1.2.2 空间中的平面与空间向量 基础巩固 1.下列说法不正确的是() A.平面α的法向量垂直于与平面a共面的所有向量 B.一个平面的所有法向量互相平行 C.如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直 D.如果a,b与平面a共面，且n⊥a,n⊥b,那么n就是平面a的一个法向量 解析：a与b可能共线，故D不正确 答案D 2.若直线1∥平面a,且1的方向向量为(2m,1),平面a的一个法向量为(1，号，2)，则m的值为 A.-4 B.-6 C.-8 D.8 解析：1∥a1×2+m+1×2-0,m=-8. 答案C 3.设平面a的一个法向量为(1,2，-2)，平面B的一个法向量为(-2，-4，)，若α川B,则k=() A. B.-4 C.4 D.-2 解析由题可知子=产=会得4 答案：C 4.已知斜线b在平面a内的射影为c,直线a⊥c,则直线a与斜线b() A.垂直 B.不一定垂直 C.共面或垂直 D.以上都有可能 解析：a的位置关系不定。 答案D 5.(多选题)已知平面a内有一个点A(2,-1,2),平面a的一个法向量为n=(3,1,2),则下列各点在 平面a内的是( ) A.P1,-1,1) B.0(1,3) CR(2,2) D.s-1,3) 解析对于选项A,PA-(1,0,1),则PAn=50,故排除A对于选项B,Q☑=(1，-4，月，则Q4n=0,0 (1,3在a内：对于选项C网=(03，引丽a=-3+220,R2,2分引在a内：对于选项 D,5-3,-4,则37n=9-4+7=120,故排除D 答案BC 6.已知△ABC是∠B为直角的等腰直角三角形，其中BA=(1,m,2),BC=(2,m,nm,n∈R),则 m+1= 解析：由题意，得BA·BC=0,且BA=BC1, :+m2+2n=0, 1+m2+4=4+m2+n2, 是m+n= 答案-1 7.如图，BC是Rt△ABC的斜边，AP⊥平面ABC,PD⊥BC交BC于点D,连接AD,则图中共有 直角三角形 个
1.2.2 空间中的平面与空间向量 基础巩固 1.下列说法不正确的是( ) A.平面 α 的法向量垂直于与平面 α 共面的所有向量 B.一个平面的所有法向量互相平行 C.如果两个平面的法向量垂直,那么这两个平面也垂直 D.如果 a,b 与平面 α 共面,且 n⊥a,n⊥b,那么 n 就是平面 α 的一个法向量 解析:a 与 b 可能共线,故 D 不正确. 答案:D 2.若直线 l∥平面 α,且 l 的方向向量为(2,m,1),平面 α 的一个法向量为(1, 1 2 ,2),则 m 的值为 ( ) A.-4 B.-6 C.-8 D.8 解析:∵l∥α,∴1×2+ 1 2 ×m+1×2=0,∴m=-8. 答案:C 3.设平面 α 的一个法向量为(1,2,-2),平面 β 的一个法向量为(-2,-4,k),若 α∥β,则 k=( ) A.2 B.-4 C.4 D.-2 解析:由题可知, -2 1 = -4 2 = 𝑘 -2 ,得 k=4. 答案:C 4.已知斜线 b 在平面 α 内的射影为 c,直线 a⊥c,则直线 a 与斜线 b( ) A.垂直 B.不一定垂直 C.共面或垂直 D.以上都有可能 解析:a 的位置关系不定. 答案:D 5.(多选题)已知平面 α 内有一个点 A(2,-1,2),平面 α 的一个法向量为 n=(3,1,2),则下列各点在 平面 α 内的是( ) A.P(1,-1,1) B.Q(1,3, 3 2 ) C.R(2,2, 1 2 ) D.S(-1,3,- 3 2 ) 解析:对于选项 A,𝑃𝐴⃗⃗⃗ =(1,0,1),则𝑃𝐴⃗⃗⃗ ·n=5≠0,故排除 A;对于选项 B,𝑄𝐴⃗⃗⃗ = (1,-4, 1 2 ),则𝑄𝐴⃗⃗⃗ ·n=0,Q 1,3,3 2 在 α 内;对于选项 C,𝑅𝐴⃗⃗⃗ = (0,-3, 3 2 ) ,𝑅𝐴⃗⃗⃗ ·n=-3+2×3 2 =0,∴R(2,2, 1 2 )在 α 内;对于选项 D,𝑆𝐴⃗ = 3,-4,7 2 ,则𝑆𝐴⃗ ·n=9-4+7=12≠0,故排除 D. 