志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 综合检测卷 (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 1.设a∈R,则“a=1”是“直线1：arx+21=0与直线2：x+(a+1)y+4=0平行”的() A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：A 解析：若直线h与2平行，则aa+1)-2×1-0, 即a=2或a=1, 故“a=1”是“直线h与直线h平行”的充分不必要条件. 2.己知方程x2+y2+x+ym=0表示一个圆，则实数m的取值范围是() A(2,+m) B(o,) c.(o D2,+) 答案：A 解析：由题意得1+1+4m>0,解得m>生 3双曲线品1的焦距是( 、2 A.4 B.22 C.8 D.4v2 答案C 解析：因为a2=m2+12,b2-4-m,所以c=√a2+b=√16-4，所以焦距2c=8. 4过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y24y=0所截得的弦长为() A.V3 B.2 C.√6 D.23 答案D 解析：直线方程为y=√3x,圆的方程可化为x2+02)2=22,则圆的半径=2，圆心为(0,2).于是圆心0,2)到 直线y=V3x的距离d3x0-L1.因而所求半弦长为V22=V5,故所求弦长为2V3 (W32+-1)2 5以双曲线兰-告-1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为洲） 1
1 综合检测卷 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.设 a∈R,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与直线 l2:x+(a+1)y+4=0 平行”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:A 解析:若直线 l1 与 l2 平行,则 a(a+1)-2×1=0, 即 a=-2 或 a=1, 故“a=1”是“直线 l1 与直线 l2 平行”的充分不必要条件. 2.已知方程 x 2+y2+x+y-m=0 表示一个圆,则实数 m 的取值范围是( ) A.(- 1 2 , + ∞) B.(-∞,- 1 2 ) C.(-∞,- 1 2 ] D.[- 1 2 , + ∞) 答案:A 解析:由题意得 1+1+4m>0,解得 m>- 1 2 . 3.双曲线 𝑥 2 𝑚2+12 − 𝑦 2 4-𝑚2=1 的焦距是( ) A.4 B.2√2 C.8 D.4√2 答案:C 解析:因为 a 2=m2+12,b 2=4-m2 ,所以 c=√𝑎 2 + 𝑏 2 = √16=4,所以焦距 2c=8. 4.过原点且倾斜角为 60°的直线被圆 x 2+y2 -4y=0 所截得的弦长为( ) A.√3 B.2 C.√6 D.2√3 答案:D 解析:直线方程为 y=√3x,圆的方程可化为 x 2+(y-2)2=2 2 ,则圆的半径 r=2,圆心为(0,2).于是圆心(0,2)到 直线 y=√3x 的距离 d= |√3×0-2| √(√3) 2+(-1) 2 =1.因而所求半弦长为√2 2-1 2 = √3,故所求弦长为 2√3. 5.以双曲线𝑥 2 4 − 𝑦 2 12=-1 的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为( )
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org A+到 B+后 c荒+片-1 学+ 答案D 解析：南号-台-1得酷-三-1园5双商线的焦点为004调点全标为02v同0,2可 故所水精圆方程为号+片1 6.已知圆C1:(x+2)2+0ym)2=9与圆C2:(x-m)2+y+1)2=4外切，则实数m的值为(） A.2 B.-5 C.2或-5 D.不确定 答案：C 解析：圆C1:(x+2)2+0ym)2=9的圆心为(-2，m,半径为3，圆C2:(x-m)2+0+1)2=4的圆心为(m,-1),半径为 2. 