第4课时 组合的应用 课后训练提升 基础巩固 1某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名选手参加比赛，种子 选手必须在内，那么不同选法共有() A.26种 B.84种 C.35种 D.21种 答案：C 解析：因为种子选手必须在内，所以还需从剩下的7名队员中选出3人有C= 7×6x5=35种选法 3×2×1 2.身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右两边分别 顺次一个比一个低，这样的排法种数是( ) A.5040 B.36 C.18 D.20 答案D 解析：最高的同学站中间，从余下6人中选3人在一侧只有一种站法，另3人在另 一侧也只有一种站法，因此排法有C%=20种 3.在平面直角坐标平面Oy上，平行直线x=n(n=0,1,2,…,5)与平行直线 y=n(n=0,1,2,…,5)组成的图形中，矩形共有() A.25个 B.36个 C.100个 D.225个 答案D 解析：从垂直于x轴的6条直线中任取2条，从垂直于y轴的6条直线中任取2 条，4条直线相交得出一个矩形，因此矩形总数为C?×C?=15×15=225 4.从乒乓球运动员男5名、女6名中选择两对男女运动员组织一场混合双打比 赛，不同的组合方法有( A.C2C2种 B.CA2种 C.CA3CA3种D.AA3种 答案B 解析：先从5名男选手中任意选取2名，有C种选法，再从6名女选手中任意选择2 名与选出的男选手组合打比赛，有CA3,即A?种.因此共有CA?种 5.将标号为A,B,C,D,E,F的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张 卡片，其中标号为A,B的卡片放入同1个信封，则不同的方法共有( A.12种 B.18种 C.36种 D.54种 答案B
第 4 课时 组合的应用 课后· 基础巩固 1.某乒乓球队有 9 名队员,其中 2 名是种子选手,现在挑选 5 名选手参加比赛,种子 选手必须在内,那么不同选法共有( ) A.26 种 B.84 种 C.35 种 D.21 种 答案:C 解析:因为种子选手必须在内,所以还需从剩下的 7 名队员中选出 3 人有C7 3 = 7×6×5 3×2×1 =35 种选法. 2.身高各不相同的 7 名同学排成一排照相,要求正中间的同学最高,左右两边分别 顺次一个比一个低,这样的排法种数是( ) A.5 040 B.36 C.18 D.20 答案:D 解析:最高的同学站中间,从余下 6 人中选 3 人在一侧只有一种站法,另 3 人在另 一侧也只有一种站法,因此排法有C6 3=20 种. 3.在平面直角坐标平面 Oxy 上,平行直线 x=n(n=0,1,2,…,5)与平行直线 y=n(n=0,1,2,…,5)组成的图形中,矩形共有( ) A.25 个 B.36 个 C.100 个 D.225 个 答案:D 解析:从垂直于 x 轴的 6 条直线中任取 2 条,从垂直于 y 轴的 6 条直线中任取 2 条,4 条直线相交得出一个矩形,因此矩形总数为C6 2 × C6 2=15×15=225. 4.从乒乓球运动员男 5 名、女 6 名中选择两对男女运动员组织一场混合双打比 赛,不同的组合方法有( ) A.C5 2C6 2种 B.C5 2A6 2种 C.C5 2A2 2 C6 2A2 2种 D.A5 2A6 2种 答案:B 解析:先从 5 名男选手中任意选取 2 名,有C5 2种选法,再从 6 名女选手中任意选择 2 名与选出的男选手组合打比赛,有C6 2A2 2 ,即A6 2种.因此共有C5 2A6 2种. 5.将标号为 A,B,C,D,E,F 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中,若每个信封放 2 张 卡片,其中标号为 A,B 的卡片放入同 1 个信封,则不同的方法共有( ) A.12 种 B.18 种 C.36 种 D.54 种 答案:B
