2.3.2 圆的一般方程 基础巩固 1.圆(x+1)2+0y-3)2=2化为一般方程是( A.x2+y2=6 B.x2+y2+8=0 C.x2+y2-2x+8y+6=0 D.x2+y2+2x-6y+8=0 答案D 2.如果关于xy的方程x2+2+Dx+Ey+F-0(D2+E24F>0)表示的曲线关于直线y=x对称，那么 必有( A.D=E B.D=F C.E=F D.D-E=F 解析由题意可知，方程表示圆，圆的圆心（号》在直线只上，则号一号即D=E 答案：A 3.圆x2+y2-2x+6y+8=0的周长等于( A.VZπ B.2π C.22π D.4π 解析：由已知，得圆的半径r号×V4+36-3五=V2,故周长1-2w-2V2元 答案：C 4.己知圆x2+y2+c+2y+2=0,当该圆的面积取最大值时，圆心的坐标是( A.(0,-1) B.(1,-1) C.(-1,0) D.(-1,1) 解析：由已知，得圆的半径r=V4-3k2,要使圆的面积取最大值，则圆的半径r取最大值当k=0 时，r取最大值1，此时圆心的坐标为(0，-1). 答案：A 5.(多选题)已知点(a+1,a-1)在圆x2+y2-x+y4=0外，则a的值可以是( A.V2 B.-V2 C.3 D.3 解析：由已知，得(a+1)2+(a-1)2-a-1+a-1-4>0,即a2>2,故a>V2或a<-VZ.故选CD 答案CD 6.方程x2+2-2x+4y+5=0表示的图形是 答案：点(1，-2) 7.过点M(-1,1),且与已知圆Cx2+y24x+63=0有相同圆心的圆的方程为 解析：由已知，得圆C的圆心为(2，-3)，则所求圆的圆心为(2，-3)，半径r=(2+1)2+(-3-1)2-5, 故所求圆的方程为(x-2)2+0y+3)2=25 答案：(x-2)2+y+3)2-25 8.当动点P在圆x2+y2=2上运动时，它与定点A(3,1)连线的中点Q的轨迹方程 为 解析：设Qx,y),P(a,b) x=9+3 由中点坐标公式，得 2 (a=2x-3 即 b=2y-1. 2 国为点P(2x-3,2少1)在圆2+y2=2上，所以(2x3P+(2少1P=2,即(x到+(y》- 故点0的轨造方程为(x引)+(0》)=元 答案(x引+(》=月 9.己知圆C:x2+2+Dx+Ey+3=0,圆心在直线x+y1-0上，且圆心在第二象限，半径为V2,求圆的 一般方程
2.3.2 圆的一般方程 基础巩固 1.圆(x+1)2+(y-3)2=2 化为一般方程是( ) A.x 2+y2=6 B.x 2+y2+8=0 C.x 2+y2 -2x+8y+6=0 D.x 2+y2+2x-6y+8=0 答案:D 2.如果关于 x,y 的方程 x 2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2 -4F>0)表示的曲线关于直线 y=x 对称,那么 必有( ) A.D=E B.D=F C.E=F D.D=E=F 解析:由题意可知,方程表示圆,圆的圆心 - 𝐷 2 ,- 𝐸 2 在直线 y=x 上,则- 𝐷 2 =- 𝐸 2 ,即 D=E. 答案:A 3.圆 x 2+y2 -2x+6y+8=0 的周长等于( ) A.√2π B.2π C.2√2π D.4π 解析:由已知,得圆的半径 r= 1 2 × √4 + 36-32 = √2,故周长 l=2πr=2√2π. 答案:C 4.已知圆 x 2+y2+kx+2y+k2=0,当该圆的面积取最大值时,圆心的坐标是( ) A.(0,-1) B.(1,-1) C.(-1,0) D.(-1,1) 解析:由已知,得圆的半径 r= 1 2 √4-3𝑘 2,要使圆的面积取最大值,则圆的半径 r 取最大值.当 k=0 时,r 取最大值 1,此时圆心的坐标为(0,-1). 答案:A 5.(多选题)已知点(a+1,a-1)在圆 x 2+y2 -x+y-4=0 外,则 a 的值可以是( ) A.√2 B.-√2 C.√3 D.-√3 解析:由已知,得(a+1)2+(a-1)2 -a-1+a-1-4>0,即 a 2>2,故 a>√2或 a<-√2.