志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 习题课 导数的综合应用 课后·训练提升 基础巩固 1.已知函数几x)的图象如图所示fx)是函数几x)的导函数，则下列结论正确的是() A.2f2)0,)在区间(-∞，1)内单调递增.又3)=-1)，且-1<0<六1， 故-l)0)⑤)，即3)0⑤，即c<a<h. 3.已知函数x)=r2+6r+a,若w∈[-1,4，使o)=2a成立，则实数a的取值范围是() A2, 1
1 习题课——导数的综合应用 课后· 基础巩固 1.已知函数 f(x)的图象如图所示,f'(x)是函数 f(x)的导函数,则下列结论正确的是( ) A.2f'(2)0,f(x)在区间(-∞,1)内单调递增.又 f(3)=f(-1),且-1<0< 1 2 <1, 故 f(-1)<f(0)<f( 1 2 ),即 f(3)<f(0)<f( 1 2 ),即 c<a<b. 3.已知函数 f(x)=x3 - 9 2 x 2+6x+a,若∃x0∈[-1,4],使 f(x0)=2a 成立,则实数 a 的取值范围是( ) A.[2, 5 2 ]
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org B受引 C.[2,16] D.受16 答案D 解析：由几o)-2a,得x8-是x+6w+a-2a, 即x好-号x6+6w=n 设g)=r22+6x,则g)=3x2-9x+6=3x-l)(x-2),令g)=0,解得x=1或x=2 又81)-282)28-1-22g4④=16， 故8gamn一号g=16 由题意，可知g(x)min≤a≤g(x)mar, 故号≤a≤16 4.已知定义在R上的函数x)满足x)+fx)>l,0)=4,则不等式ex)>e+3的解集为) A.(0,+oo） B.(-00,0)U(3,+0) C.(-0,0)U(0,+0) D.(3,+o) 答案：A 解析：设g(x)=ex)-c,x∈R g(x)=ef(x)+e"f(x)-e=e[Ax)+f(x)-1]. .fx)+f(x)>1, .fx)+fx)-1>0, .g(x)>0, ∴·g(x)在R上单调递增. ,cx)>e+3,∴.gx)>3. 又g0)=e0)-e0-4-1=3, …g(x)>g0),x>0.故选A 5.已知函数x)=x+9x+5,则几x)的图象在区间(-1,3)内与x轴的交点的个数为 2
2 B.[- 23 2 , 5 2 ] C.[2,16] D.[- 23 2 ,16] 答案:D 解析:由 f(x0)=2a,得𝑥0 3 − 9 2 𝑥0 2+6x0+a=2a, 即𝑥0 3 − 9 2 𝑥0 2+6x0=a. 设 g(x)=x3 - 9 2 x 2+6x,则 g'(x)=3x 2 -9x+6=3(x-1)(x-2),令 g'(x)=0,解得 x=1 或 x=2. 又 g(1)= 5 2 ,g(2)=2,g(-1)=- 23 2 ,g(4)=16, 故 g(x)min=- 23 2 ,g(x)max=16. 由题意,可知 g(x)min≤a≤g(x)max, 故- 23 2 ≤a≤16. 4.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)+f'(x)>1,f(0)=4,则不等式 e x f(x)>e x+3 的解集为( ) A.(0,+∞) B.(-∞,0)∪(3,+∞) C.(-∞,0)∪(0,+∞) D.(3,+∞) 答案:A 解析:设 g(x)=e x f(x)-e x ,x∈R, 则 g'(x)=e x f(x)+e x f'(x)-e x=e x [f(x)+f'(x)-1]. ∵f(x)+f'(x)>1, ∴f(x)+f'(x)-1>0, ∴g'(x)>0, ∴g(x)在 R 上单调递增. ∵e x f(x)>e x+3,∴g(x)>3. 又 g(0)=e 0 f(0)-e 0=4-1=3, ∴g(x)>g(0),∴x>0.故选 A. 5.已知函数 f(x)=x4+9x+5,则 f(x)的图象在区间(-1,3)内与 x 轴的交点的个数为