依题意有，(-2-m)2+(m+1)2=3+2,即m㎡2+3m-10=0,解得m=2或m=-5. 7.己知等边三角形ABC与等边三角形BCD所在的平面垂直，则二面角A-BD-C的正弦值为() A号 C2V5 5 答案：C C x/D 解析：取BC的中点O,连接AO,DO.如图所示，建立空间直角坐标系Oxz 设BC-1,则A(0.0,),(00）D停0.0 于是0丽=(0,0盟丽=(（0.2而=（停0 设平面ABD的法向量为n=(xJy,) 则n丽=0，即 +号=0， nBD=0” 9x+y=0 不妨取x=1,则y=V3,=1. 因而n=(1,V3,1)为平面ABD的一个法向量 2
2 A. 𝑥 2 16 + 𝑦 2 12=1 B. 𝑥 2 12 + 𝑦 2 16=1 C. 𝑥 2 16 + 𝑦 2 4 =1 D. 𝑥 2 4 + 𝑦 2 16=1 答案:D 解析:由 𝑥 2 4 − 𝑦 2 12=-1,得 𝑦 2 12 − 𝑥 2 4 =1.因而双曲线的焦点为(0,4),(0,-4),顶点坐标为(0,2√3),(0,-2√3). 故所求椭圆方程为𝑥 2 4 + 𝑦 2 16=1. 6.已知圆 C1:(x+2)2+(y-m) 2=9 与圆 C2:(x-m) 2+(y+1)2=4 外切,则实数 m 的值为( ) A.2 B.-5 C.2 或-5 D.不确定 答案:C 解析:圆 C1:(x+2)2+(y-m) 2=9 的圆心为(-2,m),半径为 3,圆 C2:(x-m) 2+(y+1)2=4 的圆心为(m,-1),半径为 2. 依题意有√(-2-𝑚) 2 + (𝑚 + 1) 2=3+2,即 m2+3m-10=0,解得 m=2 或 m=-5. 7.已知等边三角形 ABC 与等边三角形 BCD 所在的平面垂直,则二面角 A-BD-C 的正弦值为( ) A. √5 5 B. √3 3 C. 2√5 5 D. √6 3 答案:C 解析:取 BC 的中点 O,连接 AO,DO.如图所示,建立空间直角坐标系 Oxyz. 设 BC=1,则 A(0,0, √3 2 ),B(0,- 1 2 ,0),D( √3 2 ,0,0). 于是𝑂𝐴⃗⃗⃗ = (0,0, √3 2 ) ,𝐵𝐴⃗⃗⃗ = (0, 1 2 , √3 2 ) ,𝐵𝐷⃗ ⃗ = ( √3 2 , 1 2 ,0). 设平面 ABD 的法向量为 n=(x,y,z). 则{ 𝑛·𝐵𝐴⃗⃗⃗ = 0, 𝑛·𝐵𝐷⃗ ⃗ = 0, 即{ 1 2 𝑦 + √3 2 𝑧 = 0, √3 2 𝑥 + 1 2 𝑦 = 0. 不妨取 x=1,则 y=-√3,z=1. 因而 n=(1,-√3,1)为平面 ABD 的一个法向量
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 又因为O=(00,为平面BCD的一个法向量。 所以cos∈[0，，所以sin<n,OA25 5 故二面角4-BD-C的正弦值为25 8以双曲线二-号-1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是(） A.y2=12x B.y2--12x C.)2=6x D.y2=-6x 答案：A 解析5-号-1，得-4-5，则c-+8-9 因此双曲线的右焦点的坐标为(3,0)， 于是抛物线的焦点坐标为(3,0)，顶点坐标为(0,0) 故抛物线的方程为y2=12x 9.若直线x-y=2被圆(x-a)2+y2-4所截得的弦长为2VZ,则实数a的值为 A.-1或V3 B1或3 C.-2或6 D.0或4 答案D 解析：因为圆心a0)到直线x-2的距离d2所以(V2+(色)-2，解得a=0或a=4 10已知F(3,0F以3,0是椭圆后+二1的两个焦点，点P在椭圆上，∠RPF=m当a受时，△FPA的 面积最大，则m+n的值是() A.41 B.15 C.9 D.1 答案：B 解析：由SA5P6=FFbm-3ml, 知当P为短轴端点时，△FPF的面积最大，此时∠FPF 因而a=Vm=2V3,b=√m=V3. 故m+n=(2V3)2+3)2-15. 3
