志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 第2课时等比数列的性质及应用 课后·训练提升 基础巩固 1.已知数列{am}是等比数列，a1=-2,a4子则公比g等于() A克 B.2 C.-2 D吃 答案D 解析：根据an=amg”-m,得a4=Q1g 故￠-宁×行解得q月 2.设等差数列{an}的公差d不为0，a=9d若ak是a1与a2的等比中项，则k等于() A.2 B.4 C.6 D.8 答案B 解析：由题意得an=(n+8)d,a=a1a2k 则(k+8)2P=9d2k+8)d, 解得k=4(k=-2不合题意，舍去) 3.(多选题)已知数列{am}是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是() A B.logz(an)2 C.{an+an+1} D.{an+an+1+an+2) 答案：AD 解析：由数列{am}是等比数列，得 1 在A中空= an “数列日一定是等比数列，A正确 在B中，假设am=2”,则log2(an)2=log222=2n,不是等比数列，B错误； 在C中，an+an+1=an(1+q),当q=-l时，数列{an+an+1}不是等比数列，C错误； 在D中，.'an+am+1+an+2=an(1+q+q), 1
1 第 2 课时 等比数列的性质及应用 课后· 基础巩固 1.已知数列{an}是等比数列,a1=2,a4= 1 4 ,则公比 q 等于( ) A.- 1 2 B.2 C.-2 D. 1 2 答案:D 解析:根据 an=amq n-m ,得 a4=a1q 3 . 故 q 3= 1 4 × 1 2 = 1 8 ,解得 q= 1 2 . 2.设等差数列{an}的公差 d 不为 0,a1=9d.若 ak是 a1与 a2k的等比中项,则 k 等于( ) A.2 B.4 C.6 D.8 答案:B 解析:由题意得 an=(n+8)d,𝑎𝑘 2=a1a2k, 则(k+8)2d 2=9d(2k+8)d, 解得 k=4(k=-2 不合题意,舍去). 3.(多选题)已知数列{an}是等比数列,则下列数列一定是等比数列的是( ) A.{ 1 𝑎𝑛 } B.log2(an) 2 C.{an+an+1} D.{an+an+1+an+2} 答案:AD 解析:由数列{an}是等比数列,得 在 A 中, 1 𝑎𝑛+1 1 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛 𝑎𝑛+1 = 1 𝑞 , ∴数列{ 1 𝑎𝑛 }一定是等比数列,A 正确; 在 B 中,假设 an=2 n ,则 log2(an) 2=log22 2n=2n,不是等比数列,B 错误; 在 C 中,an+an+1=an(1+q),当 q=-1 时,数列{an+an+1}不是等比数列,C 错误; 在 D 中,∵an+an+1+an+2=an(1+q+q2 )
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org .数列{an+an+1+an+2}是等比数列，D正确 故选AD. 4.已知数列{am}满足log3am+1=log3am+1(n∈N+),且a2+a4+a6=9,则log1(a5+a+a9)的值为() A-5 B月 C.5 吲 答案：A 解析：根据题意log3an+1=l0g3am+1, 则有l0g3am+logs3=log3an+1, 则有log3an=log3an+1,即3an-an+1,即2+-3， an 所以数列{am}是等比数列，公比q=3, 由等比数列的通项公式可知，log(a+a+ag)-log(a2q+a4g+a6q)-l0gata4+as)4]-og(9x3)- 5. 5.已知等比数列{an}的公比为正数，且aa9=2a号，a2=1,则a1=() A月 B号 C./2 D.2 答案B 解标：asas=呢g-2a呢，（侣）°-2，-2 ,公比q为正数，q=V2 号=市=男 6.在两数1,16之间插入3个数，使它们成等比数列，则中间的数等于 答案：4 解析：设插入的三个数分别为a,b,c, 则b2=16,∴.b=±4 设其公比为， b=1g2>0,∴.b=4. 7.已知各项均为正数的等比数列{am}满足a1=1,a1+a3+a5=21,则q= a+a5+a的值 为 2