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org 答案1 解析：因为fx)=4x3+9,当x∈(-1,3)时，fx)>0,所以x)在区间(-1,3)内单调递增.又几-1)=-30， 所以x)在区间(-1,3)内与x轴只有一个交点 6.已知函数x)是定义在R上的奇函数，1)=0，当x0时，f0,则不等式x0的解集 是 答案：(-1,0)U(1,+o) 解析：令g)巴40， 则gx)=fx x2 :当>0时，f国0， x2 …g(x)>0,∴g(x)在区间(0，+o)内单调递增. 又1)=0，∴g1)=0, .当x>1时gx)>0,此时x)>0. 儿x)为奇函数 ∴.当-10.由x2fx)>0得x)>0,故x2fx)>0的解集为(-1,0)U(1,+o). 7.已知函数x)=ar2+lnx+2 (I)若a∈R,讨论函数x)的单调性； (2)函数g(x)=x)-a2的图象与直线I交于A(x1n),B22)两点，其中x10在区间(0，+o)内恒成立，故x)在区间(0，+o)内单调递增. 当a0,得0<x< 令0得品 故在区(0内单调递增，在区间(、+内单调递 综上，当a≥0时，x)在区间(0，+o)内单调递增； 当0时在区同因内单通在区问（后+内单递 3
3 答案:1 解析:因为 f'(x)=4x 3+9,当 x∈(-1,3)时,f'(x)>0,所以 f(x)在区间(-1,3)内单调递增.又 f(-1)=-30, 所以 f(x)在区间(-1,3)内与 x 轴只有一个交点. 6.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,f(1)=0,当 x>0 时, 𝑥𝑓'(𝑥)-𝑓(𝑥) 𝑥 2 >0,则不等式 x 2 f(x)>0 的解集 是 . 答案:(-1,0)∪(1,+∞) 解析:令 g(x)= 𝑓(𝑥) 𝑥 (x≠0), 则 g'(x)= 𝑥𝑓'(𝑥)-𝑓(𝑥) 𝑥 2 . ∵当 x>0 时, 𝑥𝑓'(𝑥)-𝑓(𝑥) 𝑥 2 >0, ∴g'(x)>0,∴g(x)在区间(0,+∞)内单调递增. 又 f(1)=0,∴g(1)=0, ∴当 x>1 时,g(x)>0,此时 f(x)>0. ∵f(x)为奇函数, ∴当-10.由 x 2 f(x)>0 得,f(x)>0,故 x 2 f(x)>0 的解集为(-1,0)∪(1,+∞). 7.已知函数 f(x)=ax2+ln x+2. (1)若 a∈R,讨论函数 f(x)的单调性; (2)函数 g(x)=f(x)-ax2 的图象与直线 l 交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,其中 x10), 当 a≥0 时,f'(x)>0 在区间(0,+∞)内恒成立,故 f(x)在区间(0,+∞)内单调递增. 当 a0,得 0√- 1 2𝑎 . 故 f(x)在区间(0,√- 1 2𝑎 )内单调递增,在区间(√- 1 2𝑎 , + ∞)内单调递减. 综上,当 a≥0 时,f(x)在区间(0,+∞)内单调递增; 当 a<0 时,f(x)在区间(0,√- 1 2𝑎 )内单调递增,在区间(√- 1 2𝑎 , + ∞)内单调递减
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org (2)证明：k=92小gx型=x2-lnx x2-x1 X2-X1 要证1知lnt>0,故只需证ln1r-l0, 所以p(t)在区间(1，+o)内单调递增， 所以p()>o(1)=0,即-1>ln1 设h)=n-(-1),则h'(0=ln>0, 所以h()在区间(1，+o)内单调递增， 所以h()>h1)=0,即nPt-l. 故x红 8.已知x)=xe号2-x+l,0. (1)当a=1时，求x)的单调区间： (2)若3o≥1，使xo)0,得x0;由fx)0时，因为x≥1，所以fx)>0,所以x)在区间[1，+o)内单调递增，所以)mn1)=e号 所以e受0),则g(a)=e-1>0, 所以g(a)>g0)=e-0=1>0,即e>a恒成立，不合题意，舍去 当-10,得x>是 故xa(月品-云+日+1-品+云+1号 4
