第2课时 排列数的应用 基础巩固 1现有6个停车位置，有3辆汽车需要停放，若要使3个空位连在一起，则停放的方法总数为 A.A3 B.A C.A D.A 答案D 解析☐阝个空位连在一起作为1个元素与3辆汽车看成4个不同元素的全排列，故有A峰种停 放方法 2.某省有关部门从6人中选4人分别到A,B,C,D四个地区调研，要求每个地区只有1人，每人 只去一个地区，且这6人中甲、乙两人不去A地区，则不同的安排方案有() A.300种 B.240种 C.144种 D.96种 答案B 解析份两步来完成：第一步，A地区有A4种方法；第二步，其余地区有A?种方法.依据分步乘法 计数原理，共有A4A3=240种. 3.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一 天，且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有 A.20种 B.30种 C.40种 D.60种 客案☐A 解析☐份成三类：第一类，甲排周一，乙、丙只能从周二至周五这4天中选2天排，有A种安排 方法。 第二类，甲排周二，乙、丙只能从周三至周五这3天中选2天排，有A好种安排方法 第三类，甲排周三，乙、丙只能排周四和周五，有A种安排方法. 由分类加法计数原理可知，共有A经+A好+A=12+6+2=20种不同的安排方法 4.8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为() A.AA B.AgAo C.AA D.AA 答案A 解析份两步来完成：第一步，运用插空法，8名学生间共有9个空隙（加上边上空隙），先把老师 排在9个空隙中，有A好种排法；第二步，再把8名学生排列，有A唱种排法， 根据分步乘法计数原理可知，共有A品A种排法」 5.用0到9这10个数字可以排成没有重复数字的三位偶数的个数为( ) A.324 B.328 C.360 D.648 答案B 解析☐份成两类：第一类，若个位数是0，从其余9个数中取出两个数排在前两位，有A种排法， 第二类，若个位数不是0，先从2,4,6,8中取一个放在个位，在其余8个数（不包括0）中取出1个 数排在百位，再从其余8个数（包括0）中取出一个数排在十位，有A4A品A站=4×8×8=256种排法. 依据分类加法计数原理，满足条件的三位偶数的个数共有A3+A1A品Ag-72+256=328. 6.8次投篮，投中3次，其中恰有2次连续命中的情形有」 种 答案0
第 2 课时 排列数的应用 基础巩固 1.现有 6 个停车位置,有 3 辆汽车需要停放,若要使 3 个空位连在一起,则停放的方法总数为 ( ) A.A3 3 B.A6 3 C.A6 4 D.A4 4 答案 D 解析 3 个空位连在一起作为 1 个元素与 3 辆汽车看成 4 个不同元素的全排列,故有A4 4种停 放方法. 2.某省有关部门从 6 人中选 4 人分别到 A,B,C,D 四个地区调研,要求每个地区只有 1 人,每人 只去一个地区,且这 6 人中甲、乙两人不去 A 地区,则不同的安排方案有( ) A.300 种 B.240 种 C.144 种 D.96 种 答案 B 解析 分两步来完成:第一步,A 地区有A4 1种方法;第二步,其余地区有A5 3种方法.依据分步乘法 计数原理,共有A4 1 A5 3=240 种. 3.甲、乙、丙 3 位志愿者安排在周一至周五的 5 天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一 天,且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面,不同的安排方法共有 ( ) A.20 种 B.30 种 C.40 种 D.60 种 答案 A 解析 分成三类:第一类,甲排周一,乙、丙只能从周二至周五这 4 天中选 2 天排,有A4 2种安排 方法. 第二类,甲排周二,乙、丙只能从周三至周五这 3 天中选 2 天排,有A3 2种安排方法. 第三类,甲排周三,乙、丙只能排周四和周五,有A2 2种安排方法. 由分类加法计数原理可知,共有A4 2 + A3 2 + A2 2=12+6+2=20 种不同的安排方法. 4.8 名学生和 2 位老师站成一排合影,2 位老师不相邻的排法种数为( ) A.A8 8 A9 2 B.A8 8 A10 2 C.A8 8 A7 2 D.A8 8 A6 2 答案 A 解析 分两步来完成:第一步,运用插空法,8 名学生间共有 9 个空隙(加上边上空隙),先把老师 排在 9 个空隙中,有A9 2种排法;第二步,再把 8 名学生排列,有A8 8种排法. 