2 ∴数列{an+an+1+an+2}是等比数列,D 正确. 故选 AD. 4.已知数列{an}满足 log3an+1=log3an+1(n∈N+),且 a2+a4+a6=9,则 log1 3 (a5+a7+a9)的值为( ) A.-5 B.- 1 5 C.5 D. 1 5 答案:A 解析:根据题意 log3an+1=log3an+1, 则有 log3an+log33=log3an+1, 则有 log33an=log3an+1,即 3an=an+1,即 𝑎𝑛+1 𝑎𝑛 =3, 所以数列{an}是等比数列,公比 q=3, 由等比数列的通项公式可知,log1 3 (a5+a7+a9)=log1 3 (a2q 3+a4q 3+a6q 3 )=log1 3 [(a2+a4+a6)q 3 ]=log1 3 (9×3 3 )=- 5. 5.已知等比数列{an}的公比为正数,且 a3a9=2𝑎5 2 ,a2=1,则 a1=( ) A. 1 2 B. √2 2 C.√2 D.2 答案:B 解析:∵a3a9=𝑎6 2 ,∴𝑎6 2=2𝑎5 2 ,( 𝑎6 𝑎5 ) 2 =2,q 2=2. ∵公比 q 为正数,∴q=√2, ∴a1= 𝑎2 𝑞 = 1 √2 = √2 2 . 6.在两数 1,16 之间插入 3 个数,使它们成等比数列,则中间的数等于 . 答案:4 解析:设插入的三个数分别为 a,b,c, 则 b 2=16,∴b=±4. 设其公比为 q, ∵b=1·q 2>0,∴b=4. 7.已知各项均为正数的等比数列{an}满足 a1=1,a1+a3+a5=21,则 q= ;a3+a5+a7 的值 为
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 答案284 解析：设公比为q,则由a1=1,a1+a3+a5=21可得g+q-20=0,解得q=4,所以q=±2 因为q>0,所以q=2. 所以a3+a5+a=g2(a1+a3+a5)=4×21-84. 8.已知等比数列{am}各项均为正数，且满足a1a2a3=4,a4a5a6=12,am1ana1=324,则n= 答案：14 解析：设数列{an}的公比为q,由a1a2a3=4=ag与a4a5a6=12=ag12可得q°=3，又an-1aam+1=a1g3m 3=324,因此gm-6-81=34=g36,所以n=14. 9.己知数列{an}是等比数列，3+a=20,a1ag=64,求a1的值 解：，数列{an}为等比数列， ∴.a1a9=a3a7=64.又a3+a7=20, .a3,a7是方程2-201+64=0的两个根 解方程，得1=4,2=16， .a3=4,a7=16或a3=16,am=4 当a3=4时，a3+a7=a3+a3g=20 .1+g=5..g=4 .a11=a3q3=4×42=64 当a3=16时，a3+a7=a3(1+q)=20, 1+g-景9号 a1ag-l6x(0)2=1 综上可知，a11的值为64或1. 10.三个互不相等的数构成等差数列，如果适当排列这三个数，又可成为等比数列，且这三个数的和为 6,求这三个数 解：由已知，可设这三个数为a-d,a,a+d, 则a-d+a+a+d=6,解得a=2, 这三个数可表示为2-d,2,2+d, ①若2-d为等比中项，则有(2-d2=2(2+d 解得d-6或d=0(舍去)】 此时三个数为-4,2,8 ②若2+d为等比中项，则有(2+d)2=2(2-d), 解得d=-6或d=0(舍去) 3
3 答案:2 84 解析:设公比为 q,则由 a1=1,a1+a3+a5=21 可得 q 4+q2 -20=0,解得 q 2=4,所以 q=±2. 因为 q>0,所以 q=2. 所以 a3+a5+a7=q2 (a1+a3+a5)=4×21=84. 8.已知等比数列{an}各项均为正数,且满足 a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则 n= . 答案:14 解析:设数列{an}的公比为 q,由 a1a2a3=4=𝑎1 3q 3 与 a4a5a6=12=𝑎1 3q 12 可得 q 9=3,又 an-1anan+1=𝑎1 3q 3n- 3=324,因此 q 3n-6=81=3 4=q36 ,所以 n=14. 9.已知数列{an}是等比数列,a3+a7=20,a1a9=64,求 a11 的值. 解:∵数列{an}为等比数列, ∴a1a9=a3a7=64.又 a3+a7=20, ∴a3,a7 是方程 t 2 -20t+64=0 的两个根. 解方程,得 t1=4,t2=16, ∴a3=4,a7=16 或 a3=16,a7=4. 当 a3=4 时,a3+a7=a3+a3q 4=20, ∴1+q4=5.∴q 4=4. ∴a11=a3q 8=4×4 2=64. 当 a3=16 时,a3+a7=a3(1+q4 )=20, ∴1+q4= 5 4 .∴q 4= 1 4 . ∴a11=a3q 8=16×( 1 4 ) 2 =1. 综上可知,a11 的值为 64 或 1. 10.三个互不相等的数构成等差数列,如果适当排列这三个数,又可成为等比数列,且这三个数的和为 6,求这三个数. 解:由已知,可设这三个数为 a-d,a,a+d, 则 a-d+a+a+d=6,解得 a=2, 这三个数可表示为 2-d,2,2+d, ①若 2-d 为等比中项,则有(2-d) 2=2(2+d), 解得 d=6 或 d=0(舍去). 此时三个数为-4,2,8. ②若 2+d 为等比中项,则有(2+d) 2=2(2-d), 解得 d=-6 或 d=0(舍去)
