志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 2.3 直线的交点坐标与距离公式 2.3.1两条直线的交点坐标 2.3.2两点间的距离公式 课后·训练提升 基础巩固 1直线x=1和直线y=2的交点坐标是( A.(22) B.(1,1) C.(1,2) D.(2,1) 答案：C 解折：由化2网文点坐标为12故选C 2.若三条直线2x+3y+8=0,x-y=1和x+y=0相交于一点，则k的值为() A克 B时 C.2 D.-2 答案：A 解析：解方程组 2x+3y十8=0，得直钱2x+3yr8-0与少1=0的交点坐标为(1，-2)，将其代入直线 x-y-1=0, x+的-0，得仁号 3.已知连接点(-2,5)和点M的线段的中点是(1,0)，那么点M到原点的距离为(） A.41 B.v41 C.39 D.39 答案B 1=2+ 解析：设Mxy),由题意得 2 0=y 解得化二专即M45 2 则点M到原点的距离为 (4-0)2+(-5-0)2=V4I 4过点A(4,a)和点B5,b)的直线与直线y=x+m平行，则AB的值为() A.6 B.2 C.2 D.不能确定 1
1 2.3 直线的交点坐标与距离公式 2.3.1 两条直线的交点坐标 2.3.2 两点间的距离公式 课后· 基础巩固 1.直线 x=1 和直线 y=2 的交点坐标是( ) A.(2,2) B.(1,1) C.(1,2) D.(2,1) 答案:C 解析:由{ 𝑥 = 1, 𝑦 = 2,得交点坐标为(1,2),故选 C. 2.若三条直线 2x+3y+8=0,x-y=1 和 x+ky=0 相交于一点,则 k 的值为( ) A.- 1 2 B. 1 2 C.2 D.-2 答案:A 解析:解方程组{ 2𝑥 + 3𝑦 + 8 = 0, 𝑥-𝑦-1 = 0, 得直线 2x+3y+8=0 与 x-y-1=0 的交点坐标为(-1,-2),将其代入直线 x+ky=0,得 k=- 1 2 . 3.已知连接点(-2,5)和点 M 的线段的中点是(1,0),那么点 M到原点的距离为( ) A.41 B.√41 C.√39 D.39 答案:B 解析:设 M(x,y),由题意得{ 1 = -2+𝑥 2 , 0 = 5+𝑦 2 , 解得{ 𝑥 = 4, 𝑦 = -5, 即 M(4,-5). 则点 M 到原点的距离为√(4-0) 2 + (-5-0) 2 = √41. 4.过点 A(4,a)和点 B(5,b)的直线与直线 y=x+m 平行,则|AB|的值为( ) A.6 B.2 C.√2 D.不能确定
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 答案：C 解析：由kue=1,得号-1， .b-a=1, ∴4B1=5-42+(b-a)2=V1+1-V2 5.过两条直线3x+1=0与x+2y7=0的交点，并且与直线3x+y1=0垂直的直线方程是( A.x-3y+7=0 B.x-3y+13=0 C.x-3y+6=0 D.x-3y+5=0 答案B 解析：直线3x+-1=0与x+2y-7=0的交点为(-1,4). 又所求直线与3x+少1=0垂直，得所求直线的斜率为由点斜式，得所求方程为少4x+1),即x 3y+13-0,故选B. 6.己知直线r+4-2=0与2x-5y+n=0互相垂直，垂足为(1，p),则m-n+p为() A.24 B.20 C.0 D.-4 答案B 解析：，两条直线互相垂直， .6=1, 受=1 .m=10. 又垂足为(1p), ∴.代入直线10x+4-2=0得p=-2. 将(1，-2)代入直线2x-5y+n=0,得n=-12, .m-n+p=20. 7.设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P2,-I),则AB= 答案：2√5 解析：设A(a,0),B(0,b), a+0 =2. 由中点坐标公式，得 2 b+0 2 =-1. 2
