7.1.2 全概率公式 课后训练提升 1.已知P(BA)=0.3,P(BA)=0.4,则P(B)的值为() A.0.12 B.0.8 C.0.7 D.0.6 答案：C 解析：因为P(BA)=P(A)P(BA,P(BA=P(A)P(BA) 所以P(B)=P(A)P(BA)+P(A)P(BA)=P(BA)+P(BA)=0.3+0.4=0.7 2.已知P(A)=0.6,P(B)=0.5,P(4B)=0.3,则P(B4的值为(） A好 B时 D哈 答案：A 解析由公式PB)@=5C2= P(A) 0.6 3.己知P(A)=0.4,P(B)=0.5,P(B1A=0.3,则P(B4)的值为 答案：0.8 解析：由P(A)=0.4,得P(A)=0.6 由P(B)=P(A)P(B4)+P(A)P(BA,得0.5=0.4×P(BL4)+0.6×0.3,解得P(B4)=0.8. 4.关于两类投保人的问题.如果易出事故的人在一年内出事故的概率为0.4，不易 出事故的人一年内出事故的概率为0.2，且第一类人占总人口的比例是30%，那么 随机抽取一名投保人，他会在一年内出事故的概率是多少？另外，假设他在一年内 出了事故，则他属于易出事故的人的概率为多少？ 解：设事件A为“他是易出事故者”，A1为“他在一年内出事故” 由题意得P(A)=0.3,P(A)=0.7,P(A4)=0.4,P(A1A)=0.2 (1)由全概率公式，得P(AI)=PA)P(A1A)+P(A)P(A1A)=0.3×0.4+0.7×0.2=0.26. 2由贝叶斯公式得P44)=g=合 P(A,) 0.26 5.有大小、质地相同的球分别装在3个盒子中，每盒10个.其中，第1个盒子中有 7个球标有字母A,3个标有字母B:第2个盒子中有红球和白球各5个；第3个盒 子中有红球8个，白球2个.试验按如下规则进行：先在第1个盒子中任取一球，若 取出标有字母A的球，则在第2个盒子中任取一球：若取得标有字母B的球，则在 第3个盒子中任取一球如果第2次取出的是红球，那么称试验成功求试验成功 的概率 解：设事件A=“从第1个盒子中取出标有字母A的球”，则A=“从第1个盒子中取 出标有字母B的球”，B=“第2次取出的是红球” 由题意得P4)=PA=,P(BL4)=5P(BA)=8
7.1.2 全概率公式 课后· 1.已知 P(BA)=0.3,P(B𝐴)=0.4,则 P(B)的值为( ) A.0.12 B.0.8 C.0.7 D.0.6 答案:C 解析:因为 P(BA)=P(A)P(B|A),P(B𝐴)=P(𝐴)P(B|𝐴), 所以 P(B)=P(A)P(B|A)+P(𝐴)P(B|𝐴)=P(BA)+P(B𝐴)=0.3+0.4=0.7. 2.已知 P(A)=0.6,P(B)=0.5,P(A|B)=0.3,则 P(B|A)的值为( ) A. 1 4 B. 1 2 C. 3 4 D. 1 8 答案:A 解析:由公式 P(B|A)= 𝑃(𝐵)𝑃(𝐴|𝐵) 𝑃(𝐴) = 0.5×0.3 0.6 = 1 4 . 3.已知 P(A)=0.4,P(B)=0.5,P(B|𝐴)=0.3,则 P(B|A)的值为 . 答案:0.8 解析:由 P(A)=0.4,得 P(𝐴)=0.6. 由 P(B)=P(A)P(B|A)+P(𝐴)P(B|𝐴),得 0.5=0.4×P(B|A)+0.6×0.3,解得 P(B|A)=0.8. 4.关于两类投保人的问题.如果易出事故的人在一年内出事故的概率为 0.4,不易 出事故的人一年内出事故的概率为 0.2,且第一类人占总人口的比例是 30%,那么 随机抽取一名投保人,他会在一年内出事故的概率是多少?另外,假设他在一年内 出了事故,则他属于易出事故的人的概率为多少? 解:设事件 A 为“他是易出事故者”,A1 为“他在一年内出事故”, 由题意得 P(A)=0.3,P(𝐴)=0.7,P(A1|A)=0.4,P(A1|𝐴)=0.2. (1)由全概率公式,得 P(A1)=P(A)P(A1|A)+P(𝐴)P(A1|𝐴)=0.3×0.4+0.7×0.2=0.26. (2)由贝叶斯公式,得 P(A|A1)= 𝑃(𝐴)𝑃(𝐴1 |𝐴) 𝑃(𝐴1 ) = 0.3×0.4 0.26 = 6 13 . 5.有大小、质地相同的球分别装在 3 个盒子中,每盒 10 个.其中,第 1 个盒子中有 7 个球标有字母 A,3 个标有字母 B;第 2 个盒子中有红球和白球各 5 个;第 3 个盒 子中有红球 8 个,白球 2 个.试验按如下规则进行:先在第 1 个盒子中任取一球,若 取出标有字母 A 的球,则在第 2 个盒子中任取一球;若取得标有字母 B 的球,则在 第 3 个盒子中任取一球.如果第 2 次取出的是红球,那么称试验成功.求试验成功 的概率. 解:设事件 A=“从第 1 个盒子中取出标有字母 A 的球”,则𝐴=“从第 1 个盒子中取 出标有字母 B 的球”,B=“第 2 次取出的是红球”. 由题意得 P(A)= 7 10 ,P(𝐴)= 3 10 ,P(B|A)= 5 10 ,P(B|𝐴)= 8 10
