志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 第2课时 简单复合函数的求导法则 课后·训练提升 基础巩固 1.已知函数x)=ln(2xr+1),则f0)=() A.0 B.1 C.2 D 答案：C 解析：)22x+1)Z品 f0)=2 2.函数y=c0s(1+x2)的导数是() A.y'=2xsin(1+x2) B.y'=-sin(1+x2) C.y'=-2xsin(1+x2） D.y'=xsin(1+x2) 答案：C 解析y'-sin(1+x2)(1+x2)'-2xsin(1+x2). 3.函数fx)=(1-2x)0在x=0处的导数是() A.0 B.1 C.20 D.-20 答案D 解析：fx)=10(1-2x)(1-2x)'=-20(1-2x)9 f0)=-20. 4.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=() A.0 B.1 C.2 D.3 答案D 解析：令fx)=ax-ln(cx+l) 则)-a 1
1 第 2 课时 简单复合函数的求导法则 课后· 基础巩固 1.已知函数 f(x)=ln(2x+1),则 f'(0)=( ) A.0 B.1 C.2 D. 1 2 答案:C 解析:∵f'(x)= 1 2𝑥+1 ·(2x+1)'= 2 2𝑥+1 , ∴f'(0)=2. 2.函数 y=cos(1+x2 )的导数是( ) A.y'=2xsin(1+x2 ) B.y'=-sin(1+x2 ) C.y'=-2xsin(1+x2 ) D.y'=xsin(1+x2 ) 答案:C 解析:y'=-sin(1+x2 )·(1+x2 )'=-2xsin(1+x2 ). 3.函数 f(x)=(1-2x) 10 在 x=0 处的导数是( ) A.0 B.1 C.20 D.-20 答案:D 解析:∵f'(x)=10(1-2x) 9 (1-2x)'=-20(1-2x) 9 , ∴f'(0)=-20. 4.设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a=( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案:D 解析:令 f(x)=ax-ln(x+1), 则 f'(x)=a- 1 𝑥+1
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 故f(0)=a-1=2,故a=3. 5.曲线y=e在点(4，e)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( A.4e2 B.2e2 C.e2 D 答案：C 解析：因为)e2,所以y通 所以切线斜率k式 所以切线方程为e2-之(x4), 令x0,得y=-e2;令y=0,得x=2 所以切线与坐标轴所国成的三角形的面积为S×22=e巴. 6.曲线y=sin2x在点M(π，0)处的切线方程是 答案：2x-y-2π=0 解析：因为y'=cos2x(2x)'-2cos2x,所以切线斜率k=2.所以切线方程为y=2(x-π)，即2x-y-2π=0. 7函数)2的导数为。 答案lxln3xy xex 解析/交3cM3e 23w-1型 ex 8.己知函数x)=cos(V3x+p)(0<p<),若x)+fx)是奇函数，则p= 答案君 解析：fx)=-V3sin(3x+p), Ax)+f(x)-cosY/3x+o)-V3sin(V3x+@)-2sin(V3x++ 又x)+fx)为奇函数，0)+f0)=0, 即2sin(p+g）-0,∴p+g-mke2 又p∈(0,9君 9.已知曲线y=e2xcos3x在点(0,1)处的切线与直线1的距离为v√5，求直线1的方程 解：y-2e2x.cos3x-3e2sin3x, 2
