2.6.2 双曲线的几何性质 基础巩固 1双曲线号1的实轴长为 A. B.2 C./2 D.2/2 答案B 2已知双曲线C号-号1，则C的离心率为 A号 B.v3 C2⑤ 3 D.2 解析：a2-9,b2-3, a=3,c=Va2+b-2W3∴e￡=29 3 答案C 3已知双曲线C号-片1的焦距为45.则C的离心率为机」 A号 B.233 11 c 受 解析：依题意可知，b=2,c=2V3,所以d2-2-=8,所以a=2V2,所以e三=5 2 答案：C 4已知双曲线兰-子16~0的焦点到南近线的距离为1，则渐近线方程是( A.y-x B路 Cy=士V2x Dy=±2x 解析根据双由线的对称性，可设双由线号-子]的一个焦点全标为0，一条渐近线方程为 2x-=0.由题意可知，c=1.又c=V4+b,所以b=1.所以双曲线的渐近线方程为y=±2x V4+b2 答案D 5已知双曲线号-1以>0)的一条渐近线为y-2x则 解析由双曲线片-1公>0，可知渐近线方程为)一Vx回为其中一条渐近钱为-2x 所以V=2,解得1=4 答案：4 6.双曲线x2-y2=1的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4截得的线段的长为 解析：双曲线2-y2=1的一条渐近线为x+y=0 圆(x-2)2+y2=4的圆心为(2,0)，半径为2 故圆心到直线x+)0的距离为d=V2 故渐近线被圆藏得的线段的长为2Vr2-d2-2,4-(V2)2=2V2 答案：2v2 7双曲线号y=1的两条渐近线的夹角为 解析：由题意，可得两条渐近线方程为y=± 3 设直线)号的领斜角为a则ma-票故a-30°根据双曲线的对称性，可得两条渐近线的夹 3 角为60° 答案：60° 8设F户分别是双曲线号-发-1的左、右焦点若双曲线上存在点4使∠A4:-90,且 4F=34F2l,求双曲线的离心率 解：因为AF⊥AF2
2.6.2 双曲线的几何性质 基础巩固 1.双曲线 x 2 - 𝑦 2 2 =1 的实轴长为( ) A.1 B.2 C.√2 D.2√2 答案:B 2.已知双曲线 C: 𝑥 2 9 − 𝑦 2 3 =1,则 C 的离心率为( ) A.√3 2 B.√3 C.2√3 3 D.2 解析:∵a 2=9,b 2=3, ∴a=3,c=√𝑎 2 + 𝑏 2=2√3,∴e= 𝑐 𝑎 = 2√3 3 . 答案:C 3.已知双曲线 C: 𝑥 2 𝑎2 − 𝑦 2 4 =1 的焦距为 4√3,则 C 的离心率为( ) A.√3 2 B.2√33 11 C.√6 2 D.2√39 13 解析:依题意可知,b=2,c=2√3,所以 a 2=c2 -b 2=8,所以 a=2√2,所以 e= 𝑐 𝑎 = √6 2 . 答案:C 4.已知双曲线𝑦 2 4 − 𝑥 2 𝑏 2=1(b>0)的焦点到渐近线的距离为 1,则渐近线方程是( ) A.y=± 1 2 x B.y=± √2 2 x C.y=±√2x D.y=±2x 解析:根据双曲线的对称性,可设双曲线𝑦 2 4 − 𝑥 2 𝑏 2=1 的一个焦点坐标为(0,c),一条渐近线方程为 2x-by=0.由题意可知, 𝑏𝑐 √4+𝑏 2 =1.又 c=√4 + 𝑏 2,所以 b=1.所以双曲线的渐近线方程为 y=±2x. 答案:D 5.已知双曲线 x 2 - 𝑦 2 𝜆 =1(λ>0)的一条渐近线为 y=2x,则 λ= . 解析:由双曲线 x 2 - 𝑦 2 𝜆 =1(λ>0),可知渐近线方程为 y=±√𝜆x.因为其中一条渐近线为 y=2x, 所以√𝜆=2,解得 λ=4. 答案:4 6.双曲线 x 2 -y 2=1 的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4 截得的线段的长为 . 