解析：分两步完成：第一步，从3个信封中挑选一个信封放标号为A,B的卡片，共有 C种方法；第二步，从标号为C,D,E,F的卡片中选出2张为一组放入一个信封，剩下 的2张为另一组放入另一个信封，共有C?种方法.根据分步乘法计数原理，共有 CC=18种. 6.某地招募了20名志愿者，他们编号分别为1号，2号，…，19号，20号，如果要从中 任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小 的人在一组，两个编号较大的人在另一组，那么确保5号与14号入选并被分配到 同一组的选取种数是( A.16 B.21 C.24 D.90 答案B 解析：分两类： 第1类，5号与14号为编号较大的一组，则另一组编号较小的有C?=6种选取方法 第2类，5号与14号为编号较小的一组，则编号较大的一组有C2=15种选取方法. 根据分类加法计数原理，共有C好+C名=6+15=21种选取方法 7某省高考改革方案中，要求每名考生必须在物理、化学、生物、思想政治、历 史、地理6门学科中选择3门学科参加等级考试.小明同学决定在生物、思想政 治、历史三门中至多选择一门，那么小明同学的选择方案有 种 答案：10 解析：分两类：第1类，在生物、思想政治、历史三门中选择1门，则在物理、化 学、地理中选2门，有CC=9种选择方案， 第2类，在生物、思想政治、历史三门中选择0门，则物理、化学、地理全选，有 C=1种选择方案 根据分类加法计数原理，共有选择方案9+1=10种 8.如图所示，该几何体是由一个正三棱锥P-ABC与正三棱柱ABC-A1B1C1组合而 成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色（底面A1B1C1不涂色），要求相邻的 面均不同色，则不同的涂色方案共有 种 答案：12 解析：分两步：第一步，先涂三棱锥P-ABC的三个侧面，有CC2种涂法；第二步，涂三 棱柱的三个侧面，有CC2种涂法.根据分步乘法计数原理，共有C好×C2×C1× C2=3×2×1×2=12种不同的涂法 9.8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖将这8张奖券分配给4个 人，每人2张，不同的获奖情况有 种（用数字作答）
解析:分两步完成:第一步,从 3 个信封中挑选一个信封放标号为 A,B 的卡片,共有 C3 1种方法;第二步,从标号为 C,D,E,F 的卡片中选出 2 张为一组放入一个信封,剩下 的 2 张为另一组放入另一个信封,共有C4 2种方法.根据分步乘法计数原理,共有 C3 1C4 2=18 种. 6.某地招募了 20 名志愿者,他们编号分别为 1 号,2 号,…,19 号,20 号,如果要从中 任意选取 4 人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作,其中两个编号较小 的人在一组,两个编号较大的人在另一组,那么确保 5 号与 14 号入选并被分配到 同一组的选取种数是( ) A.16 B.21 C.24 D.90 答案:B 解析:分两类: 第 1 类,5 号与 14 号为编号较大的一组,则另一组编号较小的有C4 2=6 种选取方法. 第 2 类,5 号与 14 号为编号较小的一组,则编号较大的一组有C6 2=15 种选取方法. 根据分类加法计数原理,共有C4 2 + C6 2=6+15=21 种选取方法. 7.某省高考改革方案中,要求每名考生必须在物理、化学、生物、思想政治、历 史、地理 6 门学科中选择 3 门学科参加等级考试.小明同学决定在生物、思想政 治、历史三门中至多选择一门,那么小明同学的选择方案有 种. 答案:10 解析:分两类:第 1 类,在生物、思想政治、历史三门中选择 1 门,则在物理、化 学、地理中选 2 门,有C3 1C3 2=9 种选择方案; 第 2 类,在生物、思想政治、历史三门中选择 0 门,则物理、化学、地理全选,有 C3 3=1 种选择方案. 根据分类加法计数原理,共有选择方案 9+1=10 种. 8.如图所示,该几何体是由一个正三棱锥 P-ABC 与正三棱柱 ABC-A1B1C1组合而 成,现用 3 种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面 A1B1C1 不涂色),要求相邻的 面均不同色,则不同的涂色方案共有 种. 答案:12 解析:分两步:第一步,先涂三棱锥 P-ABC 的三个侧面,有C3 1C2 1种涂法;第二步,涂三 棱柱的三个侧面,有C1 1C2 1种涂法.根据分步乘法计数原理,共有C3 1 × C2 1 × C1 1 × C2 1=3×2×1×2=12 种不同的涂法. 9.8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张,其余 5 张无奖.将这 8 张奖券分配给 4 个 人,每人 2 张,不同的获奖情况有 种.(用数字作答)