答案:BC 6.已知△ABC 是∠B 为直角的等腰直角三角形,其中𝐵𝐴⃗⃗⃗ =(1,m,2),𝐵𝐶⃗⃗⃗ =(2,m,n)(m,n∈R),则 m+n= . 解析:由题意,得𝐵𝐴⃗⃗⃗ · 𝐵𝐶⃗⃗⃗ =0,且|𝐵𝐴⃗⃗⃗ |=|𝐵𝐶⃗⃗⃗ |, ∴{ 2 + 𝑚2 + 2𝑛 = 0, 1 + 𝑚2 + 4 = 4 + 𝑚2 + 𝑛 2 , ∴{ 𝑚 = 0, 𝑛 = -1, ∴m+n=-1. 答案:-1 7. 如图,BC 是 Rt△ABC 的斜边,AP⊥平面 ABC,PD⊥BC 交 BC 于点 D,连接 AD,则图中共有 直角三角形 个
B4 解析：直角三角形有△PAB,△PAD,△PAC,△ABC,△ADC,△ADB,△PDC,△PDB. 答案：8 8.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BCAB=BC-2,BB1=1,E为BB的中点.求证：平面 AEC1⊥平面AA1C1C 6 A 证明：由题意，得AB,BC,B1B两两垂直，以B为原点，BA,B配，BB1所在方向分别为x轴、y轴、： 轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示 则42,0,0)4(20,1)，C0,20).C(02,1),E(0.0,) 则A-0,0,1),4C=(-2,20),AC(-22,1)正=（2,0，) 设平面A41C1C的一个法向量为1=(x1M1), 则m不=21=0， (n1AC=-2x1+2y1=0 令x1=1,得y1=1,n1=(1,1,0) 设平面AEC的一个法向量为2=(x22,2), 则C=-2x2+2%+22=0. (n2AE=-2x2+z2=0, 令2=4，得x2=1,2=-1,∴.2=(1，-1,4) .n1n2=1×1+1×(-1)+0×4=0, .n1⊥2..平面AEC⊥平面AA1CC. 9.在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC,PA⊥平面ABCD,且PA=AB,E为PD的 中点 求证：(1)AC⊥PB; (2)PB∥平面AEC. 证明(I)以A为坐标原点，AC,AB,AP所在方向分别为x轴、y轴、二轴正方向，建立空间直角 坐标系，如图所示.设PA=1,AC=x,则A0,0,0),P0,0,1),B0,1,0),C(x,0,0),AC=(x,0,0),PB-(0,1,-1)
解析:直角三角形有△PAB,△PAD,△PAC,△ABC,△ADC,△ADB,△PDC,△PDB. 答案:8 8.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB⊥BC,AB=BC=2,BB1=1,E 为 BB1 的中点.求证:平面 AEC1⊥平面 AA1C1C. 证明:由题意,得 AB,BC,B1B 两两垂直,以 B 为原点,𝐵𝐴⃗⃗⃗ ,𝐵𝐶⃗⃗⃗ ,𝐵𝐵1 ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴正方向,建立空间直角坐标系,如图所示. 则 A(2,0,0),A1(2,0,1),C(0,2,0),C1(0,2,1),E(0,0, 1 2 ). 则𝐴𝐴1 ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1),𝐴𝐶⃗⃗ =(-2,2,0),𝐴𝐶1 ⃗⃗⃗⃗ =(-2,2,1),𝐴𝐸⃗⃗⃗ = (-2,0, 1 2 ). 设平面 AA1C1C 的一个法向量为 n1=(x1,y1,z1), 则{ 𝑛1 ·𝐴𝐴1 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑧1 = 0, 𝑛1 ·𝐴𝐶⃗⃗ = -2𝑥1 + 2𝑦1 = 0. 令 x1=1,得 y1=1,∴n1=(1,1,0). 