由全概率公式，得P(B)=P(A)P(BA)+P(A)P(BA)=0.59 6.已知某人从外地赶来参加紧急会议他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分 别是器六及导若他乘飞机来则不会迟到，而乘火车、轮船或汽车来迟到的概 率分别为号壹如果此人迟到，请推断他是怎样来的 解：设事件A1=“乘火车来”，A2=“乘轮船来”，A3=“乘汽车来”，A4=“乘飞机来”，B=“迟 到” 由题意得 P(A)-iP(42)-P(43)-i.P(A4)-P(BVA)-iP(BM2)-P(B143)-iP(BM4)=0. 由贝叶斯公式 PM1B)=P4P4)=1,23,4),得到P41B)= P(Ak)PBAk) k=1 类似地，可得P42B)=号P4sB)=8P14B)=0. 由上述计算结果可以推断此人迟到，乘火车来的可能性最大 7.甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品. (1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率 (2)若先从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，再从乙箱中任取一个产品，求取出的 这个产品是正品的概率 解：(1)从甲箱中任取2个产品的事件数为C好=28， 这2个产品都是次品的事件数为C好=3 故这2个产品都是次品的概率为器 (2)设事件A=“从乙箱中取一个正品”，事件B1=“从甲箱中取出2个产品都是正 品”，事件B2=“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B3=“从甲箱中取出2个产 品都是次品”，则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥 PB-等=品PB,)g=号PB-等=品P4B,-P4B,)-号P4B,)片国此 PA=PB,P4BHPB,P4B2HPB,)P4IB)×g+×号+是×号=
由全概率公式,得 P(B)=P(A)P(B|A)+P(𝐴)P(B|𝐴)=0.59. 6.已知某人从外地赶来参加紧急会议.他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分 别是 3 10 , 1 5 , 1 10 及 2 5 ,若他乘飞机来,则不会迟到;而乘火车、轮船或汽车来迟到的概 率分别为1 4 , 1 3 , 1 12 .如果此人迟到,请推断他是怎样来的? 解:设事件 A1=“乘火车来”,A2=“乘轮船来”,A3=“乘汽车来”,A4=“乘飞机来”,B=“迟 到”. 由题意得 P(A1)= 3 10 ,P(A2)= 1 5 ,P(A3)= 1 10 ,P(A4)= 2 5 ,P(B|A1)= 1 4 ,P(B|A2)= 1 3 ,P(B|A3)= 1 12 ,P(B|A4)=0. 由贝叶斯公式 P(A1|B)= 𝑃(𝐴1 )𝑃(𝐵|𝐴1 ) ∑ 𝑘=1 4 P(Ak )P(B|Ak ) (i=1,2,3,4),得到 P(A1|B)= 1 2 . 类似地,可得 P(A2|B)= 4 9 ,P(A3|B)= 1 18 ,P(A4|B)=0. 由上述计算结果可以推断此人迟到,乘火车来的可能性最大. 7.甲箱的产品中有 5 个正品和 3 个次品,乙箱的产品中有 4 个正品和 3 个次品. (1)从甲箱中任取 2 个产品,求这 2 个产品都是次品的概率. (2)若先从甲箱中任取 2 个产品放入乙箱中,再从乙箱中任取一个产品,求取出的 这个产品是正品的概率. 解:(1)从甲箱中任取 2 个产品的事件数为𝐶8 2=28, 这 2 个产品都是次品的事件数为𝐶3 2=3. 故这 2 个产品都是次品的概率为 3 28 . (2)设事件 A=“从乙箱中取一个正品”,事件 B1=“从甲箱中取出 2 个产品都是正 品”,事件 B2=“从甲箱中取出 1 个正品 1 个次品”,事件 B3=“从甲箱中取出 2 个产 品都是次品”,则事件 B1、事件 B2、事件 B3 彼此互斥. P(B1)= 𝐶5 2 𝐶8 2 = 5 14 ,P(B2)= 𝐶5 1𝐶3 1 𝐶8 2 = 15 28 ,P(B3)= 𝐶3 2 𝐶8 2 = 3 28 ,P(A|B1)= 6 9 ,P(A|B2)= 5 9 ,P(A|B3)= 4 9 ,因此 P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)·P(A|B3)= 5 14 × 6 9 + 15 28 × 5 9 + 3 28 × 4 9 = 7 12