志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 5.2 等差数列 5.2.1等差数列 第1课时等差数列的定义 课后·训练提升 基础巩固 1.在△ABC中，三个内角A,B,C成等差数列，则角B等于() A.30 B.60° C.90° D.120° 答案：B 解析：，A,B,C成等差数列， ∴.B-A=C-B,即2B=A+C 又A+B+C=180°，∴.B=60°. 2.已知在等差数列{am}中，a2+a8=2,a5+a1=8,则其公差是() A.6 B.3 C.2 D.1 答案D 解析：在等差数列{anm}中a5+a11=8,a2+ag=2, ∴.a5+a11-a2-a8=6, 即6d=6,d=1.故选D. 3.已知数列{an}为等差数列，且a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6等于()） A.40 B.42 C.43 D.45 答案：B 解析：设公差为d,则a2+a3=a1+d+a1+2d-2a1+3d=4+3d=13,解得d=3, 因此a4+a5+a6=(a1+3d0+(a1+4d)+(a1+5d)=3a1+12d=42. 4.若等差数列{a}的首项为70，公差为-9，则这个数列中绝对值最小的一项为） A.as B.a9 C.a10 D.a11 答案：B 解析：a=0+-1)d=70+0-l1)x(-9)=79-9n,当a=0时，n-9-8号故考虑s=7,a=2,故绝对值最小的 一项为ag. 1
1 5.2 等差数列 5.2.1 等差数列 第 1 课时 等差数列的定义 课后· 基础巩固 1.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 成等差数列,则角 B 等于( ) A.30° B.60° C.90° D.120° 答案:B 解析:∵A,B,C 成等差数列, ∴B-A=C-B,即 2B=A+C. 又 A+B+C=180°,∴B=60°. 2.已知在等差数列{an}中,a2+a8=2,a5+a11=8,则其公差是( ) A.6 B.3 C.2 D.1 答案:D 解析:∵在等差数列{an}中 a5+a11=8,a2+a8=2, ∴a5+a11-a2-a8=6, 即 6d=6,d=1.故选 D. 3.已知数列{an}为等差数列,且 a1=2,a2+a3=13,则 a4+a5+a6 等于( ) A.40 B.42 C.43 D.45 答案:B 解析:设公差为 d,则 a2+a3=a1+d+a1+2d=2a1+3d=4+3d=13,解得 d=3, 因此 a4+a5+a6=(a1+3d)+(a1+4d)+(a1+5d)=3a1+12d=42. 4.若等差数列{an}的首项为 70,公差为-9,则这个数列中绝对值最小的一项为( ) A.a8 B.a9 C.a10 D.a11 答案:B 解析:∵an=a1+(n-1)d=70+(n-1)×(-9)=79-9n,当 an=0 时,n= 79 9 =8 7 9 ,故考虑 a8=7,a9=-2,故绝对值最小的 一项为 a9
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org 5.设等差数列{am}的公差为d.若数列2aan}为递减数列，则() A.d>0 B.dbm+l, 即2a1an>2a1an+1 .'.a1an>a1an+1, ..a1an-a1(am+d0>0, ∴.a(an-am-d>0, 即a1(-d>0,∴.a1dk0 6.一个等差数列的前4项分别是ax,b,2x,则号 答案 解斩由连多网伦。 中6%=站 ab2号= 7已知在数列a中a=1a导且六+=忌m≥2)则a一 答案 解析1+1=2(n≥2)， an-1 an+1 an 女=点≥2 an+1 an “数列侣是等差数列，公差日一击=月 =0-ld-1m1) an a1 2 ammn=l时也成立) 8.若数列{an}是等差数列，且an=an2+n,则实数a= 答案0 2