2 答案:C 解析:由 kAB=1,得 𝑏-𝑎 1 =1, ∴b-a=1, ∴|AB|=√(5-4) 2 + (𝑏-𝑎) 2 = √1 + 1 = √2. 5.过两条直线 3x+y-1=0 与 x+2y-7=0 的交点,并且与直线 3x+y-1=0 垂直的直线方程是( ) A.x-3y+7=0 B.x-3y+13=0 C.x-3y+6=0 D.x-3y+5=0 答案:B 解析:直线 3x+y-1=0 与 x+2y-7=0 的交点为(-1,4). 又所求直线与 3x+y-1=0 垂直,得所求直线的斜率为1 3 ,由点斜式,得所求方程为 y-4= 1 3 (x+1),即 x- 3y+13=0,故选 B. 6.已知直线 mx+4y-2=0 与 2x-5y+n=0 互相垂直,垂足为(1,p),则 m-n+p 为( ) A.24 B.20 C.0 D.-4 答案:B 解析:∵两条直线互相垂直, ∴k1·k2=-1, ∴- 𝑚 4 · 2 5 =-1, ∴m=10. 又垂足为(1,p), ∴代入直线 10x+4y-2=0 得 p=-2. 将(1,-2)代入直线 2x-5y+n=0,得 n=-12, ∴m-n+p=20. 7.设点 A 在 x 轴上,点 B 在 y 轴上,AB 的中点是 P(2,-1),则|AB|= . 答案:2√5 解析:设 A(a,0),B(0,b), 由中点坐标公式,得{ 𝑎+0 2 = 2, 𝑏+0 2 = -1, 解得{ 𝑎 = 4, 𝑏 = -2
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 则AB1=(4-02+(0+2)2-2V5. 8.若集合{(x,y)x+-2=0且x-2y+4=0}={(x,y儿y=3x+b且x+y2=0},则b= 答案2 解折懈方程2y40。母化=没 代入直线y=3x+b,得b=2. 9.己知等腰三角形ABC的顶点是A(3,0),底边长BC1=4,BC边的中点是D5,4),则此三角形的腰长 为 答案：2√6 解析：由题意，得1BD-BG=2 4D1=(5-3)2+(4-0)2=25 在Rt△ADB中，由勾股定理得腰长4B1=VBD2+AD2=22+(2V5)2=2V6 10.己知两条直线h:mx+8y+n=0和h2:2x+my少1=0，试分别根据下列条件确定m,n的值： (1)h与h相交于一点P(m,1); (2)山∥12且1过点(3，-1)方 (3)山⊥2且h在y轴上的截距为-1. 解(1)起Pm,1)的坐标分别代入直线b的方程得m㎡+8+n0,2m+m-10,解得m字m-号 73 (2)显然m时0. h∥2且1过点(3，-1)。 -0解42 （n=-4 (3),h⊥h且h在y轴上的截距为-1， .当m=0时，h的方程为8y+n=0,h的方程为2x-1=0, ∴.-8+n=0,解得n=8.∴.m=0,n=8 而m0时，直线1与h不垂直. 综上可知，m=0,n=8 11.(1)已知点A(1,-1),B2,2),点P在直线y=x上，求PA2+PB2取得最小值时点P的坐标 (2)求过两条直线1：x=-2与2：2x+y=-3的交点P,且在两坐标轴上的截距相等的直线1的方程 3
3 则|AB|=√(4-0) 2 + (0 + 2) 2=2√5. 8.若集合{(x,y)|x+y-2=0 且 x-2y+4=0}={(x,y)|y=3x+b 且 x+y-2=0},则 b= . 答案:2 解析:解方程组{ 𝑥 + 𝑦-2 = 0, 𝑥-2𝑦 + 4 = 0, 得{ 𝑥 = 0, 𝑦 = 2, 代入直线 y=3x+b,得 b=2. 9.已知等腰三角形 ABC 的顶点是 A(3,0),底边长|BC|=4,BC 边的中点是 D(5,4),则此三角形的腰长 为 . 答案:2√6 解析:由题意,得|BD|=1 2 |BC|=2, |AD|=√(5-3) 2 + (4-0) 2=2√5. 在 Rt△ADB 中,由勾股定理得腰长|AB|=√𝐵𝐷2 + 𝐴𝐷2 = √2 2 + (2√5) 2=2√6. 10.