设平面 AEC1 的一个法向量为 n2=(x2,y2,z2), 则{ 𝑛2 ·𝐴𝐶1 ⃗⃗⃗⃗ = -2𝑥2 + 2𝑦2 + 𝑧2 = 0, 𝑛2 ·𝐴𝐸⃗⃗⃗ = -2𝑥2 + 1 2 𝑧2 = 0, 令 z2=4,得 x2=1,y2=-1,∴n2=(1,-1,4). ∵n1·n2=1×1+1×(-1)+0×4=0, ∴n1⊥n2.∴平面 AEC1⊥平面 AA1C1C. 9.在底面为平行四边形的四棱锥 P-ABCD 中,AB⊥AC,PA⊥平面 ABCD,且 PA=AB,E 为 PD 的 中点. 求证:(1)AC⊥PB; (2)PB∥平面 AEC. 证明:(1)以 A 为坐标原点,𝐴𝐶⃗⃗ ,𝐴𝐵⃗⃗⃗ ,𝐴𝑃⃗⃗⃗ 所在方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴正方向,建立空间直角 坐标系,如图所示.设 PA=1,AC=x,则 A(0,0,0),P(0,0,1),B(0,1,0),C(x,0,0),𝐴𝐶⃗⃗ =(x,0,0),𝑃𝐵⃗⃗⃗ =(0,1,-1)
.A元.PB=x×0+0×1+0×(-1)=0, AC⊥PB (2)()得Dx-l,0)E传克》，正=（侍2》，C-x0.0P丽-0,11） 则PE-2A正+AC,∴.PB∥平面AEC ,PBq平面AEC,∴.PB∥平面AEC 拓展提高 1.如图，在三棱锥A-BCD中，DA,DB,DC两两垂直，且DB=DC,E为BC的中点，则AE.BC等于 (） A.0 B.1 C.2 D.3 解析：如图，以DB,DC,DA所在方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，设 DC=DB=a,DA=b,则B(a0,0,C0,a0,40,0,b,E(传是，0所以C-(aa,0,A正.（号号1/，所以 正-号+号0-0 2 答案：A 2.已知点A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1),P(x,0,),若PA⊥平面ABC,则点P的坐标为) A.(1,0,-2) B.(1,0,2) C.(-1,0,2) D.(2,0,-1) 解析：由题意知AB=(-1,-1,-1),AC=(2,0,1),AP-(x,-1,).因为PA⊥平面ABC,所以AB·AF=(-1, 1,-1)(x,-1,)=0, 得-x+1-2=0.① AC.AP=(2,0,1)(x,-1,)=0, 得2x+z=0,② 联立①②得x=.1,=2, 故点P的坐标为(-1,0,2). 答案：C 3.己知AE=(1,5,-2),BC=(3,1,),若AE1BC,BF=(x-1y-3),且BP⊥平面ABC,则实数xy=的值 分别为() A号男4 B994
∵𝐴𝐶⃗⃗ · 𝑃𝐵⃗⃗⃗ =x×0+0×1+0×(-1)=0, ∴AC⊥PB. (2)由(1)得 D(x,-1,0),E( 𝑥 2 ,- 1 2 , 1 2 ) , 𝐴𝐸⃗⃗⃗ = ( 𝑥 2 ,- 1 2 , 1 2 ) ,𝐴𝐶⃗⃗ =(x,0,0),𝑃𝐵⃗⃗⃗ =(0,1,-1). 则𝑃𝐵⃗⃗⃗ =-2𝐴𝐸⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗ ,∴𝑃𝐵⃗⃗⃗ ∥平面 AEC. ∵PB⊄平面 AEC,∴PB∥平面 AEC. 拓展提高 1. 如图,在三棱锥 A-BCD 中,DA,DB,DC 两两垂直,且 DB=DC,E 为 BC 的中点,则𝐴𝐸⃗⃗⃗ · 𝐵𝐶⃗⃗⃗ 等于 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:如图,以𝐷𝐵⃗ ⃗ ,𝐷𝐶⃗⃗⃗ ,𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗ 所在方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴正方向,建立空间直角坐标系,设 DC=DB=a,DA=b,则 B(a,0,0),C(0,a,0),A(0,0,b),E( 𝑎 2 , 𝑎 2 ,0),所以𝐵𝐶⃗⃗⃗ =(-a,a,0),𝐴𝐸⃗⃗⃗ = 𝑎 2 , 𝑎 2 ,-b ,所以 𝐴𝐸⃗⃗⃗ · 𝐵𝐶⃗⃗⃗ =- 𝑎 2 2 + 𝑎 2 2 +0=0. 