7.5正态分布 课后训练提升 基础巩固 1.设随机变量X服从正态分布，且正态密度函数为x)= x-10)2 V元eax∈R,则均值与 标准差分别是( A.10与8 B.10与2 C.8与10 D.2与10 答案B 解析：由正态密度函数的定义可知，均值1=10，方差2=4，即0=2 2.已知随机变量服从正态分布N(2,σ2)（σ>0），P(≤4)=0.84，则P(≤0)等于() A.0.16 B.0.32 C.0.68 D.0.84 答案：A 解析：，随机变量飞服从正态分布N2,G2), …u=2 .P(≤4)=0.84 .P(≥4)=1-0.84=0.16， ∴.P(≤0)=P(≥4)=0.16 3.己知某批零件的长度误差（单位：mm)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件，其 长度误差落在区间[3,6]上的概率为( )附：若随机变量专服从正态分布N(,σ2) 则P(u-o≤≤u+σ0.6827，P(-2o≤≤+2σ0.9545) A.0.0456 B.0.1359 C.0.2718 D.0.3174 答案B 解析：由正态分布的概率公式，知P(-3≤≤3)=0.6827，P(-6≤≤6)=0.9545， 故P3≤≤6)=P-6≤5≤6--3s3=09545-06822=0.1359,故选B 2 4设XN(-2,)则X落在区间3.5，-0.5]上的概率是( ) A95.45% B.99.73% C.4.56% D.68.27% 答案B 解析：由XN(-2,)知u=-2,a=2P-3.5≤X≤0.5)=P(-23x0.5≤X≤2 +3×0.5)=0.9973. 5.设X~N(u1,σ2)，Y-N(2,o2),这两个正态密度曲线如图所示.下列结论中正确的是 ()
7.5 正态分布 课后· 基础巩固 1.设随机变量 X 服从正态分布,且正态密度函数为 f(x)= 1 √8π e - (𝑥-10) 2 8 ,x∈R,则均值与 标准差分别是( ) A.10 与 8 B.10 与 2 C.8 与 10 D.2 与 10 答案:B 解析:由正态密度函数的定义可知,均值 μ=10,方差 σ 2=4,即 σ=2. 2.已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,σ 2 )(σ>0),P(ξ≤4)=0.84,则 P(ξ≤0)等于( ) A.0.16 B.0.32 C.0.68 D.0.84 答案:A 解析:∵随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,σ 2 ), ∴μ=2. ∵P(ξ≤4)=0.84, ∴P(ξ≥4)=1-0.84=0.16, ∴P(ξ≤0)=P(ξ≥4)=0.16. 3.已知某批零件的长度误差(单位:mm)服从正态分布 N(0,32 ),从中随机取一件,其 长度误差落在区间[3,6]上的概率为( )(附:若随机变量 ξ 服从正态分布 N(μ,σ 2 ), 则 P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.954 5) A.0.045 6 B.0.135 9 C.0.271 8 D.0.317 4 答案:B 解析:由正态分布的概率公式,知 P(-3≤ξ≤3)=0.682 7,P(-6≤ξ≤6)=0.954 5, 故 P(3≤ξ≤6)= 𝑃(-6≤𝜉≤6)-𝑃(-3≤𝜉≤3) 2 = 0.954 5-0.682 7 2 =0.135 9,故选 B. 4.设 X~N(-2, 1 4 ),则 X 落在区间[-3.5,-0.5]上的概率是( ) A.95.45% B.99.73% C.4.56% D.68.27% 答案:B 解析:由 X~N(-2, 1 4 )知 μ=-2,σ= 1 2 ,P(-3.5≤X≤-0.5)=P(-2-3×0.5≤X≤-2 +3×0.5)=0.997 3. 5.设 X~N(μ1,𝜎1 2 ),Y~N(μ2,𝜎2 2 ),这两个正态密度曲线如图所示.下列结论中正确的是 ( )