解析:双曲线 x 2 -y 2=1 的一条渐近线为 x+y=0. 圆(x-2)2+y2=4 的圆心为(2,0),半径为 2, 故圆心到直线 x+y=0 的距离为 d=|2-0| √2 = √2. 故渐近线被圆截得的线段的长为 2√𝑟 2-𝑑2=2√4-(√2) 2=2√2. 答案:2√2 7.双曲线𝑥 2 3 -y 2=1 的两条渐近线的夹角为 . 解析:由题意,可得两条渐近线方程为 y=± √3 3 x. 设直线 y= √3 3 x 的倾斜角为 α,则 tan α= √3 3 ,故 α=30°.根据双曲线的对称性,可得两条渐近线的夹 角为 60°. 答案:60° 8.设 F1,F2 分别是双曲线𝑥 2 𝑎2 − 𝑦 2 𝑏 2=1 的左、右焦点,若双曲线上存在点 A,使∠F1AF2=90°,且 |AF1|=3|AF2|,求双曲线的离心率. 解:因为 AF1⊥AF2
所以4F1P+4F22=|FF2P=4c2.① 因为AF=3引AF2l,所以，点A在双曲线的右支上则4F1-AF2=2a,所以AF=a,AF-3a,代入 到0式得(3aP+r=4c2后=9所以e=台=罗 2 9.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等腰梯形ABCD,AB∥ DCMDI-BC=4MB=8,D0I6以A,B为焦点的双曲线号-兰=a>0b>0过CD两点 VA (1)求双曲线的方程 (2)求该双曲线的离心率和渐近线方程 解(1)因为在等腰梯形ABCD中，AB∥DC,ADI=BC=4,AB=8,DC=6, 所以A(-4,0),B(4,0),C3,V15),D(-3,V15) 所以1CA=V49+15=8. 因为2a=|CA-lBC1=4,所以a=2. 又因为1B为双商线导-兰-1(a>0b0的焦点所以c4所以ba2y3 所以双曲线的方程为号-兰 421. (2)由(1)知，=2，c=4,故双曲线的离心率e-C=2.又b=2√3，故双曲线的渐近线方程为 a 士③x 拓展提高 1.设双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=√5，则该双曲线的渐近线方程为( ) A.) B.y=+2x Cy=±4x D,y=±x 解析由题意可知，e二=V5C2=+,故名-2.故双曲线的渐近线方程为y-±总=±2x 答案B 2双曲线兰-m0,n0的离心率( ) A.与m有关，且与n有关 B.与m无关，但与n有关 C.与m有关，但与n无关 D.与m无关，且与n无关 解析双南线兰=m0m0)的标准方程为号-点1，故高心率e受=Vm中与n无 -n-mn 关，与m有关 答案：C 修是超)尼知0a,双曲线G品一品-L双前线6号- 2 ，则下列结论不可能成 立的是() A.C与C的实轴长相等 B.C与C2的虚轴长相等 C.C1与C2的焦距相等 D.C1与C2的渐近线相同 解析：00.又b2+k2>0,∴.c2=(2-2)+(b2+2)=2+b2..C与C2的焦距相等.易知 A,B,D均不成立. 答案：ABD
所以|AF1| 2+|AF2| 2=|F1F2| 2=4c 2 .① 因为|AF1|=3|AF2|,所以点 A 在双曲线的右支上.则|AF1|-|AF2|=2a,所以|AF2|=a,|AF1|=3a,代入 到①式得(3a) 2+a2=4c 2 , 𝑐 2 𝑎2 = 10 4 .所以 e= 𝑐 𝑎 = √10 2 . 9.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知等腰梯形 ABCD,AB∥ DC,|AD|=|BC|=4,|AB|=8,|DC|=6.