2 5.设等差数列{an}的公差为 d.若数列{2 𝑎1𝑎𝑛 }为递减数列,则( ) A.d>0 B.d0 D.a1dbn+1, 即2 𝑎1𝑎𝑛 > 2 𝑎1𝑎𝑛+1 . ∴a1an>a1an+1, ∴a1an-a1(an+d)>0, ∴a1(an-an-d)>0, 即 a1(-d)>0,∴a1d<0. 6.一个等差数列的前 4 项分别是 a,x,b,2x,则 𝑎 𝑏 = . 答案: 1 3 解析:由题意得{ 𝑥-𝑎 = 𝑏-𝑥, 2𝑥-𝑏 = 𝑏-𝑥, 即{ 2𝑥 = 𝑎 + 𝑏, 2𝑏 = 3𝑥, ∴a= 𝑥 2 ,b=3 2 x,∴ 𝑎 𝑏 = 1 3 . 7.已知在数列{an}中,a1=1,a2= 2 3 ,且 1 𝑎𝑛-1 + 1 𝑎𝑛+1 = 2 𝑎𝑛 (n≥2),则 an= . 答案: 2 𝑛+1 解析:∵ 1 𝑎𝑛-1 + 1 𝑎𝑛+1 = 2 𝑎𝑛 (n≥2), ∴ 1 𝑎𝑛+1 − 1 𝑎𝑛 = 1 𝑎𝑛 − 1 𝑎𝑛-1 (n≥2), ∴数列{ 1 𝑎𝑛 }是等差数列,公差 d= 1 𝑎2 − 1 𝑎1 = 1 2 . ∴ 1 𝑎𝑛 = 1 𝑎1 +(n-1)d=1+ 1 2 (n-1)= 𝑛+1 2 . ∴an= 2 𝑛+1 (n=1 时也成立). 8.若数列{an}是等差数列,且 an=an2+n,则实数 a= . 答案:0
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org 解析：，数列{am}是等差数列，设公差为d, ∴.an+1-an=d常数) ∴.[a(n+1)2+(n+1)]-(am2+n)=2an+a+1=d(常数). .∴.2a=0.∴.a=0 9.已知在等差数列{an}中，a2=6,a5=15,若bn=a2m求bn及b15 解：设等差数列{anm}的公差为d, 由商意侣：8十h15 解侣 ∴.am=3+3(n-1)=3n. ,∴.bn=a2m=3×2n=6n. .b15=6×15-=90 拓展提高 1.己知首项为-24的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d的取值范围是() A(,+ B.(-0,3) c(3 D(3 答案：C 解析：由题意得10=24+9d>0, (ag=-24+8d≤0， 得d3. 2(多选题)已知在数列fa.}中，as=2am=1,若}为等差数列则下列说法正确的是() A数列}的公差是号 B数列}的首项是号 C.数列{am}的通项公式是ann+5 24 D.数列{am}的通项公式是am-n+5 19-n 答案：AD 3
3 解析:∵数列{an}是等差数列,设公差为 d, ∴an+1-an=d(常数). ∴[a(n+1)2+(n+1)]-(an2+n)=2an+a+1=d(常数). ∴2a=0,∴a=0. 9.已知在等差数列{an}中,a2=6,a5=15,若 bn=a2n,求 bn 及 b15. 解:设等差数列{an}的公差为 d, 由题意得{ 𝑎2 = 𝑎1 + 𝑑 = 6, 𝑎5 = 𝑎1 + 4𝑑 = 15, 解得{ 𝑎1 = 3, 𝑑 = 3. ∴an=3+3(n-1)=3n. ∴bn=a2n=3×2n=6n. ∴b15=6×15=90. 拓展提高 1.已知首项为-24 的等差数列,从第 10 项开始为正数,则公差 d 的取值范围是( ) A.( 8 3 , + ∞) B.(-∞,3) C.( 8 3 ,3] D.(- 8 3 ,3] 答案:C 解析:由题意得{ 𝑎10 = -24 + 9𝑑 > 0, 𝑎9 = -24 + 8𝑑 ≤ 0, 得 8 3 <d≤3. 2.(多选题)已知在数列{an}中,a3=2,a7=1,若{ 1 𝑎𝑛+1 }为等差数列,则下列说法正确的是( ) A.数列{ 1 𝑎𝑛+1 }的公差是 1 24 B.数列{ 1 𝑎𝑛+1 }的首项是1 3 C.数列{an}的通项公式是 an= 𝑛+5 24 D.数列{an}的通项公式是 an= 19-𝑛 𝑛+5 答案:AD