X的正态分布 密度曲线 Y的正态分布 密度曲线 A.PY≥u2)≥P(Y≥uI) B.PX≤o2)≤PX≤o1) C.对任意正数1，PX≤)≥P(Y≤) D.对任意正数t,PX≥)≥P(Y≥) 答案：C 解析：由题图可知1PX≤o1),故B错； 当1为任意正数时，由题图可知P(X≤)≥P(Y≤)， 而PX≤)=1-PX≥0，P(Y≤)=1-P(Y≥0， ∴.PX≥)<P(Y≥)，故C正确，D错 6.(多选题)下列说法中正确的是() A设随机变量X服从二项分布B(6,)则PX=3)品 B.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，且PX<6)=0.8,则P(-2<X<2)=0.3 C.已知随机变量XN0,c2,若P(X<2)=a,则P02)的值为 D.E(2X+3)=2EX)+3;D(2X+3)=2DX)+3 答案：AB 解析：设随机变量X服从二项分布B6,) 则PX=3)=Cg×)×(1-)=故A正确， ,随机变量X服从正态分布N(2,σ2)。 ∴.正态曲线的对称轴是x=2 ,PX<6)=0.8 ∴.PX≥6)=PX≤-2)=0.2， ∴.P(-2<X<2)=1-2×0.2)=0.3, 故B正确； 已知随机变量X-N(0,σ2)，若P(XM<2)=a, 则P2)=1-P(M<2》=是 故C错误， E(2X+3)=2EX)+3:D(2X+3)=4DX0 故D错误 综上，选AB
A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1) B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1) C.对任意正数 t,P(X≤t)≥P(Y≤t) D.对任意正数 t,P(X≥t)≥P(Y≥t) 答案:C 解析:由题图可知 μ1P(X≤σ1),故 B 错; 当 t 为任意正数时,由题图可知 P(X≤t)≥P(Y≤t), 而 P(X≤t)=1-P(X≥t),P(Y≤t)=1-P(Y≥t), ∴P(X≥t)2)的值为1+𝑎 2 D.E(2X+3)=2E(X)+3;D(2X+3)=2D(X)+3 答案:AB 解析:设随机变量 X 服从二项分布 B(6, 1 2 ), 则 P(X=3)=C6 3 × ( 1 2 ) 3 × (1- 1 2 ) 3 = 5 16 ,故 A 正确; ∵随机变量 X 服从正态分布 N(2,σ 2 ), ∴正态曲线的对称轴是 x=2. ∵P(X2)= 1 2 (1-P(|X|<2))= 1-𝑎 2 , 故 C 错误; E(2X+3)=2E(X)+3;D(2X+3)=4D(X), 故 D 错误. 综上,选 AB
7.已知一次考试共有60名学生参加，考生的成绩X~N(110,52),据此估计，大约应有 57人的分数在区间( A.(90,110]上B.(95,125]上 C.(100,120]上D.(105,115]上 答案：C 解析：X-N(110,52)。 ∴…4=110,0=5. 国为需-095，所以可得大约应有57人的分数在区间u-204+2上，即在区间 (100,120]上 8.设随机变量X~N(4,σ2)，且P(4<X<8)=0.3,则PX<0)= 答案0.2 解析：由题意知，正态密度曲线关于直线x=4对称，又P(4<X<8)=0.3, 因此PX<0)=0.5-0.3=0.2 9某正态密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为云则总体落在区间0,2]上的 概率为 (精确到0.0001) 答案0.4773 x-42 解析：已知正态密度函数是x)= Nez示，r∈R若它是偶函数，则u=0. “)的最大值为宏=盒 .0=1, ∴.P0≤X≤2)=P(-2≤X≤2)=2Pu-2o≤X≤u+2o)-2×0.9545=0.4773. 10.某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，到达时间X(单位：分钟)服从正态分 布N(5,1)第二条路线较长不拥挤，X服从正态分布N(6,0.16).若有一天他出发时距 离签到时间还有7分钟，问他应选哪一条路线？若离签到时间还有6.5分钟，问他 应选哪一条路线？ 解：还有7分钟时：若选第一条路线， 即X~N(5,1),能及时到达的概率 P1=PX≤7)=PX5)+P5≤X≤7)=2+PUu-2o≤X≤u+2o) 若选第二条路线，即X~N(6,0.16),能及时到达的概率 P=PX≤7)=PXK6)+P6≤X≤7)=2+Pu-2.5a≤X≤u+2.5o 因为P1<P2,所以应选第二条路线 同理，还有6.5分钟时，应选第一条路线 11.从某校的一次学科知识竞赛成绩中，随机抽取了50名同学的成绩，统计如下 30 组别 [40 [50 [60, 70 I80, 40) 50) 60) 70) 80) 90 100 频数 10 12 15