答案：60 解析：分两类：第1类，一、二、三等奖，三个人获得，有A3=24种 第2类，一、二、三等奖，有一个人获得2张，一个人获得1张，共有CA=36种。 根据分类加法计数原理，共有24+36=60种不同的获奖情况 10.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3 张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，求不同取法的种数 解：由题意，不考虑特殊情况，共有C种取法，其中每一种卡片各取三张，有4C种取 法，两张红色卡片，共有CC2种取法，故所求的取法共有C。4C-CC2=560-16 72=472种. 11.现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作 (其中有1名青年两项工作都能胜任).现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其 中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？ 解：分三类： 第1类，让两项工作都能胜任的青年从事英语翻译工作，有CC种选法； 第2类，让两项工作都能胜任的青年从事德语翻译工作，有CC种选法； 第3类，让两项工作都能胜任的青年不从事任何工作，有CC种选法 根据分类加法计数原理，共有CC?+CCg+CC?=42种不同的选法. 拓展提高 1.有编号为1,2,3,4,5,6,7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相 邻，则不同的开灯方案有( A.60种 B.20种 C.10种 D.8种 答案：C 解析：在四盏熄灭的灯产生的5个空中放入三盏亮灯，即C=10 2.某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目 不超过2个，则该外商不同的投资方案有() A.16种 B.36种 C.42种 D.60种 答案D 解析：分两类：第1类，每城不超过1个项目，有A?=24种：第2类，有1个城市投资2 个项目，有C4CC3=36种 根据分类加法计数原理，共有24+36=60种方案. 3.全运会期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚三班，每班 4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为() A.C12C42C8 B.C1A12A8 C.cici.c A D.C12C12C8A
答案:60 解析:分两类:第 1 类,一、二、三等奖,三个人获得,有A4 3=24 种; 第 2 类,一、二、三等奖,有一个人获得 2 张,一个人获得 1 张,共有C3 2A4 2=36 种. 根据分类加法计数原理,共有 24+36=60 种不同的获奖情况. 10.现有 16 张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张.从中任取 3 张,要求这 3 张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多 1 张,求不同取法的种数. 解:由题意,不考虑特殊情况,共有C16 3 种取法,其中每一种卡片各取三张,有 4C4 3种取 法,两张红色卡片,共有C4 2C12 1 种取法,故所求的取法共有C16 3 -4C4 3 − C4 2C12 1 =560-16- 72=472 种. 11.现有 8 名青年,其中有 5 名能胜任英语翻译工作,有 4 名能胜任德语翻译工作 (其中有 1 名青年两项工作都能胜任).现在要从中挑选 5 名青年承担一项任务,其 中 3 名从事英语翻译工作,2 名从事德语翻译工作,则有多少种不同的选法? 解:分三类: 第 1 类,让两项工作都能胜任的青年从事英语翻译工作,有C4 2C3 2种选法; 第 2 类,让两项工作都能胜任的青年从事德语翻译工作,有C4 3C3 1种选法; 第 3 类,让两项工作都能胜任的青年不从事任何工作,有C4 3C3 2种选法. 根据分类加法计数原理,共有C4 2C3 2 + C4 3C3 1 + C4 3C3 2=42 种不同的选法. 拓展提高 1.有编号为 1,2,3,4,5,6,7 的七盏路灯,晚上用时只亮三盏灯,且任意两盏亮灯不相 邻,则不同的开灯方案有( ) A.60 种 B.20 种 C.10 种 D.8 种 答案:C 解析:在四盏熄灭的灯产生的 5 个空中放入三盏亮灯,即C5 3=10. 