2 故 f'(0)=a-1=2,故 a=3. 5.曲线 y=e 𝑥 2在点(4,e2 )处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A.4e2 B.2e2 C.e 2 D. 1 2 e 2 答案:C 解析:因为 y=e 𝑥 2,所以 y'=1 2 e 𝑥 2. 所以切线斜率 k=1 2 e 2 . 所以切线方程为 y-e 2= 1 2 e 2 (x-4). 令 x=0,得 y=-e 2 ;令 y=0,得 x=2. 所以切线与坐标轴所围成的三角形的面积为 S=1 2 ×2e2=e 2 . 6.曲线 y=sin 2x 在点 M(π,0)处的切线方程是 . 答案:2x-y-2π=0 解析:因为 y'=cos 2x·(2x)'=2cos 2x,所以切线斜率 k=2.所以切线方程为 y=2(x-π),即 2x-y-2π=0. 7.函数 f(x)= ln(3𝑥) e 𝑥 的导数为 . 答案: 1-𝑥ln(3𝑥) 𝑥e 𝑥 解析:f'(x)= 1 3𝑥 ·3·e 𝑥 -ln(3𝑥)·e 𝑥 e 2𝑥 = 1 𝑥 -ln(3𝑥) e 𝑥 = 1-𝑥ln(3𝑥) 𝑥e 𝑥 . 8.已知函数 f(x)=cos(√3x+φ)(0<φ<π),若 f(x)+f'(x)是奇函数,则 φ= . 答案: π 6 解析:∵f'(x)=-√3sin(√3x+φ), ∴f(x)+f'(x)=cos(√3x+φ)-√3sin(√3x+φ)=2sin(√3𝑥 + 𝜑 + 5π 6 ). 又 f(x)+f'(x)为奇函数,∴f(0)+f'(0)=0, 即 2sin(𝜑 + 5π 6 )=0,∴φ+ 5π 6 =kπ(k∈Z). 又 φ∈(0,π),∴φ= π 6 . 9.已知曲线 y=e 2x·cos 3x 在点(0,1)处的切线与直线 l 的距离为√5,求直线 l的方程. 解:∵y'=2e2x·cos 3x-3e2x·sin 3x
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org .切线斜率k=2, ∴.切线方程为1=2(x-0), 即y=2x+1. 设直线1的方程为y=2x+b, 根据题意得=5，解得b-6或64 故直线1的方程为y=2x+6或y=2x-4 10.已知fx)=lnx+1)+Vx+i+r+ba,b∈R),曲线yx)与直线y子在点(0,0)处相切.求a,b的值 解：由已知得曲线y=fx)过点(0,0)，故ln1+1+b=0, 解得b=-1.由x)=n(x+1)+Vx+1+ar+b, 得)本+京a, 则由题意可知0=l+片+a-+a是 故a=0. 所以a=0,b=-1. 拓展提高 1.函数y=cos2x+-sinvx的导数为( A.y--2sin 2x+cos 2反 B2n2x+2器 C.y'=-2sin x+sin 2vx Dy-2sn22爱 答案：A 解析y'=-sin2r(2x+cos√(V)'=-2sin2x+9s二故选A 2.曲线y=®2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为() A号 B时 c D.1 答案：A 解析：因为y'=e2x(-2x)'-2e2r 3
3 ∴切线斜率 k=2, ∴切线方程为 y-1=2(x-0), 即 y=2x+1. 设直线 l 的方程为 y=2x+b, 根据题意,得 |𝑏-1| √5 = √5,解得 b=6 或 b=-4. 故直线 l 的方程为 y=2x+6 或 y=2x-4. 10.已知 f(x)=ln(x+1)+√𝑥 + 1+ax+b(a,b∈R),曲线 y=f(x)与直线 y= 3 2 x 在点(0,0)处相切.求 a,b 的值. 解:由已知得曲线 y=f(x)过点(0,0),故 ln 1+1+b=0, 解得 b=-1.由 f(x)=ln(x+1)+√𝑥 + 1+ax+b, 得 f'(x)= 1 𝑥+1 + 1 2√𝑥+1 +a, 则由题意可知 f'(0)=1+ 1 2 +a=3 2 +a=3 2 , 故 a=0. 所以 a=0,b=-1. 拓展提高 1.函数 y=cos 2x+sin√𝑥的导数为( ) A.y'=-2sin 2x+cos√𝑥 2 √𝑥 B.y'=2sin 2x+cos√𝑥 2√𝑥 C.y'=-2sin 2x+sin√𝑥 2√𝑥 D.y'=2sin 2xcos√𝑥 2√𝑥 答案:A 解析:y'=-sin 2x·(2x)'+cos√𝑥·(√𝑥)'=-2sin 2x+cos√𝑥 2√𝑥 .故选 A. 2.曲线 y=e -2x+1 在点(0,2)处的切线与直线 y=0 和 y=x 围成的三角形的面积为( ) A. 1 3 B. 1 2 C. 2 3 D.1 答案:A 解析:因为 y'=e -2x (-2x)'=-2e-2x
