第2课时 组合数的应用 基础巩固 1若从1,2,3，，9这9个整数中同时取3个不同的数，使其和为奇数，则不同的取法共有( A.30种 B.33种 C.37种 D.40种 答案☐D 解析从1,2,3，，9这9个数中取出3个不同的数，使其和为奇数的情况分两类：取出的3个 数都是奇数和取出的3个数中有2个偶数、1个奇数， 第一类，取出的3个数都是奇数，取法有C种；第二类，取出的3个数中有2个偶数、1个奇数， 取法有C好C种.根据分类加法计数原理，满足题意的取法共有C号+C?C=10+30=40种， 2.某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的公益广告.要求最后 必须播放公益广告，且2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式有( A.120种 B.48种 C.36种 D.18种 靥案] 解析☐分三步来完成：第一步，最后必须播放公益广告有C种方法； 第二步，2个公益广告不能连续播放，倒数第2个广告有C种方法； 第三步，剩下的3个广告全排列，有A种方法，因此共有CCA=2×3×3×2×1=36种不同的播放 方式 3.编号为1,2,3,4,5,6,7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的亮 灯方案有( A.60种 B.20种 C.10种 D.8种 靥案]c 解析份两步来完成：第一步，先安排四盏不亮的灯，有1种情况，第二步，四盏不亮的灯产生的 5个空当中放入3盏亮灯，有C=10种方案 因此共有1×C号=10种， 4.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生， 那么不同的选派方案种数为( A.24种 B.14种 C.28种 D.48种 客案B 解析方法一：分两类完成： 第一类，选派1名女生、3名男生，有C2C种选派方案， 第二类，选派2名女生、2名男生，有CC好种选派方案 故共有CC屏+CC好=14种不同的选派方案 方法二：6人中选派4人的组合数为C哈，其中都选男生的组合数为C4,因此至少有1名女生的 选派方案有C哈-C4=14种， 5.某高校运动会期间，有14名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚三班，每班4人，每人每 天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为() A.CC2C哈 B.CA12A皓 c贤cci D.C12C12C8A A 答案A
第 2 课时 组合数的应用 基础巩固 1.若从 1,2,3,…,9 这 9 个整数中同时取 3 个不同的数,使其和为奇数,则不同的取法共有( ) A.30 种 B.33 种 C.37 种 D.40 种 答案 D 解析 从 1,2,3,…,9 这 9 个数中取出 3 个不同的数,使其和为奇数的情况分两类:取出的 3 个 数都是奇数和取出的 3 个数中有 2 个偶数、1 个奇数. 第一类,取出的 3 个数都是奇数,取法有C5 3种;第二类,取出的 3 个数中有 2 个偶数、1 个奇数, 取法有C4 2C5 1种.根据分类加法计数原理,满足题意的取法共有C5 3 + C4 2C5 1=10+30=40 种. 2.某电视台连续播放 5 个广告,其中有 3 个不同的商业广告和 2 个不同的公益广告.要求最后 必须播放公益广告,且 2 个公益广告不能连续播放,则不同的播放方式有( ) A.120 种 B.48 种 C.36 种 D.18 种 答案 C 解析 分三步来完成:第一步,最后必须播放公益广告有C2 1种方法; 第二步,2 个公益广告不能连续播放,倒数第 2 个广告有C3 1种方法; 第三步,剩下的 3 个广告全排列,有A3 3种方法,因此共有C2 1C3 1A3 3=2×3×3×2×1=36 种不同的播放 方式. 3.编号为 1,2,3,4,5,6,7 的七盏路灯,晚上用时只亮三盏灯,且任意两盏亮灯不相邻,则不同的亮 灯方案有( ) A.60 种 B.20 种 C.10 种 D.8 种 答案 C 解析 分两步来完成:第一步,先安排四盏不亮的灯,有 1 种情况,第二步,四盏不亮的灯产生的 5 个空当中放入 3 盏亮灯,有C5 3=10 种方案. 因此共有 1×C5 3=10 种. 4.某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务,如果要求至少有 1 名女生, 那么不同的选派方案种数为( ) A.24 种 B.14 种 C.28 种 D.48 种 答案 B 解析 方法一:分两类完成: 第一类,选派 1 名女生、3 名男生,有C2 1C4 3种选派方案; 第二类,选派 2 名女生、2 名男生,有C2 2C4 2种选派方案. 故共有C2 1C4 3 + C2 2C4 2=14 种不同的选派方案. 方法二:6 人中选派 4 人的组合数为C6 4 ,其中都选男生的组合数为C4 4 ,因此至少有 1 名女生的 选派方案有C6 4 − C4 4=14 种. 5.某高校运动会期间,有 14 名志愿者参加接待工作,若每天早、中、晚三班,每班 4 人,每人每 天最多值一班,则开幕式当天不同的排班种数为( ) A.C14 12C12 4 C8 4 B.C14 12A12 4 A8 4 C.C14 12C12 4 C8 4 A3 3 D.C14 12C12 4 C8 4A8 3 答案 A