已知两条直线 l1:mx+8y+n=0 和 l2:2x+my-1=0,试分别根据下列条件确定 m,n 的值: (1)l1 与 l2 相交于一点 P(m,1); (2)l1∥l2 且 l1 过点(3,-1); (3)l1⊥l2 且 l1 在 y 轴上的截距为-1. 解:(1)把 P(m,1)的坐标分别代入直线 l1,l2的方程得 m2+8+n=0,2m+m-1=0,解得 m= 1 3 ,n=- 73 9 . (2)显然 m≠0. ∵l1∥l2 且 l1 过点(3,-1), ∴{ - 𝑚 8 = - 2 𝑚 , 3𝑚-8 + 𝑛 = 0, 解得{ 𝑚 = 4, 𝑛 = -4 或{ 𝑚 = -4, 𝑛 = 20. (3)∵l1⊥l2 且 l1 在 y 轴上的截距为-1, ∴当 m=0 时,l1 的方程为 8y+n=0,l2 的方程为 2x-1=0, ∴-8+n=0,解得 n=8.∴m=0,n=8. 而 m≠0 时,直线 l1 与 l2 不垂直. 综上可知,m=0,n=8. 11.(1)已知点 A(1,-1),B(2,2),点 P 在直线 y=x 上,求|PA|2+|PB|2 取得最小值时点 P 的坐标. (2)求过两条直线 l1:x=-2 与 l2:2x+y=-3 的交点 P,且在两坐标轴上的截距相等的直线 l 的方程
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 解：(1)设P(1,0,则P4A2+1PB2=(-12+(1+1)2+(1-2)2+(-2)2=42-81+10=4(-1)2+6, ∴.当t=1时，PAP+PBP取得最小值，此时P1,1), ∴PAP+PBP取得最小值时点P的坐标为(1,1). Q由方银如5x+子-3解形二子 即点P的坐标为(-2,1) 根据题意，知当截距为0时， 所求直线的方程为y=2之即x+2=0 当截距不为0时，设所求直线1的方程为后+台-1， 径1解侣计 据是多可侣+=1背 所以所求直钱的方程为导+宁1， 即x+y+1=0. 综上所述，直线1的方程为x+2y=0或x+y+1=0. 拓展提高 1.若直线ar+by11=0与直线3x+42=0平行，并且经过直线2x+38=0和直线x-2y+3=0的交点，则 a,b的值分别为() A.-3,-4 B.3,4 C.4,3 D.-4,-3 答案B 解析：解方程组 280件代2 x-2y+3=0, (a+2b-11=0, 由题意得号-片 仔子 2.到A(1,3),B-5,1)的距离相等的动点P满足的方程是(） A.3x-y8=0 B.3x+y+4=0 C.3x-v+6=0 D.3x+y+2=0 答案：B 4
4 解:(1)设 P(t,t),则|PA|2+|PB|2=(t-1)2+(t+1)2+(t-2)2+(t-2)2=4t 2 -8t+10=4(t-1)2+6, ∴当 t=1 时,|PA|2+|PB|2取得最小值,此时 P(1,1), ∴|PA|2+|PB|2 取得最小值时点 P 的坐标为(1,1). (2)由方程组{ 𝑥 = -2, 2𝑥 + 𝑦 = -3,解得{ 𝑥 = -2, 𝑦 = 1, 即点 P 的坐标为(-2,1). 根据题意,知当截距为 0 时, 所求直线的方程为 y=- 1 2 x,即 x+2y=0. 当截距不为 0 时,设所求直线 l 的方程为𝑥 𝑎 + 𝑦 𝑏 =1, 根据题意可得{ 𝑎 = 𝑏, -2 𝑎 + 1 𝑏 = 1, 解得{ 𝑎 = -1, 𝑏 = -1, 所以所求直线的方程为𝑥 -1 + 𝑦 -1 =1, 即 x+y+1=0. 综上所述,直线 l 的方程为 x+2y=0 或 x+y+1=0. 拓展提高 1.若直线 ax+by-11=0 与直线 3x+4y-2=0 平行,并且经过直线 2x+3y-8=0 和直线 x-2y+3=0 的交点,则 a,b 的值分别为( ) A.-3,-4 B.3,4 C.4,3 D.-4,-3 答案:B 解析:解方程组{ 2𝑥 + 3𝑦-8 = 0, 𝑥-2𝑦 + 3 = 0, 得 { 𝑥 = 1, 𝑦 = 2. 由题意得{ 𝑎 + 2𝑏-11 = 0, 𝑎 3 = 𝑏 4 , 解得{ 𝑎 = 3, 𝑏 = 4. 2.到 A(1,3),B(-5,1)的距离相等的动点 P 满足的方程是( ) A.3x-y-8=0 B.3x+y+4=0 C.3x-y+6=0 D.3x+y+2=0 答案:B