根据分步乘法计数原理可知,共有A8 8 A9 2种排法. 5.用 0 到 9 这 10 个数字可以排成没有重复数字的三位偶数的个数为( ) A.324 B.328 C.360 D.648 答案 B 解析 分成两类:第一类,若个位数是 0,从其余 9 个数中取出两个数排在前两位,有A9 2种排法, 第二类,若个位数不是 0,先从 2,4,6,8 中取一个放在个位,在其余 8 个数(不包括 0)中取出 1 个 数排在百位,再从其余 8 个数(包括 0)中取出一个数排在十位,有A4 1 A8 1 A8 1=4×8×8=256 种排法. 依据分类加法计数原理,满足条件的三位偶数的个数共有A9 2 + A4 1 A8 1 A8 1=72+256=328. 6.8 次投篮,投中 3 次,其中恰有 2 次连续命中的情形有 种. 答案 30
解析☐将2次连续命中当作一个整体，和另一次命中插入另外5次不命中形成的6个空里进 行排列，有A2=30种情形 7要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表要求数 学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为（用数字作答） 答案☐288 解析份成三步来完成：第一步，先在前3节课中选一节安排数学，有A妈种安排方法；第二步，在 除了数学课与第6节课外的4节课中选一节安排英语课，有A好种安排方法；第三步，其余4节 课无约束条件，有A4种安排方法。 根据分步乘法计数原理，不同的排法种数为A3A4A4=3×4×24=288. 8.用1,2,3,4,5,6,7,8排成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6相邻，这样 的八位数共有 个.（用数字作答） 答案☐960 解析份两步来完成：第一步，把相邻的两个数捆绑（看成一个整体），三捆组内部都有同样的排 列方法，即A经A3A号种排列方法；第二步，它们与另外2个数之间有A种排列方法.根据分步乘法 计数原理，共有A号A经A经A=8×120=960个八位数， 9.7名班委中有A,B,C三人，有7种不同的职务，现对7名班委进行职务具体分工 (1)若正、副班长两职只能从A,B,C三人中选两人担任，有多少种分工方案？ (2)若正、副班长两职至少要选A,B,C三人中的一人担任，有多少种分工方案？ 解☐【1)分两步来完成：第一步，先排正、副班长有A种方法；第二步，再安排其余职务有A种方 法 依据分步乘法计数原理，共有A3A=720种分工方案. (2)7人中任意分工方案有A3种，A,B,C三人中无一人任正、副班长的分工方案有A好A种，因此 A,B,C三人中至少有一人任正、副班长的方案有A7-A2A三=5040-1440=3600种. 10.从1,2,3，.，9这9个数字中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，一共可以 得到多少个不同的对数值？其中比1大的有几个？ 解☐以2,3，，9这8个数中任取2个数组成对数，有A娟个，在这些对数值 中，log24=l0g39,1og42=log93,1og23=log49,1og32=log94,重复计数4次，又1不能作为对数的底 数，1作为真数时，不论底数为何值，其对数值均为0 所以可以得到A?-4+1=53个不同的对数值 要求对数值比1大，可分类完成：当底数为2时，真数从3,4,5，，9中任取一个，有7种选法；底 数为3时，真数从4,5，，9中任取一个，有6种选法；…依次类推，当底数为8时，真数只能取9， 有1种选法 依据分类加法计数原理共有7+6+5+4+3+2+1=28个 但其中l0g24=l0g39,10g23=log49,所以其中比1大的对数值有28-2=26个. 11.3名女生和5名男生排成一排 (1)若女生必须全排在一起，则可有多少种不同的排法？ (2)若女生必须全分开，则有多少种不同的排法？ (3)若两端都不能排女生，则可有多少种不同的排法？ 解【1)分两步来完成：第一步，先让3名女生站好，有A种排法；第二步，把女生看成一个整体 与5名男生站在一起，有A馆种排法 依据分步乘法计数原理，共有A?A3=4320种不同排法 (2)分两步来完成：第一步，先确定5名男生的先后顺序有A种排法：第二步，这5名男生之间和 两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有A2种排法， 依据分步乘法计数原理，共有AA2=120×120=14400种不同排法
