4.2.2 离散型随机变量的分布列 基础巩固 1.设随机变量X等可能取值1,2,3，，n,如果P代X4)=0.3,那么( ) A.n=3 B.n=4 C.n=10 D.n=9 答案c 解析由题意知P(X<4)-3P(X-1)-0.3, 得P(X=1)=0.1. 又nPX=1)=1,因此n=10. 2.抛掷2枚质地均匀的骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则PX≤4)等于() A日 B时 c D 客案 A 解析根据题意，有P(X≤4)=P(X=2)+P(X-3)+P(X-4).抛掷两枚骰子，所得的点数共36个基 本事件 而X-2对应(1,1)，X=3对应(1,2)，(2,1)，X=4对应(1,3).(3,1)，(2,2) 故P0X-2六 P0X=3列-品-话 PX-4亮=立 所以PK4)品+品+立-言 3.从含有2名女生的10名大学毕业生中任选3人进行某项调研活动，记女生入选的人数为飞 则：的分布列为 () 0 1 2 7 15 B 1 2 3 1 7 7 15 15 5 0 1 2 P 3 6 D 0 2 3 1 15 15 15 答案☐A 的所有可能取值为012，“0”表示入选的3人全是男生，剥P=0三 “=1”表示入选3人中恰有1名女生， 别竖=品 “5-2”表示入选3人中有2名女生
4.2.2 离散型随机变量的分布列 基础巩固 1.设随机变量 X 等可能取值 1,2,3,…,n,如果 P(X<4)=0.3,那么( ) A.n=3 B.n=4 C.n=10 D.n=9 答案 C 解析 由题意知 P(X<4)=3P(X=1)=0.3, 得 P(X=1)=0.1. 又 nP(X=1)=1,因此 n=10. 2.抛掷 2 枚质地均匀的骰子,所得点数之和 X 是一个随机变量,则 P(X≤4)等于( ) A.1 6 B.1 3 C.1 2 D.2 3 答案 A 解析 根据题意,有 P(X≤4)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4).抛掷两枚骰子,所得的点数共 36 个基 本事件, 而 X=2 对应(1,1),X=3 对应(1,2),(2,1),X=4 对应(1,3),(3,1),(2,2). 故 P(X=2)= 1 36, P(X=3)= 2 36 = 1 18, P(X=4)= 3 36 = 1 12, 所以 P(X≤4)= 1 36 + 1 18 + 1 12 = 1 6 . 3.从含有 2 名女生的 10 名大学毕业生中任选 3 人进行某项调研活动,记女生入选的人数为 ξ, 则 ξ 的分布列为 ( ) A. ξ 0 1 2 P 7 15 7 15 1 15 B. ξ 1 2 3 P 1 15 7 15 7 15 C. ξ 0 1 2 P 1 2 1 3 1 6 D. ξ 0 2 3 P 1 15 7 15 7 15 答案 A 解析 ξ 的所有可能取值为 0,1,2,“ξ=0”表示入选的 3 人全是男生,则 P(ξ=0)= C8 3 C10 3 = 7 15; “ξ=1”表示入选 3 人中恰有 1 名女生, 则 P(ξ=1)= C2 1 C8 2 C10 3 = 7 15; “ξ=2”表示入选 3 人中有 2 名女生
则P(=2)= - Cio 因此飞的分布列如下表所示 1 5 15 4若随机变量X的概率分布列为PX=m)nI=l,23,4其中a是常数则P作<X<)的 值为 () A.2 3 B c片 D唱 答案D 解析☐：PX=I)+PX-2)+PX-3)+PX=4)-a(1-)=l, a P<X<)=PK=)+PX=2)2+31-)=×号=月 5.设随机变量X的分布列为P(X=利=m(,k=1,23,则m的值为 含案☐品 解桥□：m}+()+(份1 、27 .m-38 6.从装有除颜色外其余均相同的3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个 红球，随机变量的概率分布列如下表所示。 