志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 6.1.2 导数及其几何意义 课后·训练提升 基础巩固 1.如果曲线y=x)在点(0xo)处的切线方程为x+2:3=0,那么() A.f(xo)>0 B.f(xo)<0 Cf(xo)=0 D(xo)不存在 答案B 解析：由题意可知心0)一0.故选B 2.已知质点的运动位移s与时间1的关系为s=5-3,则该质点在=1时的瞬时速度是() A-3 B.3 c.6 D.-6 答案D 3.设函数x)在点和附近有定义，且有fx0+△x)-xo)=aAx+b(△x)2(a,b为常数)，则() A.f(x)=a B.f(x)=b Cf(xo)=a D.f(xo)=b 答案：C 解析A兰=fo+4rf0-a+b△x, △x o广，张=（a+bA)-a故选C 4已知曲线yx)之2+2x在某点处的切线斜率为4，则该点的横坐标为) A-2 B.-1 c.1 D.2 答案D 解析：设该点的坐标为(0o),则由已知得 四o x0+4x2+20+4x26-20 股(4rx+x0+2）=m+2=4,故0=2 5.下列点中，在曲线y=x)=x2上，且在该点处的切线的倾斜角为的是() 1
1 6.1.2 导数及其几何意义 课后· 基础巩固 1.如果曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为 x+2y-3=0,那么( ) A.f'(x0)>0 B.f'(x0)<0 C.f'(x0)=0 D.f'(x0)不存在 答案:B 解析:由题意可知,f'(x0)=- 1 2 <0.故选 B. 2.已知质点的运动位移 s 与时间 t 的关系为 s=5-3t 2 ,则该质点在 t=1 时的瞬时速度是( ) A.-3 B.3 C.6 D.-6 答案:D 3.设函数 f(x)在点 x0 附近有定义,且有 f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx) 2 (a,b 为常数),则( ) A.f'(x)=a B.f'(x)=b C.f'(x0)=a D.f'(x0)=b 答案:C 解析: Δ𝑓 Δ𝑥 = 𝑓(𝑥0+Δ𝑥)-𝑓(𝑥0) Δ𝑥 =a+bΔx, f'(x0)= lim Δ𝑥→0 𝛥f 𝛥x = 𝑙𝑖𝑚 𝛥x→0 (a+bΔx)=a.故选 C. 4.已知曲线 y=f(x)= 1 2 x 2+2x 在某点处的切线斜率为 4,则该点的横坐标为( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 答案:D 解析:设该点的坐标为(x0,y0),则由已知得 lim Δ𝑥→0 1 2 (x0+𝛥x) 2+2(x0+𝛥x)- 1 2 x0 2 -2x0 𝛥x = 𝑙𝑖𝑚 𝛥x→0 ( 1 2 Δ𝑥 + 𝑥0 + 2)=x0+2=4,故 x0=2. 5.下列点中,在曲线 y=f(x)=x2 上,且在该点处的切线的倾斜角为π 4的是( )
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org A.(0,0) B.(2,4) C D(侣) 答案D 解析：设切点的坐标为(0，x), 则fo)=。 f(xo+4x)-f(xo) 2c址=(2o+A)-2o-l △x 故知之故切点为（侣》 故选D 6.若曲线y=ar2在点(1，a)处的切线与直线2x-y-6=0平行，则a等于() A.1 B吃 c D.-1 答案：A 解析：令y=fx),由导数的几何意义知曲线y=ax2在点(1，a)处的切线的斜率为f1).因为切线与直线2x y6=0平行，所以f1)=2. 因为函数几x)=ar2 1+4x-f1 所以f1)=四。x mata A)a △x 又f1)=2,所以a=1. 故选A 7.如图，函数y=x)的图象在点P处的切线为y=-2x+5,则2)十f(2)=」 答案-1 解析：由题意可知f(2)=-22)=-4+5-1, 故2)+f2)=-1. 2
