2.6 双曲线及其方程 2.6.1 双曲线的标准方程 1.己知m,n∈R,则mm<0”是“关于xy的方程兰+二-1表示双曲线”的( A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析若方程兰+上-1表示双曲线， 则必有mn<0. 当mm<0时，方程兰+兰-1一定表示双曲线 故m0心是方程号+子1表示双尚钱”的充要条件 答案：C 2号-三1的焦点坐标为(） A.(±3,0) B.(0,±4) C.(±5,0) D.(0,±5) 解析：由题意可知，双曲线的焦点在x轴上， 且c2=9+16=25,故焦点坐标为（仕5,0）. 答案：C 3.己知双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a=8,则△ABF2 的周长是() A.16 B.18 C.21 D.26 解析：由双曲线的定义可知，AF2-AF1l=2a,lBF2-BF=2a,所以AF2+|BF=4a+ABL 所以△ABF2的周长为AF2+BF+AB1=4a+2AB|=26. 答案D 4.己知双曲线的两个焦点分别为F1(-V5,0),F2(5,0),P是此双曲线上的一点，且PF1⊥ PF2,PFLIPE=2,则该双曲线的方程为() A号-号 B号-二=I ·32 C. 42=1 Dr.=1 4 解析：，PF1-PF2l=2a, .PF2+PF22-2PFPF2=4a2. 又PF1⊥PF2, PF2+PF212=FF2R=4C2 .PFLIPF2=2b2-2,∴.b2-1. 又c=V5,∴.a2=c2-b2-4 故双曲线的方程为学=1 答案：C 5(多选题)已知F是双曲线号-会1的左焦点，点414P是双曲线右支上的动点，则 PF+PA值可以是() A.6 B.8 C.10 D.12 解析：设双曲线的右焦点为F,则F(4,0), PF=PF1+2a=PF1+4. 故PF+PA=PF1+PA+424F1+4=5+4=9,当点P在线段AF上时取最小值9.故选CD 答案：CD 6设点P是双曲线号-云1上任意一点，F户分别是其左、右焦点若PF0,则 PF2=
2.6 双曲线及其方程 2.6.1 双曲线的标准方程 1.已知 m,n∈R,则“mn<0”是“关于 x,y 的方程𝑥 2 𝑚 + 𝑦 2 𝑛 =1 表示双曲线”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:若方程𝑥 2 𝑚 + 𝑦 2 𝑛 =1 表示双曲线, 则必有 mn<0. 当 mn<0 时,方程𝑥 2 𝑚 + 𝑦 2 𝑛 =1 一定表示双曲线. 故“mn<0”是“方程𝑥 2 𝑚 + 𝑦 2 𝑛 =1 表示双曲线”的充要条件. 答案:C 2. 𝑥 2 9 − 𝑦 2 16=1 的焦点坐标为( ) A.(±3,0) B.(0,±4) C.(±5,0) D.(0,±5) 解析:由题意可知,双曲线的焦点在 x 轴上, 且 c 2=9+16=25,故焦点坐标为(±5,0). 答案:C 3.已知双曲线的左、右焦点分别为 F1,F2,在左支上过 F1 的弦 AB 的长为 5,若 2a=8,则△ABF2 的周长是( ) A.16 B.18 C.21 D.26 解析:由双曲线的定义可知,|AF2|-|AF1|=2a,|BF2|-|BF1|=2a,所以|AF2|+|BF2|=4a+|AB|. 所以△ABF2 的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=4a+2|AB|=26. 答案:D 4.已知双曲线的两个焦点分别为 F1(-√5,0),F2(√5,0),P 是此双曲线上的一点,且 PF1⊥ PF2,|PF1|·|PF2|=2,则该双曲线的方程为( ) A.𝑥 2 2 − 𝑦 2 3 =1 B.𝑥 2 3 − 𝑦 2 2 =1 C.𝑥 2 4 -y 2=1 D.x 2 - 𝑦 2 4 =1 解析:∵||PF1|-|PF2||=2a, ∴|PF1| 2+|PF2| 2 -2|PF1||PF2|=4a 2 . 又 PF1⊥PF2, ∴|PF1| 2+|PF2| 2=|F1F2| 2=4c 2 . ∴|PF1|·|PF2|=2b 2=2,∴b 2=1. 又 c=√5,∴a 2=c2 -b 2=4. 故双曲线的方程为𝑥 2 4 -y 2=1. 答案:C 5.(多选题)已知 F 是双曲线𝑥 2 4 − 𝑦 2 12=1 的左焦点,点 A(1,4),P 是双曲线右支上的动点,则 |PF|+|PA|值可以是( ) A.6 B.8 C.10 D.12 解析:设双曲线的右焦点为 F',则 F'(4,0), |PF|=|PF'|+2a=|PF'|+4. 故|PF|+|PA|=|PF'|+|PA|+4≥|AF'|+4=5+4=9,当点 P 在线段 AF'上时取最小值 9.故选 CD. 答案:CD 6.设点 P 是双曲线𝑥 2 9 − 𝑦 2 16=1 上任意一点,F1,F2 分别是其左、右焦点.若|PF1|=10,则 |PF2|=