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 解折由已知得品一号六-它们分别无等器数列的第3项和第7项所以共公益 7.3 =(m1)分=尝所以数列a的通项公式是， 云首项为}即 n+5 3.等差数列{an}的前3项依次为a-1,a+1,2a+3,则实数a= ,数列{an}的通项公式 为 答案：0an=2n-3 解析：等差数列{am}的前3项依次为a-1,a+1,2a+3, (a+1)-(a-1)=2a+3-(a+1),解得a=0, ∴.a=-1,a2=1,a3=3, ∴.数列{an}的通项公式为am=-1+(n-1)×2=2n-3. 4.己知数列{an}满足a1=1,a=2,2a=a品+1+a品1(n∈N+,n≥2)，则a= 答案：√19 解析：因为2a晚=a品+1+a品1(n∈N+,n≥2)， 所以数列{a}是以a好=1为首项， 以d=a吃-a好=4-1=3为公差的等差数列， 所以a2-1+3(n-1)=3n-2, 所以an=V3m-2,n≥1. 所以a=√3×7-Z=V19. 5.某人练习写毛笔字，第一天写了4个大字，以后每天比前一天都多写，且多写的字数相同，第三天写了 12个大字，则此人每天比前一天多写个大字 答案4 解析：由题意可知此人每天所写大字数构成首项为4，第三项为12的等差数列，即a1=4,3=12, 得d兴4 6.己知数列{an}满足：a1=2,a3+a5=-4 (I)若数列{an}是等差数列，求数列{am}的通项公式： (2)若a4=-l,且2an+1=an+am+2+n∈N+,k∈R), ①证明：数列{am+1-an}是等差数列； ②求数列{an}的通项公式. (1)解：，数列{an}是等差数列，设数列的公差为d, 剥8a6d=4解得4小号 4
4 解析:由已知得 1 𝑎3+1 = 1 3 , 1 𝑎7+1 = 1 2 ,它们分别是等差数列{ 1 𝑎𝑛+1 }的第 3 项和第 7 项,所以其公差 d= 1 2 - 1 3 7-3 = 1 24,首项为1 4 .即 1 𝑎𝑛+1 = 1 4 +(n-1)× 1 24 = 𝑛+5 24 ,所以数列{an}的通项公式是 an= 19-𝑛 𝑛+5 . 3.等差数列{an}的前 3 项依次为 a-1,a+1,2a+3,则实数 a= ,数列{an}的通项公式 为 . 答案:0 an=2n-3 解析:等差数列{an}的前 3 项依次为 a-1,a+1,2a+3, (a+1)-(a-1)=2a+3-(a+1),解得 a=0, ∴a1=-1,a2=1,a3=3, ∴数列{an}的通项公式为 an=-1+(n-1)×2=2n-3. 4.已知数列{an}满足:a1=1,a2=2,2𝑎𝑛 2 = 𝑎𝑛+1 2 + 𝑎𝑛-1 2 (n∈N+,n≥2),则 a7= . 答案:√19 解析:因为 2𝑎𝑛 2 = 𝑎𝑛+1 2 + 𝑎𝑛-1 2 (n∈N+,n≥2), 所以数列{𝑎𝑛 2}是以𝑎1 2=1 为首项, 以 d=𝑎2 2 − 𝑎1 2=4-1=3 为公差的等差数列, 所以𝑎𝑛 2=1+3(n-1)=3n-2, 所以 an=√3𝑛-2,n≥1. 所以 a7=√3 × 7-2 = √19. 5.某人练习写毛笔字,第一天写了 4 个大字,以后每天比前一天都多写,且多写的字数相同,第三天写了 12 个大字,则此人每天比前一天多写 个大字. 答案:4 解析:由题意可知此人每天所写大字数构成首项为 4,第三项为 12 的等差数列,即 a1=4,a3=12, 得 d=12-4 3-1 =4. 6.已知数列{an}满足:a1=2,a3+a5=-4. (1)若数列{an}是等差数列,求数列{an}的通项公式; (2)若 a4=-1,且 2an+1=an+an+2+k(n∈N+,k∈R), ①证明:数列{an+1-an}是等差数列; ②求数列{an}的通项公式. (1)解:∵数列{an}是等差数列,设数列的公差为 d, 则{ 𝑎1 = 2, 2𝑎1 + 6𝑑 = -4, 解得 d=- 4 3