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 解析设P(x,), 则x12+0-32=x+5)2+0y-1)2 即3x+y+4=0. 3.直线x+y1=0上与点P(-2,3)之间距离等于V2的点的坐标是() A.(-4,5) B.(-3,4) C.(-3,4)或(-1,2) D.(-4,5)或(0,1) 答案：C 解析：设所求点的坐标为(0，w),有0+0-1=0，且(x0+2)2+(y0-3)2=V2, 两式联立解得x0=3,或比o=1, y%=4 y%=2. 故选C 4已知4-1,0)，B5,6),C3,4),则Ag的值为( ) A写 B时 C.3 D.2 答案D 解析：由两点间的距离公式， 得14C=3-(12+(4-0)2=4V2, 1CB=(3-5)2+(4-6)2-2V2, 故岛-器2 5.己知△ABC的顶点A(2,3),B(-1,0),C(2,0),则△ABC的周长是() A.2V3 B.3+23 C.6+3v2 D.6+V10 答案：C 解析：由两点间的距离公式，得AB= 5
5 解析:设 P(x,y), 则√(𝑥-1) 2 + (𝑦-3) 2 = √(𝑥 + 5) 2 + (𝑦-1) 2 , 即 3x+y+4=0. 3.直线 x+y-1=0 上与点 P(-2,3)之间距离等于√2的点的坐标是( ) A.(-4,5) B.(-3,4) C.(-3,4)或(-1,2) D.(-4,5)或(0,1) 答案:C 解析:设所求点的坐标为(x0,y0),有 x0+y0-1=0,且√(𝑥0 + 2) 2 + (𝑦0 -3) 2 = √2, 两式联立解得{ 𝑥0 = -3, 𝑦0 = 4 或{ 𝑥0 = -1, 𝑦0 = 2. 故选 C. 4.已知 A(-1,0),B(5,6),C(3,4),则 |𝐴𝐶| |𝐶𝐵|的值为( ) A. 1 3 B. 1 2 C.3 D.2 答案:D 解析:由两点间的距离公式, 得|AC|=√[3-(-1)] 2 + (4-0) 2=4√2, |CB|=√(3-5) 2 + (4-6) 2=2√2, 故 |𝐴𝐶| |𝐶𝐵| = 4√2 2√2 =2. 5.已知△ABC 的顶点 A(2,3),B(-1,0),C(2,0),则△ABC 的周长是( ) A.2√3 B.3+2√3 C.6+3√2 D.6+√10 答案:C 解析:由两点间的距离公式,得|AB|=
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 2+12+32=3Z,1BC=(2+12+0=3,4C=J2-22+32=3,则△4BC的周长为6+3V2 6.若直线1y=kx-V3与直线1：2x+36=0的交点位于第一象限，则直线I的倾斜角a的取值范围 是一 答案：(30°，90°) 解析：直线1：2x+3y6=0过A(3,0),B(0,2), 而1过定点C(0,-V3) 由国来可知货>6 故直线1的倾斜角α的取值范围是(30°，90°). 7.在x轴上求一点P,使得 (1)点P到点A(4,1),B0,4)的距离之差最大，并求出最大值； (2)点P到点A(4,1),C(3,4)的距离之和最小，并求出最小值 解：如图， B(04 tC3,4) A(4,1) A(4.-1) (1)直线BA与x轴交于点P,此时P为所求点，且PB-P4=AB1=(0-4)2+(4-1)2-5. :直线BA的斜率ka片-是 ·直线BA的方程为y=x+4 令-0，得x=”即P(僧0） 故距离之差的最大值为5，此时点P的坐标为（货，0）】 6
