2.4 曲线与方程 1.方程x-1川+b~1川=1所表示的图形为( ) A.一个点 B.四条直线 C.正方形 D.四个点 解析：当2121时，方程可化为x-1+y-1=1,即x+y3=0:当之1，y0. 故选B. <0 答案B 4.己知点Q是直线3x+4y+8=0上的动点，点A(0,-1),则线段AQ的中点P的轨迹方程为 () A.3x+4y+12=0 B.3x+4y+6=0 C.3x-4y+6=0 D.3x+4y=0 解析：设Qn),Px以则1三2x 即1=2x y1-1=2y, Py,=2y+1.又点Q(x1)在直线3x+4y+8=-0上，故6r+42+1)+8=0,即3x+4y+60 故点P的轨迹方程为3x+4y+6=0. 答案B 5.已知0<a<2π，点P(cosa,sina)在曲线(x-2)2+2-3上，则a的值是 解析：由已知，得(cosa-2)2+(sina)2-3, 故c0sa号又ae0,2,故a号浅a号 答案号或号 6.己知点P为动点，P(xy),A(-2,0),B(3,0),且PA·PB=x2,则点P的轨迹方程为 解析：由已知，得PA=(-x-2,y),PB=(3-x,y),则PA.PB=(-x-2)3-x)+(-y=x2,化简得y2=x+6.故点 P的轨迹方程为12=x+6. 答案y2=x+6 7.己知A(-1,0),B2,4),△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程 是 解析：由题意知，直线AB的方程为yx+1),即4r-3少+4-0,4B1=[2(1]+(4-02=5.因为 △4BC的面积为10，所以点C到直线AB的距离为2X10-4设Cx),则3y+4=4,故，点C的 5 、42+32 轨迹方程为4x-3y-16=0或4x-3y+24=0. 答案：4x-3y-16-0或4x-3y+24=0
2.4 曲线与方程 1.方程|x-1|+|y-1|=1 所表示的图形为( ) A.一个点 B.四条直线 C.正方形 D.四个点 解析:当 x≥1,y≥1 时,方程可化为 x-1+y-1=1,即 x+y-3=0;当 x≥1,y 0, - 1 𝑥 ,𝑥 < 0. 故选 B. 答案:B 4.已知点 Q 是直线 3x+4y+8=0 上的动点,点 A(0,-1),则线段 AQ 的中点 P 的轨迹方程为 ( ) A.3x+4y+12=0 B.3x+4y+6=0 C.3x-4y+6=0 D.3x+4y=0 解析:设 Q(x1,y1),P(x,y),则{ 𝑥1 = 2𝑥, 𝑦1 -1 = 2𝑦, 即{ 𝑥1 = 2𝑥, 𝑦1 = 2𝑦 + 1. 又点 Q(x1,y1)在直线 3x+4y+8=0 上,故 6x+4(2y+1)+8=0,即 3x+4y+6=0. 故点 P 的轨迹方程为 3x+4y+6=0. 答案:B 5.已知 0≤α<2π,点 P(cos α,sin α)在曲线(x-2)2+y2=3 上,则 α 的值是 . 解析:由已知,得(cos α-2)2+(sin α) 2=3, 故 cos α= 1 2 .又 α∈[0,2π),故 α= π 3 或 α= 5π 3 . 答案: π 3 或 5π 3 6.已知点 P 为动点,P(x,y),A(-2,0),B(3,0),且𝑃𝐴⃗⃗⃗ · 𝑃𝐵⃗⃗⃗ =x2 ,则点 P 的轨迹方程为 . 解析:由已知,得𝑃𝐴⃗⃗⃗ =(-x-2,-y),𝑃𝐵⃗⃗⃗ =(3-x,-y),则𝑃𝐴⃗⃗⃗ · 𝑃𝐵⃗⃗⃗ =(-x-2)(3-x)+(-y) 2=x2 ,化简得 y 2=x+6.故点 P 的轨迹方程为 y 2=x+6. 答案:y 2=x+6 7.已知 A(-1,0),B(2,4),△ABC 的面积为 10,则动点 C 的轨迹方程 是 . 解析:由题意知,直线 AB 的方程为 y= 4 3 (x+1),即 4x-3y+4=0,|AB|=√[2-(-1)] 2 + (4-0) 2=5.因为 △ABC 的面积为 10,所以点 C 到直线 AB 的距离为2×10 5 =4.设 C(x,y),则 |4𝑥-3𝑦+4| √4 2+3 2 =4,故点 C 的 轨迹方程为 4x-3y-16=0 或 4x-3y+24=0. 答案:4x-3y-16=0 或 4x-3y+24=0