3 又因为𝑂𝐴⃗⃗⃗ = (0,0, √3 2 )为平面 BCD 的一个法向量, 所以 cos= 𝑛·𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ |𝑛|·|𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ | = √5 5 . 因为∈[0,π],所以 sin=2√5 5 . 故二面角 A-BD-C 的正弦值为2√5 5 . 8.以双曲线𝑥 2 4 − 𝑦 2 5 =1 的中心为顶点,且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是( ) A.y 2=12x B.y 2=-12x C.y 2=6x D.y 2=-6x 答案:A 解析:由 𝑥 2 4 − 𝑦 2 5 =1,得 a 2=4,b 2=5,则 c 2=a2+b2=9. 因此双曲线的右焦点的坐标为(3,0). 于是抛物线的焦点坐标为(3,0),顶点坐标为(0,0). 故抛物线的方程为 y 2=12x. 9.若直线 x-y=2 被圆(x-a) 2+y2=4 所截得的弦长为 2√2,则实数 a 的值为( ) A.-1 或√3 B.1 或 3 C.-2 或 6 D.0 或 4 答案:D 解析:因为圆心(a,0)到直线 x-y=2 的距离 d=|𝑎-2| √2 ,所以(√2) 2+( |𝑎-2| √2 ) 2 =2 2 ,解得 a=0 或 a=4. 10.已知 F1(-3,0),F2(3,0)是椭圆𝑥 2 𝑚 + 𝑦 2 𝑛 =1 的两个焦点,点 P 在椭圆上,∠F1PF2=α.当 α= 2π 3 时,△F1PF2 的 面积最大,则 m+n 的值是( ) A.41 B.15 C.9 D.1 答案:B 解析:由𝑆△𝐹1𝑃𝐹2 = 1 2 |F1F2|·|yP|=3|yP|, 知当 P 为短轴端点时,△F1PF2的面积最大,此时∠F1PF2= 2π 3 . 因而 a=√𝑚=2√3,b=√𝑛 = √3. 故 m+n=(2√3) 2+(√3) 2=15
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 11.己知A,B为双曲线E的左、右顶点，点M在双曲线E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则 双曲线E的离心率为() A.5 B.2 C.3 D./2 答案D 解析：如围，设双商线E的方程为号- -(a>0,b>0),则l4B到=-2a由双曲线的对称性，可设点M1)在 2 第一象限内，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N,则，点N(x,O) ,△ABM为等腰三角形，且∠ABM=120° ∴.lBM=AB=2a,∠MBN=60°. .·n=lMNM=BMIsin∠MBW=2asin60°=V3a, X1=OB|+BNI=OB]+BMIcos ZMBN=a+2acos 60=2a. .M2a,V3a). 将点M2a代入号-三-1，可得- .e-c= a2 12.已知三棱柱ABC-A1B1C的侧棱与底面垂直，体积为2，底面是边长为V3的正三角形.若P为底面 A1B1C的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为) A号 B明 c D 答案B 解析：如图所示，Sa4c×V3xV3xin号= 4 设点O是△ABC的中心， 则OP⊥平面ABC,∠OAP即为PA与平面ABC所成的角， 4
4 11.已知 A,B 为双曲线 E 的左、右顶点,点 M 在双曲线 E 上,△ABM 为等腰三角形,且顶角为 120°,则 双曲线 E 的离心率为( ) A.√5 B.2 C.√3 D.√2 答案:D 解析:如图,设双曲线 E 的方程为𝑥 2 𝑎2 − 𝑦 2 𝑏 2=1(a>0,b>0),则|AB|=2a.由双曲线的对称性,可设点 M(x1,y1)在 第一象限内,过点 M 作 MN⊥x 轴,垂足为点 N,则点 N(x1,0). ∵△ABM 为等腰三角形,且∠ABM=120°, ∴|BM|=|AB|=2a,∠MBN=60°. ∴y1=|MN|=|BM|sin ∠MBN=2asin 60°=√3a, x1=|OB|+|BN|=|OB|+|BM|cos ∠MBN=a+2acos 60°=2a. ∴M(2a,√3a). 将点 M(2a,√3a)代入𝑥 2 𝑎2 − 𝑦 2 𝑏 2=1,可得 a 2=b2 , ∴e= 𝑐 𝑎 = √𝑎2+𝑏 2 𝑎2 = √2. 12.