以 A,B 为焦点的双曲线𝑥 2 𝑎2 − 𝑦 2 𝑏 2=1(a>0,b>0)过 C,D 两点. (1)求双曲线的方程; (2)求该双曲线的离心率和渐近线方程. 解:(1)因为在等腰梯形 ABCD 中,AB∥DC,|AD|=|BC|=4,|AB|=8,|DC|=6, 所以 A(-4,0),B(4,0),C(3,√15),D(-3,√15). 所以|CA|=√49 + 15=8. 因为 2a=|CA|-|BC|=4,所以 a=2. 又因为 A,B 为双曲线𝑥 2 𝑎2 − 𝑦 2 𝑏 2=1(a>0,b>0)的焦点,所以 c=4.所以 b=√𝑐 2-𝑎 2=2√3. 所以双曲线的方程为𝑥 2 4 − 𝑦 2 12=1. (2)由(1)知,a=2,c=4,故双曲线的离心率 e= 𝑐 𝑎 =2.又 b=2√3,故双曲线的渐近线方程为 y=± 𝑏 𝑎 x=±√3x. 拓展提高 1.设双曲线的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率 e=√5,则该双曲线的渐近线方程为( ) A.y=± 1 2 x B.y=±2x C.y=±4x D.y=±x 解析:由题意可知,e= 𝑐 𝑎 = √5,c 2=a2+b2 ,故 𝑏 𝑎 =2.故双曲线的渐近线方程为 y=± 𝑏 𝑎 x=±2x. 答案:B 2.双曲线𝑦 2 𝑚 -x 2=n(m>0,n0,n0.又 b 2+k2>0,∴c 2=(a 2 -k 2 )+(b 2+k2 )=a2+b2 .∴C1 与 C2 的焦距相等.易知 A,B,D 均不成立. 答案:ABD
4以双曲线兰-1的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程 解析：根据题意，可知a=1,b=V√3，则c=2.故双曲线的右焦点的坐标为(2,0)，渐近线方程为 -士V3x,即V3y=0.故右焦点到浙近线的距离d=2圆=V3 V3+1 故所求圆的圆心为(2,0)，半径=V3, 故所求圆的方程为(x-2)2+y2-3. 答案：(x-2)2+y2=3 5已知P是椭圆时+芳-1a>60和双曲线鸳- l(a>0,b>0)的一个交点，F,F3是椭圆 和双曲线的公共焦点，1，分别是椭圆和双曲线的离心率若∠FPF则a的最小值 为 解析：根据椭圆与双曲线的对称性，不妨设点P在第一象限，F1为左焦点，F2为右焦点，半焦距 为c,则IPF>PF2 根据椭圆与双曲线的定义，可知lPF1+PF2=2a,PF-lPF=2a2, 所以PFil=a1+a2,lPF2=a1-a2. 在△FPF2中，由余弦定理 可得1FFP=PFP+PFP-2 PFPFa-cos即4c2-(a+aP2+(a1-a)P-(a+aXa1-a),整理得 4e-a+3a吃.所以宁+ 4 又宁+导之温所以浮 √3 时取等号 当且仅当1气22 答案号 6.已知双曲线兰-号-1 12 (1)求该双曲线的右焦点到渐近线的距离： (2)求与该双曲线有相同的渐近线，且过点(3,3V2)的双曲线的标准方程 解(1)因为双尚钱方程为号-益1 所以c=√4+12=4.所以双曲线的右焦点为(4,0)，渐近线方程为y=士V3x.所以双曲线的右焦点 到渐道线的距高为4器23 (2)设双曲线的方程为号-号二0). :数由钱过点33D兰-吕=是 412 4-1五 双南纸的方程为号-台-号暗 挑战创新 已知双曲线c号-兰-1 (1)求与双曲线C有相同的渐近线，且实轴长为20的双曲线的标准方程： (2)P为双曲线C右支上一动点，点A的坐标是(4,0)，求PA的最小值. 解(1)设所求双曲线的方程为二- 4m 3m =1(1≠0)】 当m>0时，4m=100,即m=25; 当m<0时-3m=100,即m=100 3 故所求双曲践的标准方程为品-花仁 x2 100-400=1 (2)设P(xy)(之2)，因为点P在双曲线C上， 所以号-片1，所以-3