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 此时三个数为8,2，-4 ③若2为等比中项，则22=(2+d0(2-d0, 解得d=0(舍去) 综上所述，这三个数为-4,2,8或8,2,4. 拓展提高 1.已知数列{an}是等比数列，对任意n∈N+,都有an>0,若as(a3+a5)十a4(a4+a6)=25,则a+a5=() A.5 B.10 C.15 D.20 答案：A 解析：在等比数列{an}中，，对任意n∈N+,都有an>0,∴.公比g>0, 又a3(a3+a5)+a4(a4+a6)=25, ∴.as(a3+a5)+a3q2(a3+a5)=25 ∴.(a+a3q2)(a3+a5)=(a3+a5)2=25, ∴.a3+a5=5.故选A 2.在等比数列{am}中，la1=1,a5=-8a2,a5>a2,则an=(） A.(-2)m- B-(-2)- C.(-2) D.-(-2)” 答案：A 解析：，la1=1,∴a1=1或a=1 .as=-8a2, .q=-8,g=-2. 又a5>a2,即a2g3>a2,∴.a2<0. 而a=a1q=-2a1<0,.a=1. .数列{an}是首项为1，公比为-2的等比数列 故an=1×(-2)-1=(-2)- 3.已知等比数列{an}各项均为正数，an+1<am,a2a8=6,a4+a6=5,则5等于() 'a7 A号 B明 c号 D 答案D 解析：设公比为q,则由am+1<a,知0<q<1. ,a2a8=6,∴.a4a6=6,又a4+a5=5, 4
4 此时三个数为 8,2,-4. ③若 2 为等比中项,则 2 2=(2+d)(2-d), 解得 d=0(舍去). 综上所述,这三个数为-4,2,8 或 8,2,-4. 拓展提高 1.已知数列{an}是等比数列,对任意 n∈N+,都有 an>0,若 a3(a3+a5)+a4(a4+a6)=25,则 a3+a5=( ) A.5 B.10 C.15 D.20 答案:A 解析:在等比数列{an}中,∵对任意 n∈N+,都有 an>0,∴公比 q>0, 又 a3(a3+a5)+a4(a4+a6)=25, ∴a3(a3+a5)+a3q 2 (a3+a5)=25, ∴(a3+a3q 2 )(a3+a5)=(a3+a5) 2=25, ∴a3+a5=5.故选 A. 2.在等比数列{an}中,|a1|=1,a5=-8a2,a5>a2,则 an=( ) A.(-2)n-1 B.-(-2)n-1 C.(-2)n D.-(-2)n 答案:A 解析:∵|a1|=1,∴a1=1 或 a1=-1. ∵a5=-8a2, ∴q 3=-8,∴q=-2. 又 a5>a2,即 a2q 3>a2,∴a2<0. 而 a2=a1q=-2a1<0,∴a1=1. ∴数列{an}是首项为 1,公比为-2 的等比数列. 故 an=1×(-2)n-1=(-2)n-1 . 3.已知等比数列{an}各项均为正数,an+1<an,a2a8=6,a4+a6=5,则 𝑎5 𝑎7 等于( ) A. 5 6 B. 6 5 C. 2 3 D. 3 2 答案:D 解析:设公比为 q,则由 an+1<an,知 0<q<1. ∵a2a8=6,∴a4a6=6,又 a4+a5=5
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 解得a3.2受=是=是 故选D. 4.在等比数列{an}中，am=10,ak=10",则am+k= 答案：1 解析：am=-aq ∴.10=10mdm g-10,∴90 .amtk=am'g=1. 5.在等比数列{an}中，a2=3,a5=24,则数列a1,a4,a7,a10,…的通项公式为 答案3×23n-4 解析：a5=Q2g,∴g3-8,∴q=2,∴am=ag2=3×22.由题意知，数列a1,4,,a10,…的通项ba=03m2=3×23 4故答案为3×23m-4 6.已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数 解：设这三个数分别为号a,a叫， (4.a-aq 27, 由已知得 9 +e2+cq2=91 （a=3, 则a2(侵+1+q）=91, 得9g-82g+9-0∴g-9或q2-号∴q=士3或±号故所求的三个数为1,39或-1,3，-9或93,1或9,3,1 7.某厂生产电脑，原计划第一季度每月增加的台数相同，在实际生产过程中，一月份的产量与原计划相 同，二月份比原计划多生产10台，三月份比原计划多生产25台，这样三个月的产量正好成等比数列，而 第三个月的产量比原计划第一季度总产量的一半少0台，问该厂第一季度实际生产电脑多少台？ 解：设该厂第一季度原计划三个月生产的电脑台数分别为x-d,x,x+d(d>0), 则实际上三个月生产的电脑台数分别为xd,x+10,x+d+25 x+10)2=(xd0(x+d+25), 由题意， x+d+25=-10, 解得日二98 故(x-d)+(x+10)+(x+d+25)=3x+35=3×90+35=305(台)， 所以该厂第一季度实际生产电脑305台. 5