4 (2)证明:k=𝑔(𝑥2)-𝑔(𝑥1) 𝑥2-𝑥1 = ln 𝑥2-ln 𝑥1 𝑥2-𝑥1 , 要证 x11,只需证 11 知 ln t>0,故只需证 ln t0, 所以 φ(t)在区间(1,+∞)内单调递增, 所以 φ(t)>φ(1)=0,即 t-1>ln t. 设 h(t)=tln t-(t-1),则 h'(t)=ln t>0, 所以 h(t)在区间(1,+∞)内单调递增, 所以 h(t)>h(1)=0,即 tln t>t-1. 故 x10,得 x0;由 f'(x)0 时,因为 x≥1,所以 f'(x)>0,所以 f(x)在区间[1,+∞)内单调递增,所以 f(x)min=f(1)=e a - 𝑎 2 . 所以 e a - 𝑎 2 0),则 g'(a)=e a -1>0, 所以 g(a)>g(0)=e 0 -0=1>0,即 e a>a 恒成立,不合题意,舍去. 当-10,得 f'(x)>- 1 𝑎 , 故 f(x)min=f(- 1 𝑎 )=- 1 𝑎e − 1 2𝑎 + 1 𝑎 +1=- 1 𝑎e + 1 2𝑎 +1< 𝑎 2
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 解得1-2.20,不合题意，舍去. 熔上a的取值范周为-2.0） 拓展提高 1.己知定义在R上的可导函数x)的导函数为fx),满足fx)0.故选B. 2.已知函数几x)子-bx2+b,c为常数)，当x=2时，函数x)取得极值，若函数)只有三个零点，则实数 c的取值范围为( ) A(作，+0） B(0) C.(-0,0) D.(0,2) 5
5 解得 1-√2- 2 e 0,不合题意,舍去. 综上,a 的取值范围为(1-√2- 2 e ,0). 拓展提高 1.已知定义在 R 上的可导函数 f(x)的导函数为 f'(x),满足 f'(x)0.故选 B. 2.已知函数 f(x)= 1 3 x 3 -bx2+c(b,c 为常数),当 x=2 时,函数 f(x)取得极值,若函数 f(x)只有三个零点,则实数 c 的取值范围为( ) A.( 4 3 , + ∞) B.(0, 4 3 ) C.(-∞,0) D.(0,2)
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 答案B 解析x)学字-bx2+c ∴fx)=x2-2bx 当x=2时，x)取得极值， f2)=22-2b2=0,解得b=1. 令fx)-0,解得x1=0,x2=2 故当x∈(0,2)时x)单调递减，当x∈(o,0)或x∈(2，+o)时x)单调递增.故当x=0时x)取得极大值， 当x=2时x)取得极小值 由题意知fx)=0有3个实根， (f0)=c>0, 则f2=x23.2+c5 B若1)-2>1，则x>+号 C3)-21)++号 答案：CD 解析：设gf x+1 则g)-+1xfx-x2+2 (x+1)2 因为(x+1fx)jx)g2)>g(3), 所以22)-31)<5,3)-21)<7. 所以A错误，C正确 当0<x<1,1)=2时，因为g(x)在区间(0，+o)内单调递减， 6
6 答案:B 解析:∵f(x)= 1 3 x 3 -bx2+c, ∴f'(x)=x2 -2bx. ∵当 x=2 时,f(x)取得极值, ∴f'(2)=2 2 -2b·2=0,解得 b=1. 令 f'(x)=0,解得 x1=0,x2=2. 故当 x∈(0,2)时,f(x)单调递减,当 x∈(-∞,0)或 x∈(2,+∞)时,f(x)单调递增.故当 x=0 时,f(x)取得极大值, 当 x=2 时,f(x)取得极小值. 由题意知 f(x)=0 有 3 个实根, 则{ 𝑓(0) = 𝑐 > 0, 𝑓(2) = 1 3 × 2 3 -2 2 + 𝑐 5 B.若 f(1)=2,x>1,则 f(x)>x2+ 1 2 x+1 2 C.f(3)-2f(1)x2+ 1 2 x+1 2 答案:CD 解析:设 g(x)= 𝑓(𝑥)-𝑥 2 𝑥+1 , 则 g'(x)= (𝑥+1)𝑓'(𝑥)-𝑓(𝑥)-(𝑥 2+2𝑥) (𝑥+1) 2 . 因为(x+1)f'(x)-f(x)g(2)>g(3), 所以 2f(2)-3f(1)<5,f(3)-2f(1)<7. 所以 A 错误,C 正确. 当 0<x<1,f(1)=2 时,因为 g(x)在区间(0,+∞)内单调递减