解析 将 2 次连续命中当作一个整体,和另一次命中插入另外 5 次不命中形成的 6 个空里进 行排列,有A6 2=30 种情形. 7.要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术 6 门课各一节的课程表.要求数 学课排在前 3 节,英语课不排在第 6 节,则不同的排法种数为 .(用数字作答) 答案 288 解析 分成三步来完成:第一步,先在前 3 节课中选一节安排数学,有A3 1种安排方法;第二步,在 除了数学课与第 6 节课外的 4 节课中选一节安排英语课,有A4 1种安排方法;第三步,其余 4 节 课无约束条件,有A4 4种安排方法. 根据分步乘法计数原理,不同的排法种数为A3 1 A4 1A4 4=3×4×24=288. 8.用 1,2,3,4,5,6,7,8 排成没有重复数字的八位数,要求 1 与 2 相邻,3 与 4 相邻,5 与 6 相邻,这样 的八位数共有 个.(用数字作答) 答案 960 解析 分两步来完成:第一步,把相邻的两个数捆绑(看成一个整体),三捆组内部都有同样的排 列方法,即A2 2 A2 2A2 2种排列方法;第二步,它们与另外 2 个数之间有A5 5种排列方法.根据分步乘法 计数原理,共有A2 2 A2 2A2 2 A5 5=8×120=960 个八位数. 9.7 名班委中有 A,B,C 三人,有 7 种不同的职务,现对 7 名班委进行职务具体分工. (1)若正、副班长两职只能从 A,B,C 三人中选两人担任,有多少种分工方案? (2)若正、副班长两职至少要选 A,B,C 三人中的一人担任,有多少种分工方案? 解 (1)分两步来完成:第一步,先排正、副班长有A3 2种方法;第二步,再安排其余职务有A5 5种方 法. 依据分步乘法计数原理,共有A3 2 A5 5=720 种分工方案. (2)7 人中任意分工方案有A7 7种,A,B,C 三人中无一人任正、副班长的分工方案有A4 2 A5 5种,因此 A,B,C 三人中至少有一人任正、副班长的方案有A7 7 − A4 2 A5 5=5 040-1 440=3 600 种. 10.从 1,2,3,…,9 这 9 个数字中任取 2 个不同的数分别作为一个对数的底数和真数,一共可以 得到多少个不同的对数值?其中比 1 大的有几个? 解 从 2,3,…,9 这 8 个数中任取 2 个数组成对数,有A8 2个,在这些对数值 中,log24=log39,log42=log93,log23=log49,log32=log94,重复计数 4 次,又 1 不能作为对数的底 数,1 作为真数时,不论底数为何值,其对数值均为 0. 所以可以得到A8 2 -4+1=53 个不同的对数值. 要求对数值比 1 大,可分类完成:当底数为 2 时,真数从 3,4,5,…,9 中任取一个,有 7 种选法;底 数为 3 时,真数从 4,5,…,9 中任取一个,有 6 种选法;…;依次类推,当底数为 8 时,真数只能取 9, 有 1 种选法. 依据分类加法计数原理共有 7+6+5+4+3+2+1=28 个. 但其中 log24=log39,log23=log49,所以其中比 1 大的对数值有 28-2=26 个. 11.3 名女生和 5 名男生排成一排. (1)若女生必须全排在一起,则可有多少种不同的排法? (2)若女生必须全分开,则有多少种不同的排法? (3)若两端都不能排女生,则可有多少种不同的排法? 解 (1)分两步来完成:第一步,先让 3 名女生站好,有A3 3种排法;第二步,把女生看成一个整体, 与 5 名男生站在一起,有A6 6种排法. 依据分步乘法计数原理,共有A6 6 A3 3=4 320 种不同排法. (2)分两步来完成:第一步,先确定 5 名男生的先后顺序有A5 5种排法;第二步,这 5 名男生之间和 两端有 6 个位置,从中选取 3 个位置排女生,有A6 3种排法. 依据分步乘法计数原理,共有A5 5 A6 3=120×120=14 400 种不同排法