6 √(2 + 1) 2 + 3 2=3√2,|BC|=√(2 + 1) 2 + 0=3,|AC|=√(2-2) 2 + 3 2=3,则△ABC 的周长为 6+3√2. 6.若直线 l:y=kx-√3与直线 l1:2x+3y-6=0 的交点位于第一象限,则直线 l 的倾斜角 α 的取值范围 是 . 答案:(30°,90°) 解析:直线 l1:2x+3y-6=0 过 A(3,0),B(0,2), 而 l 过定点 C(0,-√3). 由图象可知{ 𝑘 > 𝑘𝐴𝐶, 𝑘 > 0, 故直线 l 的倾斜角 α 的取值范围是(30°,90°). 7.在 x 轴上求一点 P,使得: (1)点 P 到点 A(4,1),B(0,4)的距离之差最大,并求出最大值; (2)点 P 到点 A(4,1),C(3,4)的距离之和最小,并求出最小值. 解:如图, (1)直线 BA 与 x 轴交于点 P,此时 P 为所求点,且|PB|-|PA|=|AB|=√(0-4) 2 + (4-1) 2=5. ∵直线 BA 的斜率 kBA= 1-4 4 =- 3 4 , ∴直线 BA 的方程为 y=- 3 4 x+4. 令 y=0,得 x= 16 3 ,即 P( 16 3 ,0). 故距离之差的最大值为 5,此时点 P 的坐标为( 16 3 ,0)
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org (2)作点A关于x轴的对称，点A,则A(4,1),连接CA',则CA门为所求最小值，直线CA'与x轴交点P1为 所求点 由两点间的距离公式，得 1CA1=4-3)2+(-1-42=V26 :直线C4的斜率k5, ∴.直线CA的方程为4=-5(x-3) 令-0，得x号即P(侣0 故距离之和的最小值为V2石此时点P的坐标为（侣，0）】 挑战创新 已知两条直线h:ax-2y=2a-4,2:2x+a2y=22+4(0<a<2)与两坐标轴的正半轴围成四边形.当a为何值 时，围成的四边形面积最小？并求此最小值 0 解：两条直线11：a(x-2)=202),2:2x-2)=-2(0y-2),都过点(2,2)，如图所示 设两条直线1，h的交点为C,且它们的斜率分别为k1和k2, 则受∈0,1)，=是∈(m,》 ,直线1h与y轴的交点A的坐标为(0,2-a),直线h与x轴的交点B的坐标为(2+，0)， ∴Sa5ou08=S0ac+So02-a-2号2+a)2-r2-a4-(a-)}2+华 “当a=时，四边形OACB的面积最小，其值为华 7
7 (2)作点 A 关于 x 轴的对称点 A',则 A'(4,-1),连接 CA',则|CA'|为所求最小值,直线 CA'与 x 轴交点 P1 为 所求点. 由两点间的距离公式,得 |CA'|=√(4-3) 2 + (-1-4) 2 = √26. ∵直线 CA'的斜率 kCA'= -1-4 4-3 =-5, ∴直线 CA'的方程为 y-4=-5(x-3). 令 y=0,得 x= 19 5 ,即 P1( 19 5 ,0). 故距离之和的最小值为√26,此时点 P 的坐标为( 19 5 ,0). 挑战创新 已知两条直线 l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2 y=2a 2+4(0<a<2)与两坐标轴的正半轴围成四边形.当 a 为何值 时,围成的四边形面积最小?并求此最小值. 解:两条直线 l1:a(x-2)=2(y-2),l2:2(x-2)=-a 2·(y-2),都过点(2,2),如图所示. 设两条直线 l1,l2 的交点为 C,且它们的斜率分别为 k1 和 k2, 则 k1= 𝑎 2 ∈(0,1),k2=- 2 𝑎2 ∈ (-∞,- 1 2 ). ∵直线 l1 与 y 轴的交点 A 的坐标为(0,2-a),直线 l2与 x 轴的交点 B 的坐标为(2+a2 ,0), ∴S 四边形 OACB=S△OAC+S△OCB= 1 2 (2-a)·2+ 1 2 ·(2+a2 )·2=a2 -a+4=(𝑎- 1 2 ) 2 + 15 4 . ∴当 a= 1 2时,四边形 OACB 的面积最小,其值为15 4