志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 第2课时导数与函数的最值 课后·训练提升 基础巩固 1.函数x)=lnx-x在区间(0，e)内的最大值为( A.1-e B.-1 C.-e D.0 答案B 解析f)1.令fx)>0,得00:当x1时，y'0时0，故)年的最大值为)-2，最小值为-I)-2故选C 3.函数y=xe的最小值是() A-1 B.-e c日 D.不存在 答案C 解析y'=e+xe=e(x+1).令y'>0,得x>-l,令y'<0,得x<-1. 故当x=-1时ain一是故选C 4.己知函数x)=ax3+c,且f(1)=6,函数x)在区间[1,2]上的最大值为20，则c的值为() A.1 B.4 C.-1 D.0 1
1 第 2 课时 导数与函数的最值 课后· 基础巩固 1.函数 f(x)=ln x-x 在区间(0,e)内的最大值为( ) A.1-e B.-1 C.-e D.0 答案:B 解析:f'(x)= 1 𝑥 -1.令 f'(x)>0,得 00;当 x1 时,y'0 时,y>0,故 y= 4𝑥 𝑥 2+1的最大值为 f(1)=2,最小值为 f(-1)=-2.故选 C. 3.函数 y=xe x的最小值是( ) A.-1 B.-e C.- 1 e D.不存在 答案:C 解析:y'=e x+xe x=e x (x+1).令 y'>0,得 x>-1,令 y'<0,得 x<-1. 故当 x=-1 时,ymin=- 1 e .故选 C. 4.已知函数 f(x)=ax3+c,且 f'(1)=6,函数 f(x)在区间[1,2]上的最大值为 20,则 c 的值为( ) A.1 B.4 C.-1 D.0
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org 答案B 解析：因为fx)=3ax2,所以f1)=3a=6, 所以a=2.当x∈[1,2]时/fx)=6x2>0,故fx)在区间[1,2]上单调递增.所以x)mm=2)=2×23+c=20,解得 c=4 5.已知函数x),g(x)均为区间(a,b)内的可导函数，且在区间[a,b]上连续，若fx)0,则必有() A0)+2)21) 答案D 解析：当x>1时，fx)>0,函数x)在区间(1，+o)内单调递增；当x1)2)>1)，得0)+2)>21) 7函数)本+x∈[l,3的值域为 答案别 +1之+1-+瓷所以)>0在区间[山3]上恒成立，即)在区间，3引上单调递增 解析：因为fx)=1 以)的最大值是3)=是最小值是1)是故函数x)的值城为服，] 8函数x)+cosx在区间L0,上的最小值为。 答案好 解析f)-sin.∈[0，引 令2sinx-0,得x君 2
2 答案:B 解析:因为 f'(x)=3ax2 ,所以 f'(1)=3a=6, 所以 a=2.当 x∈[1,2]时,f'(x)=6x 2>0,故 f(x)在区间[1,2]上单调递增.所以 f(x)max=f(2)=2×2 3+c=20,解得 c=4. 5.已知函数 f(x),g(x)均为区间(a,b)内的可导函数,且在区间[a,b]上连续,若 f'(x)0,则必有( ) A.f(0)+f(2)2f(1) 答案:D 解析:当 x>1 时,f'(x)>0,函数 f(x)在区间(1,+∞)内单调递增;当 xf(1),f(2)>f(1),得 f(0)+f(2)>2f(1). 7.函数 f(x)= 1 𝑥+1 +x(x∈[1,3])的值域为 . 答案:[ 3 2 , 13 4 ] 解析:因为 f'(x)=- 1 (𝑥+1) 2+1= 𝑥 2+2𝑥 (𝑥+1) 2 ,所以 f'(x)>0 在区间[1,3]上恒成立,即 f(x)在区间[1,3]上单调递增,所 以 f(x)的最大值是 f(3)= 13 4 ,最小值是 f(1)= 3 2 .故函数 f(x)的值域为[ 3 2 , 13 4 ]. 8.函数 f(x)= 1 2 x+cos x 在区间 0,π 2 上的最小值为 . 答案: π 4 解析:f'(x)= 1 2 -sin x,x∈[0, π 2 ]. 令 1 2 -sin x=0,得 x= π 6