2.某外商计划在 4 个候选城市投资 3 个不同的项目,且在同一个城市投资的项目 不超过 2 个,则该外商不同的投资方案有( ) A.16 种 B.36 种 C.42 种 D.60 种 答案:D 解析:分两类:第 1 类,每城不超过 1 个项目,有A4 3=24 种;第 2 类,有 1 个城市投资 2 个项目,有C4 1C3 2C3 1=36 种. 根据分类加法计数原理,共有 24+36=60 种方案. 3.全运会期间,某高校有 14 名志愿者参加接待工作,若每天早、中、晚三班,每班 4 人,每人每天最多值一班,则开幕式当天不同的排班种数为( ) A.C14 12C12 4 C8 4 B.C14 12A12 4 A8 4 C. C14 12C12 4 C8 4 A3 3 D.C14 12C12 4 C8 4A8 3
答案：A 解析：首先从14人中选出12人，有C种方法，然后将12人平均分为3组，有 生C种方法，然后这两步相乘，得出C避将三组分配下去共有CCC哈种。 A3 故选A 4.某大学给A市某三所重点中学7个自主招生的推荐名额，则每所中学至少分到 一个名额的方法数为( A.30 B.21 C.10 D.15 答案D 解析：用“隔板法”在7个名额中间的6个空位上选2个位置加2个隔板，有C?=15 种分配方法 5.20个完全相同的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不 小于它的编号数，则不同的放法种数为 答案：120 解析：先在编号为2,3的盒内分别放入1,2个球，还剩17个小球，三个盒内分别至 少再放入1个球，将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入 三个盒中即可，共C6=120种方法 6.某科技小组有六名学生，现从中选出三人去参观展览，至少有一名女生入选的不 同选法有16种，则该小组中的女生人数为 答案2 解析：设男生人数为x,则女生有(6-x)人.依题意C-C3=16,即xx-1)x-2)=2×3×4, 解得x=4,即女生有2人 7.己知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有次 品为止 (1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第10次才找到最后一件次品，则这样 的不同测试方法数是多少？ (2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多 少？ 解(1)分三步完成：第一步，先排前4次测试，只能取正品，有A4种测法；第二步，再从 4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有CA3=A☑种测法；第三步，再 排余下4件的测试位置，有A4种测法， 根据分布乘法计数原理，共有不同测试方法AA?A4=103680种 (2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正 品出现，故共有不同测试方法CCA4=576种 挑战创新
答案:A 解析:首先从 14 人中选出 12 人,有C14 12种方法,然后将 12 人平均分为 3 组,有 C12 4 C8 4C4 4 A3 3 种方法,然后这两步相乘,得 C14 12C12 4 C8 4 A3 3 .将三组分配下去共有C14 12C12 4 C8 4种. 故选 A. 4.某大学给 A 市某三所重点中学 7 个自主招生的推荐名额,则每所中学至少分到 一个名额的方法数为( ) A.30 B.21 C.10 D.15 答案:D 解析:用“隔板法”.在 7 个名额中间的 6 个空位上选 2 个位置加 2 个隔板,有C6 2=15 种分配方法. 5.20 个完全相同的小球放入编号为 1,2,3 的三个盒子中,要求每个盒内的球数不 小于它的编号数,则不同的放法种数为 . 答案:120 解析:先在编号为 2,3 的盒内分别放入 1,2 个球,还剩 17 个小球,三个盒内分别至 少再放入 1 个球,将 17 个球排成一排,有 16 个空隙,插入 2 块挡板分为三堆放入 三个盒中即可,共C16 2 =120 种方法. 6.某科技小组有六名学生,现从中选出三人去参观展览,至少有一名女生入选的不 同选法有 16 种,则该小组中的女生人数为 . 