1.2.3 直线与平面的夹角 1.己知平面a的一个法向量为n=(1,V3,0),则y轴与平面a的夹角为( A BI c D 解析：y轴的方向向量可以为a=(0,l,0), ∴sin0=lcosl= 0罗 答案C 2.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BC1与平面BB1D1D所成的角是() D A A.∠C1BB1 B.∠CBD C.∠C1BD D.∠C1BO 解析：，OB是BC1在平面BB1D1D上的射影， ∴.∠CBO即为所求 答案D 3.己知在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于 () A号 8 ·3 c号 D 解析：以D1为原点，D1A,D1C,D1D的方向为x轴、y轴、：轴的正方向，建立空间直角坐标系， 如图所示 设AB=1,则A41=2,则D0,0,2),C1(0,1,0),B(1,1,，2),C0,1,2),得DB=(1,1,0),DC1=(0,1, 2),DC=(0,1,0). 设n=(xy,)为平面BDC的法向量， 则nDE=x+y=0, (n:DC=y-2z=0, 取y=2,则n=(-2,2,1). 设CD与平面BDC1所成的角为O, 则n6 -leos-n.DC-片-号 答案：A 4.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD,四边形ABCD为正方形，且PD=AB=1,G为△ ABC的重心，则PG与底面ABCD所成的角O满足()
1.2.3 直线与平面的夹角 1.已知平面 α 的一个法向量为 n=(1,-√3,0),则 y 轴与平面 α 的夹角为( ) A.π 6 B.π 4 C.π 3 D.π 2 解析:∵y 轴的方向向量可以为 a=(0,1,0), ∴sin θ=|cos|=| 𝑛·𝑎 |𝑛||𝑎| | = | -√3 2×1 | = √3 2 , ∴θ= π 3 . 答案:C 2.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,BC1 与平面 BB1D1D 所成的角是( ) A.∠C1BB1 B.∠C1BD C.∠C1BD1 D.∠C1BO 解析:∵OB 是 BC1 在平面 BB1D1D 上的射影, ∴∠C1BO 即为所求. 答案:D 3.已知在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=2AB,则 CD 与平面 BDC1 所成角的正弦值等于 ( ) A.2 3 B.√3 3 C.√2 3 D.1 3 解析:以 D1 为原点,𝐷1𝐴1 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ,𝐷1𝐶1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,𝐷⃗⃗ 1 ⃗𝐷⃗ 的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建立空间直角坐标系, 如图所示. 设 AB=1,则 AA1=2,则 D(0,0,2),C1(0,1,0),B(1,1,2),C(0,1,2),得𝐷𝐵⃗ ⃗ =(1,1,0),𝐷𝐶1 ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,- 2),𝐷𝐶⃗⃗⃗ =(0,1,0). 设 n=(x,y,z)为平面 BDC1 的法向量, 则{ 𝑛·𝐷𝐵⃗ ⃗ = 𝑥 + 𝑦 = 0, 𝑛·𝐷𝐶1 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑦-2𝑧 = 0, 取 y=2,则 n=(-2,2,1). 设 CD 与平面 BDC1 所成的角为 θ, 则 sin θ=|cos|=| 𝑛·𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ |𝑛||𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ | | = 2 3 . 答案:A 4.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,四边形 ABCD 为正方形,且 PD=AB=1,G 为△ ABC 的重心,则 PG 与底面 ABCD 所成的角 θ 满足( )
D A.0-号 B.cos 0-2 C.tan0-2VZ D.sin o 解析：以D为坐标原点，DA,DC,D丽方向分别为x轴、y轴、：轴正方向，建立空间直角坐标系， 如图所示 则P00,1,41,0.0,B(11,0,C01,0c(号)P元-(3号- 因为平面ABCD的一个法向量为n=0,0,1),则sin0匹型 -1 3v17 P℃ ③++1 17 所以c0s0= 3V17 2V34 17 17 答案B 5.如果平面的一条斜线和它在平面上的射影的方向向量分别是a=-(0,2,1),b=(√2，√5，V5),那 么这条斜线与平面内的直线I所成的角是 答案：30° 6.在△ABC中，M,N分别是AB,AC的中点，PML平面ABC,当BC=6,MP-3V3时，PN和平面 ABC所成的角为 解析由题意知，∠PNM是PV和平面ABC所成的角，am∠PNM=-V区得∠ 3 PNM=60° 答案：60° 7.己知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱A1B1的中点，则直线AE与平面BDD1B1所成角 的正弦值为 解析：以A1为坐标原点，A1B1,A1D1,A1A的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角 坐标系，如图所示 设正方体的棱长为2， 则A(0,0,2),C(2,2,2),E1,0,0), .AC=(2,2,0),AE-(1,0,-2). AC⊥BD,AC⊥BB1,BDOBB=B, ∴.AC⊥平面BDD1B1,∴.AC=(2,2,0)是平面BDD1B1的一个法向量
