4.1.3 独立性与条件慨率的关系 1坛子中放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地取球2次，每次取一球，用4表示第一次 取得白球，A2表示第二次取得白球，则A和A() A.是互斥的事件 B.是相互独立的事件 C.是对立的事件 D.不是相互独立的事件 答案□D 解析☐：P4)号若A发生，则P4)号-是 若41不发生，则P(4)子即小发生的结果对山发生的结果有影响， A1与A2不是相互独立事件 2.在某道路的甲、乙、丙三处设有交通灯，这三盏灯在1分钟内开放绿灯的时间分别为25 秒、35秒、45秒，某辆车在这段道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为() B瓷 c D亮 答案☐ 解析□由题意知，甲、乙、丙三处交通灯开放绿灯的概率分别为品品系 则在这校道路上三处都不修车的概率P品×备×瓷 3.投掷一枚质地均匀的硬币和一枚质地均匀的骰子各一次，记A为“硬币正面朝上”，B为骰子 朝上的点数是3”，则A,B中至少有一件发生的概率是()》 A B c D 案 解析☐：P4-之P(B)吉 ∴PA2P)- 又A,B为相互独立事件，由题意知，A,B中至少有一件发生的对立事件是A,B都不发生， ∴P(I)-paP@)-×=是 “A,B中至少有一件发生的概率为1P=l品=品 4.设两个相互独立事件A和B都不发生的概率为号A发生B不发生的概率与B发生A不发 生的概率相同，则事件A发生的概率P(4)是( A B c D 案D 解析☐由题意知P(4B)=P(BA, 即P(A)P(E)=P(B)PA) 得PA)[1-P(B)]=P(B)1-P4] 整理得P(A)=P(B) 又PI)号 即PA=P()子 因此PA号
4.1.3 独立性与条件概率的关系 1.坛子中放有 3 个白球,2 个黑球,从中进行不放回地取球 2 次,每次取一球,用 A1 表示第一次 取得白球,A2 表示第二次取得白球,则 A1 和 A2( ) A.是互斥的事件 B.是相互独立的事件 C.是对立的事件 D.不是相互独立的事件 答案 D 解析 ∵P(A1)= 3 5 ,若 A1 发生,则 P(A2)= 2 4 = 1 2 ; 若 A1 不发生,则 P(A2)= 3 4 ,即 A1 发生的结果对 A2 发生的结果有影响, ∴A1 与 A2 不是相互独立事件. 2.在某道路的甲、乙、丙三处设有交通灯,这三盏灯在 1 分钟内开放绿灯的时间分别为 25 秒、35 秒、45 秒,某辆车在这段道路上匀速行驶,则三处都不停车的概率为( ) A. 7 64 B. 25 192 C. 35 192 D. 35 576 答案 C 解析 由题意知,甲、乙、丙三处交通灯开放绿灯的概率分别为 5 12 , 7 12 , 3 4 , 则在这段道路上三处都不停车的概率 P= 5 12 × 7 12 × 3 4 = 35 192. 3.投掷一枚质地均匀的硬币和一枚质地均匀的骰子各一次,记 A 为“硬币正面朝上”,B 为“骰子 朝上的点数是 3”,则 A,B 中至少有一件发生的概率是( ) A. 5 12 B.1 2 C. 7 12 D.3 4 答案 C 解析 ∵P(A)= 1 2 ,P(B)= 1 6 , ∴P(𝐴)= 1 2 ,P(𝐵)= 5 6 . 又 A,B 为相互独立事件,由题意知,A,B 中至少有一件发生的对立事件是 A,B 都不发生, ∴P(𝐴 𝐵)=P(𝐴)P(𝐵)= 1 2 × 5 6 = 5 12. ∴A,B 中至少有一件发生的概率为 1-P(𝐴 𝐵)=1- 5 12 = 7 12. 4.设两个相互独立事件 A 和 B 都不发生的概率为1 9 ,A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不发 生的概率相同,则事件 A 发生的概率 P(A)是( ) A.2 9 B. 1 18 C.1 3 D.2 3 答案 D 解析 由题意知 P(A𝐵)=P(B𝐴), 即 P(A)P(𝐵)=P(B)P(𝐴), 得 P(A)[1-P(B)]=P(B)[1-P(A)], 整理得 P(A)=P(B). 又 P(𝐴 𝐵)= 1 9 , 即 P(𝐴)=P(𝐵)= 1 3 , 因此 P(A)= 2 3