答案:2 解析:设男生人数为 x,则女生有(6-x)人.依题意C6 3 − C𝑥 3=16,即 x(x-1)(x-2)=2×3×4, 解得 x=4,即女生有 2 人. 7.已知 10 件不同产品中有 4 件是次品,现对它们进行一一测试,直至找出所有次 品为止. (1)若恰在第 5 次测试,才测试到第一件次品,第 10 次才找到最后一件次品,则这样 的不同测试方法数是多少? (2)若恰在第 5 次测试后,就找出了所有 4 件次品,则这样的不同测试方法数是多 少? 解:(1)分三步完成:第一步,先排前 4 次测试,只能取正品,有A6 4种测法;第二步,再从 4 件次品中选 2 件排在第 5 和第 10 的位置上测试,有C4 2A2 2 = A4 2种测法;第三步,再 排余下 4 件的测试位置,有A4 4种测法. 根据分布乘法计数原理,共有不同测试方法A6 4 A4 2A4 4=103 680 种. (2)第 5 次测试恰为最后一件次品,另 3 件在前 4 次中出现,从而前 4 次有一件正 品出现,故共有不同测试方法C6 1C4 3A4 4=576 种. 挑战创新
“抗震救灾，众志成城”，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴赈灾前线，其中这 10名医疗专家中有4名是外科专家.问： (1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？ (2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？ (3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？ 解(1)分两步：第一步，首先从4名外科专家中任选2名，有C种选法： 第二步，再从除外科专家的6人中选取4人，有C4种选法 根据分布乘法计数原理，共有CC=90种抽调方法. (2)方法一（直接法） 按选取的外科专家的人数分三类 第1类，选2名外科专家，共有CC4种选法； 第2类，选3名外科专家，共有CC种选法： 第3类，选4名外科专家，共有C4C?种选法 根据分类加法计数原理，共有CC哈+CC好+C4C?=185种抽调方法， 方法二（间接法） 不考虑是否有外科专家，共有C种选法，考虑选取1名外科专家参加，有CC种选 法，没有外科专家参加，有C种选法，因此共有C。-CC-Cg=185种抽调方法. (3)“至多2名”包括“没有“有1名“有2名”三种情况，分三类解答」 第1类，没有外科专家参加，有C种选法： 第2类，有1名外科专家参加，有CC种选法 第3类，有2名外科专家参加，有CC种选法。 根据分类加法计数原理，共有C+C4C+CC=115种抽调方法
“抗震救灾,众志成城”,某医院从 10 名医疗专家中抽调 6 名奔赴赈灾前线,其中这 10 名医疗专家中有 4 名是外科专家.问: (1)抽调的 6 名专家中恰有 2 名是外科专家的抽调方法有多少种? (2)至少有 2 名外科专家的抽调方法有多少种? (3)至多有 2 名外科专家的抽调方法有多少种? 解:(1)分两步:第一步,首先从 4 名外科专家中任选 2 名,有C4 2种选法; 第二步,再从除外科专家的 6 人中选取 4 人,有C6 4种选法. 根据分布乘法计数原理,共有C4 2C6 4=90 种抽调方法. (2)方法一:(直接法) 按选取的外科专家的人数分三类: 第 1 类,选 2 名外科专家,共有C4 2C6 4种选法; 第 2 类,选 3 名外科专家,共有C4 3C6 3种选法; 第 3 类,选 4 名外科专家,共有C4 4C6 2种选法. 根据分类加法计数原理,共有C4 2C6 4 + C4 3C6 3 + C4 4C6 2=185 种抽调方法. 方法二:(间接法) 不考虑是否有外科专家,共有C10 6 种选法,考虑选取 1 名外科专家参加,有C4 1C6 5种选 法,没有外科专家参加,有C6 6种选法,因此共有C10 6 − C4 1C6 5 − C6 6=185 种抽调方法. (3)“至多 2 名”包括“没有”“有 1 名”“有 2 名”三种情况,分三类解答: 第 1 类,没有外科专家参加,有C6 6种选法; 第 2 类,有 1 名外科专家参加,有C4 1C6 5种选法; 第 3 类,有 2 名外科专家参加,有C4 2C6 4种选法. 根据分类加法计数原理,共有C6 6 + C4 1C6 5 + C4 2C6 4=115 种抽调方法