则x1,2,x3的值分别为 答案☐b.1,0.6,0.3 解析☐的可能取值为0,12. A0-1 P6=19-0.6 c Pg-203 7.已知随机变量的分布列为P(G=0,k=12,34,则P2<4)= 答案☐ 解析☐由随机变量的分布列P(《=)买，k=12,34,以及概率分布列的性质可得咒+空+ 导+学=1，解得m治 故P24-P5=+P-4到晋+器=号 8.设S是不等式x2-x-6≤0的解集，整数m,n∈S. (1)设A为“使得m+n=0成立的有序数组(m,n)”,试列举A包含的基本事件； (2)设=m2,求的分布列. 解1)由x2-x-6≤0，得-2≤≤3 即S={x-2≤≤3}
则 P(ξ=2)= C2 2 C8 1 C10 3 = 1 15. 因此 ξ 的分布列如下表所示. ξ 0 1 2 P 7 15 7 15 1 15 4.若随机变量 X 的概率分布列为 P(X=n)= 𝑎 𝑛(𝑛+1) (n=1,2,3,4),其中 a 是常数,则 P( 1 2 < 𝑋 < 5 2 )的 值为 ( ) A.2 3 B.3 4 C.4 5 D.5 6 答案 D 解析 ∵P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=a(1- 1 5 )=1, ∴a= 5 4 . ∴P( 1 2 < 𝑋 < 5 2 )=P(X=1)+P(X=2)= 𝑎 1×2 + 𝑎 2×3 =a(1- 1 3 ) = 5 4 × 2 3 = 5 6 . 5.设随机变量 X 的分布列为 P(X=k)=m( 2 3 ) 𝑘 ,k=1,2,3,则 m 的值为 . 答案 27 38 解析 ∵m[ 2 3 + ( 2 3 ) 2 + ( 2 3 ) 3 ]=1, ∴m= 27 38. 6.从装有除颜色外其余均相同的 3 个红球、2 个白球的袋中随机取出 2 个球,设其中有 ξ 个 红球,随机变量 ξ 的概率分布列如下表所示. ξ 0 1 2 P x1 x2 x3 则 x1,x2,x3 的值分别为 . 答案 0.1,0.6,0.3 解析 ξ 的可能取值为 0,1,2. P(ξ=0)= C2 2 C5 2=0.1, P(ξ=1)= C3 1 C2 1 C5 2 =0.6, P(ξ=2)= C3 2 C5 2=0.3. 7.已知随机变量 ξ 的分布列为 P(ξ=k)= 𝑚 2 𝑘 ,k=1,2,3,4,则 P(2<ξ≤4)= . 答案 1 5 解析 由随机变量 ξ 的分布列 P(ξ=k)= 𝑚 2 𝑘 ,k=1,2,3,4,以及概率分布列的性质可得𝑚 2 + 𝑚 2 2 + 𝑚 2 3 + 𝑚 2 4 = 15𝑚 16 =1,解得 m= 16 15. 故 P(2<ξ≤4)=P(ξ=3)+P(ξ=4)= 𝑚 8 + 𝑚 16 = 1 5 . 8.设 S 是不等式 x 2 -x-6≤0 的解集,整数 m,n∈S. (1)设 A 为“使得 m+n=0 成立的有序数组(m,n)”,试列举 A 包含的基本事件; (2)设 ξ=m2 ,求 ξ 的分布列. 解 (1)由 x 2 -x-6≤0,得-2≤x≤3, 即 S={x|-2≤x≤3}
由于m,n∈Z,m,n∈S,且m+n=0, 因此A包含的基本事件为(-2,2)，(2，-2)，(-1,1)，(1，-1)，0,0) (2)由于m的所有不同取值为-2，-1,0,1,2,3 因此=m2的所有不同取值为0,1,4,9，且有 P-0)言 P=12= 6 P4-2= P6-9-片 故的分布列如下表所示 0 1 4 9 1 P 6 6 9.2008年的北京奥运会吉祥物由5个不一样的“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、 迎迎、妮妮现有8个相同的盒子，每个盒子中放一个福娃，每种福娃的数量如下表所示 福娃名称 贝贝 晶晶 欢欢 迎迎 妮妮 数量（个） 3 