5.如图，在该电路图中，开关ab,c闭合与断开的概率都是三且是相互独立的.则灯亮的概率是 () A通 B暗 C D喝 答案☐B 解析☐用A,B,C分别表示开关ab,c闭合，用E表示灯亮，则灯亮这一事件E=ABCUABCU ABC,且A,B,C相互独立ABC,ABC,ABC互斥，由互斥事件概率的加法公式以及独立性可知 P(E)=P(ABCUABCUABC) =P(ABC)+P(ABC)+P(ABC) =P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C) ×x+x×(1-)+x(1)×月 是 6,某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为始，则 该队员每次罚球的命中率为」 含案☐ 解析设此队员每次罚球的命中率为P, 由题意知两次罚球中至多命中一次的对立事件是两次都命中， 即则1p碧解得p号 7.甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人都达标的概 率是 ,三人中至少有一人达标的概率是 含案☐b.240.96 解析由题意可知三人都达标的概率为P-0.8×0.6×0.5=0.24,三人中至少有一人达标的概率 为P=1-(1-0.8)×(1-0.6)×(1-0.5)=0.96. 8.判断下列各对事件哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件 (1)抛掷一枚质地均匀的骰子一次，M表示“出现的点数为奇数”，N表示“出现的点数为偶数”： (2)抛掷一枚质地均匀的骰子一次，A表示“出现偶数点”，B表示“出现3点或6点” 解I)因为M,N不可能同时发生 所以M与N是互斥事件 (2)由题意，得样本空间2={1,2,3,4,5,6}，事件A={2,4,6},事件B={3,61,事件AB={6}, 则PA号=克PB)2= PAB)片=×3 即P(AB)=P(A)P(B) 故事件A与B是相互独立事件.当“出现6点”时，事件A,B可以同时发生 因此，A,B不是互斥事件」 9某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为号乙当选的概率为炭丙当选的概率为品 求 (1)恰有一名同学当选的概率：
5.如图,在该电路图中,开关 a,b,c 闭合与断开的概率都是1 2 ,且是相互独立的,则灯亮的概率是 ( ) A.1 8 B.3 8 C.1 4 D.7 8 答案 B 解析 用 A,B,C 分别表示开关 a,b,c 闭合,用 E 表示灯亮,则灯亮这一事件 E=ABC∪AB𝐶∪ A𝐵C,且 A,B,C 相互独立,ABC,AB𝐶,A𝐵C 互斥,由互斥事件概率的加法公式以及独立性可知 P(E)=P(ABC∪AB𝐶∪A𝐵C) =P(ABC)+P(AB𝐶)+P(A𝐵C) =P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(𝐶)+P(A)P(𝐵)P(C) = 1 2 × 1 2 × 1 2 + 1 2 × 1 2 × (1- 1 2 ) + 1 2 × (1- 1 2 ) × 1 2 = 3 8 . 6.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同,且在两次罚球中至多命中一次的概率为16 25,则 该队员每次罚球的命中率为 . 答案 3 5 解析 设此队员每次罚球的命中率为 p, 由题意知两次罚球中至多命中一次的对立事件是两次都命中, 即 p 2 ,则 1-p 2= 16 25,解得 p= 3 5 . 7.甲、乙、丙三人将参加某项测试,他们能达标的概率分别是 0.8,0.6,0.5,则三人都达标的概 率是 ,三人中至少有一人达标的概率是 . 答案 0.24 0.96 解析 由题意可知三人都达标的概率为 P=0.8×0.6×0.5=0.24;三人中至少有一人达标的概率 为 P'=1-(1-0.8)×(1-0.6)×(1-0.5)=0.96. 