2.5.2 椭圆的几何性质 基础巩固 1已知椭圆+兰-1的离心率e罗则实数k的值为 k 53 A.3 B3或 C./5 DV压或雪 答案B 2椭圆苦+号1与后+益10k←9的 2 ) A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.焦点相同 D.焦距相等 答案D 3.已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则椭 圆的方程为( ) A22 72 +5 9 c器+- y2 后+云 y2 解析：由题意可得a=9,c-3,故b2=2-c2-81-9-72.又焦点在x轴上，故选A 答案：A 4若椭圆的一个顶点为0,2)，离心率e之则椭圆的方程为() A+ 16 B+ C 3x2 3y 、士年一1 4 3 +片1或+ D =1 3 解析当焦点在x轴上时，62，e台=2则㎡=+c24+c2-4C,故c2号d当，故椭圆的方程为 3 茫+片1当点在y轴上时，a-2由e台=知c-1,心-3，故裤圆的方程为+号-1 4 故选C 答案：C 5(多选题)已知点A(26)在椭圆三+号-1a>0)上，则下列结论正确的是() A离心率为 B.长轴长为5 C.短轴长为6 D.焦点为(0，±4) 解析将42v6)的坐标代入三+号-1，解得a-5由-+心，得c-4故精圆的高心率e后 手长轴长为2a=10,短轴长为2b=6,焦点为(t4,0), 答案：AC 6.椭圆x2+22-1的焦距为 离心率为 解析a2-1,6-是a=l,c-a2-- 焦距为20瓦离心率e片=号 答案号 7已知椭圆的半短轴长为1，离心率0<e要则长轴长的取值范围为 解析：b=1,c2=2-1
2.5.2 椭圆的几何性质 基础巩固 1.已知椭圆𝑥 2 5 + 𝑦 2 𝑘 =1 的离心率 e= √10 5 ,则实数 k 的值为( ) A.3 B.3 或 25 3 C.√5 D.√15或 √15 3 答案:B 2.椭圆𝑥 2 25 + 𝑦 2 9 =1 与 𝑥 2 9-𝑘 + 𝑦 2 25-𝑘 =1(00)上,则下列结论正确的是( ) A.离心率为4 5 B.长轴长为 5 C.短轴长为 6 D.焦点为(0,±4) 解析:将 A(2√6, 3 5 )的坐标代入𝑥 2 𝑎2 + 𝑦 2 9 =1,解得 a=5.由 a 2=b2+c2 ,得 c=4.故椭圆的离心率 e= 𝑐 𝑎 = 4 5 ,长轴长为 2a=10,短轴长为 2b=6,焦点为(±4,0). 答案:AC 6.椭圆 x 2+2y 2=1 的焦距为 ;离心率为 . 解析:∵a 2=1,b 2= 1 2 ,∴a=1,c=√𝑎 2-𝑏 2 = √2 2 . ∴焦距为 2c=√2,离心率 e= 𝑐 𝑎 = √2 2 . 答案:√2 √2 2 7.已知椭圆的半短轴长为 1,离心率 0<e≤ √3 2 ,则长轴长的取值范围为 . 解析:∵b=1,∴c 2=a2 -1. 又 𝑐 2 𝑎2 = 𝑎 2 -1 𝑎2 =1- 1 𝑎2 ≤ 3 4 ,∴ 1 𝑎2 ≥ 1 4 ,∴a 2≤4
又a2-1>0,.a2>1, .1b0).B0,)为上顶点F八c0为右俱点 1 设D(xy).由BF=2FD,得(C,-b)=2(xCy), 中6织0样得 x- 则D(货) 由点D在椭圆上，知 -+ -=1 a2 h2 解得-3C,即2故e号 答案号 9.己知椭圆？+m+3y=mm>0)的离心率e=三求m的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐 2 标、顶点坐标 解精圆方程可化为二+兰1 y2 m m+3 :'m mmm0..mm m+3 m+3 m+3 ∴d2=m,2=mc=Va2-b2= mm+2) m+3 m+3 由e票得票-要解得m1:0-1bc马稀国的长轴长为2短轴长为1焦点坐标 Vm+32 为（兽）（停0）项点坐标1010(0.(0引 10.已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点到x轴的距离等于半短轴长的，求椭圆的离心率 解（方法一）如图，设焦点坐标为F1(-C,0),F2(c,0),M是椭圆上一点，依题意，不妨设M的坐标为 (c号 在Rt△MFF2中，F1FP+lMF22=MF2, 即4c2+b2=MF 又MFi+MF=4c2+号b2+2五-2a, 整理，得3c2-3a2-2ab. 又c-品，b-2ag=号