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 所以当0g1)2 即>即>x字号 x+1 所以D正确，B错误故选CD 4.己知定义域为R的函数x+2)是偶函数，当x>2时f(x)>0恒成立（其中f(x)是函数x)的导函数），且 4)=0,则不等式(x+2)x+3)2时x)>0,∴x)在区间(2，+o)内单调递增，在区间(-0,2)内单调递减 又4)=0，∴f0)=0,∴.当04时fx)>0. 2e法子0法子00即千0威+3≥4632;④a=0,b=2;⑤a=1,b=2 答案：①③④⑤ 解析：令x)=x3+ar+b,则fx)=3x2+a 若a≥0，则f(x)≥0，所以几x)单调递增，此时x)=x3+r+b仅有一个零点，即方程x3+ar+b=0仅有一个 实根，故④⑤正确.若a=-3,则fx)=3x2-3=3(x+1)x-1),易知x)在区间(-0，-1)和(1，+o)内单调递增，在区 间(-1,1)内单调递减，所以x)版性=-1)=1+3+b=b+2x)振小=1)=1-3+b=b-2.要使方程仅有一个实 根，则x)大槛=b+20,解得b2,故①③正确.故使得三次方程仅有一个实根 的是①③④⑤ 6.已知函数x)=alnx-x2+(2a-1)x(a∈R)有两个零点 (1)求a的取值范围； (2)设x1,x2是x)的两个零点，证明x1+x2>2a. (1)解x)的定义域为(0，+o): /x)-是2x+(2a-1)=.2x+1x-@ 若a≤0，则fx)0,则由fx)=0,解得x=a. 7
7 所以当 0g(1)= 1 2 , 即 𝑓(𝑥)-𝑥 2 𝑥+1 > 1 2 ,即 f(x)>x2+ 1 2 x+1 2 . 所以 D 正确,B 错误.故选 CD. 4.已知定义域为 R 的函数 f(x+2)是偶函数,当 x>2 时 f'(x)>0 恒成立(其中 f'(x)是函数 f(x)的导函数),且 f(4)=0,则不等式(x+2)·f(x+3)2 时,f'(x)>0,∴f(x)在区间(2,+∞)内单调递增,在区间(-∞,2)内单调递减. 又 f(4)=0,∴f(0)=0,∴当 04 时,f(x)>0. 由(x+2)f(x+3) 0 或{ 𝑥 + 2 > 0, 𝑓(𝑥 + 3) 4 或 { 𝑥 > -2, 0 2;④a=0,b=2;⑤a=1,b=2. 答案:①③④⑤ 解析:令 f(x)=x3+ax+b,则 f'(x)=3x 2+a. 若 a≥0,则 f'(x)≥0,所以 f(x)单调递增,此时 f(x)=x3+ax+b 仅有一个零点,即方程 x 3+ax+b=0 仅有一个 实根,故④⑤正确.若 a=-3,则 f'(x)=3x 2 -3=3(x+1)(x-1),易知 f(x)在区间(-∞,-1)和(1,+∞)内单调递增,在区 间(-1,1)内单调递减,所以 f(x)极大值=f(-1)=-1+3+b=b+2,f(x)极小值=f(1)=1-3+b=b-2.要使方程仅有一个实 根,则 f(x)极大值=b+20,解得 b2,故①③正确.故使得三次方程仅有一个实根 的是①③④⑤. 6.已知函数 f(x)=aln x-x 2+(2a-1)x(a∈R)有两个零点. (1)求 a 的取值范围; (2)设 x1,x2 是 f(x)的两个零点,证明:x1+x2>2a. (1)解:f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)= 𝑎 𝑥 -2x+(2a-1)=- (2𝑥+1)(𝑥-𝑎) 𝑥 . 若 a≤0,则 f'(x)0,则由 f'(x)=0,解得 x=a