解析：由双曲线的标准方程，得a=3,b=4 于是c=Va2+b2=5. 因为PF>a+C,所以点P可能在双曲线的左支上，也可能在双曲线的右支上 若点P在双曲线的左支上，则1PF2HPF=2a=6,故|PF2=6+PF-16. 若点P在双曲线的右支上，则PFPF=6, 故|PF2=|PF1-6=10-6=4. 综上，PF2=16或PF2=4. 答案：16或4 y2 7若关于少的方程名+？1表示焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围 是 解析因为方程后+益1表示焦点在y轴上的双曲线所以化3>0解得-325时，曲线C为焦点在y轴上的双曲线. (2)由题意，得(25-)(9+)25或k25或k<-9时，曲线C为双曲线， 9已知双曲线号-兰-1的左、右焦点为FP户 (I)若点M在双曲线上，且MF·ME=0,求点M到x轴的距离； (2)若双曲线C与己知双曲线有相同焦点，且过点(3V2,2),求双曲线C的方程 解(I)不妨设点M在双曲线的右支上，点M到x轴的距离为h. .ME.ME=0, ..MF1⊥MF2. 设|MF1=m,lMF2=n,由双曲线的定义知，m-n=2a=8.① .MF1⊥MF2,.m2+m2=(2c2=80.② 由①②得，mn=8. 'AFMF=mn-4-x2ch. :h-2s 5 故点M到x轴的距离为25 2成双曲线C的方程为品一益14<16 2 ,双曲线C过点(3√2,2)， 解得1=4或1=-14（舍去）. 故双由钱C的方程为号-台1
解析:由双曲线的标准方程,得 a=3,b=4. 于是 c=√𝑎 2 + 𝑏 2=5. 因为|PF1|>a+c,所以点 P 可能在双曲线的左支上,也可能在双曲线的右支上. 若点 P 在双曲线的左支上,则|PF2|-|PF1|=2a=6,故|PF2|=6+|PF1|=16. 若点 P 在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=6, 故|PF2|=|PF1|-6=10-6=4. 综上,|PF2|=16 或|PF2|=4. 答案:16 或 4 7.若关于 x,y 的方程 𝑥 2 𝑘-3 + 𝑦 2 𝑘+3 =1 表示焦点在 y 轴上的双曲线,则实数 k 的取值范围 是 . 解析:因为方程𝑥 2 𝑘-3 + 𝑦 2 𝑘+3 =1 表示焦点在 y 轴上的双曲线,所以{ 𝑘 + 3 > 0, 𝑘-3 0, 解得 k>25. 故当 k>25 时,曲线 C 为焦点在 y 轴上的双曲线. (2)由题意,得(25-k)(9+k)25 或 k25 或 k<-9 时,曲线 C 为双曲线. 9.已知双曲线𝑥 2 16 − 𝑦 2 4 =1 的左、右焦点为 F1,F2. (1)若点 M 在双曲线上,且𝑀𝐹1 ⃗⃗⃗⃗ · 𝑀𝐹2 ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,求点 M 到 x 轴的距离; (2)若双曲线 C 与已知双曲线有相同焦点,且过点(3√2,2),求双曲线 C 的方程. 解:(1)不妨设点 M 在双曲线的右支上,点 M 到 x 轴的距离为 h. ∵𝑀𝐹1 ⃗⃗⃗⃗ · 𝑀𝐹2 ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, ∴MF1⊥MF2. 设|MF1|=m,|MF2|=n,由双曲线的定义知,m-n=2a=8.① ∵MF1⊥MF2,∴m2+n2=(2c) 2=80.② 由①②得,mn=8. ∴𝑆△𝐹1𝑀𝐹2 = 1 2 mn=4= 1 2 ×2c·h, ∴h=2√5 5 . 故点 M 到 x 轴的距离为2√5 5 . (2)设双曲线 C 的方程为 𝑥 2 16-𝜆 − 𝑦 2 4+𝜆 =1(-4<λ<16). ∵双曲线 C 过点(3√2,2), ∴ 18 16-𝜆 − 4 4+𝜆 =1, 解得 λ=4 或 λ=-14(舍去). 故双曲线 C 的方程为𝑥 2 12 − 𝑦 2 8 =1