已知三棱柱 ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为9 4 ,底面是边长为√3的正三角形.若 P 为底面 A1B1C1 的中心,则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为( ) A. 5π 12 B. π 3 C. π 4 D. π 6 答案:B 解析:如图所示,S△ABC= 1 2 × √3 × √3×sin π 3 = 3√3 4 . 设点 O 是△ABC 的中心, 则 OP⊥平面 ABC,∠OAP 即为 PA 与平面 ABC 所成的角
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 于是VE发柱ABcA,G,-Sa4BcOP-3平OP-号得OP-V3 :0A子4D1-4sin号=号×V3x号=1， tam∠0aP器=9=va 又0<∠OAP<∴.∠OAP号 二、填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.经过点A(1,1)且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的直线方程 是 答案：xy=0或x+y-2=0 解析：当直线过原点时，满足要求，此时直线方程为y0,当直线不过原点时，设直线方程为后+台1，国 为点A(1,1)在直线上，所以a=2,此时直线方程为x+y-2=0.综上，所求直线方程为xy=0或x+y2=0. 14.设A为圆(x-2)2+0-2)2=1上一动点，则点A到直线xy-5=0的最大距离 为 答案兴1 解析：国为圆心(2,2)到直线5=0的距离d2-2-5y1,所以直线5=0与圈圆(x-2+0-2Y=1相 2 离。 所以点A到直线x少5=0的最大距离为y三1 2 15.已知椭圆号+兰-1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上若PF-4,则∠FPF= 答案：120° 解析：在精圆号+兰1中众心-9，公=2 又因为c2=2-b2=7,所以c=7 因为PF1=4,IPF1+PF=2a=6, 所以1PF2=6-4=2. 所以os∠FP:_7-月 2P F1P F2l 2×4×2 因为∠F1PF2∈(0°，180°)，所以∠F1PF2=120°， 16.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB-2,AD=A41=1,则直线BD1与平面BCC1B1所成角的正弦值 为
5 于是𝑉三棱柱𝐴𝐵𝐶-𝐴1𝐵1𝐶1 =S△ABC·OP=3√3 4 ·OP=9 4 ,得 OP=√3. ∵OA=2 3 |AD|=2 3 |AB|·sin π 3 = 2 3 × √3 × √3 2 =1, ∴tan∠OAP=𝑂𝑃 𝑂𝐴 = √3 1 = √3. 又 01,所以直线 x-y-5=0 与圆(x-2)2+(y-2)2=1 相 离. 所以点 A 到直线 x-y-5=0 的最大距离为5√2 2 +1. 15.已知椭圆𝑥 2 9 + 𝑦 2 2 =1 的焦点为 F1,F2,点 P 在椭圆上,若|PF1|=4,则∠F1PF2= . 答案:120° 解析:在椭圆𝑥 2 9 + 𝑦 2 2 =1 中,a 2=9,b 2=2. 又因为 c 2=a2 -b 2=7,所以 c=√7. 因为|PF1|=4,|PF1|+|PF2|=2a=6, 所以|PF2|=6-4=2. 所以 cos ∠F1PF2= |𝑃𝐹1| 2+|𝑃𝐹2| 2 -|𝐹1𝐹2| 2 2|𝑃𝐹1||𝑃𝐹2| = 4 2+2 2 -(2√7) 2 2×4×2 =- 1 2 . 因为∠F1PF2∈(0°,180°),所以∠F1PF2=120°. 16.在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=AA1=1,则直线 BD1 与平面 BCC1B1所成角的正弦值 为