7.已知一次考试共有 60 名学生参加,考生的成绩 X~N(110,52 ),据此估计,大约应有 57 人的分数在区间( ) A.(90,110]上 B.(95,125]上 C.(100,120]上 D.(105,115]上 答案:C 解析:∵X~N(110,52 ), ∴μ=110,σ=5. 因为57 60 =0.95,所以可得大约应有 57 人的分数在区间(μ-2σ,μ+2σ]上,即在区间 (100,120]上. 8.设随机变量 X~N(4,σ 2 ),且 P(4<X<8)=0.3,则 P(X<0)= . 答案:0.2 解析:由题意知,正态密度曲线关于直线 x=4 对称,又 P(4<X<8)=0.3, 因此 P(X<0)=0.5-0.3=0.2. 9.某正态密度函数是偶函数,而且该函数的最大值为 1 √2π ,则总体落在区间[0,2]上的 概率为 .(精确到 0.000 1) 答案:0.477 3 解析:已知正态密度函数是 f(x)= 1 𝜎√2π · e - (𝑥-𝜇) 2 2𝜎2 ,x∈R.若它是偶函数,则 μ=0. ∵f(x)的最大值为 f(μ)= 1 𝜎√2π = 1 √2π , ∴σ=1, ∴P(0≤X≤2)= 1 2 P(-2≤X≤2)= 1 2 P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)= 1 2 ×0.954 5=0.477 3. 10.某人骑自行车上班,第一条路线较短但拥挤,到达时间 X(单位:分钟)服从正态分 布 N(5,1);第二条路线较长不拥挤,X 服从正态分布 N(6,0.16).若有一天他出发时距 离签到时间还有 7 分钟,问他应选哪一条路线?若离签到时间还有 6.5 分钟,问他 应选哪一条路线? 解:还有 7 分钟时:若选第一条路线, 即 X~N(5,1),能及时到达的概率 P1=P(X≤7)=P(X<5)+P(5≤X≤7)= 1 2 + 1 2 P(μ-2σ≤X≤μ+2σ). 若选第二条路线,即 X~N(6,0.16),能及时到达的概率 P2=P(X≤7)=P(X<6)+P(6≤X≤7)= 1 2 + 1 2 P(μ-2.5σ≤X≤μ+2.5σ). 因为 P1<P2,所以应选第二条路线. 同理,还有 6.5 分钟时,应选第一条路线. 11.从某校的一次学科知识竞赛成绩中,随机抽取了 50 名同学的成绩,统计如下: 组别 [30, 40) [40, 50) [50, 60) [60, 70) [70, 80) [80, 90) [90, 100] 频数 3 10 12 15 6 2 2
(1)求这50名同学成绩的样本平均数x(同一组中的数据用该组区间的中点值作 代表)： (2)由频数分布表可知，本次学科知识竞赛的成绩Z服从正态分布N(,196),其中4 近似为样本平均数x ①利用该正态分布，求P(Z>74): ②某班级共有20名同学参加此次学科知识竞赛，记X表示这20名同学中成绩超 过74分的人数，利用①的结果，求E) 附：若Z-N(u,σ2)，则P(u-o≤Z≤+o0.6827,P(-2o≤Z≤+2o0.9545. 解：(1)样本平均数x=35×3+45x9+55×+65×5+75×+85×2+95×2=60. 50 50 50 50 50 50 50 (2)①由(1)可知，ZN(60,196), 故PZ74)=1-P60-14≤2≤60+14=0.15865 ②由①知，某名同学参加学科知识竞赛的成绩Z超过74分的概率为0.15865，依 题意可知，X-B(20,0.15865),因此E(X)=20×0.15865=3.173 拓展提高 1.某市高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N(98,100).已知参 加本次考试的全市理科学生约有9450人，如果某学生在这次考试中的数学成绩 是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第( A.1500名 B.1700名 C.4500名 D.8000名 答案：A 解析：因为理科生的数学成绩X服从正态分布N(98,100)。 