从中随机地选取5个 (1)求选取的5个恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率； (2)若完整的选取奥运会吉祥物记100分；选出的5个中仅差一种记80分；差两种记60分；以 此类推，设X表示所得的分数，求X的分布列 图☐)选取的5个怡好组成完整的奥运会吉祥物的概率P吧=亮-=品 C (2)X的取值为100,80,60,40. PCX-100)te P(X-80)= Cc+cc+cc+c= 56 PX=60)= C+cC+s-号=品 PX=40,婴-六 因此X的分布列如下表所示 100 80 60 40 3 3 9 28 品 拓展提高 1若随机变量X的分布列如表所示，则a2+b2的最小值为 X 0 1 2 3 4 a 4 b B. 6 D 含案☐
由于 m,n∈Z,m,n∈S,且 m+n=0, 因此 A 包含的基本事件为(-2,2),(2,-2),(-1,1),(1,-1),(0,0). (2)由于 m 的所有不同取值为-2,-1,0,1,2,3, 因此 ξ=m2 的所有不同取值为 0,1,4,9,且有 P(ξ=0)= 1 6 , P(ξ=1)= 2 6 = 1 3 , P(ξ=4)= 2 6 = 1 3 , P(ξ=9)= 1 6 . 故 ξ 的分布列如下表所示. ξ 0 1 4 9 P 1 6 1 3 1 3 1 6 9.2008 年的北京奥运会吉祥物由 5 个不一样的“中国福娃”组成,分别叫贝贝、晶晶、欢欢、 迎迎、妮妮.现有 8 个相同的盒子,每个盒子中放一个福娃,每种福娃的数量如下表所示. 福娃名称 贝贝 晶晶 欢欢 迎迎 妮妮 数量(个) 1 2 3 1 1 从中随机地选取 5 个. (1)求选取的 5 个恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率; (2)若完整的选取奥运会吉祥物记 100 分;选出的 5 个中仅差一种记 80 分;差两种记 60 分;以 此类推,设 X 表示所得的分数,求 X 的分布列. 解 (1)选取的 5 个恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率 P=C2 1 C3 1 C8 5 = 6 56 = 3 28. (2)X 的取值为 100,80,60,40. P(X=100)= C2 1 C3 1 C8 5 = 3 28, P(X=80)= C3 2 (C2 2 C3 1+C2 1 C3 2 )+C3 3 (C2 2+C3 2 ) C8 5 = 31 56, P(X=60)= C3 1 (C2 2 C3 2+C2 1 C3 3 )+C3 2 C3 3 C8 5 = 18 56 = 9 28, P(X=40)= C2 2 C3 3 C8 5 = 1 56. 因此 X 的分布列如下表所示. X 100 80 60 40 P 3 28 31 56 9 28 1 56 拓展提高 1.若随机变量 X 的分布列如表所示,则 a 2+b2 的最小值为 ( ) X 0 1 2 3 P 1 4 a 1 4 b A. 1 24 B. 1 16 C.1 8 D.1 4 答案 C
醒析□由分布列的性质，知a+b之而心+62@ 2 =君当且仅当a=b时，等号成立 2.己知随机变量‘的分布列为 -2 -1 0 1 3 1 1 1 12 12 12 12 12 11 若P(29 答案☐A 解析☐由随机变量的分布列，知P的可能取值为01,4,9，且P(2-0)-造，P(2=)=是+立= 1 P=4)立+是=是P=9立 :P(2<x)= 11 ∴.实数x的取值范围是4<x9.故选A 3(多选题)已知随机变量X的概率分布列为P心X=)-+1m+2n=0,12),其中a是常数，则 () A.PX=O)+P(X=1)+P(X=2)=1 Ba片 CP0sX<2)-号 D.以上均不正确 答案ABC 解析☐根据题意，随机变量X的概率分布列为P(X=)+1n+2n0,12), 则PX=0)+PX=)+PX=2)受+号+l, 解得a争 从而P0sX2)=PX=0)+PX=I)子+号=号 故ABC正确. 4.设X是一个离散型随机变量，其分布列为 X ~1 0 1 1 2 1-2g g 则q 含案☐ 解析☐由分布列的性质， (1-2q≥0， 得+12g+92=1 解得g=1 5.由于电脑故障，随机变量X的分布列中部分数据丢失，以口代替，如下表所示. 2 p 0.20 0.10 0.a5 0.10 0.1 0.20 根据该表可知X取奇数值的概率为