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 答案9 解析：如图所示，以点D为坐标原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、二轴，建立空间直角坐标 系D2 则A(1,0,0),B1,2,0),D1(0,0,1)因而BD1=(-1,-2,1) 因为AB⊥平面BCC1B1, 所以AE-(0,2,0)为平面BCC1B1的一个法向量， 设直线BD1与平面BCCB1所成的角为O, 剥有如=6丽孤需需-202型-号 2×V6 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.(10分)求圆心在直线x-3y=0上，且与y轴相切，在x轴上截得的弦长为4V2的圆的方程， 解：设圆的方程为(x-a)2+0-b)2=2, a-3b=0, 由题意可得Ia=r, b2+(2V2)2=r2, (a=3,(a=-3, 解得b=1,或b=-1, r=3r=3, 故所求圆的方程为(x-3)2+0y1)2=9或(x+3)2+y+1)2=9. 18.(12分)已知直线y=ar+1与双曲线3x2-y2=1交于A,B两点 (1)求实数a的取值范围； (2)若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值. 解0联8g±消去%得82a20 快道意件化g。0 即3-a2≠0， (-2a)2-43-a2)×(-2)>0 解得-V6<a<√6，且a时士V3. 故实数a的取值范围是{a-V6<a<√6，且a味士V3) 6
6 答案: √6 3 解析:如图所示,以点 D 为坐标原点,DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标 系 Dxyz. 则 A(1,0,0),B(1,2,0),D1(0,0,1).因而𝐵𝐷1 ⃗⃗ ⃗⃗ =(-1,-2,1). 因为 AB⊥平面 BCC1B1, 所以𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(0,2,0)为平面 BCC1B1 的一个法向量. 设直线 BD1 与平面 BCC1B1 所成的角为 θ, 则有 sin θ=|cos|=|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝐵𝐷1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ||𝐵𝐷1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |(0,2,0)·(-1,-2,1)| 2×√6 = √6 3 . 三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10 分)求圆心在直线 x-3y=0 上,且与 y 轴相切,在 x 轴上截得的弦长为 4√2的圆的方程. 解:设圆的方程为(x-a) 2+(y-b) 2=r2 , 由题意可得{ 𝑎-3𝑏 = 0, |𝑎| = 𝑟, 𝑏 2 + (2√2) 2 = 𝑟 2 , 解得{ 𝑎 = 3, 𝑏 = 1, 𝑟 = 3 或{ 𝑎 = -3, 𝑏 = -1, 𝑟 = 3, 故所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9 或(x+3)2+(y+1)2=9. 18.(12 分)已知直线 y=ax+1 与双曲线 3x 2 -y 2=1 交于 A,B 两点. (1)求实数 a 的取值范围; (2)若以 AB 为直径的圆过坐标原点,求实数 a 的值. 解:(1)联立{ 𝑦 = 𝑎𝑥 + 1, 3𝑥 2 -𝑦 2 = 1 消去 y,得(3-a 2 )x 2 -2ax-2=0. 依题意得{ 3-𝑎 2 ≠ 0, 𝛥 > 0, 即{ 3-𝑎 2 ≠ 0, (-2𝑎) 2 -4(3-𝑎 2 ) × (-2) > 0, 解得-√6<a<√6,且 a≠±√3. 故实数 a 的取值范围是{a|-√6<a<√6,且 a≠±√3}