2 A.(0,0) B.(2,4) C.( 1 2 , 1 16) D.( 1 2 , 1 4 ) 答案:D 解析:设切点的坐标为(x0,𝑥0 2 ), 则 f'(x0)= lim Δ𝑥→0 f(x0+𝛥x)-f( x0) 𝛥x = 𝑙𝑖𝑚 𝛥x→0 2𝑥0Δ𝑥+(Δ𝑥) 2 Δ𝑥 = lim Δ𝑥→0 (2x0+Δx)=2x0=1, 故 x0= 1 2 ,故切点为( 1 2 , 1 4 ). 故选 D. 6.若曲线 y=ax2 在点(1,a)处的切线与直线 2x-y-6=0 平行,则 a 等于( ) A.1 B. 1 2 C.- 1 2 D.-1 答案:A 解析:令 y=f(x),由导数的几何意义知曲线 y=ax2 在点(1,a)处的切线的斜率为 f'(1).因为切线与直线 2xy-6=0 平行,所以 f'(1)=2. 因为函数 f(x)=ax2 , 所以 f'(1)= lim Δ𝑥→0 f(1+𝛥x)-f(1) 𝛥x = 𝑙𝑖𝑚 𝛥x→0 𝑎(1+Δ𝑥) 2 -𝑎 Δ𝑥 = lim Δ𝑥→0 (2a+a·Δx)=2a. 又 f'(1)=2,所以 a=1. 故选 A. 7.如图,函数 y=f(x)的图象在点 P 处的切线为 y=-2x+5,则 f(2)+f'(2)= . 答案:-1 解析:由题意可知 f'(2)=-2,f(2)=-4+5=1, 故 f(2)+f'(2)=-1
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 8.已知P是抛物线y=上一点，若抛物线在点P处的切线与直线y=之+1垂直，则切线方程 为 答案y=2x-1 解析：设P(0,x),则切线的斜率k=2x0=2,故0=l. 故切线方程为y1=2(x1),即y=2x-1, 9.己知曲线y=x2+x-3的某条切线与直线y=3x+4平行，求切点坐标与切线方程. 解：，切线与直线y=3x+4平行， ∴.切线的斜率为3.设切点坐标为(0n), 则切线的斜率 k四6 0+42+(0+4x-3-x号-x0+3 Ax 四 4+20Ax+=,(ax+20+1)-2o+1-3, △x 0=1.∴0=-1. .切点坐标为(1，-1) 切线方程为y+1=3(x-1),即3x-4=0. 10.已知曲线y上一点P(2),求： (1)曲线在点P处的切线斜率； (2)曲线在点P处的切线方程 解(1)由已知得曲线在点P处的切线斜率为 lim 32+a33x23 Ax-0 △x 四03Ar2+2Ar+4J=4 (2)曲线在点P处的切线方程为号42)， 即12x-3y-16=0. 拓展提高 1.若直线y=+1与曲线y=x3+ax+b相切于点P(1,3),则b等于() A.3 B.-3 C.5 D.-5 答案：A 解析：，点P(1,3)既在直线上，又在曲线上， 3
3 8.已知 P 是抛物线 y=x2 上一点,若抛物线在点 P 处的切线与直线 y=- 1 2 x+1 垂直,则切线方程 为 . 答案:y=2x-1 解析:设 P(x0,𝑥0 2 ),则切线的斜率 k=2x0=2,故 x0=1. 故切线方程为 y-1=2(x-1),即 y=2x-1. 9.已知曲线 y=x2+x-3 的某条切线与直线 y=3x+4 平行,求切点坐标与切线方程. 解:∵切线与直线 y=3x+4 平行, ∴切线的斜率为 3.设切点坐标为(x0,y0), 则切线的斜率 k= lim Δ𝑥→0 (x0+𝛥x) 2+(x0+𝛥x)-3-x0 2 -x0+3 𝛥x = 𝑙𝑖𝑚 𝛥x→0 (Δ𝑥) 2+2𝑥0Δ𝑥+Δ𝑥 Δ𝑥 = lim Δ𝑥→0 (Δx+2x0+1)=2x0+1=3, ∴x0=1.∴y0=-1. ∴切点坐标为(1,-1), 切线方程为 y+1=3(x-1),即 3x-y-4=0. 10.已知曲线 y= 1 3 x 3 上一点 P(2, 8 3 ),求: (1)曲线在点 P 处的切线斜率; (2)曲线在点 P 处的切线方程. 解:(1)由已知得曲线在点 P 处的切线斜率为 lim Δ𝑥→0 𝛥y 𝛥x = 𝑙𝑖𝑚 𝛥x→0 1 3 (2+Δ𝑥) 3 - 1 3 ×2 3 Δ𝑥 = lim Δ𝑥→0 1 3 (Δx) 2+2Δx+4 =4. (2)曲线在点 P 处的切线方程为 y- 8 3 =4(x-2), 即 12x-3y-16=0. 拓展提高 1.若直线 y=kx+1 与曲线 y=x3+ax+b 相切于点 P(1,3),则 b 等于( ) A.3 B.-3 C.5 D.-5 答案:A 解析:∵点 P(1,3)既在直线上,又在曲线上
