2.2.3 两条直线的位置关系 基础巩固 1.直线2xr-y+k=0和4x-2y+1=0的位置关系是() A.平行 B.相交 C.平行或重合 D.重合 答案：C 2.已知直线x+a7=0与直线(a+1)x+2y-14=0互相平行，则a的值为() A.1 B.-2 C.1或-2 D.-1或2 解析：由题意可知， 。好8解得a-2 答案B 3.若经过点(3，a).(-2,0)的直线与直线x-2y+3=0垂直，则a的值为( ) A月 B. C.10 D.-10 5 解析由已知，得品一2，解得a10 答案D 4.(多选题)下列结论错误的是() A.当直线h和2的斜率都存在时，若k1=k,则h∥2 B.若两条直线1,2垂直，则它们的斜率之积一定等于-1 C.己知直线1：A1x+B1y+C1=0,2:A2x+B2y+C2=0,若直线1⊥12，则A14+B1B2=0 D.若点A,B关于直线y=+b(0)对称，则直线AB的斜率等于且线段AB的中点在直线1 上 解析：A中，当k=2时，直线1和2重合或平行，故A错误， B中，当直线1和2垂直时，它们中可能有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，故 B错误； C正确； D中，直线AB的斜率应为是故D错误 答案：ABD 5.过点(1,3)，且与直线x+21-0垂直的直线的方程为 答案：2x-y+1-0 6.己知过点P(3,2m)和点Q(m,2)的直线与过点M2,-1)和点N(-3,4)的直线平行，则m的值 是 解析：因为PQ∥MN,所以kPO=kN 即贺=解得m=1 m-3 经检验，m=-1符合题意，故m的值是-1. 答案1 7.与直线2x+3y+5=0平行，且在两坐标轴上的截距之和为9的直线的方程 为 析：设所求直线的方程为2x+3y+c=0. 当x=0时y-导当y0时x= 则号-=9解得c=4 32 故所求直线的方程为2x+3y-4=0. 答案：2x+3y-4=0 8.已知直线1经过点A(1,1)和B(3,2),直线h:2x-4y-3=0 (1)求直线的方程： (2)判断直线1与2的位置关系，并说明理由
2.2.3 两条直线的位置关系 基础巩固 1.直线 2x-y+k=0 和 4x-2y+1=0 的位置关系是( ) A.平行 B.相交 C.平行或重合 D.重合 答案:C 2.已知直线 x+ay-7=0 与直线(a+1)x+2y-14=0 互相平行,则 a 的值为( ) A.1 B.-2 C.1 或-2 D.-1 或 2 解析:由题意可知,{ 𝑎(𝑎 + 1)-2 = 0, -14𝑎 + 14 ≠ 0, 解得 a=-2. 答案:B 3.若经过点(3,a),(-2,0)的直线与直线 x-2y+3=0 垂直,则 a 的值为( ) A.5 2 B.2 5 C.10 D.-10 解析:由已知,得 𝑎-0 3-(-2) =-2,解得 a=-10. 答案:D 4.(多选题)下列结论错误的是( ) A.当直线 l1 和 l2 的斜率都存在时,若 k1=k2,则 l1∥l2 B.若两条直线 l1,l2 垂直,则它们的斜率之积一定等于-1 C.已知直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,若直线 l1⊥l2,则 A1A2+B1B2=0 D.若点 A,B 关于直线 l:y=kx+b(k≠0)对称,则直线 AB 的斜率等于1 𝑘 ,且线段 AB 的中点在直线 l 上 解析:A 中,当 k1=k2 时,直线 l1 和 l2 重合或平行,故 A 错误; B 中,当直线 l1 和 l2 垂直时,它们中可能有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为 0,故 B 错误; C 正确; D 中,直线 AB 的斜率应为- 1 𝑘 ,故 D 错误. 答案:ABD 5.过点(1,3),且与直线 x+2y-1=0 垂直的直线的方程为 . 答案:2x-y+1=0 6.