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 当x∈[0，)时，x)>0, 当x∈（侣，习时，/x)0,故x)在区间(-0，-2)，2，+o)内单调递增； 当x∈(-2,2)时fx)0时，求函数x)在区间[1,2]上的最小值 解(1/x)ax>0)①当a≤0时，x)圣a>0,故函数x)的单调递增区间为0，+o ②当a>0时，令fx)>0,得0<x日 3
3 当 x∈[0, π 6 )时,f'(x)>0, 当 x∈( π 6 , π 2 ]时,f'(x)0,故 f(x)在区间(-∞,-2),(2,+∞)内单调递增; 当 x∈(-2,2)时,f'(x)0 时,求函数 f(x)在区间[1,2]上的最小值. 解:(1)f'(x)= 1 𝑥 -a(x>0).①当 a≤0 时,f'(x)= 1 𝑥 -a>0,故函数 f(x)的单调递增区间为(0,+∞). ②当 a>0 时,令 f'(x)>0,得 0<x<1 𝑎 ;
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 令0，得x日 故函数x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为（侣，+∞） 综上可知，当a≤0时，函数fx)的单调递增区间为(0，+o; 当a>0时，函数x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为（侣，+∞）】 (2)①当≤1，即a≥1时，函数fx)在区间[1,2]上是减函数，所以x)的最小值是2)=ln2-2a ②当日≥2，即00,且x≠1， x)的定义域为(0,1)U(L,+o.故A错误 当x∈(0,1)时，e>0,lnx0，故8y在区间0,1)1，+o∞)内单调递增 4
4 令 f'(x)1 𝑎 . 故函数 f(x)的单调递增区间为(0, 1 𝑎 ),单调递减区间为( 1 𝑎 , + ∞). 综上可知,当 a≤0 时,函数 f(x)的单调递增区间为(0,+∞); 当 a>0 时,函数 f(x)的单调递增区间为(0, 1 𝑎 ),单调递减区间为( 1 𝑎 , + ∞). (2)①当 1 𝑎≤1,即 a≥1 时,函数 f(x)在区间[1,2]上是减函数,所以 f(x)的最小值是 f(2)=ln 2-2a. ②当 1 𝑎≥2,即 00,且 x≠1, ∴f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞).故 A 错误. 当 x∈(0,1)时,ex>0,ln x0,故 g(x)在区间(0,1),(1,+∞)内单调递增
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org 当01时，因为g1)=1和时fx)>0,x)单调递增.故C正确. 因为x)在区间(1，o)内单调递减，在(02)内单调递增，所以x)在区间(1,2)内无最大值，故D错误 2.若函数)+2-在区间(a,a+5)内存在最小值，则实数a的取值范围是(） A[-5,0) B.(-5,0) C.-3,0) D.(-3,0) 答案：C 解析：由题意，得fx)=x2+2x=x(x+2), 故fx)在区间(-0，-2)，(0，+0)内单调递增 在区间(-2,0)内单调递减.作出其图象如图所示 3 )=x4x2-号 2 1 -2-12x 令+号号得x0文=3结合图象可知0解得-3a0故法C 3.已知函数x)=12lnx-3.x4-c,若对任意x>0,不等式x)≥-2c2恒成立，则c的取值范围为( A.(-0,-1] B..+) C.(o,-lu且+∞ D.(-0,-3] 答案：C 解析/)=48rlnx+12x是12x3-48 Inx(x>0), 令fx)=0,解得x=0(舍去)或x=l. 当x变化时fx)及x)的变化情况如下表