A.θ= π 4 B.cos θ= 2√34 17 C.tan θ= 2√2 3 D.sin θ= √3 3 解析:以 D 为坐标原点,𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗ ,𝐷𝐶⃗⃗⃗ ,𝐷𝑃⃗⃗⃗ 方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴正方向,建立空间直角坐标系, 如图所示. 则 P(0,0,1),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),G 2 3 , 2 3 ,0 ,𝑃𝐺⃗⃗⃗ = 2 3 , 2 3 ,-1 . 因为平面 ABCD 的一个法向量为 n=(0,0,1),则 sin θ= |𝑃𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝑛| |𝑃𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ ||𝑛| = -1 √( 2 3 ) 2 +( 2 3 ) 2 +1 = 3√17 17 , 所以 cos θ=√1-( 3√17 17 ) 2 = 2√34 17 . 答案:B 5.如果平面的一条斜线和它在平面上的射影的方向向量分别是 a=(0,2,1),b=(√2,√5,√5),那 么这条斜线与平面内的直线 l 所成的角是 . 答案:30° 6.在△ABC 中,M,N 分别是 AB,AC 的中点,PM⊥平面 ABC,当 BC=6,MP=3√3时,PN 和平面 ABC 所成的角为 . 解析:由题意知,∠PNM 是 PN 和平面 ABC 所成的角,tan∠PNM=𝑃𝑀 𝑀𝑁 = 3√3 3 = √3,得∠ PNM=60°. 答案:60° 7.已知在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 E 是棱 A1B1 的中点,则直线 AE 与平面 BDD1B1 所成角 的正弦值为 . 解析:以 A1 为坐标原点,𝐴1𝐵1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,𝐴1𝐷1 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ,𝐴⃗⃗⃗ 1 ⃗𝐴⃗ 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴正方向,建立空间直角 坐标系,如图所示. 设正方体的棱长为 2, 则 A(0,0,2),C(2,2,2),E(1,0,0), ∴𝐴𝐶⃗⃗ =(2,2,0),𝐴𝐸⃗⃗⃗ =(1,0,-2). ∵AC⊥BD,AC⊥BB1,BD∩BB1=B, ∴AC⊥平面 BDD1B1,∴𝐴𝐶⃗⃗ =(2,2,0)是平面 BDD1B1 的一个法向量
设直线4E与平面BD,B所成的角为Q则sm0-1eosC,正需-晋 10 答案四 10 8.从平面a外一点P向平面a引垂线段PO及两条斜线段PA,PB,它们在平面α内的射影长 分别为2cm和12cm,且这两条斜线与平面a所成的角相差45°，则垂线段P0的长 为 解析：设PO=acm,PA,PB与a所成角分别为a1,,且a1=+45°， “tana-2tana是 是提=a4成6 答案：4cm或6cm 9.如图，AB为△ABC的外接圆O的直径，CD⊥平面ABC,BE∥ CD.AB=2V5.BC=2.CD=4.BE=1. 0 (I)求证：平面ADC⊥平面BCDE: (2)求直线AB与平面ADE所成角的正弦值 (I)证明：，AB是圆O的直径，∴AC⊥BC ,CD⊥平面ABC,BCC平面ABC,∴.CD⊥BC ACNCD=C,.BC⊥平面ADC. ,BCC平面BCDE, .平面ADC⊥平面BCDE. (2)解：由(1)知AC⊥BC BC=2,AB=2V5. ∴，AC=VAB2BC2=4,以C为原点，CA,CB,CD的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间 直角坐标系，如图所示， 0 ∴.A(4,0,0),B(0,2,0),E0,2,1),D0,0,4),AE=(-4,2,0),AD=(-4,0,4),AE-(-4,2,1). 设平面ADE的一个法向量为n=(xy,), 由n:而=-4x+4z=0. (nAE=-4x+2y+z=0 令=1，则x=1y3n-(1,31) 设直线AB与平面ADE所成的角为O, 则sin0=cos- -4×1+2×号+0×1 V8函 ABnll V16时×1++1 85 10.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=16,BC=10,A41=8,点E,F分别在AB1,DCi 上，A1E=DF=4,过点E,F的平面a与此长方体的面相交，交线围成一个正方形