答案:A 2.已知点 A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1),P(x,0,z),若 PA⊥平面 ABC,则点 P 的坐标为( ) A.(1,0,-2) B.(1,0,2) C.(-1,0,2) D.(2,0,-1) 解析:由题意知𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(-1,-1,-1),𝐴𝐶⃗⃗ =(2,0,1),𝐴𝑃⃗⃗⃗ =(x,-1,z).因为 PA⊥平面 ABC,所以𝐴𝐵⃗⃗⃗ · 𝐴𝑃⃗⃗⃗ =(-1,- 1,-1)·(x,-1,z)=0, 得-x+1-z=0.① 𝐴𝐶⃗⃗ · 𝐴𝑃⃗⃗⃗ =(2,0,1)·(x,-1,z)=0, 得 2x+z=0,② 联立①②得 x=-1,z=2, 故点 P 的坐标为(-1,0,2). 答案:C 3.已知𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(1,5,-2),𝐵𝐶⃗⃗⃗ =(3,1,z),若𝐴𝐵⃗⃗⃗ ⊥ 𝐵𝐶⃗⃗⃗ , 𝐵𝑃⃗⃗⃗ =(x-1,y,-3),且 BP⊥平面 ABC,则实数 x,y,z 的值 分别为( ) A.33 7 ,- 15 7 ,4 B.40 7 ,- 15 7 ,4
c号-24 D4915 解析：AE⊥BC .AE.BC=0,即3+5-2=0，得=4 又BP⊥平面ABC, .BP⊥AB,BP⊥BC ∴.Bp.AB=0,BF.BC=0, 即x-1)+5y+6=0 x0 解得 73 3(x-1)+y-12=0, =9 答案B 4.(多选题)已知点A(a,0,0),B0,b,0),C(0,0,c),则下列向量是平面ABC的法向量的是() A.(bc,ac,ab) B.(ac,ab,bc) C.(bc,ab,ac) D.(abcacab) 解析：由题意可得AE=(-a,b,0),AC-(-a,0,c) 设平面ABC的法向量为n=(xy,), 则丽n=-ax+by=0,令x=ic.得n=bcac,ab.故A正绮 AC.n =-ax+cz=0, 令m=(abc,a2c,ab)=a(bc,ac,ab),故D正确 答案：AD 5.同时垂直于a=(2,2,1),b=(4,5,3)的单位向量是 2x+2y+z=0, 解析：设所求向量为c=(xy,),则4x+5y+3z=0, x2+y2+z2=1, 1 x二3 x二-3 解得{y=或y= 2 33 3 z=号 (2=.3 3 答案（传）或（导》 6.如图，在空间直角坐标系中，BC-2,原点O是BC的中点，点D在平面yOz上，且∠BDC=90°， ∠DCB=30°，则向量0万的坐标为 解析：如图，过点D作DE⊥BC,垂足为点E 在Rt△BCD中，由∠BDC-90°，∠DCB=30°，BC-2,得BD=1,CD=V3.∴.DE=CD.sin 30°号0E-0B--BD-cos60-1=是 三点D的坐标为0号乳 即向量0而的坐标为0
C.40 7 ,-2,4 D.4,40 7 ,-15 解析:∵𝐴𝐵⃗⃗⃗ ⊥ 𝐵𝐶⃗⃗⃗ , ∴𝐴𝐵⃗⃗⃗ · 𝐵𝐶⃗⃗⃗ =0,即 3+5-2z=0,得 z=4. 又 BP⊥平面 ABC, ∴BP⊥AB,BP⊥BC, ∴𝐵𝑃⃗⃗⃗ · 𝐴𝐵⃗⃗⃗ =0,𝐵𝑃⃗⃗⃗ · 𝐵𝐶⃗⃗⃗ =0, 即{ (𝑥-1) + 5𝑦 + 6 = 0, 3(𝑥-1) + 𝑦-12 = 0, 解得{ 𝑥 = 40 7 , 𝑦 = - 15 7 . 答案:B 4.(多选题)已知点 A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),则下列向量是平面 ABC 的法向量的是( ) A.