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org ∴.3=k+1,且3=1+a+b, 即k=2.a+b=2. 由已知得曲线在点P处的切线斜率为a+3, ∴.a+3=2, .a=-1,b=3. 2.若曲线y=x2+ar+b在点(0，b)处的切线方程为x-y+1=0,则() Aa=1,b=1 B.a=-1,b-1 C.a=1,b=-1 D.a=-1,b=-1 答案：A 3.己知曲线y=x3在点(2,8)处的切线方程为12x--b=0,则实数a的值为() A-1 B.1 C.-2 D.2 答案B 2+4x)3.23 解析：由题意知mx一=驷ax一=四（△'+6A+12]=12, △x 则-12，a=1. 故选B 4.过点P(-1,2),且与曲线y=3x2.4x+2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是_ 答案：2x-y+4=0 解析：由题意知，△y=3(1+△x)2-41+△x)+2-3+4-2=3(△x)2+2△x, 则m,2 故所求直线的斜率k=2. 故所求直线方程为y~2=2(x+1),即2x-y+4=0. 5.若曲线yx)=r在点(a,a(a0)处的切线与x轴、直线x=a所围成的三角形的面积为后则 a= 答案：±1 解折：因为@-，兰- 所以曲线在点(a,a)处的切线方程为a3=3a2(x-a),切线与x轴的交点坐标为（任a,0】 所以三角形的面积为a-子1解得a=士1 4
4 ∴3=k+1,且 3=1+a+b, 即 k=2,a+b=2. 由已知得曲线在点 P 处的切线斜率为 a+3, ∴a+3=2, ∴a=-1,b=3. 2.若曲线 y=x2+ax+b 在点(0,b)处的切线方程为 x-y+1=0,则( ) A.a=1,b=1 B.a=-1,b=1 C.a=1,b=-1 D.a=-1,b=-1 答案:A 3.已知曲线 y=x3 在点(2,8)处的切线方程为 12x-ay-b=0,则实数 a 的值为( ) A.-1 B.1 C.-2 D.2 答案:B 解析:由题意知 lim Δ𝑥→0 (2+𝛥x) 3 -2 3 𝛥x = 𝑙𝑖𝑚 𝛥x→0 (Δ𝑥) 3+6(Δ𝑥) 2+12Δ𝑥 Δ𝑥 = lim Δ𝑥→0 [(Δx) 2+6Δx+12]=12, 则 12 𝑎 =12,a=1. 故选 B. 4.过点 P(-1,2),且与曲线 y=3x 2 -4x+2 在点 M(1,1)处的切线平行的直线方程是 . 答案:2x-y+4=0 解析:由题意知,Δy=3(1+Δx) 2 -4(1+Δx)+2-3+4-2=3(Δx) 2+2Δx, 则 lim Δ𝑥→0 𝛥y 𝛥x =2. 故所求直线的斜率 k=2. 故所求直线方程为 y-2=2(x+1),即 2x-y+4=0. 5.若曲线 y=f(x)=x3 在点(a,a 3 )(a≠0)处的切线与 x 轴、直线 x=a 所围成的三角形的面积为1 6 ,则 a= . 答案:±1 解析:因为 f'(a)= lim Δ𝑥→0 (a+𝛥x) 3 -a 3 𝛥x =3a 2 , 所以曲线在点(a,a 3 )处的切线方程为 y-a 3=3a 2 (x-a),切线与 x 轴的交点坐标为( 2 3 a,0). 所以三角形的面积为1 2 |a- 2 3 a|·|a3 |=1 6 ,解得 a=±1