(3)分两步来完成，第一步，因为两端不排女生，只能从5名男生中选2人排列，有A种排法；第二 步，剩余的位置没有特殊要求，有A种排法. 依据分步乘法计数原理，共有A2A?=20×720=14400种不同排法。 拓展提高 1某小学开家长会，会场第一排有连在一起的8个座位，有4名同学和她们的妈妈共8人坐在 第一排的这8个座位上，则每名同学和她们的妈妈坐一起的不同排法种数为 () A.378 B.384 C.396 D.412 答案☐B 解析☐由排列中的相邻问题得，每名同学和地们的妈妈坐在一起的不同排法种数为A·A3· A·A3·A4=384 2.用5,6,7,8,9排成没有重复数字的五位数，其中有且仅有一个奇数夹在两个偶数之间的五位 数的个数为( A.36 B.48 C.72 D.120 答案A 解析份三步来完成第一步，将3个奇数全排列有A种方法； 第二步，将2个偶数插入，使它们之间只有一个奇数，共3种方法： 第三步，将2个偶数全排列有A种方法，故满足题意的五位数的个数为3AA=36 3.从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游 览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 (） A.300种 B.240种 C.144种 D.96种 客案☐B 解析先从除甲、乙外的4人中选取1人去巴黎，再从其余5人中选3人去伦敦、悉尼、莫 斯科，共有不同的选择方案A1·A=240种. 4某地为了迎接国庆节，某大楼安装了5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定每个彩灯只能闪亮 红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序 地各闪亮一次为一个闪烁在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的 时间间隔均为5秒.如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是(） A.1205秒 B.1200秒 C.1195秒 D.1190秒 答案]c 解析☐由题意知，每次闪烁共5秒，所有不同的闪烁为A个，相邻两个闪烁的时间间隔为5秒， 因此需要的时间至少是5A+(A-1)×5=1195秒. 5.某班星期二上午有五节课，下午有三节课，安排的课程有语文、数学、英语、物理、化学、 生物、体育，其中数学是上午或下午连续的两节课，其余课程各一节，现将体育课安排在下午 的第三节，则不同的安排方案有( A.120 B.480 C.600 D.720 答案
(3)分两步来完成,第一步,因为两端不排女生,只能从 5 名男生中选 2 人排列,有A5 2种排法;第二 步,剩余的位置没有特殊要求,有A6 6种排法. 依据分步乘法计数原理,共有A5 2 A6 6=20×720=14 400 种不同排法. 拓展提高 1.某小学开家长会,会场第一排有连在一起的 8 个座位,有 4 名同学和她们的妈妈共 8 人坐在 第一排的这 8 个座位上,则每名同学和她们的妈妈坐一起的不同排法种数为 ( ) A.378 B.384 C.396 D.412 答案 B 解析 由排列中的相邻问题得,每名同学和她们的妈妈坐在一起的不同排法种数为A2 2 · A2 2 · A2 2 · A2 2 · A4 4=384. 2.用 5,6,7,8,9 排成没有重复数字的五位数,其中有且仅有一个奇数夹在两个偶数之间的五位 数的个数为( ) A.36 B.48 C.72 D.120 答案 A 解析 分三步来完成.第一步,将 3 个奇数全排列有A3 3种方法; 第二步,将 2 个偶数插入,使它们之间只有一个奇数,共 3 种方法; 第三步,将 2 个偶数全排列有A2 2种方法,故满足题意的五位数的个数为 3A3 3 A2 2=36. 3.从 6 人中选 4 人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览,要求每个城市有一人游 览,每人只游览一个城市,且这 6 人 中甲、乙两人不去巴黎游览,则不同的选择方案共有 ( ) A.300 种 B.240 种 C.144 种 D.96 种 答案 B 解析 先从除甲、乙外的 4 人中选取 1 人去巴黎,再从其余 5 人中选 3 人去伦敦、悉尼、莫 斯科,共有不同的选择方案A4 1 · A5 3=240 种. 4.某地为了迎接国庆节,某大楼安装了 5 个彩灯,它们闪亮的顺序不固定.每个彩灯只能闪亮 红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色,且这 5 个彩灯所闪亮的颜色各不相同,记这 5 个彩灯有序 地各闪亮一次为一个闪烁.在每个闪烁中,每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮,而相邻两个闪烁的 时间间隔均为 5 秒.如果要实现所有不同的闪烁,那么需要的时间至少是( ) A.1 205 秒 B.1 200 秒 C.1 195 秒 D.1 190 秒 答案 C 解析 由题意知,每次闪烁共 5 秒,所有不同的闪烁为A5 5个,相邻两个闪烁的时间间隔为 5 秒, 因此需要的时间至少是 5A5 5+(A5 5 -1)×5=1 195 秒. 5.某班星期二上午有五节课,下午有三节课,安排的课程有语文、数学、英语、物理、化学、 生物、体育,其中数学是上午或下午连续的两节课,其余课程各一节,现将体育课安排在下午 的第三节,则不同的安排方案有( ) A.120 B.480 C.600 D.720 答案 C