解析☐分三步来完成：第一步，从14人中选出12人共C好种：第二步，早班从12人中选取4人， 有C2种；第三步，中班从剩下的8人中选4人，有C种，剩下的4人是晚班.因此开幕式当天不 同的排班种数有CC2C种.故选A 6.某省高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学 科中选择3门学科参加等级考试如果小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一 门，那么小明同学的选择方案有」 种 答案☐10 解析份两类：在生物、政治、历史三门中选择1门或都不选 第一类，在生物、政治、历史三门中选择1门，则在物理、化学、地理中选2门，有CC子种选 法， 第二类，在生物、政治、历史三门中选择0门，则物理、化学、地理全选，有C种选法 因此共有选法CC好+C=9+1=10种。 7.某校开设9门课程供学生选修，其中A,B,C三门课程由于上课时间相同，每位学生至多选 门课程学校规定，每位学生选修4门课程，共有 种不同选修方案.（用数字作答） 答案☐75 解析这里A,B,C三门课程“至多选一门”，即A,B,C三门课程都不选或A,B,C这三门课程恰 好选一门课程 因此，分两类完成：第一类，AB.C三门课程都不选.有C4种不同选修方案：第二类，A,B.C三门课 程恰好选修一门课程，有CC2种不同选修方案。 因此共有C哈+CC2=75种不同的选修方案. 8.5名羽毛球队员中，有2名老队员和3名新队员，现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体 比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1,2号中至少有1名新队员的排法有 种 含案☐48 解析份两类：两老一新和两新一老.第一类，当两老一新时，有CC2=12种排法；第二类，当 两新一老时，有C2C子A-36种排法.因此共有48种排法。 9.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张，要求这3 张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，求不同取法的种数 解☐不考虑特殊情况，共有C6种取法，其中每一种卡片各取三张，有4C译种取法，两种红色卡片， 共有C好C2种取法，因此所求的取法共有C6-4C子-CC12=560-16-72=472种. 10.现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作（其中有1名 青年两项工作都能胜任).现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工 作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？ 解☐可以分三类： 第一类，让两项工作都能胜任的青年从事英语翻译工作，有CC种选法， 第二类，让两项工作都能胜任的青年从事德语翻译工作，有C屏C种选法： 第三类，让两项工作都能胜任的青年不从事任何工作，有C屏C种选法 根据分类加法计数原理，一共有CC好+CC+C浮C=18+12+12=42种不同的选法 11.从1到9的9个数中取3个偶数和4个奇数，则 (1)能排成多少个没有重复数字的七位数？ (2)上述七位数中3个偶数排在一起的有几个？ (3)在(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？ (4)在(1)中任意2个偶数都不相邻的七位数有几个？