故选 CD. 答案:CD 6.方程 x 2+y2 -2x+4y+5=0 表示的图形是 . 答案:点(1,-2) 7.过点 M(-1,1),且与已知圆 C:x 2+y2 -4x+6y-3=0 有相同圆心的圆的方程为 . 解析:由已知,得圆 C 的圆心为(2,-3),则所求圆的圆心为(2,-3),半径 r=√(2 + 1) 2 + (-3-1) 2=5, 故所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25. 答案:(x-2)2+(y+3)2=25 8.当动点 P 在圆 x 2+y2=2 上运动时,它与定点 A(3,1)连线的中点 Q 的轨迹方程 为 . 解析:设 Q(x,y),P(a,b), 由中点坐标公式,得{ 𝑥 = 𝑎+3 2 , 𝑦 = 𝑏+1 2 , 即{ 𝑎 = 2𝑥-3, 𝑏 = 2𝑦-1. 因为点 P(2x-3,2y-1)在圆 x 2+y2=2 上,所以(2x-3)2+(2y-1)2=2,即(𝑥- 3 2 ) 2 + (𝑦- 1 2 ) 2 = 1 2 . 故点 Q 的轨迹方程为(𝑥- 3 2 ) 2 + (𝑦- 1 2 ) 2 = 1 2 . 答案:(𝑥- 3 2 ) 2 + (𝑦- 1 2 ) 2 = 1 2 9.已知圆 C:x 2+y2+Dx+Ey+3=0,圆心在直线 x+y-1=0 上,且圆心在第二象限,半径为√2,求圆的 一般方程
解由已知，得圆心为（引 因为圆心在直线x+y1=0上 所以-号-1=0，即D+E=2.① 22 √D2+E2-12 2 =√2所以D2+E2=20.② 由0@件是4但二2 又圆心在第二象限，所以0, 所以化三子所以圆的=我方程为3-0 10.已知圆Cx2+y2.4x-14y+45=0及点Q(-2,3). (1)若点P(m,m+1)在圆C上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率； (2)若点P为圆C上任意一点，求PQ的最大值和最小值. 解(1)，点P在圆C上， ∴.m2+(m+1)2-4m-14m+1)+45=0, 解得m=4.∴点P(4,5) P0=-2-42+(3-5)2-21而 kP04+2 (2),圆C的圆心C为(2,7)， ∴1CQ1=-2-2)2+(3-7)2=4v2. 又圆C的半径为2VZ, .PQ1的最大值为6√2，最小值为2V2 拓展提高 1.若圆x2+y2-2ax+3by=0的圆心位于第三象限，则直线x+ay+b=0一定不经过( A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：圆心(a,)位于第三象限， .a0. 直线方程可化为)y号 >0,0 故直线不经过第四象限 答案：D 2.已知两点A(-2,0),B0,2),点C是圆x2+y2-2x=0上任意一点，则△ABC面积的最小值是(） A.3-√2 B.3+/2 C3. 2 D吃 2 解析：由已知，得4B=2VZ,直线AB的方程为x-y+2=0,圆x2+y2-2x=0的圆心(1,0)到直线AB的 距离为dL-0+2=3y吗 2 故点C到直线AB的最小距离为1 故A4BC面积的最小值为22×(g1)3-Z 答案：A 3.方程x-1=1(y-1)2表示的曲线是( A.一个圆 B.两个圆 C.一个半圆 D.两个半圆
解:由已知,得圆心为(- 𝐷 2 ,- 𝐸 2 ). 因为圆心在直线 x+y-1=0 上, 所以- 𝐷 2 − 𝐸 2 -1=0,即 D+E=-2.① 又 r= √𝐷 2+𝐸 2 -12 2 = √2,所以 D2+E2=20.② 由①②得,{ 𝐷 = 2, 𝐸 = -4 或{ 𝐷 = -4, 𝐸 = 2, 又圆心在第二象限,所以- 𝐷 2 0, 所以{ 𝐷 = 2, 𝐸 = -4. 所以圆的一般方程为 x 2+y2+2x-4y+3=0. 10.已知圆 C:x 2+y2 -4x-14y+45=0 及点 Q(-2,3). (1)若点 P(m,m+1)在圆 C 上,求线段 PQ 的长及直线 PQ 的斜率; (2)若点 P 为圆 C 上任意一点,求|PQ|的最大值和最小值. 