2.51 椭圆及其方程 2.5.1椭圆的标准方程 1.己知p:动点P到两定点A,B的距离之和P4+PB卧=2a(a>0)q:点P的轨迹是椭圆，则p是q 的() A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：若点P的轨迹是椭圆，则一定有PA+PB吲=2a(a>0).若|P4川+PBl=2a(a>0),则，点P的轨 迹可能是线段或不存在.故p是q的必要不充分条件. 答案B 2过点(32，且与号+÷1有相同焦点的椭圆的方程是() 4 43 0s1 B 2 2西+10 c品+ D品+云 答案：A +号-」上的点M到该椭圆的一个焦点F的距离为2N是MF的中点O为坐 3已知椭圆兰+ 标原点，则线段ON的长是( A.2 B.4 C.8 D 解析：如图，不妨设椭圆的左焦点为F,右焦点为F1 .2a=10,lMF=2, ..MFl=8. :N为MF的中点，0为FF1的中点，OMMF=4 答案B 4“10, 星+m 1表示的曲线是焦，点在v轴上的椭圆台了3-m>0.解得1m-1, C 答案：C 5.已知直线2x+by+3=0过椭圆10x2+y2=10的一个焦点，则b的值为() A.-1 B时 C.-1或1 D.或 2 解析精圆方程可化为+垢-1，故焦点坐标为0，+3)当直钱过焦点(0,3)时b=1当直线过焦点 (0,-3)时，b=1. 答案C 6.已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离之和为8，焦距为2√15，则此椭圆 的标准方程为」
2.5 椭圆及其方程 2.5.1 椭圆的标准方程 1.已知 p:动点 P 到两定点 A,B 的距离之和|PA|+|PB|=2a(a>0);q:点 P 的轨迹是椭圆,则 p 是 q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:若点 P 的轨迹是椭圆,则一定有 |PA|+|PB|=2a(a>0).若|PA|+|PB|=2a(a>0),则点 P 的轨 迹可能是线段或不存在.故 p 是 q 的必要不充分条件. 答案:B 2.过点(-3,2),且与𝑥 2 9 + 𝑦 2 4 =1 有相同焦点的椭圆的方程是( ) A.𝑥 2 15 + 𝑦 2 10=1 B. 𝑥 2 225 + 𝑦 2 100=1 C.𝑥 2 10 + 𝑦 2 15=1 D. 𝑥 2 100 + 𝑦 2 225=1 答案:A 3.已知椭圆𝑥 2 25 + 𝑦 2 9 =1 上的点 M 到该椭圆的一个焦点 F 的距离为 2,N 是 MF 的中点,O 为坐 标原点,则线段 ON 的长是( ) A.2 B.4 C.8 D.3 2 解析:如图,不妨设椭圆的左焦点为 F,右焦点为 F1. ∵2a=10,|MF|=2, ∴|MF1|=8. ∵N 为 MF 的中点,O 为 FF1 的中点,∴|ON|=1 2 |MF1|=4. 答案:B 4.“1 0, 3-𝑚 > 0, 3-𝑚 > 𝑚-1, 解得 1<m<2.故选 C. 答案:C 5.已知直线 2x+by+3=0 过椭圆 10x 2+y2=10 的一个焦点,则 b 的值为( ) A.-1 B.1 2 C.-1 或 1 D.- 1 2 或 1 2 解析:椭圆方程可化为 x 2+ 𝑦 2 10=1,故焦点坐标为(0,±3).当直线过焦点(0,3)时,b=-1;当直线过焦点 (0,-3)时,b=1. 答案:C 6.已知椭圆的焦点在 y 轴上,其上任意一点到两焦点的距离之和为 8,焦距为 2√15,则此椭圆 的标准方程为
解析：由已知得，2a=8,2c=2V15,故a=4,c=V15 b2=a2-c2=16-15=1.因为椭圆的焦点在y轴上， 所以精圆的标准方程为台+1 答案若+- .y2 7.设椭圆C老+1(a>b>0)的两个焦点为F1,F2,点P在椭圆C上，且PF山 F,F,PF,PF兰则椭圆C的标准方程是 解析：因为点P在椭圆C上， 所以2a=|PF1+PF2=6.所以a=3. 在Rt△PFF2中 IFF2I=IPR2-PF12=2V5,2c=2V5, 故c=V5.从而b2=2-c2=4, 所以精国C的标准方程为号+二1 4 答案号+到 设椭圆号+兰1的焦点为F,F,点P在椭圆上，若PF=4,则∠FP6的大小 为 解析：因为2-9，b2=2,所以a=3,c=Va2-b=√7.