解析 分三步来完成:第一步,从 14 人中选出 12 人共C14 12种;第二步,早班从 12 人中选取 4 人, 有C12 4 种;第三步,中班从剩下的 8 人中选 4 人,有C8 4种,剩下的 4 人是晚班.因此开幕式当天不 同的排班种数有C14 12C12 4 C8 4种.故选 A. 6.某省高考改革方案中,要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理 6 门学 科中选择 3 门学科参加等级考试.如果小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一 门,那么小明同学的选择方案有 种. 答案 10 解析 分两类:在生物、政治、历史三门中选择 1 门或都不选. 第一类,在生物、政治、历史三门中选择 1 门,则在物理、化学、地理中选 2 门,有C3 1C3 2种选 法; 第二类,在生物、政治、历史三门中选择 0 门,则物理、化学、地理全选,有C3 3种选法. 因此共有选法C3 1C3 2 + C3 3=9+1=10 种. 7.某校开设 9 门课程供学生选修,其中 A,B,C 三门课程由于上课时间相同,每位学生至多选一 门课程.学校规定,每位学生选修 4 门课程,共有 种不同选修方案.(用数字作答) 答案 75 解析 这里 A,B,C 三门课程“至多选一门”,即 A,B,C 三门课程都不选或 A,B,C 这三门课程恰 好选一门课程. 因此,分两类完成:第一类,A,B,C 三门课程都不选,有C6 4种不同选修方案;第二类,A,B,C 三门课 程恰好选修一门课程,有C3 1C6 3种不同选修方案. 因此共有C6 4 + C3 1C6 3=75 种不同的选修方案. 8.5 名羽毛球队员中,有 2 名老队员和 3 名新队员,现从中选出 3 名队员排成 1,2,3 号参加团体 比赛,则入选的 3 名队员中至少有 1 名老队员,且 1,2 号中至少有 1 名新队员的排法有 种. 答案 48 解析 分两类:两老一新和两新一老.第一类,当两老一新时,有C3 1C2 1A2 2=12 种排法;第二类,当 两新一老时,有C2 1C3 2A3 3=36 种排法.因此共有 48 种排法. 9.现有 16 张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张.从中任取 3 张,要求这 3 张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多 1 张,求不同取法的种数. 解 不考虑特殊情况,共有C16 3 种取法,其中每一种卡片各取三张,有 4C4 3种取法,两种红色卡片, 共有C4 2C12 1 种取法,因此所求的取法共有C16 3 -4C4 3 − C4 2C12 1 =560-16-72=472 种. 10.现有 8 名青年,其中有 5 名能胜任英语翻译工作,有 4 名能胜任德语翻译工作(其中有 1 名 青年两项工作都能胜任).现在要从中挑选 5 名青年承担一项任务,其中 3 名从事英语翻译工 作,2 名从事德语翻译工作,则有多少种不同的选法? 解 可以分三类: 第一类,让两项工作都能胜任的青年从事英语翻译工作,有C4 2C3 2种选法; 第二类,让两项工作都能胜任的青年从事德语翻译工作,有C4 3C3 1种选法; 第三类,让两项工作都能胜任的青年不从事任何工作,有C4 3C3 2种选法. 根据分类加法计数原理,一共有C4 2C3 2 + C4 3C3 1 + C4 3C3 2=18+12+12=42 种不同的选法. 11.从 1 到 9 的 9 个数中取 3 个偶数和 4 个奇数,则: (1)能排成多少个没有重复数字的七位数? (2)上述七位数中 3 个偶数排在一起的有几个? (3)在(1)中的七位数中,偶数排在一起,奇数也排在一起的有几个? (4)在(1)中任意 2 个偶数都不相邻的七位数有几个?
解☐1)分三步完成：第一步，在4个偶数中取3个，有C种情况；第二步，在5个奇数中取4个 有C4种情况；第三步，3个偶数、4个奇数进行排列，有A?种情况.因此共有C屏CA?=100800个 符合题意的七位数 (2)上述七位数中，3个偶数排在一起的个数共有CC4AA3=14400个 (3)在(1)中七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的个数共有CC4A3A4A侶=5760 个 (4)可以分两步来完成：第一步，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，有A4个；第二步，再将3个 偶数分别插入4个奇数排好后形成的5个空中 因此共有C屏C4A4A民=28800个符合题意的七位数 拓展提高 1若6人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为() A.40 B.50 C.60 D.70 答案B 解析☐先分组再排列，一组2人一组4人有Cg-15种不同的分法：两组各3人共有器=10种不 同的分法，故乘车方法数为(15+10)×2=50. 2.