所以PX≥108)=21-P(88≤X≤108]=1-Pu-o≤X≤μ+o=2×(1-0.68270.158 7 所以0.1587×9450≈1500， 故该学生的数学成绩大约排在全市第1500名」 2.设某地区某一年龄段的儿童的身高服从均值为135cm,方差为100的正态分布， 令‘表示从中随机抽取的一名儿童的身高，则下列概率中最大的是() A.P(120<<130) B.P(125<<135) C.P(130<<140) D.P(135<<145) 答案：C 解析：由题意知(~N(135,100),因此在长度都是10的区间上，概率最大的应该是在 对称轴两侧关于对称轴对称的区间. 故选C 3.已知随机变量X服从正态分布N(0,1),若PX≤-1.96)=0.025，则PX<1.96)等于 ()
(1)求这 50 名同学成绩的样本平均数 x(同一组中的数据用该组区间的中点值作 代表); (2)由频数分布表可知,本次学科知识竞赛的成绩 Z 服从正态分布 N(μ,196),其中 μ 近似为样本平均数 x. ①利用该正态分布,求 P(Z>74); ②某班级共有 20 名同学参加此次学科知识竞赛,记 X 表示这 20 名同学中成绩超 过 74 分的人数,利用①的结果,求 E(X). 附:若 Z~N(μ,σ 2 ),则 P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.954 5. 解:(1)样本平均数 x=35× 3 50 +45× 10 50 +55× 12 50 +65× 15 50 +75× 6 50 +85× 2 50 +95× 2 50 =60. (2)①由(1)可知,Z~N(60,196), 故 P(Z>74)= 1-𝑃(60-14≤𝑍≤60+14) 2 =0.158 65. ②由①知,某名同学参加学科知识竞赛的成绩 Z 超过 74 分的概率为 0.158 65,依 题意可知,X~B(20,0.158 65),因此 E(X)=20×0.158 65=3.173. 拓展提高 1.某市高三质量检测考试中,理科学生的数学成绩服从正态分布 N(98,100).已知参 加本次考试的全市理科学生约有 9 450 人,如果某学生在这次考试中的数学成绩 是 108 分,那么他的数学成绩大约排在全市第( ) A.1 500 名 B.1 700 名 C.4 500 名 D.8 000 名 答案:A 解析:因为理科生的数学成绩 X 服从正态分布 N(98,100), 所以 P(X≥108)= 1 2 [1-P(88≤X≤108)]= 1 2 [1-P(μ-σ≤X≤μ+σ)]= 1 2 ×(1-0.682 7)≈0.158 7, 所以 0.158 7×9 450≈1 500, 故该学生的数学成绩大约排在全市第 1 500 名. 2.设某地区某一年龄段的儿童的身高服从均值为 135 cm,方差为 100 的正态分布, 令 ξ 表示从中随机抽取的一名儿童的身高,则下列概率中最大的是( ) A.P(120<ξ<130) B.P(125<ξ<135) C.P(130<ξ<140) D.P(135<ξ<145) 答案:C 解析:由题意知 ξ~N(135,100),因此在长度都是 10 的区间上,概率最大的应该是在 对称轴两侧关于对称轴对称的区间. 故选 C. 3.已知随机变量 X 服从正态分布 N(0,1),若 P(X≤-1.96)=0.025,则 P(|X|<1.96)等于 ( )
A.0.025 B.0.050 C.0.950 D.0.975 答案：C 解析：由随机变量X服从正态分布N(0,1), 知PX≥1.96)=PX≤-1.96)=0.025. 所以P(0X1<1.96)=P(-1.96<X<1.96)=1-2PX≤-1.96)=1-2×0.025=0.950 4.