解析☐若数学安排在下午，则只能安排在6,7节，其余5节课全排列，有A=120种不同的安排 方案；若数学安排在上午，则可以是12,23,34,45，共4种，其余5节课全排列，有 4×A=4×120=480种不同的安排方案，共有120+480=600种不同的安排方案 6.将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张 参观券连号，那么不同的分法种数是 答案☐96 解析5张参观券分为4组，其中2张连号的有4种分法，每一种分法中的排列方法有A4种， 因此共有不同的分法有4A4=4×24=96种 7.用1,2,3,4,5,6排成没有重复数字的六位数，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1,2相 邻，这样的六位数的个数是 答案40 解析可分为三步来完成这件事 第一步，先将3,5进行排列，共有A种排法； 第二步，再将4,6插空排列，共有2A经种排法； 第三步，将1,2放入3,5,4,6形成的空中，共有A1种排法 由分步乘法计数原理得，共有A×2A3A1=40种不同的排法 8.市内某公共汽车站有7个候车位（成一排），现有甲、乙、丙、丁、戊5名同学随机坐在某 个座位上候车，则甲、乙相邻，且丙、丁不相邻的不同的坐法种数为 ,(用数字作 答) 答案☐480 解析甲、乙相邻用捆绑法，有A经种，然后从4个位置选两个安排甲乙、戊，有A种，最后用插 空法安排丙、丁2人，即从5个空中插入2人，有A2种，故共有A经A好A号=2×12×20=480种不同 的坐法 9.(1)用0,1,2,3,4可排成多少个五位数？ (2)用0,1,2,3,4可排成多少个无重复数字的五位数？ (3)用0,1,2,3,4可排成多少个无重复数字，且是3的倍数的三位数？ (4)用0,1,2,3,4可排成多少个无重复数字的五位奇数？ 解1)各个数位上的数字允许重复，故由分步乘法计数原理知，共有4×5×5×5×5=2500个 (2)方法一：先排万位，从1,2,3,4中任取一个有A4种排法，其余四个位置的四个数字共有A4种排 法，故共有A4·A4=96个 方法二：先排0，从个、十、百、千位中任选一个位置将0填入有A种方法，其余四个数字全 排有A4种方法，故共有A4·A4=96个 (3)构成3的倍数的三位数，各个位上数字之和是3的倍数，按取0和不取0分类： ①取0，从1和4中取一个数，再取2进行排，先填百位有A2,其余任排有A经，故有2A经·A经个 ②不取0，则只能取3，从1或4中再任取一个，再取2，然后进行全排为2A3 故共有2A2A3+2A号=8+12=20个 (4)考虑特殊位置：个位和万位，先填个位，从1,3中选一个填入个位有A种填法，然后从剩余3 个非0数中选一个填入万位，有A种填法，包含0在内还有3个数在中间三个位置上全排列， 排列数为A3,故共有A2·A3·A3=36个 挑战创新 7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少 种不同的站法？ (1)老师必须站在中间或两端；
解析 若数学安排在下午,则只能安排在 6,7 节,其余 5 节课全排列,有A5 5=120 种不同的安排 方案;若数学安排在上午,则可以是 12,23,34,45,共 4 种,其余 5 节课全排列,有 4×A5 5=4×120=480 种不同的安排方案,共有 120+480=600 种不同的安排方案. 6.将序号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张参观券全部分给 4 人,每人至少 1 张,如果分给同一人的 2 张 参观券连号,那么不同的分法种数是 . 答案 96 解析 5 张参观券分为 4 组,其中 2 张连号的有 4 种分法,每一种分法中的排列方法有A4 4种, 因此共有不同的分法有 4A4 4=4×24=96 种. 7.用 1,2,3,4,5,6 排成没有重复数字的六位数,要求任何相邻两个数字的奇偶性不同,且 1,2 相 邻,这样的六位数的个数是 . 