解:(1)∵点 P 在圆 C 上, ∴m2+(m+1)2 -4m-14(m+1)+45=0, 解得 m=4.∴点 P(4,5). ∴|PQ|=√(-2-4) 2 + (3-5) 2=2√10, kPQ= 5-3 4+2 = 1 3 . (2)∵圆 C 的圆心 C 为(2,7), ∴|CQ|=√(-2-2) 2 + (3-7) 2=4√2. 又圆 C 的半径为 2√2, ∴|PQ|的最大值为 6√2,最小值为 2√2. 拓展提高 1.若圆 x 2+y2 -2ax+3by=0 的圆心位于第三象限,则直线 x+ay+b=0 一定不经过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:∵圆心(𝑎,- 3𝑏 2 )位于第三象限, ∴a0. 直线方程可化为 y=- 1 𝑎 x- 𝑏 𝑎 , ∴- 1 𝑎 >0,- 𝑏 𝑎 >0. 故直线不经过第四象限. 答案:D 2.已知两点 A(-2,0),B(0,2),点 C 是圆 x 2+y2 -2x=0 上任意一点,则△ABC 面积的最小值是( ) A.3-√2 B.3+√2 C.3- √2 2 D.3-√2 2 解析:由已知,得|AB|=2√2,直线 AB 的方程为 x-y+2=0,圆 x 2+y2 -2x=0 的圆心(1,0)到直线 AB 的 距离为 d=|1-0+2| √2 = 3√2 2 . 故点 C 到直线 AB 的最小距离为3√2 2 -1. 故△ABC 面积的最小值为1 2 ×2√2 × ( 3√2 2 -1)=3-√2. 答案:A 3.方程|x|-1=√1-(𝑦-1) 2表示的曲线是( ) A.一个圆 B.两个圆 C.一个半圆 D.两个半圆
解析：方程可化为(x-1)2+01)2=1. 因为x-1≥0，所以之1或-1， 若x≤-1，则方程为(x+1)2+01)2=1; 若x之1，则方程为(x-1)2+01)2=1. 故方程表示两个半圆. 答案D 4.(多选题)己知定点P1(-1,0),P(1,0),动点M满足|MP1=√2MP2,则△MP1P的面积可以为 A.V2 B.2v2 C.32 D.2v3 解析：设Mx),由MP1=V2MP2l,可得x+1)2+y2=V2(x-1)2+y2, 化简得(x-3)2+y2=8, 即点M在以点(3,0)为圆心，2√Z为半径的圆上 故S△MR=P1P2=bM小s2V2 故选AB 答案：AB 5.若圆Cx2+2.4r+2y+m=0与y轴交于A,B两点，且∠ACB-=90°，则实数m= 解析：设A(0,n),B0,2以在圆的方程中，令x=0,得y2+2+m=-0,则1,2为该方程的两根 (4=4-4m>0, 故y1+y2=-2, (yiy2 =m. 又由∠ACB=90°，C2,-1),知k4ckBc=-1, 则空.2空-1即n0mnj+1-4 .2. 故m-2+1=-4,解得m=-3. 经检验，m=-3特合题意，故m=-3. 答案-3 6.若关于x,y的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2，-4)为圆心，4为半径的圆，则 F= 解析：该圆的方程为(x-2)2+(0y+4)2=16, 即x2+y2.4x+8y+4=0,故F=4. 答案4 7.设定点M(-3,4),O为坐标原点，动点N在圆x2+y2=4上运动，以OM,ON为两边作MONP,求 点P的轨迹 解设Px),0o),则线段OP的中点坐标为作)，线段MN的中点坐标为空，兰 因为平行四边形的对角线互相平分， 所以〈 23 x0=x+3, y%=y-4. 故W(x+3,4).又点N在圆x2+y2=4上， 故(x+3)}2+04)2=4. 又点N不能在直线OM上，故点V的坐标不能为（侣）和（号，） 故点P的坐标不能为(？号)和（号，） 故点P的轨迹是以点(-3,4)为圆心，2为半径的圆，除去两点（号，号）和（号，） 挑战创新 己知圆的方程是x2+y2+2(m-1)x-4my+5m2-2m-8=0. (1)求此圆的圆心与半径； (2)求证：不论m为何实数，方程表示圆心在同一条直线上的等圆. (1)解x2+y2+2(m-1)x-4my+5m2-2m-8=0可化为[x+(m-1)]2+0>2m)}2=9