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org ∴am=a+0r-1)xd-=2+(m-1)×()-学+号 (2)①证明：由题意，2a4=a+a5+k, 即-2=.4+k,∴.k=2 又a4=2a3-02-2-3a2-2a1-6,∴.a2=3. 由2an+1=an+an+2+2, 得(an+2-an+1)）-(am+1-an)=-2, .数列{an+1-an}是以a2-a1=1为首项，2为公差的等差数列. ②解：由①知，aa+1-am=-2n+3, 当n≥2时，有am-an-1=-2(n-1)+3, 于是，an-1-am-2=-2(n-2)+3, a3-02=-2×2+3, a2-a1=-2×1+3, 叠加，得am-a1=-2[1+2+…+(n-1)月+3(n-1)(n≥2)， ∴aa=-2×21+3m-1)+2=-㎡+4r-10n≥2). 2 又当n=1时，a1=2也适合，∴.an=-2+4n-1. 挑战创新 数列{an}满足a1=1,an+1=(2+n-)an(n=1,2,…),2是常数 (1)当2=-1时，求1及a3的值 (2)是否存在实数，使数列{an}为等差数列？若存在，求出1及数列{am}的通项公式，若不存在，请说明理 由 解(1)由于an+1=(2+n-)ann=l,2,）, 且a1=1, 所以当a2=1时，-1=2-1故1=3. 从而a3=(22+2-3)×(-1)=-3. (2)不存在实数入，使数列{am}为等差数列.理由如下 由a1=1,am+1=(2+n-)am, 得a2=2-1,a3=(6-1)(2-), a4=(12-1)6-1)(2-). 若存在入，使数列{am}为等差数列
5 ∴an=a1+(n-1)×d=2+(n-1)×(- 4 3 )=- 4 3 n+10 3 . (2)①证明:由题意,2a4=a3+a5+k, 即-2=-4+k,∴k=2. 又 a4=2a3-a2-2=3a2-2a1-6,∴a2=3. 由 2an+1=an+an+2+2, 得(an+2-an+1)-(an+1-an)=-2, ∴数列{an+1-an}是以 a2-a1=1 为首项,-2 为公差的等差数列. ②解:由①知,an+1-an=-2n+3, 当 n≥2 时,有 an-an-1=-2(n-1)+3, 于是,an-1-an-2=-2(n-2)+3, …… a3-a2=-2×2+3, a2-a1=-2×1+3, 叠加,得 an-a1=-2[1+2+…+(n-1)]+3(n-1)(n≥2), ∴an=-2× 𝑛(𝑛-1) 2 +3(n-1)+2=-n 2+4n-1(n≥2). 又当 n=1 时,a1=2 也适合,∴an=-n 2+4n-1. 挑战创新 数列{an}满足 a1=1,an+1=(n 2+n-λ)an(n=1,2,…),λ是常数. (1)当 a2=-1 时,求 λ 及 a3的值; (2)是否存在实数 λ,使数列{an}为等差数列?若存在,求出 λ 及数列{an}的通项公式;若不存在,请说明理 由. 解:(1)由于 an+1=(n 2+n-λ)an(n=1,2,…), 且 a1=1, 所以当 a2=-1 时,-1=2-λ.故 λ=3. 从而 a3=(22+2-3)×(-1)=-3. (2)不存在实数 λ,使数列{an}为等差数列.理由如下: 由 a1=1,an+1=(n 2+n-λ)an, 得 a2=2-λ,a3=(6-λ)(2-λ), a4=(12-λ)(6-λ)(2-λ). 若存在 λ,使数列{an}为等差数列
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 则a3-a2=Qa2-a1, 即(5-)(2-)=1-1，解得1=3. 于是am-a1=1-1=-2, a4-a3=-(11-)(6-)(2-1)=-24. 这与数列{an}为等差数列矛盾」 所以不存在入，使数列{am}是等差数列. 6
6 则 a3-a2=a2-a1, 即(5-λ)(2-λ)=1-λ,解得 λ=3. 于是 a2-a1=1-λ=-2, a4-a3=(11-λ)(6-λ)(2-λ)=-24. 这与数列{an}为等差数列矛盾. 所以不存在 λ,使数列{an}是等差数列