解析 由分布列的性质,知 a+b=1 2 ,而 a 2+b2≥ (𝑎+𝑏) 2 2 = 1 8 ,当且仅当 a=b=1 4时,等号成立. 2.已知随机变量 ξ 的分布列为 ξ -2 -1 0 1 2 3 P 1 12 3 12 4 12 1 12 2 12 1 12 若 P(ξ 29 答案 A 解析 由随机变量 ξ 的分布列,知 ξ 2 的可能取值为 0,1,4,9,且 P(ξ 2=0)= 4 12,P(ξ 2=1)= 3 12 + 1 12 = 4 12, P(ξ 2=4)= 1 12 + 2 12 = 3 12,P(ξ 2=9)= 1 12. ∵P(ξ 2<x)= 11 12, ∴实数 x 的取值范围是 4<x≤9.故选 A. 3.(多选题)已知随机变量 X 的概率分布列为 P(X=n)= 𝑎 (𝑛+1)(𝑛+2) (n=0,1,2),其中 a 是常数,则 ( ) A.P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1 B.a= 4 3 C.P(0≤X<2)= 8 9 D.以上均不正确 答案 ABC 解析 根据题意,随机变量 X 的概率分布列为 P(X=n)= 𝑎 (𝑛+1)(𝑛+2) (n=0,1,2), 则 P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)= 𝑎 2 + 𝑎 6 + 𝑎 12=1, 解得 a= 4 3 , 从而 P(0≤X<2)=P(X=0)+P(X=1)= 2 3 + 2 9 = 8 9 . 故 ABC 正确. 4.设 X 是一个离散型随机变量,其分布列为 X -1 0 1 P 1 2 1-2q q 2 则 q= . 答案 1- √2 2 解析 由分布列的性质, 得{ 1-2𝑞 ≥ 0, 1 2 + 1-2𝑞 + 𝑞 2 = 1, 解得 q=1- √2 2 . 5.由于电脑故障,随机变量 X 的分布列中部分数据丢失,以□代替,如下表所示. X 1 2 3 4 5 6 P 0.20 0.10 0.□5 0.10 0.1□ 0.20 根据该表可知 X 取奇数值的概率为
答案☐5.6 解析由离散型随机变量分布列的性质，知概率和为1，则P(X=5)=0.15,从而PX-3)=0.25. 所以P(X取奇数)=0.20+0.25+0.15=0.6 6.在学校组织的足球比赛中，某班要与其他4个班级各赛一场，在这4场比赛的任意一场中，此 班级每次胜、负、平的概率相等.己知这4场比赛结束后，该班胜场多于负场， (1)求该班级胜场多于负场的所有可能的个数和； (2)若胜场次数为X,求X的分布列. 解【1)若胜一场，则其余为平，共有C=4种情况；若胜两场，则其余两场为一负一平或两平，共 有CC经+C?=18种情况；若胜三场，则其余一场为负或平，共有C屏×2=8种情况；若胜四场，则只 有1种情况. 综上，共有31种情况. (2X的可能取值为12,34，P0K=)-PrX-2)是A0X=3)品PX-)所以X的分布列为 2 18 8 31 31 31 31 7.将3个小球随机地放入4个大的玻璃杯中，杯子中球的最多个数记为，求的分布列 解☐依题意可知，杯子中球的最多个数的所有可能取值为1,23.