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 1+x2= 2a (2)设A(x1n),Bx22),则 x12=3 -2 以AB为直径的圆过原点， .OA⊥OB, ∴.0A.0元=0，即x1x2+y12=0, 即x12+(ax1+1)(ax2+1)=0, 即(a2+1)xx2+a(x1+x2)+1=0. (+品+a器+10， 2a 解得a=士1，在(1)中所求出的取值范围内. 故a=士1. 19.(12分)已知A,B是抛物线2上不同于原点0的两点，0A⊥0B. (1)求证：直线AB恒过定点T,且以OT为直径的圆过点D2,I), (2)若直线AB与OOx2+y2=5相切，求切点坐标及直线AB的方程. （)证明设直钱AB的方程为m1P0联主2=x消去得25m5-0,则 (x=my +t, 4=25m2+401>0. 设A(x1J),B22力 则-号2号兰=会0g旷 又因为0A10B,所以x1x2+2=0, 即P-0,解得1或10（舍去）， 所以直线AB的方程为x=m+恒过点T传，0 所以0而.而-(2,1)(2,1)-2×()+1x1-0,所以0而1T币，即0D1TD, 所以点D在以OT为直径的圆上 (2)解：由(1)知直线AB的方程为2x-2m5=0. 由题意得，圆心0到直线AB的距离d=5解得m=士号 当m时，切线AB的方程为2x5=0, 7
7 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则{ 𝑥1 + 𝑥2 = 2𝑎 3-𝑎2 , 𝑥1𝑥2 = -2 3-𝑎2 . ∵以 AB 为直径的圆过原点, ∴OA⊥OB, ∴𝑂𝐴⃗⃗⃗ · 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ =0,即 x1x2+y1y2=0, 即 x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0, 即(a 2+1)x1x2+a(x1+x2)+1=0. ∴(a 2+1)· -2 3-𝑎2+a· 2𝑎 3-𝑎2+1=0, 解得 a=±1,在(1)中所求出的取值范围内. 故 a=±1. 19.(12 分)已知 A,B 是抛物线 y 2= 5 2 x 上不同于原点 O 的两点,OA⊥OB. (1)求证:直线 AB 恒过定点 T,且以 OT 为直径的圆过点 D(2,1); (2)若直线 AB 与☉O:x 2+y2=5 相切,求切点坐标及直线 AB 的方程. (1)证明:设直线 AB 的方程为 x=my+t,t>0,联立{ 𝑦 2 = 5 2 𝑥, 𝑥 = 𝑚𝑦 + 𝑡, 消去 x,得 2y 2 -5my-5t=0,则 Δ=25m2+40t>0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 y1y2=- 5𝑡 2 ,x1x2= 2𝑦 1 2 5 · 2𝑦 2 2 5 = 4 25(y1y2) 2=t2 . 又因为𝑂𝐴⃗⃗⃗ ⊥ 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ ,所以 x1x2+y1y2=0, 即 t 2 - 5 2 t=0,解得 t= 5 2 或 t=0(舍去). 所以直线 AB 的方程为 x=my+5 2 ,恒过点 T( 5 2 ,0). 所以𝑂𝐷⃗⃗ · 𝑇𝐷⃗⃗⃗ =(2,1)·(- 1 2 ,1)=2×(- 1 2 )+1×1=0,所以𝑂𝐷⃗⃗ ⊥ 𝑇𝐷⃗⃗⃗ ,即 OD⊥TD. 所以点 D 在以 OT 为直径的圆上. (2)解:由(1)知直线 AB 的方程为 2x-2my-5=0. 由题意得,圆心 O 到直线 AB 的距离 d= |-5| √4+4𝑚2 = √5,解得 m=± 1 2 . 当 m= 1 2 时,切线 AB 的方程为 2x-y-5=0
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 此时，切点坐标为(2，-1) 当m-时，切线AB的方程为2x+y5-0, 此时，切，点坐标为(2,1). 20.(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠ABC-120°，点E是棱PC的中点，平面 ABE与棱PD交于点F (1)求证：AB∥EF (2)若PA=PD=AD-2,且平面PAD⊥平面ABCD,求平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值 (I)证明：，底面ABCD是菱形， .AB∥CD 又ABt平面PCD,CDC平面PCD, .AB∥平面PCD ,'A,B,E,F四，点共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF, ∴AB∥EF (2)解：如图，取AD的中点G,连接PG,GB PA=PD, .PG⊥AD 又平面PAD⊥平面ABCD,且平面PADn平面ABCD=AD, .PG⊥平面ABCD, ∴.PG⊥GB. 在菱形ABCD中，：∠ABC-120°， ∴.∠DAB=60° 又AB=AD .△ABD为等边三角形 ,G是AD的中点， 8