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org 6.己知直线1y=x+a(a0)和曲线Cy=x3-x2+1相切.求切点的坐标及a的值. 解：设直线I与曲线C相切于点P(x0,0) 令y=fx)=x3-x2+1, 则fxo)=四。 0+40=。 x 0+△x2-(x0+ax+1-绿6+D-3x6-20. △x 由题意知3x6-20-1,解得物=或0=l 故切点的坐标为(》我，) 当切点为（片》时号-a,a器 当切点为(1,1)时，1=1+a,a=0(舍去)， 故切点的坐标为()的值为器 挑战创新 柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的，铺路工人铺路时需要对沥青加热使之由固体变 80x2+20,0≤x≤1， 成黏稠液体状如果开始加热后第xh沥青的温度（单位：℃）为y=x)= 器x2-2x-241<x≤8求 开始加热后第15min和第4h沥青温度的瞬时变化率，并说明它们的意义. 解：，15min=0.25h,且当0≤x≤1时 fx)=80x2+20, .当x=0.25时 =80(0.25+4x+20-(80×0.252+20_ △x 4r 8010.5Ax+(ax☑=-40+80Ax △x ∴.f0.25)=1im(40+80△x)=40. △x→0 又当1<x≤8时)-碧2-2244。 当X4时袋 04+a2-2442428-242器ac26+A 4-器6+4-器6罗
5 6.已知直线 l:y=x+a(a≠0)和曲线 C:y=x3 -x 2+1 相切.求切点的坐标及 a 的值. 解:设直线 l 与曲线 C 相切于点 P(x0,y0). 令 y=f(x)=x3 -x 2+1, 则 f'(x0)= lim Δ𝑥→0 f(x0+𝛥x)-f( x0) 𝛥x = 𝑙𝑖𝑚 𝛥x→0 (𝑥0+Δ𝑥) 3 -(𝑥0+Δ𝑥) 2+1-(𝑥0 3 -𝑥0 2+1) Δ𝑥 =3𝑥0 2 -2x0. 由题意知 3𝑥0 2 -2x0=1,解得 x0=- 1 3或 x0=1. 故切点的坐标为(- 1 3 , 23 27)或(1,1). 当切点为(- 1 3 , 23 27)时, 23 27=- 1 3 +a,a= 32 27. 当切点为(1,1)时,1=1+a,a=0(舍去). 故切点的坐标为(- 1 3 , 23 27),a 的值为32 27. 挑战创新 柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的,铺路工人铺路时需要对沥青加热使之由固体变 成黏稠液体状.如果开始加热后第 x h 沥青的温度(单位:℃)为 y=f(x)={ 80𝑥 2 + 20,0 ≤ 𝑥 ≤ 1, - 20 49 (𝑥 2 -2𝑥-244),1 < 𝑥 ≤ 8. 求 开始加热后第 15 min 和第 4 h 沥青温度的瞬时变化率,并说明它们的意义. 解:∵15 min=0.25 h,且当 0≤x≤1 时, f(x)=80x 2+20, ∴当 x=0.25 时, Δ𝑓 Δ𝑥 = 80(0.25+Δ𝑥) 2+20-(80×0.25 2+20) Δ𝑥 = 80[0.5Δ𝑥+(Δ𝑥) 2 ] Δ𝑥 =40+80Δx. ∴f'(0.25)= lim Δ𝑥→0 (40+80Δx)=40. 又当 1<x≤8 时,f(x)=- 20 49(x 2 -2x-244), ∴当 x=4 时, 𝛥f 𝛥x = - 20 49[(4+𝛥x) 2 -2(4+𝛥x)-244]+ 20 49(4 2 -2×4-244) 𝛥x = - 20 49[6Δ𝑥+(Δ𝑥) 2 ] Δ𝑥 =- 20 49(6+Δx). ∴f'(4)= lim Δ𝑥→0 [- 20 49 (6 + 𝛥x)]=- 20 49×6=- 120 49
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 故在第15min和第4h沥青温度的瞬时变化率分别为40℃h与.2℃h说明在第15min附近，沥青 49 的温度大约以40℃h的速率上升：在第4h附近，沥青的温度大约以℃h的速率下降 49 6
6 故在第 15 min 和第 4 h 沥青温度的瞬时变化率分别为 40 ℃/h 与- 120 49 ℃/h.说明在第 15 min 附近,沥青 的温度大约以 40 ℃/h 的速率上升;在第 4 h 附近,沥青的温度大约以120 49 ℃/h 的速率下降