解析:方程可化为(|x|-1)2+(y-1)2=1. 因为|x|-1≥0,所以 x≥1 或 x≤-1, 若 x≤-1,则方程为(x+1)2+(y-1)2=1; 若 x≥1,则方程为(x-1)2+(y-1)2=1. 故方程表示两个半圆. 答案:D 4.(多选题)已知定点 P1(-1,0),P2(1,0),动点 M 满足|MP1|=√2|MP2|,则△MP1P2 的面积可以为 ( ) A.√2 B.2√2 C.3√2 D.2√3 解析:设 M(x,y),由|MP1|=√2|MP2|,可得√(𝑥 + 1) 2 + 𝑦 2 = √2√(𝑥-1) 2 + 𝑦 2, 化简得(x-3)2+y2=8, 即点 M 在以点(3,0)为圆心,2√2为半径的圆上, 故𝑆△𝑀𝑃1𝑃2 = 1 2 |P1P2||yM|=|yM|≤2√2. 故选 AB. 答案:AB 5.若圆 C:x 2+y2 -4x+2y+m=0 与 y 轴 交于 A,B 两点,且∠ACB=90°,则实数 m= . 解析:设 A(0,y1),B(0,y2).在圆的方程中,令 x=0,得 y 2+2y+m=0,则 y1,y2 为该方程的两根. 故{ 𝛥 = 4-4𝑚 > 0, 𝑦1 + 𝑦2 = -2, 𝑦1𝑦2 = 𝑚. 又由∠ACB=90°,C(2,-1),知 kAC·kBC=-1, 则 𝑦 1 +1 -2 · 𝑦 2 +1 -2 =-1,即 y1y2+(y1+y2)+1=-4, 故 m-2+1=-4,解得 m=-3. 经检验,m=-3 符合题意,故 m=-3. 答案:-3 6.若关于 x,y 的方程 x 2+y2+Dx+Ey+F=0 表示以(2,-4)为圆心,4 为半径的圆,则 F= . 解析:该圆的方程为(x-2)2+(y+4)2=16, 即 x 2+y2 -4x+8y+4=0, 故 F=4. 答案:4 7.设定点 M(-3,4),O 为坐标原点,动点 N 在圆 x 2+y2=4 上运动,以 OM,ON 为两边作▱MONP,求 点 P 的轨迹. 解:设 P(x,y),N(x0,y0),则线段 OP 的中点坐标为( 𝑥 2 , 𝑦 2 ),线段 MN 的中点坐标为( 𝑥0-3 2 , 𝑦 0 +4 2 ). 因为平行四边形的对角线互相平分, 所以{ 𝑥 2 = 𝑥0 -3 2 , 𝑦 2 = 𝑦 0 +4 2 , 即{ 𝑥0 = 𝑥 + 3, 𝑦0 = 𝑦-4. 故 N(x+3,y-4).又点 N 在圆 x 2+y2=4 上, 故(x+3)2+(y-4)2=4. 又点 N 不能在直线 OM 上,故点 N 的坐标不能为( 6 5 ,- 8 5 )和 (- 6 5 , 8 5 ). 故点 P 的坐标不能为(- 9 5 , 12 5 )和(- 21 5 , 28 5 ). 故点 P 的轨迹是以点(-3,4)为圆心,2 为半径的圆,除去两点(- 9 5 , 12 5 )和(- 21 5 , 28 5 ). 挑战创新 已知圆的方程是 x 2+y2+2(m-1)x-4my+5m2 -2m-8=0. (1)求此圆的圆心与半径; (2)求证:不论 m 为何实数,方程表示圆心在同一条直线上的等圆. (1)解:x 2+y2+2(m-1)x-4my+5m2 -2m-8=0 可化为[x+(m-1)]2+(y-2m) 2=9
故圆心为(1-m,2m),半径为3. (2)证明由()可知，圆的半径为定值3，且圆心a,b)满足方程组三-m即2a+h=2 b=2m, 故不论m为何实数，方程表示圆心在直线2x+y2=0上的等圆
故圆心为(1-m,2m),半径为 3. (2)证明:由(1)可知,圆的半径为定值 3,且圆心(a,b)满足方程组{ 𝑎 = 1-𝑚, 𝑏 = 2𝑚, 即 2a+b=2. 故不论 m 为何实数,方程表示圆心在直线 2x+y-2=0 上的等圆