5 解得 a4=3,a6=2,∴ 𝑎5 𝑎7 = 𝑎4 𝑎6 = 3 2 . 故选 D. 4.在等比数列{an}中,am=10k ,ak=10m ,则 am+k= . 答案:1 解析:∵am=akq m-k , ∴10k=10m·q m-k , ∴q m-k=10k-m ,∴q= 1 10, ∴am+k=am·q k=1. 5.在等比数列{an}中,a2=3,a5=24,则数列 a1,a4,a7,a10,…的通项公式为 . 答案:3×2 3n-4 解析:∵a5=a2q 3 ,∴q 3=8,∴q=2,∴an=a2q n-2=3×2 n-2 .由题意知,数列 a1,a4,a7,a10,…的通项 bn=a3n-2=3×2 3n- 4 .故答案为 3×2 3n-4 . 6.已知三个数成等比数列,它们的积为 27,它们的平方和为 91,求这三个数. 解:设这三个数分别为𝑎 𝑞 ,a,aq, 由已知得{ 𝑎 𝑞 ·𝑎·𝑎𝑞 = 27, 𝑎 2 𝑞 2 + 𝑎 2 + 𝑎 2𝑞 2 = 91, 则{ 𝑎 = 3, 𝑎 2 ( 1 𝑞 2 + 1 + 𝑞 2) = 91, 得 9q 4 -82q 2+9=0,∴q 2=9 或 q 2= 1 9 ,∴q=±3 或± 1 3 ,故所求的三个数为 1,3,9 或-1,3,-9或 9,3,1 或-9,3,-1. 7.某厂生产电脑,原计划第一季度每月增加的台数相同,在实际生产过程中,一月份的产量与原计划相 同,二月份比原计划多生产 10 台,三月份比原计划多生产 25 台,这样三个月的产量正好成等比数列,而 第三个月的产量比原计划第一季度总产量的一半少 10 台,问该厂第一季度实际生产电脑多少台? 解:设该厂第一季度原计划三个月生产的电脑台数分别为 x-d,x,x+d(d>0), 则实际上三个月生产的电脑台数分别为 x-d,x+10,x+d+25. 由题意,得{ (𝑥 + 10) 2 = (𝑥-𝑑)(𝑥 + 𝑑 + 25), 𝑥 + 𝑑 + 25 = 3𝑥 2 -10, 解得{ 𝑥 = 90, 𝑑 = 10. 故(x-d)+(x+10)+(x+d+25)=3x+35=3×90+35=305(台), 所以该厂第一季度实际生产电脑 305 台
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 挑战创新 已知两个等比数列{an},{bn}满足a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a=3. (1)若a=l,求数列{am}的通项公式： (2)若数列{an}唯一，求a的值 解：(1)设数列{am}的公比为q,则b1=1+a1=1+a=2,b2=2+ag=2+q,b=3+ag2-3+g. 由b1,b2,b3成等比数列得(2+q)2=2(3+q), 即g2.4g+2=0, 解得q1=2+VZ,q2=2-VZ, 故数列{an}的通项公式为an=(2+V②)1或an-(2-√②)m(n≥1) (2)设数列{an}的公比为q,则由(2+aq)2=-(1+a)(3+ag),得ag2-.4ag+3a-1=0, 由a>0,得=4a2+4a>0, 故方程ag.4ag+3a-1-0有两个不同的实根 由数列{an}唯一，故方程必有一根为0，代入上式得a 6
6 挑战创新 已知两个等比数列{an},{bn}满足 a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3. (1)若 a=1,求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}唯一,求 a 的值. 解:(1)设数列{an}的公比为 q,则 b1=1+a1=1+a=2,b2=2+aq=2+q,b3=3+aq2=3+q2 . 由 b1,b2,b3 成等比数列得(2+q) 2=2(3+q2 ), 即 q 2 -4q+2=0, 解得 q1=2+√2,q2=2-√2, 故数列{an}的通项公式为 an=(2+√2) n-1 或 an=(2-√2) n-1 (n≥1). (2)设数列{an}的公比为 q,则由(2+aq) 2=(1+a)·(3+aq2 ),得 aq2 -4aq+3a-1=0, 由 a>0,得 Δ=4a 2+4a>0, 故方程 aq2 -4aq+3a-1=0 有两个不同的实根. 由数列{an}唯一,故方程必有一根为 0,代入上式得 a= 1 3