.某班有 3 名学生准备参加校运会的 100 米、200 米、跳高、跳远四项比赛,若每班每项限 报 1 人,则这 3 名学生参赛的不同方法有( ) A.24 种 B.48 种 C.64 种 D.81 种 答案 A 解析 由于每班每项限报 1 人,因此当前面的学生选了某项之后,后面的学生不能再报,依据 分步乘法计数原理,共有 4×3×2=24 种不同的参赛方法. 3.6 把椅子摆成一排,3 人随机就座,任意两人不相邻的坐法种数为( ) A.144 B.120 C.72 D.24 答案 D 解析 先将 3 把空椅子隔开摆放,此时 3 把空椅子中间和两边有 4 个空隙供 3 人(不妨记为 甲、乙、丙)选择就座,因此,可分三步:甲从 4 个空隙中任选一个空隙,有 4 种不同的选择;乙 从余下的 3 个空隙中任选一个空隙,有 3 种不同的选择;丙从余下的 2 个空隙中任选一个空 隙,有 2 种不同的选择.根据分步乘法计数原理,任何两人不相邻的坐法种数为 4×3×2=24.故选 D. 4.如图,现有 4 种不同颜色对四个部分进行着色,要求有公共边界的两块不能用同一种颜色,则 不同的着色方法共有 ( ) A.24 种 B.30 种 C.36 种 D.48 种 答案 D 解析 如图,将 4 个部分分别标记为 A,B,C,D,分四步完成:第一步,确定 A 部分的颜色,共有 4 种方法;第二步,确定 B 部分的颜色,共有 3 种方法;第三步,确定 C 部分的颜色,共有 2 种方法, 第四步,确定 D 部分的颜色,共有 2 种方法.依据分步乘法计数原理,共有 4×3×2×2=48 种. 5.古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次序.用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支 的“子、寅、辰、午、申、戌”相配,用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、 未、酉、亥”相配,共可配成 组. 答案 60
解析份两类：第一类，由天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌” 相配，分两步，先从天千里选1种，有5种选法，再从地支里选1种，有6种选法.依据分步乘法计 数原理，则有5×6=30组不同的结果.第二类也有30组不同的结果 依据分类加法计数原理，共可配成30+30=60组. 6.现有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取两本不同学科的 书，共有 种不同的取法 答案☐242 解析取两本不同学科的书分三类：第一类，取数学书和语文书，分两步，先取数学书有10种 取法，再取语文书有9种取法，依据分步乘法计数原理，有10×9=90种，第二类，取数学书和英语 书，同理，有10×8=80种；第三类，取语文书和英语书，同理，有9×8=72种 依据分类加法计数原理，共有90+80+72=242种. 7.某班从6名学生中选出4人分别参加数、理、化、生四科竞赛，且每科只有1人，其中甲、 乙两人不能参加生物竞赛，则不同的选派方法共有 种 答案☐240 解析☐不同的选派方式可分四步进行：第一步，由题意知，生物竞赛是特殊位置，故生物竞赛可 有4种选派方法；第二步，数学竞赛可有5种选派方法，第三步，物理竞赛可有4种选派方法，第 四步，化学竞赛可有3种选派方法 依据分步乘法计数原理，不同的选派方法共有4×5×4×3=240种 8.从{-3，-2，-1,0,1,2,3}中，任取3个不同的数作为抛物线方程y=a2+br+c的系数，若抛物线经 过原点，且顶点在第一象限，则这样的抛物线共有多少条？ 解因为抛物线经过原点，所以c=0,从而知c只有1种取值 又抛物线y=ax2+br+c的顶点在第一象限，所以顶点坐标满足 >0， 4ac2>0. 4a 由c=0,解得a0,所以a∈{-3，-2，-1}，b∈{1,2,3}，这样要求的抛物线的条数可由a,b,c的取 值来确定，分三步完成： 第一步：确定α的值，有3种方法： 第二步：确定b的值，有3种方法： 第三步：确定c的值，有1种方法 依据分步乘法计数原理，这样的抛物线有3×3×1-9条。 9.用n种不同的颜色为两块广告牌着色，如图，要求在①，②，③，④四个区域中相邻（有公共边 界)的区域不用同一种颜色 (1)若n=6,为甲着色时共有多少种不同的方法？ (2)若为乙着色时共有120种不同的方法，求n的值 ① ③ ④ ② 甲 ① 、③ ④ ②