答案 40 解析 可分为三步来完成这件事: 第一步,先将 3,5 进行排列,共有A2 2种排法; 第二步,再将 4,6 插空排列,共有 2A2 2种排法; 第三步,将 1,2 放入 3,5,4,6 形成的空中,共有A5 1种排法. 由分步乘法计数原理得,共有A2 2×2A2 2 A5 1=40 种不同的排法. 8.市内某公共汽车站有 7 个候车位(成一排),现有甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学随机坐在某 个座位上候车,则甲、乙相邻,且丙、丁不相邻的不同的坐法种数为 .(用数字作 答) 答案 480 解析 甲、乙相邻用捆绑法,有A2 2种,然后从 4 个位置选两个安排甲乙、戊,有A4 2种,最后用插 空法安排丙、丁 2 人,即从 5 个空中插入 2 人,有A5 2种,故共有A2 2 A4 2 A5 2=2×12×20=480 种不同 的坐法. 9.(1)用 0,1,2,3,4 可排成多少个五位数? (2)用 0,1,2,3,4 可排成多少个无重复数字的五位数? (3)用 0,1,2,3,4 可排成多少个无重复数字,且是 3 的倍数的三位数? (4)用 0,1,2,3,4 可排成多少个无重复数字的五位奇数? 解 (1)各个数位上的数字允许重复,故由分步乘法计数原理知,共有 4×5×5×5×5=2 500 个. (2)方法一:先排万位,从 1,2,3,4 中任取一个有A4 1种排法,其余四个位置的四个数字共有A4 4种排 法,故共有A4 1 · A4 4=96 个. 方法二:先排 0,从个、十、百、千位中任选一个位置将 0 填入有A4 1种方法,其余四个数字全 排有A4 4种方法,故共有A4 1 · A4 4=96 个. (3)构成 3 的倍数的三位数,各个位上数字之和是 3 的倍数,按取 0 和不取 0 分类: ①取 0,从 1 和 4 中取一个数,再取 2 进行排,先填百位有A2 1 ,其余任排有A2 2 ,故有 2A2 1 · A2 2个. ②不取 0,则只能取 3,从 1 或 4 中再任取一个,再取 2,然后进行全排为 2A3 3 . 故共有 2A2 1 A2 2+2A3 3=8+12=20 个. (4)考虑特殊位置:个位和万位,先填个位,从 1,3 中选一个填入个位有A2 1种填法,然后从剩余 3 个非 0 数中选一个填入万位,有A3 1种填法,包含 0 在内还有 3 个数在中间三个位置上全排列, 排列数为A3 3 ,故共有A2 1 · A3 1 · A3 3=36 个. 挑战创新 7 名师生站成一排照相留念,其中老师 1 人,男学生 4 人,女学生 2 人,在下列情况下,各有多少 种不同的站法? (1)老师必须站在中间或两端;
(2)两名女生必须相邻而站： (3)4名男生互不相邻： (4)若4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站 解☐1)先考虑老师，有A号种站法，再考虑其余6人全排列，故不同站法总数为A站A馆-2160种. (2)2名女生站在一起有A号种站法，视为一种元素与其余5人全排列，有A种排法，故有不同站 法有A3·A=1440种. (3)先站老师和女生，有A3种站法，再在老师和女生站位的间隔（含两端）处插入男生，每空一人， 则插入方法有A4种，故共有不同站法有A3·A4=144种. (4)7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A性种，而由高到低有从左到右和从右到左 的不同，故共有不同站法有2× -420种. A
(2)两名女生必须相邻而站; (3)4 名男生互不相邻; (4)若 4 名男生身高都不等,按从高到低的顺序站. 解 (1)先考虑老师,有A3 1种站法,再考虑其余 6 人全排列,故不同站法总数为A3 1 A6 6=2 160 种. (2)2 名女生站在一起有A2 2种站法,视为一种元素与其余 5 人全排列,有A6 6种排法,故有不同站 法有A2 2 · A6 6=1 440 种. (3)先站老师和女生,有A3 3种站法,再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生,每空一人, 则插入方法有A4 4种,故共有不同站法有A3 3 · A4 4=144 种. (4)7 人全排列中,4 名男生不考虑身高顺序的站法有A4 4种,而由高到低有从左到右和从右到左 的不同,故共有不同站法有 2×A7 7 A4 4=420 种