若安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方 式共有( A.12种 B.18种 C.24种 D.36种 答案☐D 解析由题意4项工作分配给3名志愿者，分配方式只能为(2,1,1)，故安排方式有C子·A号=36 种. 3.某校从6名教师中选派3名教师去完成4项不同的工作，每人至少完成一项，每项工作由1 人完成，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案种数是() A.252 B.288 C.360 D.216 答案☐A 解析根据题意，分两步进行分析： ①在6名教师中选派3名教师，要求甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，分两种情况讨 论： 甲去，则丙一定去，乙一定不去，有C=3种不同选法 甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，有C=4种不同选法 则有3+4=7种不同的选法： ②在4项工作中任选2项，安排给3人中的1人，再将剩下的2项工作全排列，安排给剩下的2 人，有C子·C好·A候=36种情况，则有36×7-252种不同的选派方法。 4.某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选择4人发言，要求甲、乙2人中至少有一人参加， 且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序的种数 为， 答案264 解析☐根据题意，分两种情况讨论，若甲、乙其中一人参加，则有C星C经A-192种情况， 若甲、乙两人都参加，则有CA经A促=72种情况； 故不同的发言顺序种数为192+72=264
解 (1)分三步完成:第一步,在 4 个偶数中取 3 个,有C4 3种情况;第二步,在 5 个奇数中取 4 个, 有C5 4种情况;第三步,3 个偶数、4 个奇数进行排列,有A7 7种情况.因此共有C4 3C5 4A7 7=100 800 个 符合题意的七位数. (2)上述七位数中,3 个偶数排在一起的个数共有C4 3C5 4A5 5 A3 3=14 400 个. (3)在(1)中七位数中,3 个偶数排在一起,4 个奇数也排在一起的个数共有C4 3C5 4A3 3A4 4 A2 2=5 760 个. (4)可以分两步来完成:第一步,偶数都不相邻,可先把 4 个奇数排好,有A4 4个;第二步,再将 3 个 偶数分别插入 4 个奇数排好后形成的 5 个空中. 因此共有C4 3C5 4A4 4 A5 3=28 800 个符合题意的七位数. 拓展提高 1.若 6 人分乘两辆不同的汽车,每辆车最多坐 4 人,则不同的乘车方法数为( ) A.40 B.50 C.60 D.70 答案 B 解析 先分组再排列,一组 2 人一组 4 人有C6 2=15 种不同的分法;两组各 3 人共有C6 3 A2 2=10 种不 同的分法,故乘车方法数为(15+10)×2=50. 2.若安排 3 名志愿者完成 4 项工作,每人至少完成 1 项,每项工作由 1 人完成,则不同的安排方 式共有( ) A.12 种 B.18 种 C.24 种 D.36 种 答案 D 解析 由题意 4 项工作分配给 3 名志愿者,分配方式只能为(2,1,1),故安排方式有C4 2 · A3 3=36 种. 3.某校从 6 名教师中选派 3 名教师去完成 4 项不同的工作,每人至少完成一项,每项工作由 1 人完成,其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案种数是( ) A.252 B.288 C.360 D.216 答案 A 解析 根据题意,分两步进行分析: ①在 6 名教师中选派 3 名教师,要求甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,分两种情况讨 论: 甲去,则丙一定去,乙一定不去,有C3 1=3 种不同选法; 甲不去,则丙一定不去,乙可能去也可能不去,有C4 3=4 种不同选法; 则有 3+4=7 种不同的选法; ②在 4 项工作中任选 2 项,安排给 3 人中的 1 人,再将剩下的 2 项工作全排列,安排给剩下的 2 人,有C4 2 · C3 1 · A2 2=36 种情况,则有 36×7=252 种不同的选派方法. 4.某班班会准备从含甲、乙的 6 名学生中选择 4 人发言,要求甲、乙 2 人中至少有一人参加, 且若甲、乙同时参加,则他们发言时顺序不能相邻,那么不同的发言顺序的种数 为 . 答案 264 解析 根据题意,分两种情况讨论,若甲、乙其中一人参加,则有C4 3C2 1A4 4=192 种情况; 若甲、乙两人都参加,则有C4 2A2 2 A3 2=72 种情况; 故不同的发言顺序种数为 192+72=264