8.(1)方程(x+y1)V√x1=0表示什么曲线？ (2)方程2x2+y2.4x+2y+3=0表示什么曲线？ (3)设A(2,0),B(0,2),能否说线段AB的方程为x+y-2=0?为什么？ 解(1)由方程(x+y1)VxI=0可得， e=o货0 即x+-1=0(x21)或x=1. 故原方程表示直线x=1和射线x+y10(之1). (2)原方程可化为2(x-1)2+(0y+1)2=0. .2(x-1)2≥0,0y+1)2≥0， ÷2x1)=0,任=1， 6y+1)2=0,=-1 故原方程表示点(1，-1) (3)不能说线段AB的方程为x+少2=0. 因为点(-3,5)的坐标是方程x+八2=0的一个解，但点(-3,5)不在线段AB上，所以线段AB的方程 不是x+-2=0. 9.设点P是圆x2+y2=4上的任一点，定点D的坐标为(8,0)，点M满足PM=2MD.当点P在圆上 运动时，求点M的轨迹方程. 解：设点M的坐标为(y),点P的坐标为(0o),由P=2MD,得(x-x00)=2(8-x,y),即0=3x 16,0=3y因为点P(00)在圆x+y2=4上 所以x行+y6=4,即(3x16)2+(3y)2=4, 即(x)号 故点M的轨迹方程为(x曾)》+y号
8.(1)方程(x+y-1)√𝑥-1=0 表示什么曲线? (2)方程 2x 2+y2 -4x+2y+3=0 表示什么曲线? (3)设 A(2,0),B(0,2),能否说线段 AB 的方程为 x+y-2=0?为什么? 解:(1)由方程(x+y-1)√𝑥-1=0 可得, { 𝑥-1 ≥ 0, 𝑥 + 𝑦-1 = 0 或{ 𝑥-1 ≥ 0, √𝑥-1 = 0, 即 x+y-1=0(x≥1)或 x=1. 故原方程表示直线 x=1 和射线 x+y-1=0(x≥1). (2)原方程可化为 2(x-1)2+(y+1)2=0. ∵2(x-1)2≥0,(y+1)2≥0, ∴{ 2(𝑥-1) 2 = 0, (𝑦 + 1) 2 = 0, ∴ { 𝑥 = 1, 𝑦 = -1. 故原方程表示点(1,-1). (3)不能说线段 AB 的方程为 x+y-2=0. 因为点(-3,5)的坐标是方程 x+y-2=0 的一个解,但点(-3,5)不在线段 AB 上,所以线段 AB 的方程 不是 x+y-2=0. 9.设点 P 是圆 x 2+y2=4 上的任一点,定点 D 的坐标为(8,0),点 M 满足𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗ =2𝑀𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ .当点 P 在圆上 运动时,求点 M 的轨迹方程. 解:设点 M 的坐标为(x,y),点 P 的坐标为(x0,y0),由𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗ =2𝑀𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ,得(x-x0,y-y0)=2(8-x,-y),即 x0=3x- 16,y0=3y.因为点 P(x0,y0)在圆 x 2+y2=4 上, 所以𝑥0 2 + 𝑦0 2=4,即(3x-16)2+(3y) 2=4, 即(𝑥- 16 3 ) 2 +y2= 4 9 . 故点 M 的轨迹方程为(𝑥- 16 3 ) 2 +y2= 4 9