4.以双曲线 x 2 - 𝑦 2 3 =1 的右焦点为圆心,且与双曲线的渐近线相切的圆的方程 为 . 解析:根据题意,可知 a=1,b=√3,则 c=2.故双曲线的右焦点的坐标为(2,0),渐近线方程为 y=±√3x,即√3x±y=0.故右焦点到渐近线的距离 d=|2√3| √3+1 = √3. 故所求圆的圆心为(2,0),半径 r=√3, 故所求圆的方程为(x-2)2+y2=3. 答案:(x-2)2+y2=3 5.已知 P 是椭圆𝑥 2 𝑎1 2 + 𝑦 2 𝑏1 2=1(a1>b1>0)和双曲线𝑥 2 𝑎2 2 − 𝑦 2 𝑏2 2=1(a2>0,b2>0)的一个交点,F1,F2 是椭圆 和双曲线的公共焦点,e1,e2 分别是椭圆和双曲线的离心率.若∠F1PF2= π 3 ,则 e1·e2 的最小值 为 . 解析:根据椭圆与双曲线的对称性,不妨设点 P 在第一象限,F1 为左焦点,F2 为右焦点,半焦距 为 c,则|PF1|>|PF2|. 根据椭圆与双曲线的定义,可知|PF1|+|PF2|=2a1,|PF1|-|PF2|=2a2, 所以|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1-a2. 在△F1PF2 中,由余弦定理, 可得|F1F2| 2=|PF1| 2+|PF2| 2 -2|PF1||PF2|·cos π 3 ,即 4c 2=(a1+a2) 2+(a1-a2) 2 -(a1+a2)(a1-a2),整理得 4c 2=𝑎1 2+3𝑎2 2 .所以1 𝑒1 2 + 3 𝑒2 2=4. 又 1 𝑒1 2 + 3 𝑒2 2 ≥ 2√3 𝑒1 𝑒2 ,所以 e1e2≥ √3 2 , 当且仅当 e1= √2 2 ,e2= √6 2 时取等号. 答案: √3 2 6.已知双曲线𝑥 2 4 − 𝑦 2 12=1. (1)求该双曲线的右焦点到渐近线的距离; (2)求与该双曲线有相同的渐近线,且过点(3,3√2)的双曲线的标准方程. 解:(1)因为双曲线方程为𝑥 2 4 − 𝑦 2 12=1, 所以 c=√4 + 12=4.所以双曲线的右焦点为(4,0),渐近线方程为 y=±√3x.所以双曲线的右焦点 到渐近线的距离为 d=|4√3| √3+1 =2√3. (2)设双曲线的方程为𝑥 2 4 − 𝑦 2 12=λ(λ≠0). ∵双曲线过点(3,3√2),∴λ= 9 4 − 18 12 = 3 4 . ∴双曲线的方程为𝑥 2 4 − 𝑦 2 12 = 3 4 ,即 𝑥 2 3 − 𝑦 2 9 =1. 挑战创新 已知双曲线 C: 𝑥 2 4 − 𝑦 2 3 =1. (1)求与双曲线 C 有相同的渐近线,且实轴长为 20 的双曲线的标准方程; (2)P 为双曲线 C 右支上一动点,点 A 的坐标是(4,0),求|PA|的最小值. 解:(1)设所求双曲线的方程为𝑥 2 4𝑚 − 𝑦 2 3𝑚 =1(m≠0). 当 m>0 时,4m=100,即 m=25; 当 m<0 时,-3m=100,即 m=- 100 3 . 故所求双曲线的标准方程为 𝑥 2 100 − 𝑦 2 75=1 或 𝑦 2 100 − 𝑥 2 400 3 =1. (2)设 P(x,y)(x≥2),因为点 P 在双曲线 C 上, 所以𝑥 2 4 − 𝑦 2 3 =1,所以 y 2= 3 4 x 2 -3
所以刘P4=4+y-子2-8x+13-(x)+头 当x9时，PAn=号故IPAli-3g
所以|PA|2=(x-4)2+y2= 7 4 x 2 -8x+13= 7 4 (𝑥- 16 7 ) 2 + 27 7 , 当 x= 16 7 时,|PA|min 2 = 27 7 ,故|PA|min= 3√21 7