8.判断下列各对事件哪些是互斥事件,哪些是相互独立事件. (1)抛掷一枚质地均匀的骰子一次,M 表示“出现的点数为奇数”;N 表示“出现的点数为偶数”; (2)抛掷一枚质地均匀的骰子一次,A 表示“出现偶数点”;B 表示“出现 3 点或 6 点”. 解 (1)因为 M,N 不可能同时发生, 所以 M 与 N 是互斥事件. (2)由题意,得样本空间 Ω={1,2,3,4,5,6},事件 A={2,4,6},事件 B={3,6},事件 AB={6}, 则 P(A)= 3 6 = 1 2 ,P(B)= 2 6 = 1 3 , P(AB)= 1 6 = 1 2 × 1 3 , 即 P(AB)=P(A)P(B). 故事件 A 与 B 是相互独立事件.当“出现 6 点”时,事件 A,B 可以同时发生, 因此,A,B 不是互斥事件. 9.某班甲、乙、丙三名同学竞选班委,甲当选的概率为4 5 ,乙当选的概率为3 5 ,丙当选的概率为7 10. 求: (1)恰有一名同学当选的概率;
(2)至多两名同学当选的概率. 解☐设甲、乙、丙当选分别为A,B和C 由题意知PMP(B)P(O品 则PaP)号PC)-品 (1)因为A,B,C相互独立，所以由互斥事件概率的加法公式以及独立性可知恰有一名同学当选 的概率为 P(ABC)+P(ABC)+P(A BC) =P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C) ×号x品+××品+×号×品 47 250 (2)至多有两名同学当选的对立事件是有三名同学当选，即ABC,即至多有两名同学当选的概 率为1-P(ABC)-1--PPB)PC-l号xx品=器 10.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试 求下列事件的概率： (1)第3次拨号才接通电话： (2)拨号不超过3次而接通电话。 解☐设A,={第1次拨号接通电话}，i=1,2,3. (1)第3次才接通电话可表示为A1A243, 于是所求概率为P,a,4)品×号x行=六 (2)拨号不超过3次而接通电话可表示为A1+A1A2+A1A2A3, 于是所求概率为P(41+A142+A1A24) =P(A1)+P(A142)+P(A1A24) 品+品×对+品×号×司 3 10
(2)至多两名同学当选的概率. 解 设甲、乙、丙当选分别为 A,B 和 C. 由题意知 P(A)= 4 5 ,P(B)= 3 5 ,P(C)= 7 10, 则 P(𝐴)= 1 5 ,P(𝐵)= 2 5 ,P(𝐶)= 3 10. (1)因为 A,B,C 相互独立,所以由互斥事件概率的加法公式以及独立性可知恰有一名同学当选 的概率为 P(A𝐵 𝐶)+P(𝐴𝐵𝐶)+P(𝐴 𝐵C) =P(A)P(𝐵)P(𝐶)+P(𝐴)P(B)P(𝐶)+P(𝐴)P(𝐵)P(C) = 4 5 × 2 5 × 3 10 + 1 5 × 3 5 × 3 10 + 1 5 × 2 5 × 7 10 = 47 250. (2)至多有两名同学当选的对立事件是有三名同学当选,即 ABC,即至多有两名同学当选的概 率为 1-P(ABC)=1-P(A)P(B)P(C)=1- 4 5 × 3 5 × 7 10 = 83 125. 10.某人忘记了电话号码的最后一个数字,因而他随意地拨号,假设拨过了的号码不再重复,试 求下列事件的概率: (1)第 3 次拨号才接通电话; (2)拨号不超过 3 次而接通电话. 解 设 Ai={第 i 次拨号接通电话},i=1,2,3. (1)第 3 次才接通电话可表示为𝐴1 𝐴2A3, 于是所求概率为 P(𝐴1𝐴2A3)= 9 10 × 8 9 × 1 8 = 1 10. (2)拨号不超过 3 次而接通电话可表示为 A1+𝐴1A2+𝐴1𝐴2A3, 于是所求概率为 P(A1+𝐴1A2+𝐴1𝐴2A3) =P(A1)+P(𝐴1A2)+P(𝐴1𝐴2A3) = 1 10 + 9 10 × 1 9 + 9 10 × 8 9 × 1 8 = 3 10