(bc,ac,ab) B.(ac,ab,bc) C.(bc,ab,ac) D.(abc,a 2 c,a 2b) 解析:由题意可得𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(-a,b,0),𝐴𝐶⃗⃗ =(-a,0,c). 设平面 ABC 的法向量为 n=(x,y,z), 则{ 𝐴𝐵⃗⃗⃗ ·𝑛 = -𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 0, 𝐴𝐶⃗⃗ ·𝑛 = -𝑎𝑥 + 𝑐𝑧 = 0, 令 x=bc,得 n=(bc,ac,ab),故 A 正确. 令 m=(abc,a 2 c,a 2b)=a(bc,ac,ab),故 D 正确. 答案:AD 5.同时垂直于 a=(2,2,1),b=(4,5,3)的单位向量是 . 解析:设所求向量为 c=(x,y,z),则{ 2𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 0, 4𝑥 + 5𝑦 + 3𝑧 = 0, 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 1, 解得 { 𝑥 = 1 3 , 𝑦 = - 2 3 , 𝑧 = 2 3 或 { 𝑥 = - 1 3 , 𝑦 = 2 3 , 𝑧 = - 2 3 . 答案: 1 3 ,- 2 3 , 2 3 或 - 1 3 , 2 3 ,- 2 3 6.如图,在空间直角坐标系中,BC=2,原点 O 是 BC 的中点,点 D 在平面 yOz 上,且∠BDC=90°, ∠DCB=30°,则向量𝑂𝐷⃗⃗ 的坐标为 . 解析:如图,过点 D 作 DE⊥BC,垂足为点 E. 在 Rt△BCD 中,由∠BDC=90°,∠DCB=30°,BC=2,得 BD=1,CD=√3.∴DE=CD·sin 30°= √3 2 ,OE=OB-BD·cos 60°=1- 1 2 = 1 2 . ∴点 D 的坐标为 0,- 1 2 , √3 2 , 即向量𝑂𝐷⃗⃗ 的坐标为(0,- 1 2 , √3 2 )
答案(0，) 7.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1CD1中，底面边长为2VZ,侧棱长为4，E,F分别是棱AB,BC的 中点，EFOBD=G.求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1 D 证明：如图，以D为原点，DA,DC,DD的方向分别为x轴、y轴、：轴正方向，建立空间直角坐 标系 由题意知，A(2VZ,0,0),C(0,2V2,0),D0,0,0),B1(2VZ,2VZ,4),E2VZ,V2,0),FNZ,2VZ,0),B1E=(0, √2，-4)，EF=(-VZ,√2,0) 设平面B1EF的一个法向量为n=(x,y). n:B E=-V2y-4z=0,n-EF=-V2x+v2y=0. 解得x=y,2=4y 令=1得n=（1,1, 又平面BDD1B1的一个法向量为AC=(-2V2,2VZ,0),而nAC=1×(- 22+122+( )×0-0,即n⊥AC .平面B1EF⊥平面BDD1B1. 挑战创新 如图，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD,PA=AD,M,N,Q分别是PC,AB,CD的中点. D 求证：(1)MN∥平面PAD: (2)平面QMN∥平面PAD (3)MN⊥平面PCD. 证明(1)如图，以A为原点，AB,AD,AP的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐 标系