又 a 2 -1>0,∴a 2>1, ∴1b>0),B(0,b)为上顶点,F(c,0)为右焦点, 设 D(x,y).由𝐵𝐹⃗⃗⃗ =2𝐹𝐷⃗⃗⃗ ,得(c,-b)=2(x-c,y), 即{ 𝑐 = 2(𝑥-𝑐), -𝑏 = 2𝑦, 解得{ 𝑥 = 3𝑐 2 , 𝑦 = - 𝑏 2 , 则 D( 3𝑐 2 ,- 𝑏 2 ). 由点 D 在椭圆上,知 ( 3𝑐 2 ) 2 𝑎2 + (- 𝑏 2 ) 2 𝑏 2 =1, 解得 a 2=3c 2 ,即 e 2= 1 3 ,故 e= √3 3 . 答案: √3 3 9.已知椭圆 x 2+(m+3)y 2=m(m>0)的离心率 e= √3 2 ,求 m 的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐 标、顶点坐标. 解:椭圆方程可化为𝑥 2 𝑚 + 𝑦 2 𝑚 𝑚+3 =1. ∵m- 𝑚 𝑚+3 = 𝑚(𝑚+2) 𝑚+3 >0,∴m> 𝑚 𝑚+3 . ∴a 2=m,b 2= 𝑚 𝑚+3 ,c=√𝑎 2-𝑏 2 = √ 𝑚(𝑚+2) 𝑚+3 . 由 e= √3 2 ,得√ 𝑚+2 𝑚+3 = √3 2 ,解得 m=1.∴a=1,b=1 2 ,c= √3 2 .∴椭圆的长轴长为 2,短轴长为 1,焦点坐标 为(- √3 2 ,0) , ( √3 2 ,0),顶点坐标为(-1,0),(1,0),(0,- 1 2 ) , (0, 1 2 ). 10.已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点到 x 轴的距离等于半短轴长的2 3 ,求椭圆的离心率. 解:(方法一)如图,设焦点坐标为 F1(-c,0),F2(c,0),M 是椭圆上一点,依题意,不妨设 M 的坐标为 (𝑐, 2 3 𝑏). 在 Rt△MF1F2 中,|F1F2| 2+|MF2| 2=|MF1| 2 , 即 4c 2+ 4 9 b 2=|MF1| 2 . 又|MF1|+|MF2|=√4𝑐 2 + 4 9 𝑏 2 + 2 3 b=2a, 整理,得 3c 2=3a 2 -2ab. 又 c 2=a2 -b 2 ,∴3b=2a.∴ 𝑏 2 𝑎2 = 4 9
3 （方法二不妨设精圆的方程为号+片=1a>b0,M(号) 点M在椭圆上 +62 Q2+ =亭即e 5 3 拓展提高 1,过椭圆二+号-1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为灯) A.8,6 B.4,3 C.2,3 D.4,23 答案B 2设F,5是椭圆号+片-1@>b>0)的左、右焦点P为直线x-受上一点，△FPF是底角为 30°的等腰三角形，则椭圆E的离心率为() A月 B明 c D 解析：如图，，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形， ∴.∠PF2A=60° PF2=F1F2=2c. MF:l-c.'.2c-a e是故选C 答案：C 3(多选题)没A,B是椭圆C号+片1的长轴的两个端点若C上存在点M满足∠AMB=120 m 则m的值可能是() A.2 B.3 c.1 D.10 解析依题意得，漂≥tan 2 03, 中层2ta60°友停≥am60e, (√m」 03, 解得0b>0 .△F2AB的周长为8，.4a=8,即a=2 又e-后=cl,B=d.c2=4-1-3 精圆C的标准方程为号+号-1 答案+号1
∴e 2= 𝑐 2 𝑎2 = 𝑎 2 -𝑏 2 𝑎2 =1- 𝑏 2 𝑎2 = 5 9 ,∴e= √5 3 . (方法二)不妨设椭圆的方程为𝑥 2 𝑎2 + 𝑦 2 𝑏 2=1(a>b>0),M(𝑐, 2 3 𝑏). ∵点 M 在椭圆上, ∴ 𝑐 2 𝑎2 + 4𝑏 2 9𝑏 2=1,∴ 𝑐 2 𝑎2 = 5 9 , ∴ 𝑐 𝑎 = √5 3 ,即 e= √5 3 . 拓展提高 1.过椭圆𝑥 2 4 + 𝑦 2 3 =1 的焦点的最长弦和最短弦的长分别为( ) A.8,6 B.4,3 C.2,√3 D.4,2√3 答案:B 2.设 F1,F2 是椭圆 E: 𝑥 2 𝑎2 + 𝑦 2 𝑏 2=1(a>b>0)的左、右焦点,P 为直线 x= 3𝑎 2 上一点,△F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形,则椭圆 E 的离心率为( ) A.1 2 B.2 3 C.3 4 D.4 5 解析: 如图,∵△F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形, ∴∠PF2A=60°, |PF2|=|F1F2|=2c. ∴|AF2|=c.