已知过点 P(3,2m)和点 Q(m,2)的直线与过点 M(2,-1)和点 N(-3,4)的直线平行,则 m 的值 是 . 解析:因为 PQ∥MN,所以 kPQ=kMN, 即 2-2𝑚 𝑚-3 = 4-(-1) -3-2 ,解得 m=-1. 经检验,m=-1 符合题意,故 m 的值是-1. 答案:-1 7.与直线 2x+3y+5=0 平行,且在两坐标轴上的截距之和为10 3 的直线的方程 为 . 解析:设所求直线的方程为 2x+3y+c=0. 当 x=0 时,y=- 𝑐 3 ;当 y=0 时,x=- 𝑐 2 . 则- 𝑐 3 − 𝑐 2 = 10 3 ,解得 c=-4. 故所求直线的方程为 2x+3y-4=0. 答案:2x+3y-4=0 8.已知直线 l1 经过点 A(1,1)和 B(3,2),直线 l2:2x-4y-3=0. (1)求直线 l1 的方程; (2)判断直线 l1 与 l2 的位置关系,并说明理由
解()直线的方程为岩=器 即x-2y+1=0. (2)山1∥2.理由如下： 直线山的斜率为2藏距为2直线h的斜率为2藏距为是 h与2的斜率相等，截距不相等，∴1∥12 9.己知A(1,0),B3,2),C(0,4),点D满足AB⊥CD,且AD∥BC,试求点D的坐标 解设Dx现则6号1kc号kc兰o六 ,AB⊥CD,AD∥BC,.kAB:kCD-=-1,kAD=kBC 1x4=-1, y 2 =3 解得二i1Q数DX100 拓展提高 1.己知入射光线所在直线为1：2xy-3=0,经过x轴反射后所在直线为2，再经过y轴反射后所 在直线为3，则直线13的方程为() A.x-2y+3=0 B.2x-y+3=0 C.2x+y3=0 D.2x-y+6=0 解析：根据光的反射原理可知，1与h关于x轴对称，2与关于y轴对称，故直线h与乃平行 由题意易知，直线3过点(0,3)，故⅓的方程为2xy+3=0. 答案B 2.己知两点A(2,0),B3,4),直线1过点B,且交y轴于点C(0,y,O是坐标原点若OA,B,C四点共 圆，则y的值是( A.19 B兴 C.5 D.4 解析：由题意知，AB⊥BC,则k4BkgC=-1, 即铝×铝-1，解得)号故选B 答案B 3.设集合A-{《(xy)答=2，xy∈RB-{4x+a-16-0,xeR,若AnB=e,则a的值为 () A.a=4 B.a=-2 C.a=4或a=-2 D.a=.4或a=2 解析：集合A表示直线y3=2(x1),即y=2x+1上的点，但除去点(1,3)，集合B表示直线4x+ 16=0上的点，当AnB=0时，直线y=2r+1与4x+0-16=0平行或直线4x+y-16=0过点(1,3)， 故4-2或4+3a-16-0,故a=-2或a=4 答案：C 4.点M-1,0)关于直线x+21=0的对称点M的坐标为 解析：设点M的坐标为(o,J%), 剥倍x =-1, 解得 x0=5 空+受×2-1=0 =号 故M(-) 答案() 5.已知四点A(-4,3),B2,5),C(6,3),D(-3,0),若顺次连接A,B,C,D四点，试判定四边形ABCD的形 状 解A,B,C,D四点在平面直角坐标系内的位置如图所示
解:(1)直线 l1 的方程为𝑦-1 2-1 = 𝑥-1 3-1 , 即 x-2y+1=0. (2)l1∥l2.理由如下: 直线 l1 的斜率为1 2 ,截距为1 2 ,直线 l2 的斜率为1 2 ,截距为- 3 4 . ∵l1 与 l2 的斜率相等,截距不相等,∴l1∥l2. 9.已知 A(1,0),B(3,2),C(0,4),点 D 满足 AB⊥CD,且 AD∥BC,试求点 D 的坐标. 解:设 D(x,y),则 kAB= 2 3-1 =1,kBC= 4-2 0-3 =- 2 3 ,kCD= 𝑦-4 𝑥 ,kAD= 𝑦 𝑥-1 . ∵AB⊥CD,AD∥BC,∴kAB·kCD=-1,kAD=kBC. ∴{ 1 × 𝑦-4 𝑥 = -1, 𝑦 𝑥-1 = - 2 3 , 解得{ 𝑥 = 10, 𝑦 = -6. 故 D(10,-6). 拓展提高 1.