5 当 01 时,因为 g(1)=-10, 所以存在 x0∈(1,2),使 g(x0)=0,即 f'(x0)=0, 当 1x0 时,f'(x)>0,f(x)单调递增.故 C 正确. 因为 f(x)在区间(1,x0)内单调递减,在(x0,2)内单调递增,所以 f(x)在区间(1,2)内无最大值,故 D 错误. 2.若函数 f(x)= 1 3 x 3+x2 - 2 3在区间(a,a+5)内存在最小值,则实数 a 的取值范围是( ) A.[-5,0) B.(-5,0) C.[-3,0) D.(-3,0) 答案:C 解析:由题意,得 f'(x)=x2+2x=x(x+2), 故 f(x)在区间(-∞,-2),(0,+∞)内单调递增, 在区间(-2,0)内单调递减.作出其图象如图所示. 令 1 3 x 3+x2 - 2 3 =- 2 3 ,得 x=0 或 x=-3,结合图象可知,{ -3 ≤ 𝑎 0, 解得-3≤a0,不等式 f(x)≥-2c 2恒成立,则 c 的取值范围为( ) A.(-∞,-1] B.[ 3 2 , + ∞) C.(-∞,-1]∪[ 3 2 , + ∞) D.(-∞,-3] 答案:C 解析:f'(x)=48x 3 ln x+12x 4· 1 𝑥 -12x 3=48x 3 ln x(x>0), 令 f'(x)=0,解得 x=0(舍去)或 x=1. 当 x 变化时,f'(x)及 f(x)的变化情况如下表
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 0,1) 1,+0) "x) x) 故当x=1时x)min=-3-c 要使对任意x>0,不等式x)≥-2c2恒成立，只需-3-c≥-2c2即可 整理得2c2-c3≥0，解得c≥载c≤-1 故c的取值范围为(-o,-lU层+∞ 故选C 4.函数x)=3x-x3+a(-V3≤x≤3)的最小值为 答案：a-18 解析：fx)=3-3x2, 令fx)=0,得x=士1 故当-V3≤x0,x)单调递增. 故当x=-1时，函数x)取得极小值几-1)=Q-2. 又3)=a-18,所以x)的最小值为a-18. 5已知yx)是奇函数，当x∈(0,2)时，)=nx-a(a>)当x∈(-2,0)时x)的最小值为1，则 a= 答案1 解析：由题意知，当x∈(0,2)时，x)的最大值为-1. 令f)a=0,得x日 a72 1 “当00: 当上x<2时fx)<0. ∴xns得)=-lna-1=1,解得a=l. 6已知函数)=号2x+54若当x∈22]时，≤0恒成立，则实数1的取值范围为 答案[7，+0) 6
6 x (0,1) 1 (1,+∞) f'(x) - 0 + f(x) ↘ -3-c ↗ 故当 x=1 时,f(x)min=-3-c. 要使对任意 x>0,不等式 f(x)≥-2c 2 恒成立,只需-3-c≥-2c 2 即可. 整理得 2c 2 -c-3≥0,解得 c≥ 3 2 或 c≤-1. 故 c 的取值范围为(-∞,-1]∪[ 3 2 , + ∞). 故选 C. 4.函数 f(x)=3x-x 3+a(-√3≤x≤3)的最小值为 . 答案:a-18 解析:f'(x)=3-3x 2 , 令 f'(x)=0,得 x=±1. 故当-√3≤x0,f(x)单调递增. 故当 x=-1 时,函数 f(x)取得极小值,f(-1)=a-2. 又 f(3)=a-18,所以 f(x)的最小值为 a-18. 5.已知 y=f(x)是奇函数,当 x∈(0,2)时,f(x)=ln x-ax(𝑎 > 1 2 ),当 x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为 1,则 a= . 答案:1 解析:由题意知,当 x∈(0,2)时,f(x)的最大值为-1. 令 f'(x)= 1 𝑥 -a=0,得 x= 1 𝑎 . ∵a>1 2 , ∴当 00; 当 1 𝑎 <x<2 时,f'(x)<0. ∴f(x)max=f( 1 𝑎 )=-ln a-1=-1,解得 a=1. 6.已知函数 f(x)=x3 - 𝑥 2 2 -2x+5-t,若当 x∈[-2,2]时,f(x)≤0 恒成立,则实数 t 的取值范围为 . 答案:[7,+∞)
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 解析（方法一）由题意知，fx)=3x2-x-2, 令fx)=0,得3x2-x-2=0, 解得x=1或x=号 故当-2≤x0,)单调递增： 当子x0,当子g(到引 故gx)max=7.则1≥7. 故实数1的取值范固是[7，+0)， 7.已知函数x)=nx+若函数x)在区间[1，©上的最小值是影求a的值， 解)士是=号 令fx)=0,得x=a. (I)当a≤1时fx)≥0在区间[1，e上恒成立，函数x)在区间[1，©上单调递增， 故xmin1)=a三不合题意，舍去。 (2)当10,若1≤x<a,则fx)<0, 7