5.将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2 的卡片放入同一信封，则不同的放法共有 种 答案18 解析☐因为先从3个信封中选一个放标号为1,2的卡片，有3种不同的选法，再从剩下的4个 标号的卡片中选两个放入一个信封有C?=6种选法，余下的放入最后一个信封，所以共有 3C好=18种不同的放法」 6.有3张都标着字母A,6张分别标着数字1,2,3,4,5,6的卡片，若任取其中5张卡片组成牌号， 则可以组成的不同牌号的总数是 种 答案☐4020 解析若无字母A,则有A气种；若含有一个字母A,则有CA种；若含有两个字母A,则有CA 种：若含有三个字母A,则有C哈A种 综上所述，共有A气+CA+C2A+CA=4020种不同牌号. 7.工人在安装一个正六边形零件时，需要固定六个位置的螺丝如图所示，首先随意拧一个螺丝， 接着拧它对角线上的（距离它最远的，下同）螺丝，再随意拧第三个螺丝，第四个也拧它对角线上 的螺丝，第五个和第六个以此类推，则不同的固定方式有」 种 ●】 2● 答案☐48 解析☐先随意拧一个螺丝，接着拧它对角线上的，有C种方法，再随意拧第三个螺丝和其对角 线上的，有C种方法，最后随意拧第五个螺丝和其对角线上的，有C种方法，故固定方式共有 CC4C2=48种 8.将4名大学生分配到A,B,C三个工厂参加实习活动，其中A工厂只能安排1名大学生，其余 工厂至少安排1名大学生，且甲同学不能分配到C工厂，则不同的分配方案种数 是 答案☐15 解析☐若甲同学分配到A工厂，则其余3人应分配到B,C两个工厂，一共有CA种分配方案 若甲同学分配到B工厂，则又分为两类：一是其余3人分配到A,C两个工厂，而A工厂只能安 排1名同学，所以一共有C种分配方案；二是从其余3人中选出1人分配到B工厂，其余2人 分配到A.C工厂，所以一共有CA种分配方案」 综上，共有CA经+C+CA=15种不同的分配方案 9.在∠MON的边OM上有5个异于O的点，ON上有4个异于O的点，以这10个点（含O)为 顶点，可以得到多少个三角形？ 解☐方法一（直接法）分三种情况考虑点O为顶点的三角形中，必须另外两个顶点分别在 OM,ON上，则有CC4个 点O不为顶点的三角形中，两个顶，点在OM上，一个顶点在ON上的有CC个；一个顶点在 OM上，两个顶点在ON上的有CC好个 因为这是分类问题，所以依据分类加法计数原理，共有CC4+CC+ CC￥=5×4+10×4+5×6=90个
5.将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中,若每个信封放 2 张,其中标号为 1,2 的卡片放入同一信封,则不同的放法共有 种. 答案 18 解析 因为先从 3 个信封中选一个放标号为 1,2 的卡片,有 3 种不同的选法,再从剩下的 4 个 标号的卡片中选两个放入一个信封有C4 2=6 种选法,余下的放入最后一个信封,所以共有 3C4 2=18 种不同的放法. 6.有 3 张都标着字母 A,6 张分别标着数字 1,2,3,4,5,6 的卡片,若任取其中 5 张卡片组成牌号, 则可以组成的不同牌号的总数是 种. 答案 4 020 解析 若无字母 A,则有A6 5种;若含有一个字母 A,则有C6 4A5 4种;若含有两个字母 A,则有C6 3A5 3 种;若含有三个字母 A,则有C6 2A5 2种. 综上所述,共有A6 5 + C6 4A5 4 + C6 3A5 3 + C6 2A5 2=4 020 种不同牌号. 7.工人在安装一个正六边形零件时,需要固定六个位置的螺丝如图所示,首先随意拧一个螺丝, 接着拧它对角线上的(距离它最远的,下同)螺丝,再随意拧第三个螺丝,第四个也拧它对角线上 的螺丝,第五个和第六个以此类推,则不同的固定方式有 种. 答案 48 解析 先随意拧一个螺丝,接着拧它对角线上的,有C6 1种方法,再随意拧第三个螺丝和其对角 线上的,有C4 1种方法,最后随意拧第五个螺丝和其对角线上的,有C2 1种方法,故固定方式共有 C6 1C4 1C2 1=48 种. 8.将 4 名大学生分配到 A,B,C 三个工厂参加实习活动,其中 A 工厂只能安排 1 名大学生,其余 工厂至少安排 1 名大学生,且甲同学不能分配到 C 工厂,则不同的分配方案种数 是 . 答案 15 解析 若甲同学分配到 A 工厂,则其余 3 人应分配到 B,C 两个工厂,一共有C3 2A2 2种分配方案. 若甲同学分配到 B 工厂,则又分为两类:一是其余 3 人分配到 A,C 两个工厂,而 A 工厂只能安 排 1 名同学,所以一共有C3 1种分配方案;二是从其余 3 人中选出 1 人分配到 B 工厂,其余 2 人 分配到 A,C 工厂,所以一共有C3 1A2 2种分配方案. 综上,共有C3 2A2 2 + C3 1 + C3 1A2 2=15 种不同的分配方案. 9.在∠MON 的边 OM 上有 5 个异于 O 的点,ON 上有 4 个异于 O 的点,以这 10 个点(含 O)为 顶点,可以得到多少个三角形? 解 方法一:(直接法)分三种情况考虑:点 O 为顶点的三角形中,必须另外两个顶点分别在 OM,ON 上,则有C5 1C4 1个. 点 O 不为顶点的三角形中,两个顶点在 OM 上,一个顶点在 ON 上的有C5 2C4 1个;一个顶点在 OM 上,两个顶点在 ON 上的有C5 1C4 2个. 因为这是分类问题,所以依据分类加法计数原理,共有C5 1C4 1 + C5 2C4 1 + C5 1C4 2=5×4+10×4+5×6=90 个