由椭圆的定义，得PF1+lPF-2a,即lPF3l=2a- PF=6-4=2,F,F-2c-2V7.在△FPF2中，由余弦定理，得cos∠F,PPPE= 2PF1PF2l 16+4-28-1故∠F1PF2=120° 2×4×22 答案：120° 9.已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3,0),半长轴长是半短轴长的3倍，求椭圆的标准方程 解当焦点在x轴上时，设其标准方程为后+=(@>60 由精圆过点P30,知品1，故a-9 又a=3b,则b2-1 故稀圆的标准方程为号=1 当焦点在y轴上时，设其标准方程为号+ 5+子-1o>60 由精圆过点P3,0,知子1故公= 又a=3b,则a2=81. 故椭圆的标准方程为二+ +号1号1 综上，椭圆的标准方程为折+一 10.在圆x2+y2=4上任取一点P,过点P作x轴的垂线PD,垂足为D.当点P在圆上运动时，线 段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？ 解：点M的轨迹是椭圆.理由如下： 设点M的坐标为(xy),点P的坐标为(0，o), 则y冬 故0=x,0=2y 因为点P(0,)在圆2+y2=4上， 所以x行+y=4, 即+42=4，即学+y=1 故点M的轨迹是椭圆
解析:由已知得,2a=8,2c=2√15,故 a=4,c=√15, b 2=a2 -c 2=16-15=1.因为椭圆的焦点在 y 轴上, 所以椭圆的标准方程为𝑦 2 16+x2=1. 答案: 𝑦 2 16+x2=1 7.设椭圆 C: 𝑥 2 𝑎2 + 𝑦 2 𝑏 2=1(a>b>0)的两个焦点为 F1,F2,点 P 在椭圆 C 上,且 PF1⊥ F1F2,|PF1|=4 3 ,|PF2|=14 3 ,则椭圆 C 的标准方程是 . 解析:因为点 P 在椭圆 C 上, 所以 2a=|PF1|+|PF2|=6.所以 a=3. 在 Rt△PF1F2 中, |F1F2|=√|𝑃𝐹2 | 2 -|𝑃𝐹1 | 2=2√5,即 2c=2√5, 故 c=√5.从而 b 2=a2 -c 2=4, 所以椭圆 C 的标准方程为𝑥 2 9 + 𝑦 2 4 =1. 答案: 𝑥 2 9 + 𝑦 2 4 =1 8.设椭圆𝑥 2 9 + 𝑦 2 2 =1 的焦点为 F1,F2,点 P 在椭圆上,若|PF1|=4,则∠F1PF2 的大小 为 . 解析:因为 a 2=9,b 2=2,所以 a=3,c=√𝑎 2-𝑏 2 = √7.由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=2a,即|PF2|=2a- |PF1|=6-4=2,|F1F2|=2c=2√7.在△F1PF2 中,由余弦定理,得 cos∠F1PF2= |𝑃𝐹1| 2+|𝑃𝐹2| 2 -|𝐹1𝐹2| 2 2|𝑃𝐹1||𝑃𝐹2| = 16+4-28 2×4×2 =- 1 2 ,故∠F1PF2=120°. 答案:120° 9.已知椭圆的中心在原点,且经过点 P(3,0),半长轴长是半短轴长的 3 倍,求椭圆的标准方程. 解:当焦点在 x 轴上时,设其标准方程为𝑥 2 𝑎2 + 𝑦 2 𝑏 2=1(a>b>0). 由椭圆过点 P(3,0),知 9 𝑎2=1,故 a 2=9. 又 a=3b,则 b 2=1. 故椭圆的标准方程为𝑥 2 9 +y2=1. 当焦点在 y 轴上时,设其标准方程为𝑦 2 𝑎2 + 𝑥 2 𝑏 2=1(a>b>0). 由椭圆过点 P(3,0),知 9 𝑏 2=1,故 b 2=9. 又 a=3b,则 a 2=81. 故椭圆的标准方程为𝑦 2 81 + 𝑥 2 9 =1. 综上,椭圆的标准方程为 𝑦 2 81 + 𝑥 2 9 =1 或 𝑥 2 9 +y2=1. 10.在圆 x 2+y2=4 上任取一点 P,过点 P 作 x 轴的垂线 PD,垂足为 D.当点 P 在圆上运动时,线 段 PD 的中点 M 的轨迹是什么?为什么? 解:点 M 的轨迹是椭圆.理由如下: 设点 M 的坐标为(x,y),点 P 的坐标为(x0,y0), 则 x=x0,y= 𝑦 0 2 , 故 x0=x,y0=2y. 因为点 P(x0,y0)在圆 x 2+y2=4 上, 所以𝑥0 2 + 𝑦0 2=4, 即 x 2+4y 2=4,即 𝑥 2 4 +y2=1. 故点 M 的轨迹是椭圆