已知入射光线所在直线为 l1:2x-y-3=0,经过 x 轴反射后所在直线为 l2,再经过 y 轴反射后所 在直线为 l3,则直线 l3 的方程为( ) A.x-2y+3=0 B.2x-y+3=0 C.2x+y-3=0 D.2x-y+6=0 解析:根据光的反射原理可知,l1 与 l2 关于 x 轴对称,l2 与 l3 关于 y 轴对称,故直线 l1 与 l3 平行. 由题意易知,直线 l3 过点(0,3),故 l3 的方程为 2x-y+3=0. 答案:B 2.已知两点 A(2,0),B(3,4),直线 l 过点 B,且交 y 轴于点 C(0,y),O 是坐标原点.若 O,A,B,C 四点共 圆,则 y 的值是( ) A.19 B.19 4 C.5 D.4 解析:由题意知,AB⊥BC,则 kAB·kBC=-1, 即 4-0 3-2 × 4-𝑦 3-0 =-1,解得 y= 19 4 .故选 B. 答案:B 3.设集合 A={(𝑥,𝑦)| 𝑦-3 𝑥-1 = 2,𝑥,𝑦∈R},B={(x,y)|4x+ay-16=0,x,y∈R},若 A∩B=⌀,则 a 的值为 ( ) A.a=4 B.a=-2 C.a=4 或 a=-2 D.a=-4 或 a=2 解析:集合 A 表示直线 y-3=2(x-1),即 y=2x+1 上的点,但除去点(1,3),集合 B 表示直线 4x+ay- 16=0 上的点,当 A∩B=⌀时,直线 y=2x+1 与 4x+ay-16=0 平行或直线 4x+ay-16=0 过点(1,3), 故- 4 𝑎 =2 或 4+3a-16=0,故 a=-2 或 a=4. 答案:C 4.点 M(-1,0)关于直线 x+2y-1=0 的对称点 M'的坐标为 . 解析:设点 M'的坐标为(x0,y0), 则{ 𝑦 0 𝑥0+1 × (- 1 2 ) = -1, 𝑥0 -1 2 + 𝑦 0 2 × 2-1 = 0, 解得{ 𝑥0 = - 1 5 , 𝑦0 = 8 5 . 故 M'(- 1 5 , 8 5 ). 答案:(- 1 5 , 8 5 ) 5.已知四点 A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0),若顺次连接 A,B,C,D 四点,试判定四边形 ABCD 的形 状. 解:A,B,C,D 四点在平面直角坐标系内的位置如图所示
由斜率公式可得ku品=0 0-3 0-3 =333,kc 3-51 6-22 ,kHB=kCD,由图可知AB与CD不重合， ,.AB∥CD ,kAD#kBC,AD与BC不平行. ·k4BkD3X(-3)-l, .AB⊥AD. 故四边形ABCD为直角梯形. 挑战创新 已知△ABC三边所在直线的方程分别为AB:3x+4y+12=0,BC:4x-3y+16=0,AC:2x+y~-2=0,求边 AC上的高BD所在的直线方程 解由层y162.0解代=0风40 因为BD14C所以0-记=号 1 所以边AC上的高BD所在的直线方程为y-x+4),即x-2y+4=-0
由斜率公式可得,kAB= 5-3 2-(-4) = 1 3 ,kCD= 0-3 -3-6 = 1 3 ,kAD= 0-3 -3-(-4) =-3,kBC= 3-5 6-2 =- 1 2 . ∵kAB=kCD,由图可知 AB 与 CD 不重合, ∴AB∥CD. ∵kAD≠kBC,∴AD 与 BC 不平行. ∵kAB·kAD= 1 3 ×(-3)=-1, ∴AB⊥AD. 故四边形 ABCD 为直角梯形. 挑战创新 已知△ABC 三边所在直线的方程分别为 AB:3x+4y+12=0,BC:4x-3y+16=0,AC:2x+y-2=0,求边 AC 上的高 BD 所在的直线方程. 解:由{ 3𝑥 + 4𝑦 + 12 = 0, 4𝑥-3𝑦 + 16 = 0, 解得{ 𝑥 = -4, 𝑦 = 0. 故 B(-4,0). 因为 BD⊥AC,所以 kBD=- 1 𝑘𝐴𝐶 = 1 2 . 所以边 AC 上的高 BD 所在的直线方程为 y= 1 2 (x+4),即 x-2y+4=0