8 此时,切点坐标为(2,-1). 当 m=- 1 2 时,切线 AB 的方程为 2x+y-5=0, 此时,切点坐标为(2,1). 20.(12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,且∠ABC=120°.点 E 是棱 PC 的中点,平面 ABE 与棱 PD 交于点 F. (1)求证:AB∥EF; (2)若 PA=PD=AD=2,且平面 PAD⊥平面 ABCD,求平面 PAF 与平面 AFE 所成的锐二面角的余弦值. (1)证明:∵底面 ABCD 是菱形, ∴AB∥CD. 又 AB⊄平面 PCD,CD⊂平面 PCD, ∴AB∥平面 PCD. ∵A,B,E,F 四点共面,且平面 ABEF∩平面 PCD=EF, ∴AB∥EF. (2)解:如图,取 AD 的中点 G,连接 PG,GB. ∵PA=PD, ∴PG⊥AD. 又平面 PAD⊥平面 ABCD,且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴PG⊥平面 ABCD, ∴PG⊥GB. 在菱形 ABCD 中,∵∠ABC=120°, ∴∠DAB=60°. 又 AB=AD, ∴△ABD 为等边三角形. ∵G 是 AD 的中点
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org ..AD LGB. 以G为坐标原，点，GA,GB,GP所在直线分别为x轴、y轴、：轴，建立空间直角坐标系Gxz .PA=PD=AD=2, ∴.G(0,0,0),A(1,0,0),B(0,3,0,C(-2,3,0),D(-1,0,0),P0,0,3) ,AB∥EF,点E是棱PC的中点 点F是棱PD的中点 1号r(0正（9，康=传9) 设平面AFE的法向量为n=(x,y,), (3 22=0, 则nAF=0即x+3 n-EF=0, 1 3 2y=0. 不妨令x-3,则n=(3,V3,3V3)为平面AFE的一个法向量. 易知BG⊥平面PAD, ∴.丽=(0，V3,0)是平面PAF的一个法向量. 网1两列x万=畏 cos(n,GB-r距 3 13 ∴平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值为 13 21(2分)已知椭圆院+号1和点P42,直线1经过点P且与椭圆交于AB两点 (1)当直线1的斜率为时，求线段AB的长度 (2)当点P恰好为线段AB的中点时，求直线1的方程 解()由已知可得直线1的方程为2x4),即y (y +号=1 去y可得x2.18=0. 若设A(x11),B(x22),则x+x2=0,x12=-18. 于是4B=xx2)2+y)2 x1x22+x1x22 9
9 ∴AD⊥GB. 以 G 为坐标原点,GA,GB,GP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系 Gxyz. ∵PA=PD=AD=2, ∴G(0,0,0),A(1,0,0),B(0,√3,0),C(-2,√3,0),D(-1,0,0),P(0,0,√3). ∵AB∥EF,点 E 是棱 PC 的中点, ∴点 F 是棱 PD 的中点. ∴E(-1, √3 2 , √3 2 ),F(- 1 2 ,0, √3 2 ) ,𝐴𝐹⃗⃗⃗ = - 3 2 ,0,√3 2 ,𝐸𝐹⃗⃗ = ( 1 2 ,- √3 2 ,0). 设平面 AFE 的法向量为 n=(x,y,z), 则{ 𝑛·𝐴𝐹⃗⃗⃗ = 0, 𝑛·𝐸𝐹⃗⃗ = 0, 即 { - 3 2 𝑥 + √3 2 𝑧 = 0, 1 2 𝑥- √3 2 𝑦 = 0. 不妨令 x=3,则 n=(3,√3,3√3)为平面 AFE 的一个法向量. 