∴2c= 3 2 a. ∴e= 3 4 .故选 C. 答案:C 3.(多选题)设 A,B 是椭圆 C: 𝑥 2 3 + 𝑦 2 𝑚 =1 的长轴的两个端点.若 C 上存在点 M 满足∠AMB=120°, 则 m 的值可能是( ) A.2 B.3 C.1 D.10 解析:依题意得,{ √3 √𝑚 ≥ tan∠𝐴𝑀𝐵 2 , 0 3, 即{ √3 √𝑚 ≥ tan60°, 0 3, 解得 0b>0). ∵△F2AB 的周长为 8,∴4a=8,即 a=2. 又 e= 𝑐 𝑎 = 1 2 ,∴c=1,∴b 2=a2 -c 2=4-1=3. ∴椭圆 C 的标准方程为𝑥 2 4 + 𝑦 2 3 =1. 答案: 𝑥 2 4 + 𝑦 2 3 =1
5已知椭圆C号+三-1(a>b0的左、右顶点分别为44，且以线段46为直径的圆与直线 bx-ay+2ab=0相切，则椭圆C的离心率为」 解析：以线段A142为直径的圆的方程是2+y2=2 因为直线bx-y+2ab=0与圆x2+y2=2相切， 所以圆心到该直钱的距离de0,整理，得=36，即=3d-所以后=号从而e号 b2+a2 6 3 答案号 6已知椭圆后+宁-1(Q>b0,短轴项点B0,b,若椭圆内接三角形BN的重，心是椭圆的左焦 点F,求椭圆的离心率的取值范围。 解如图，设M(x1,),N(x22) 因为B(0,b),F(-c,0),F为△BMN的重心， x1+x2+0 3 三-C 所以 即 x1+x2=-3c Y1+y2+b =0 y1+y2=-b. 3 则弦MW的中点E的坐标为（兰） 又点E在椭圆内部，则产+ 即cb>0)的两个焦点分别为1，B,斜率为k的直线I过左焦点F,且与椭圆 的交点为AB,与y轴的交点为C,且B为线段CF的中点，若罗求椭圆离心率e的取值范 解依题意F(-c,O),则直线1的方程为=x+c,则C0,d:点B为CF的中点，∴B(,) “点B在精圆上，匀+ Q2大 61,即+ e2 、由已知州爱子空三去2070释8 7e<l
5.已知椭圆 C: 𝑥 2 𝑎2 + 𝑦 2 𝑏 2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为 A1,A2,且以线段 A1A2 为直径的圆与直线 bx-ay+2ab=0 相切,则椭圆 C 的离心率为 . 解析:以线段 A1A2 为直径的圆的方程是 x 2+y2=a2 . 因为直线 bx-ay+2ab=0 与圆 x 2+y2=a2 相切, 所以圆心到该直线的距离 d= 2𝑎𝑏 √𝑏 2+𝑎2 =a,整理,得 a 2=3b 2 ,即 a 2=3(a 2 -c 2 ),所以𝑐 2 𝑎2 = 2 3 ,从而 e= 𝑐 𝑎 = √6 3 . 答案: √6 3 6.已知椭圆𝑥 2 𝑎2 + 𝑦 2 𝑏 2=1(a>b>0),短轴顶点 B(0,b),若椭圆内接三角形 BMN 的重心是椭圆的左焦 点 F,求椭圆的离心率的取值范围. 解:如图,设 M(x1,y1),N(x2,y2). 因为 B(0,b),F(-c,0),F 为△BMN 的重心, 所以{ 𝑥1+𝑥2+0 3 = -𝑐, 𝑦 1 +𝑦 2 +𝑏 3 = 0, 即{ 𝑥1 + 𝑥2 = -3𝑐, 𝑦1 + 𝑦2 = -𝑏. 则弦 MN 的中点 E 的坐标为(- 3𝑐 2 ,- 𝑏 2 ). 又点 E 在椭圆内部,则 (- 3𝑐 2 ) 2 𝑎2 + (- 𝑏 2 ) 2 𝑏 2 b>0)的两个焦点分别为 F1,F2,斜率为 k 的直线 l 过左焦点 F1,且与椭圆 的交点为 A,B,与 y 轴的交点为 C,且 B 为线段 CF1 的中点,若|k|≤ √14 2 ,求椭圆离心率 e 的取值范 围. 解:依题意 F1(-c,0),则直线 l 的方程为 y=k(x+c),则 C(0,kc).∵点 B 为 CF1 的中点,∴B(- 𝑐 2 , 𝑘𝑐 2 ). ∵点 B 在椭圆上,∴ (- 𝑐 2 ) 2 𝑎2 + ( 𝑘𝑐 2 ) 2 𝑏 2 =1,即 𝑐 2 4𝑎2 + 𝑘 2 𝑐 2 4(𝑎2-𝑐 2) =1,∴ 𝑒 2 4 + 𝑘 2 𝑒 2 4(1-𝑒 2) =1,∴k 2= (4-𝑒 2 )(1-𝑒 2 ) 𝑒 2 . 由已知,|k|≤ √14 2 ,∴k 2≤ 7 2 ,即 (4-𝑒 2 )(1-𝑒 2 ) 𝑒 2 ≤ 7 2 ,∴2e 4 -17e 2+8≤0,解得1 2 ≤e 2≤8. 又 0<e<1,∴ 1 2 ≤e 2<1,即 √2 2 ≤e<1