7 解析:(方法一)由题意知,f'(x)=3x 2 -x-2, 令 f'(x)=0,得 3x 2 -x-2=0, 解得 x=1 或 x=- 2 3 . 故当-2≤x0,f(x)单调递增; 当- 2 3 f(- 2 3 ), 故 f(x)在区间[-2,2]上的最大值为 7-t. 则 7-t≤0,解得 t≥7. 故实数 t 的取值范围是[7,+∞). (方法二)f(x)=x3 - 𝑥 2 2 -2x+5-t≤0 恒成立,即 x 3 - 𝑥 2 2 -2x+5≤t 恒成立. 令 g(x)=x3 - 𝑥 2 2 -2x+5,则 g'(x)=3x 2 -x-2=(x-1)(3x+2). 令 g'(x)=0,得 x=1 或 x=- 2 3 , 故当-2≤x0,当- 2 3 g(- 2 3 ), 故 g(x)max=7.则 t≥7. 故实数 t 的取值范围是[7,+∞). 7.已知函数 f(x)=ln x+𝑎 𝑥 ,若函数 f(x)在区间[1,e]上的最小值是3 2 ,求 a的值. 解:f'(x)= 1 𝑥 − 𝑎 𝑥 2 = 𝑥-𝑎 𝑥 2 , 令 f'(x)=0,得 x=a. (1)当 a≤1 时,f'(x)≥0 在区间[1,e]上恒成立,函数 f(x)在区间[1,e]上单调递增, 故 f(x)min=f(1)=a= 3 2 ,不合题意,舍去. (2)当 10,若 1≤x<a,则 f'(x)<0
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 故函数x)在区间[l,a)内单调递减，在区间(a,上单调递增. 故xmin=a)=lna+1-三解得a-VE,符合题意。 (3)当a≥e时，fx)≤0在区间[1，e]上恒成立，函数x)在区间[l,e]上单调递减， 故ne)-l+是=是解得a号不合题意，舍去 综上所述，a的值为VE 挑战创新 己知函数fx)=xem,其中a≤0，e为自然对数的底数. (1)讨论函数x)的单调性 (2)求函数x)在区间[0,1]上的最大值. 解：(1)/fx)=2ream+x2aer=x(ar+2)e ①当a=0时，由fx)>0得x>0, 由fx)0,得0<x<号 由0，得x0或月 故函数x)在区间(0，引内上单调递增， 在区间(-∞，0)与（名+∞内单调递减 (2)①当a=0时x)在区间[0,1]上单调递增，其最大值为1)=1. ②当-2≤a<0时，≥1x)在区间[0，刂上单调递增，其最大值为1)=e 国当a<2时，0<子1，此时x=是函数)在区间[0,1]上唯一的极大值点，也就是最大值点，故函数) 的最大值为()=意 综上，当-2≤a≤0时x)在区间[0,1]上的最大值为e; 当a<-2时，)在区间[0,1]上的最大值为 P
8 故函数 f(x)在区间[1,a)内单调递减,在区间(a,e]上单调递增. 故 f(x)min=f(a)=ln a+1= 3 2 ,解得 a=√e,符合题意. (3)当 a≥e 时,f'(x)≤0 在区间[1,e]上恒成立,函数 f(x)在区间[1,e]上单调递减, 故 f(x)min=f(e)=1+ 𝑎 e = 3 2 ,解得 a= e 2 ,不合题意,舍去. 综上所述,a 的值为√e. 挑战创新 已知函数 f(x)=x2 e ax ,其中 a≤0,e 为自然对数的底数. (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)求函数 f(x)在区间[0,1]上的最大值. 解:(1)f'(x)=2xe ax+x2·ae ax=x(ax+2)eax . ①当 a=0 时,由 f'(x)>0 得 x>0, 由 f'(x)0,得 0- 2 𝑎 . 故函数 f(x)在区间(0,- 2 𝑎 )内上单调递增, 在区间(-∞,0)与(- 2 𝑎 , + ∞)内单调递减. (2)①当 a=0 时,f(x)在区间[0,1]上单调递增,其最大值为 f(1)=1. ②当-2≤a<0 时,- 2 𝑎 ≥1,f(x)在区间[0,1]上单调递增,其最大值为 f(1)=e a . ③当 a<-2 时,0<- 2 𝑎 <1,此时 x=- 2 𝑎是函数 f(x)在区间[0,1]上唯一的极大值点,也就是最大值点,故函数 f(x) 的最大值为 f(- 2 𝑎 ) = 4 𝑎2e 2 . 综上,当-2≤a≤0 时,f(x)在区间[0,1]上的最大值为 e a ; 当 a<-2 时,f(x)在区间[0,1]上的最大值为 4 𝑎2e 2