答案: 0,- 1 2 , √3 2 7.如图,在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,底面边长为 2√2,侧棱长为 4,E,F 分别是棱 AB,BC 的 中点,EF∩BD=G.求证:平面 B1EF⊥平面 BDD1B1. 证明:如图,以 D 为原点,𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗ ,𝐷𝐶⃗⃗⃗ ,𝐷𝐷1 ⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴正方向,建立空间直角坐 标系. 由题意知,A(2√2,0,0),C(0,2√2,0),D(0,0,0),B1(2√2,2√2,4),E(2√2,√2,0),F(√2,2√2,0),𝐵⃗⃗ 1 ⃗⃗𝐸 =(0,- √2,-4),𝐸𝐹⃗⃗ =(-√2,√2,0). 设平面 B1EF 的一个法向量为 n=(x,y,z). 则 n·𝐵⃗⃗ 1 ⃗⃗𝐸 =-√2y-4z=0,n·𝐸𝐹⃗⃗ =-√2x+√2y=0. 解得 x=y,z=- √2 4 y, 令 y=1 得 n= 1,1,- √2 4 ,又平面 BDD1B1 的一个法向量为𝐴𝐶⃗⃗ =(-2√2,2√2,0),而 n·𝐴𝐶⃗⃗ =1×(- 2√2)+1×2√2 + (- √2 4 )×0=0,即 n⊥𝐴𝐶⃗⃗ . ∴平面 B1EF⊥平面 BDD1B1. 挑战创新 如图,四边形 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,PA=AD,M,N,Q 分别是 PC,AB,CD 的中点. 求证:(1)MN∥平面 PAD; (2)平面 QMN∥平面 PAD; (3)MN⊥平面 PCD. 证明:(1)如图,以 A 为原点,𝐴𝐵⃗⃗⃗ ,𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝑃⃗⃗⃗ 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴正方向,建立空间直角坐 标系
设AB=b,PA=AD=d,则B(b,0,0),D0,d,0),P0,0,d),则C(b,d,0)MN,Q分别是PC,AB,CD的中 点，∴M(),No.0),e(侵d0, W-0号是E-(b0,0 当b=1时，易知平面PAD的一个法向量为m=(1,0,0),∴.MNm=0,即M⊥m 又MNd平面PAD,∴.MN∥平面PAD. (2)由(1)知Q-(0,-d,0,.Qm=0, ∴.QN⊥m又QNd平面PAD,.QN∥平面PAD 又MNNON=N,∴.平面QMN∥平面PAD. (3)由(1)知P元=(0，d,-d0,DC-(b,0,0), ∴Mm.P而=（)d+()(d=-0,Mm·D元-0，∴NLPD,MNLDC. 又PDNDC=D,∴.MN⊥平面PCD
设 AB=b,PA=AD=d,则 B(b,0,0),D(0,d,0),P(0,0,d),则 C(b,d,0).∵M,N,Q 分别是 PC,AB,CD 的中 点,∴M 𝑏 2 , 𝑑 2 , 𝑑 2 ,N 𝑏 2 ,0,0 ,Q 𝑏 2 ,d,0 , ∴𝑀𝑁⃗⃗⃗ = 0,- 𝑑 2 ,- 𝑑 2 ,𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(b,0,0). 当 b=1 时,易知平面 PAD 的一个法向量为 m=(1,0,0),∴𝑀𝑁⃗⃗⃗ ·m=0,即𝑀𝑁⃗⃗⃗ ⊥m. 又 MN⊄平面 PAD,∴MN∥平面 PAD. (2)由(1)知⃗𝑄𝑁⃗ ⃗ =(0,-d,0),∴⃗𝑄𝑁⃗ ⃗ ·m=0, ∴⃗𝑄𝑁⃗ ⃗ ⊥m.又 QN⊄平面 PAD,∴QN∥平面 PAD. 又 MN∩QN=N,∴平面 QMN∥平面 PAD. (3)由(1)知𝑃𝐷⃗⃗⃗ =(0,d,-d),𝐷𝐶⃗⃗⃗ =(b,0,0), ∴𝑀𝑁⃗⃗⃗ · 𝑃𝐷⃗⃗⃗ = (- 𝑑 2 )·d+(- 𝑑 2 )·(-d)=0,𝑀𝑁⃗⃗⃗ · 𝐷𝐶⃗⃗⃗ =0,∴MN⊥PD,MN⊥DC. 又 PD∩DC=D,∴MN⊥平面 PCD