当=1时，4个杯子中恰有 3个杯子各放一球，则P=)号-号 当2时4个杯子中恰有1个杯子放两球，则《=2=品 43 当3时4个杯子中恰有1个杯子效3个球，则P(=4)号=品 所以飞的分布列为 2 1 ⊙ 6 16 挑战创新 某商店试销某种商品20天，获得如下数据： 日销售量件 频数 9 试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天 营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货将频率视为 概率 (1)求当天商店不进货的概率： (2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列. 解☐1)P(“当天商店不进货)=P(“当天商品销售量为0件”+P(“当天商品销售量为1 件六+务= (2)由题意知，X的可能取值为2,3. P0X-2)-P当天商品销倍量为1件门-亮=京 PX=3)=P(“当天商品销售量为0件")+P(“当天商品销售量为2件”)+P(《当天商品销售量为3 件六++务=月
答案 0.6 解析 由离散型随机变量分布列的性质,知概率和为 1,则 P(X=5)=0.15,从而 P(X=3)=0.25. 所以 P(X 取奇数)=0.20+0.25+0.15=0.6. 6.在学校组织的足球比赛中,某班要与其他 4 个班级各赛一场,在这 4 场比赛的任意一场中,此 班级每次胜、负、平的概率相等.已知这 4 场比赛结束后,该班胜场多于负场. (1)求该班级胜场多于负场的所有可能的个数和; (2)若胜场次数为 X,求 X 的分布列. 解 (1)若胜一场,则其余为平,共有C4 1=4 种情况;若胜两场,则其余两场为一负一平或两平,共 有C4 2C2 1 + C4 2=18 种情况;若胜三场,则其余一场为负或平,共有C4 3×2=8 种情况;若胜四场,则只 有 1 种情况. 综上,共有 31 种情况. (2)X 的可能取值为 1,2,3,4,P(X=1)= 4 31,P(X=2)= 18 31,P(X=3)= 8 31,P(X=4)= 1 31,所以 X 的分布列为 X 1 2 3 4 P 4 31 18 31 8 31 1 31 7.将 3 个小球随机地放入 4 个大的玻璃杯中,杯子中球的最多个数记为 ξ,求 ξ 的分布列. 解 依题意可知,杯子中球的最多个数 ξ 的所有可能取值为 1,2,3.当 ξ=1 时,4 个杯子中恰有 3 个杯子各放一球,则 P(ξ=1)= A4 3 4 3 = 3 8 ; 当 ξ=2 时,4 个杯子中恰有 1 个杯子放两球,则 P(ξ=2)= C3 2 ·C4 1 ·C3 1 4 3 = 9 16; 当 ξ=3 时,4 个杯子中恰有 1 个杯子放 3 个球,则 P(ξ=4)= C4 1 4 3 = 1 16. 所以 ξ 的分布列为 ξ 1 2 3 P 3 8 9 16 1 16 挑战创新 某商店试销某种商品 20 天,获得如下数据: 日销售量/件 0 1 2 3 频数 1 5 9 5 试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变),设某天开始营业时有该商品 3 件,当天 营业结束后检查存货,若发现存量少于 2 件,则当天进货补充至 3 件,否则不进货,将频率视为 概率. (1)求当天商店不进货的概率; (2)记 X 为第二天开始营业时该商品的件数,求 X 的分布列. 解 (1)P(“当天商店不进货”)=P(“当天商品销售量为 0 件”)+P(“当天商品销售量为 1 件”)= 1 20 + 5 20 = 3 10. (2)由题意知,X 的可能取值为 2,3. P(X=2)=P(“当天商品销售量为 1 件”)= 5 20 = 1 4 ; P(X=3)=P(“当天商品销售量为 0 件”)+P(“当天商品销售量为 2 件”)+P(“当天商品销售量为 3 件”)= 1 20 + 9 20 + 5 20 = 3 4
故X的分布列为 X 3 3-4
故 X 的分布列为 X 2 3 P 14 34