方法二（间接法）先不考虑点共线的问题，从10个不同元素中任取三点的组合数是C,但其中 OM上的6个点（含O点）中任取三点不能构成三角形，ON上的5个点（含O点）中任取三点也 不能构成三角形，故共可以得到C。一C名-C个三角形， 即C1-C2-C号=120-20-10=90个. 挑战创新 车间里有11名工人，其中5名是钳工，4名是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工，现 在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，则有多少种选派方法？ 解☐方法一设A,B代表两名老师傅。 A,B都不在内的选派方法有C·C4=5种； A,B都在内且当钳工的选派方法有C经·C?·C4=I0种； A,B都在内且当车工的选派方法有C子·C4·C好=30种； A,B都在内，一人当钳工，一人当车工的选派方法有C泾·A经·C·C星=80种； A,B有一人在内且当钳工的选派方法有C2·C·C4=20种 A,B有一人在内且当车工的选派方法有C2·C4·C=40种。 故共有5+10+30+80+20+40=185种选派方法. 方法二：5名钳工有4名被选上的方法有C·C4+C.C·C2+C·C好·C经=75种； 5名钳工有3名被选上的方法有C·C4·C2+C·C译·A=100种； 5名钳工有2名被选上的方法有C?.C经·C4=10种 故共有75+100+10=185种选派方法. 方法三：4名车工都被选上的方法有C4·C+C4.C·C+C4·C?·C2=35种； 4名车工有3名被选上的方法有C星·C2·C+C屏·C·A=120种； 4名车工有2名被选上的方法有C好·C泾·C=30种. 故共有35+120+30=185种选派方法
方法二:(间接法)先不考虑点共线的问题,从 10 个不同元素中任取三点的组合数是C10 3 ,但其中 OM 上的 6 个点(含 O 点)中任取三点不能构成三角形,ON 上的 5 个点(含 O 点)中任取三点也 不能构成三角形,故共可以得到C10 3 − C6 3 − C5 3个三角形, 即C10 3 − C6 3 − C5 3=120-20-10=90 个. 挑战创新 车间里有 11 名工人,其中 5 名是钳工,4 名是车工,另外两名老师傅既能当车工又能当钳工,现 在要在这 11 名工人里选派 4 名钳工,4 名车工修理一台机床,则有多少种选派方法? 解 方法一:设 A,B 代表两名老师傅. A,B 都不在内的选派方法有C5 4 · C4 4=5 种; A,B 都在内且当钳工的选派方法有C2 2 · C5 2 · C4 4=10 种; A,B 都在内且当车工的选派方法有C2 2 · C5 4 · C4 2=30 种; A,B 都在内,一人当钳工,一人当车工的选派方法有C2 2 · A2 2 · C5 3 · C4 3=80 种; A,B 有一人在内且当钳工的选派方法有C2 1 · C5 3 · C4 4=20 种; A,B 有一人在内且当车工的选派方法有C2 1 · C5 4 · C4 3=40 种. 故共有 5+10+30+80+20+40=185 种选派方法. 方法二:5 名钳工有 4 名被选上的方法有C5 4 · C4 4 + C5 4 · C4 3 · C2 1 + C5 4 · C4 2 · C2 2=75 种; 5 名钳工有 3 名被选上的方法有C5 3 · C4 4 · C2 1 + C5 3 · C4 3 · A2 2=100 种; 5 名钳工有 2 名被选上的方法有C5 2 · C2 2 · C4 4=10 种. 故共有 75+100+10=185 种选派方法. 方法三:4 名车工都被选上的方法有C4 4 · C5 4 + C4 4 · C5 3 · C2 1 + C4 4 · C5 2 · C2 2=35 种; 4 名车工有 3 名被选上的方法有C4 3 · C2 1 · C5 4 + C4 3 · C5 3 · A2 2=120 种; 4 名车工有 2 名被选上的方法有C4 2 · C2 2 · C5 4=30 种. 故共有 35+120+30=185 种选派方法