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 当00, 当x>a时fx)0. 因为a>0,所以只需lna+a-1>0 令ha）=lna+a-l(a>0), 则ha)-合1≥0， 故h(a)在区间(0，+o)内单调递增。 又h(1)=0,故a>1. 故a的取值范围为(1，+0)， (2)证明：令gx)=jx)j2a-x)x∈(0，a), 8(x)=alnx-x2+(2a-1)x-aln(2a-x)-(2a-1)(2a-x)+(2a-x)2, 8x)2-a2 x(2a-x) 故当00,g(x)在区间(0，a)内单调递增. 而g(a)=0,故gx)a, 所以fx1)=x2)2a-x1, 即x1+x2>2a. 挑战创新 已知函数)字.g)号xm是实数 (1)若x)在x=1处取得极小值，求m的值： (2)若x)在区间(2，+0)内单调递增，求m的取值范围； (3)在(2)的条件下，函数h(x)=x)-gx)有三个零点，求m的取值范围 解：(1fx)=x2-(m+1)x,由x)在x=1处取得极小值，可知1)=1-(m+1)=0, 解得m=0,经检验，m=0符合题意， 8
8 当 00, 当 x>a 时,f'(x)0. 因为 a>0,所以只需 ln a+a-1>0. 令 h(a)=ln a+a-1(a>0), 则 h'(a)= 1 𝑎 +1>0, 故 h(a)在区间(0,+∞)内单调递增. 又 h(1)=0,故 a>1. 故 a 的取值范围为(1,+∞). (2)证明:令 g(x)=f(x)-f(2a-x),x∈(0,a), 则 g(x)=aln x-x 2+(2a-1)x-aln(2a-x)-(2a-1)(2a-x)+(2a-x) 2 , g'(x)= 2(𝑥-𝑎) 2 𝑥(2𝑎-𝑥) , 故当 00,g(x)在区间(0,a)内单调递增. 而 g(a)=0,故 g(x)a, 所以 f(x1)=f(x2)2a-x1, 即 x1+x2>2a. 挑战创新 已知函数 f(x)= 1 3 x 3 - 𝑚+1 2 x 2 ,g(x)= 1 3 -mx,m 是实数. (1)若 f(x)在 x=1 处取得极小值,求 m 的值; (2)若 f(x)在区间(2,+∞)内单调递增,求 m 的取值范围; (3)在(2)的条件下,函数 h(x)=f(x)-g(x)有三个零点,求 m 的取值范围. 解:(1)f'(x)=x2 -(m+1)x,由 f(x)在 x=1 处取得极小值,可知 f'(1)=1-(m+1)=0, 解得 m=0,经检验,m=0 符合题意
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 故m的值为0. (2fx)=x2-(m+1)x. ,x)在区间(2，+0)内单调递增 ∴fx)=x(xm-1)≥0在区间(2，+o)内恒成立， ∴x-m-1≥0，即m≤x-1在区间(2，+o)内恒成立 由x>2,得x1>1,故m≤1 故m的取值范围为(-0,1]. (3):e)g)学.生2+m号 ∴.h(x)=(x-1)(x-m),令h(x)=0,解得x=m或x=1. 当m=1时，h(x)=(x-1)P≥0，hx)在R上单调递增，不合题意，舍去.当m0,解得xl,令h'(x)0, 6 解得m<1-V3 <0， 故m的取值范围为(-0,1-√③)， 9
9 故 m 的值为 0. (2)f'(x)=x2 -(m+1)x. ∵f(x)在区间(2,+∞)内单调递增, ∴f'(x)=x(x-m-1)≥0 在区间(2,+∞)内恒成立, ∴x-m-1≥0,即 m≤x-1 在区间(2,+∞)内恒成立. 由 x>2,得 x-1>1,故 m≤1. 故 m 的取值范围为(-∞,1]. (3)∵h(x)=f(x)-g(x)= 1 3 x 3 - 𝑚+1 2 x 2+mx- 1 3 , ∴h'(x)=(x-1)(x-m),令 h'(x)=0,解得 x=m 或 x=1. 当 m=1 时,h'(x)=(x-1)2≥0,h(x)在 R 上单调递增,不合题意,舍去.当 m0,解得 x1,令 h'(x) 0, 𝑚-1 2 < 0, 解得 m<1-√3. 故 m 的取值范围为(-∞,1-√3)