解析 分两类:第一类,由天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌” 相配,分两步,先从天干里选 1 种,有 5 种选法,再从地支里选 1 种,有 6 种选法.依据分步乘法计 数原理,则有 5×6=30 组不同的结果.第二类也有 30 组不同的结果. 依据分类加法计数原理,共可配成 30+30=60 组. 6.现有 10 本不同的数学书,9 本不同的语文书,8 本不同的英语书,从中任取两本不同学科的 书,共有 种不同的取法. 答案 242 解析 取两本不同学科的书分三类:第一类,取数学书和语文书,分两步,先取数学书有 10 种 取法,再取语文书有 9 种取法,依据分步乘法计数原理,有 10×9=90 种;第二类,取数学书和英语 书,同理,有 10×8=80 种;第三类,取语文书和英语书,同理,有 9×8=72 种. 依据分类加法计数原理,共有 90+80+72=242 种. 7.某班从 6 名学生中选出 4 人分别参加数、理、化、生四科竞赛,且每科只有 1 人,其中甲、 乙两人不能参加生物竞赛,则不同的选派方法共有 种. 答案 240 解析 不同的选派方式可分四步进行:第一步,由题意知,生物竞赛是特殊位置,故生物竞赛可 有 4 种选派方法;第二步,数学竞赛可有 5 种选派方法;第三步,物理竞赛可有 4 种选派方法;第 四步,化学竞赛可有 3 种选派方法. 依据分步乘法计数原理,不同的选派方法共有 4×5×4×3=240 种. 8.从{-3,-2,-1,0,1,2,3}中,任取 3 个不同的数作为抛物线方程 y=ax2+bx+c 的系数,若抛物线经 过原点,且顶点在第一象限,则这样的抛物线共有多少条? 解 因为抛物线经过原点,所以 c=0,从而知 c 只有 1 种取值. 又抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点在第一象限,所以顶点坐标满足{ - 𝑏 2𝑎 > 0, 4𝑎𝑐-𝑏 2 4𝑎 > 0, 由 c=0,解得 a0,所以 a∈{-3,-2,-1},b∈{1,2,3},这样要求的抛物线的条数可由 a,b,c 的取 值来确定,分三步完成: 第一步:确定 a 的值,有 3 种方法; 第二步:确定 b 的值,有 3 种方法; 第三步:确定 c 的值,有 1 种方法. 依据分步乘法计数原理,这样的抛物线有 3×3×1=9 条. 9.用 n 种不同的颜色为两块广告牌着色,如图,要求在①,②,③,④四个区域中相邻(有公共边 界)的区域不用同一种颜色. (1)若 n=6,为甲着色时共有多少种不同的方法? (2)若为乙着色时共有 120 种不同的方法,求 n 的值. 甲
之 解☐完成着色这件事，共分为四个步骤，可以依次考虑为①，②，③，④这四个区域着色时各自的 方法数，再利用分步乘法计数原理确定总的方法数 (1)为①区域着色时有6种方法，为②区域着色时有5种方法，为③区域着色时有4种方法，为 ④区域着色时有4种方法，依据分步乘法计数原理，不同的着色方法有6×5×4×4=480种。 (2)由题意知，为①区域着色时有n种方法，为②区域着色时有(-I)种方法，为③区域着色时有 (-2)种方法，为④区域着色时有(-3)种方法，依据分步乘法计数原理可得不同的着色方法数为 (n-1)(n-2)(n-3) 因此nn-1)(n-2)(n-3)=120, 整理得(m2-3n)(2-3n+2)-120=0, 即(2-3n)2+2(n2-3n)-120=0. 所以？2.3n-10=0或m2-3n+12=0(舍去). 解得n=5(n=-2舍去)
乙 解 完成着色这件事,共分为四个步骤,可以依次考虑为①,②,③,④这四个区域着色时各自的 方法数,再利用分步乘法计数原理确定总的方法数. (1)为①区域着色时有 6 种方法,为②区域着色时有 5 种方法,为③区域着色时有 4 种方法,为 ④区域着色时有 4 种方法,依据分步乘法计数原理,不同的着色方法有 6×5×4×4=480 种. (2)由题意知,为①区域着色时有 n 种方法,为②区域着色时有(n-1)种方法,为③区域着色时有 (n-2)种方法,为④区域着色时有(n-3)种方法,依据分步乘法计数原理可得不同的着色方法数为 n(n-1)(n-2)(n-3). 因此 n(n-1)(n-2)(n-3)=120, 整理得(n 2 -3n)(n 2 -3n+2)-120=0, 即(n 2 -3n) 2+2(n 2 -3n)-120=0. 所以 n 2 -3n-10=0 或 n 2 -3n+12=0(舍去). 解得 n=5(n=-2 舍去)