设直线 AE 与平面 BDD1B1 所成的角为 θ,则 sin θ=|cos|=| 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ·𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ||𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ | | = √10 10 . 答案: √10 10 8.从平面 α 外一点 P 向平面 α 引垂线段 PO 及两条斜线段 PA,PB,它们在平面 α 内的射影长 分别为 2 cm 和 12 cm,且这两条斜线与平面 α 所成的角相差 45°,则垂线段 PO 的长 为 . 解析:设 PO=a cm,PA,PB 与 α 所成角分别为 α1,α2,且 α1=α2+45°, ∵tan α1= 𝑎 2 ,tan α2= 𝑎 12, ∴ 12+𝑎 12-𝑎 = 𝑎 2 ,∴a=4 或 6. 答案:4 cm 或 6 cm 9.如图,AB 为△ABC 的外接圆 O 的直径,CD⊥平面 ABC,BE∥ CD,AB=2√5,BC=2,CD=4,BE=1. (1)求证:平面 ADC⊥平面 BCDE; (2)求直线 AB 与平面 ADE 所成角的正弦值. (1)证明:∵AB 是圆 O 的直径,∴AC⊥BC. ∵CD⊥平面 ABC,BC⊂平面 ABC,∴CD⊥BC. ∵AC∩CD=C,∴BC⊥平面 ADC. ∵BC⊂平面 BCDE, ∴平面 ADC⊥平面 BCDE. (2)解:由(1)知 AC⊥BC. ∵BC=2,AB=2√5, ∴AC=√𝐴𝐵2-𝐵𝐶2=4,以 C 为原点,𝐶𝐴⃗⃗ , 𝐶𝐵⃗⃗⃗ , 𝐶𝐷⃗⃗⃗ 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴正方向,建立空间 直角坐标系,如图所示, ∴A(4,0,0),B(0,2,0),E(0,2,1),D(0,0,4),𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(-4,2,0),𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ =(-4,0,4),𝐴𝐸⃗⃗⃗ =(-4,2,1). 设平面 ADE 的一个法向量为 n=(x,y,z), 由{ 𝑛·𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ = -4𝑥 + 4𝑧 = 0, 𝑛·𝐴𝐸⃗⃗⃗ = -4𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 0. 令 z=1,则 x=1,y= 3 2 ,n=(1, 3 2 ,1). 设直线 AB 与平面 ADE 所成的角为 θ, 则 sin θ=|cos|=| 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝑛 |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ||𝑛| |=| -4×1+2× 3 2 +0×1 √16+4×√1+ 9 4 +1 | = √85 85 . 10.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=16,BC=10,AA1=8,点 E,F 分别在 A1B1,D1C1 上,A1E=D1F=4,过点 E,F 的平面 α 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形
E A D (1)在图中画出这个正方形不必说出画法和理由)： (2)求直线AF与平面α所成角的正弦值. 解(I)交线围成的正方形EHGF如图所示 A M H (2)作EMLAB,垂足为点M,则AM=A1E=4,EM=A4=8. 因为四边形EHGF为正方形，所以EH=EF=BC=10. 于是MH=VEH2-EM2-6,所以AH=10. 以D为坐标原点，DA,DC,DD的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系 Dz,如图所示 则A(10,0,0),H10,10,0),E10,4,8),F(0,4,8),FE-10,0,0)nHE=(0,6,8) 设n=(xy,)是平面EHGF的法向量， 则n:FE=10x=0. (nHE=-6y+8z=0 所以可取n=(0,4,3). 又AF=(-10,4,8), 故ewsa正到需-答 所以直线AF与平面EHGF所成的角的正弦值为4S 15
(1)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由); (2)求直线 AF 与平面 α 所成角的正弦值. 解:(1)交线围成的正方形 EHGF 如图所示. (2)作 EM⊥AB,垂足为点 M,则 AM=A1E=4,EM=AA1=8. 因为四边形 EHGF 为正方形,所以 EH=EF=BC=10. 于是 MH=√𝐸𝐻2-𝐸𝑀2=6,所以 AH=10. 以 D 为坐标原点,𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗ ,𝐷𝐶⃗⃗⃗ ,𝐷𝐷1 ⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建立空间直角坐标系 Dxyz,如图所示. 则 A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8),𝐹𝐸⃗⃗ =(10,0,0),𝐻𝐸⃗ ⃗ =(0,-6,8). 设 n=(x,y,z)是平面 EHGF 的法向量, 则{ 𝑛·𝐹𝐸⃗⃗ = 10𝑥 = 0, 𝑛·𝐻𝐸⃗ ⃗ = -6𝑦 + 8𝑧 = 0. 所以可取 n=(0,4,3). 又𝐴𝐹⃗⃗⃗ =(-10,4,8), 故|cos|=|𝑛·𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗ | |𝑛||𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗ | = 4√5 15 . 所以直线 AF 与平面 EHGF 所成的角的正弦值为4√5 15