易知 BG⊥平面 PAD, ∴𝐺𝐵⃗⃗⃗ =(0,√3,0)是平面 PAF 的一个法向量. ∴cos‹n,𝐺𝐵⃗⃗⃗ ›= 𝑛·𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ |𝑛|·|𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ | = 3 √39×√3 = √13 13 . ∴平面 PAF 与平面 AFE 所成的锐二面角的余弦值为√13 13 . 21.(12 分)已知椭圆𝑥 2 36 + 𝑦 2 9 =1 和点 P(4,2),直线 l 经过点 P 且与椭圆交于 A,B 两点. (1)当直线 l 的斜率为1 2时,求线段 AB 的长度; (2)当点 P 恰好为线段 AB 的中点时,求直线 l的方程. 解:(1)由已知可得直线 l 的方程为 y-2= 1 2 (x-4),即 y= 1 2 x. 由{ 𝑦 = 1 2 𝑥, 𝑥 2 36 + 𝑦 2 9 = 1, 消去 y 可得 x 2 -18=0. 若设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=0,x1x2=-18. 于是|AB|=√(𝑥1 -𝑥2 ) 2 + (𝑦1 -𝑦2 ) 2 =√(𝑥1 -𝑥2 ) 2 + 1 4 (𝑥1 -𝑥2 ) 2 = √5 2 × √(𝑥1 + 𝑥2 ) 2 -4𝑥1𝑥2
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 6/Z-3/I6 故线段AB的长度为3V1而 (2)(方法一)当直线1的斜率不存在时，不合题意 因而直线1的斜率存在 设直线1的斜率为k,则其方程可设为~2=kx4). y-2=k(x-4) 联立 +号=1， x2 消去y得(1+42)x2-(322-16kx+(642-64-20)=0. 若设A1M,B6,2)则+232k2-16坠 1+4k2 因为AB的中点恰好为P(4,2), 所以1+2=1628跳-4， 2 1+4k2 解得k=二满足>0. 此时直线1的方程为2=x4), 即x+2y8=0. (方法二)设A(x1,n),B(x22), 则有 +-1 +学-1 两式相减得近+-0， 36 9 整理得出、」 9(x2+x1) x2-x1 36(0y2+y1)】 则直线AB的斜率4B=2+ 36(y2+y1) 因为P(4,2)是线段AB的中点， 所以x1+x2=81+2=4. 所以kB=-号 于是直线1的方程为2=x4), 即x+2y8=0. 10
10 = √ 52 × 6 √2 = 3 √10. 故线段 AB 的长度为 3 √10. (2)(方法一 )当直线 l 的斜率不存在时 ,不合题意. 因而直线 l 的斜率存在. 设直线 l 的斜率为 k,则其方程可设为 y - 2=k( x -4). 联立 { 𝑦 - 2 = 𝑘 ( 𝑥 - 4), 𝑥 2 36 + 𝑦 29 = 1 , 消去 y 得(1 + 4 k2 ) x 2 -(32 k2 -16 k)x+(64 k2 -64 k-20) = 0. 若设 A ( x 1 , y 1), B (x 2 , y 2), 则 x 1+x 2 = 32 𝑘 2 -16 𝑘 1 + 4 𝑘 2 . 因为 AB 的中点恰好为 P(4,2), 所以 𝑥 1 + 𝑥 2 2 = 16 𝑘 2 - 8 𝑘 1 + 4 𝑘 2 =4, 解得 k= - 12 ,满足 Δ > 0. 此时直线 l 的方程为 y - 2 = - 12 ( x -4), 即 x+ 2y - 8 = 0. (方法二)设 A ( x 1 , y 1), B ( x 2 ,y 2), 则有 { 𝑥 12 36 + 𝑦 129 = 1 , 𝑥 22 36 + 𝑦 229 = 1 . 两式相减 , 得 𝑥 22 - 𝑥 12 36 + 𝑦 22 - 𝑦 12 9 =0, 整理得 𝑦 2 - 𝑦 1 𝑥 2 - 𝑥 1 = - 9 ( 𝑥 2 + 𝑥 1 ) 36 ( 𝑦 2 + 𝑦 1 ) , 则直线 AB 的斜率 kAB = - 9 ( 𝑥 2 + 𝑥 1 ) 36 ( 𝑦 2 + 𝑦 1 ). 因为 P(4,2)是线段 AB 的中点 , 所以 x 1+x 2 =8, y 1+y 2 = 4. 所以 kAB = - 9 × 8 36 × 4 = - 12. 于是直线 l 的方程为 y - 2 = - 12 ( x -4), 即 x+ 2y - 8 = 0