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 所以切线斜率k=-2-2.所以切线方程为y-2=-2(x-0),即y=-2x+2. 因为直线=2x+2与同x的交点为（仔，）与)0的交点为(1,0， 所以所求三角形的面积S1导=号 故选A 3.若点P是函数fx)=e-ex-3 2下rs3 1 的图象上任意一点，且曲线y=孔x)在点P处的切线的倾斜角为 a,则a的最小值是( A号 B买 c D哈 答案B 解析：因为fx)=e+e-3,所以切线斜率k=e+e-3≥2Vexe-3=-l,当且仅当e=e,即x=0时，等号成 立，所以ana≥l.又六x号所以fe0,即ana0时，-x<0.因为几x)为偶函数，所以x)=-x)=e1+x所以fx)=e1+11)=e11+1=2.所以切 线方程为y-2=2(x1),即2x-y=0. 5.己知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切，则a的值为」 答案：2 解析：设切点为(00)， 则%=xo+1,%=ln(x0+a), ∴.x0+1=ln(xo+a). yshaw x0+1=n1=0,∴.x0=-1.a=2. 6.若直线y=r+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln(x+1)的切线，则b= 答案：l-ln2 解析：曲线y=nx+2在点(x,lnx+2)处的切线方程为y=之x+lnx1+1. x1 曲线-ln+)在点(ele+l)处的切线方程为)十子l(e+l 4
4 所以切线斜率 k=-2e0=-2.所以切线方程为 y-2=-2(x-0),即 y=-2x+2. 因为直线 y=-2x+2 与 y=x 的交点为( 2 3 , 2 3 ),与 y=0 的交点为(1,0), 所以所求三角形的面积 S=1 2 ×1× 2 3 = 1 3 . 故选 A. 3.若点 P 是函数 f(x)=e x -e -x -3x - 1 2 0 时,-x<0.因为 f(x)为偶函数,所以 f(x)=f(-x)=e x-1+x.所以 f'(x)=e x-1+1,f'(1)=e 1-1+1=2.所以切 线方程为 y-2=2(x-1),即 2x-y=0. 5.已知直线 y=x+1 与曲线 y=ln(x+a)相切,则 a 的值为 . 答案:2 解析:设切点为(x0,y0), 则 y0=x0+1,y0=ln(x0+a), ∴x0+1=ln(x0+a). ∵y'= 1 𝑥+𝑎 ,∴ 1 𝑥0+𝑎 =1. ∴x0+1=ln 1=0,∴x0=-1.∴a=2. 6.若直线 y=kx+b 是曲线 y=ln x+2 的切线,也是曲线 y=ln(x+1)的切线,则 b= . 答案:1-ln 2 解析:曲线 y=ln x+2 在点(x1,ln x1+2)处的切线方程为 y= 1 𝑥1 ·x+ln x1+1. 曲线 y=ln(x+1)在点(x2,ln(x2+1))处的切线方程为 y= 1 𝑥2+1 x+ln(x2+1)- 𝑥2 𝑥2+1
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org nx1+1=ln(x2+1 2+1 解得 故b=lnx1+1=1-ln2 x2=i 挑战创新 求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线12x-y+3=0的最短距离. 解：因为y=n(2x-1), 所以y2y品 设曲线y=ln(2x-l)上到直线I的距离最短的，点的坐标为(o,o),由题意可知 品2解得0-1 所以w=ln(2×1-1)=0. 所以曲线y=n(2x-1)上的，点到直线1：2x-y+3=0的最短距离为 d2x1-0+3=V5. 、22+12
5 由已知得{ 1 𝑥1 = 1 𝑥2+1 , ln 𝑥1 + 1 = ln(𝑥2 + 1)- 𝑥2 𝑥2+1 , 解得{ 𝑥1 = 1 2 , 𝑥2 = - 1 2 . 故 b=ln x1+1=1-ln 2. 挑战创新 求曲线 y=ln(2x-1)上的点到直线 l:2x-y+3=0 的最短距离. 解:因为 y=ln(2x-1), 所以 y'= 1 2𝑥-1 (2x-1)'= 2 2𝑥-1 . 设曲线 y=ln(2x-1)上到直线 l 的距离最短的点的坐标为(x0,y0),由题意可知 2 2𝑥0-1 =2,解得 x0=1. 所以 y0=ln(2×1-1)=0. 所以曲线 y=ln(2x-1)上的点到直线 l:2x-y+3=0 的最短距离为 d=|2×1-0+3| √2 2+1 2 = √5