为了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1000名年龄在17.5岁 至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X单位kg)服从正态分 布N0u,22),且正态密度曲线如图所示若体重大于等于58.5kg小于等于62.5kg 属于正常情况，则这1000名男生中属于正常情况的人数约为 58.560.562.564.5 答案683 解析：依题意可知，u=60.5,0=2 故P(58.5≤X≤62.5)=P(-o≤X≤u+o)=0.6827, 从而属于正常情况的人数为1000×0.6827683. (x-μ 5己知正态分布，)的密度曲线是)左e罗x∈R的图象给出以下四 个命题： ①对任意x∈R,u+x)=-x)成立； ②如果随机变量X服从N(4,G),且Fx)=P(X<x),那么Fx)是R上的增函数； ③如果随机变量X服从N(108,100),那么X的期望是108，标准差是100： ④若随机变量X服从N(u,o2),PX<1)=三PK2)=p,则P(0<X<2)=1-2p. 其中，真命题是 (写出所有真命题的序号) 答案：①②④ 解析：如果随机变量X~N(108,100), 所以1=108,2=100， 即0=10，故③错： u+x42 ava e2 又u+x)=工 1 x2 u) (4-x-42 202 oV2元e2 1 故①正确： 由正态密度函数性质以及概率的计算知②④正确， 故填①②④. 挑战创新
A.0.025 B.0.050 C.0.950 D.0.975 答案:C 解析:由随机变量 X 服从正态分布 N(0,1), 知 P(X≥1.96)=P(X≤-1.96)=0.025. 所以 P(|X|2)=p,则 P(0<X<2)=1-2p. 其中,真命题是 .(写出所有真命题的序号) 答案:①②④ 解析:如果随机变量 X~N(108,100), 所以 μ=108,σ 2=100, 即 σ=10,故③错; 又 f(μ+x)= 1 𝜎√2π e - (𝜇+𝑥-𝜇) 2 2𝜎2 = 1 𝜎√2π e - 𝑥 2 2𝜎2 , f(μ-x)= 1 𝜎√2π e - (𝜇-𝑥-𝜇) 2 2𝜎2 = 1 𝜎√2π e - 𝑥 2 2𝜎2 , 故①正确; 由正态密度函数性质以及概率的计算知②④正确, 故填①②④. 挑战创新
从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量 结果得频率分布直方图如下图所示， 频率/组距1 0.033 0.024 0.022 8888 0.002 0165175185195205215225235 质量指标值 (1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用 该组区间的中点值作代表)： (2)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(4,σ2)， 其中4近似为样本平均数x,σ2近似为样本方差s2 ①利用该正态分布，求P(187.8≤Z≤212.2) ②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值 位于区间[187.8,212.2]上的产品件数，利用①的结果，求E(), (附：V150≈12.2) 解(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差S2分别为 x=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200, s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02 =150. (2)①由(1)知，Z-N200,150), 从而P(187.8≤Z≤212.2)=P(200-12.2≤Z≤200+12.2)=0.6827. ②由①知，一件产品的质量指标值位于区间[187.8,212.2]的概率为0.6827， 依题意知X-B100,0.6827), 所以E)=100×0.6827=68.27
从某企业生产的某种产品中抽取 500 件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量 结果得频率分布直方图如下图所示. (1)求这 500 件产品质量指标值的样本平均数𝑥和样本方差 s 2 (同一组中的数据用 该组区间的中点值作代表); (2)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N(μ,σ 2 ), 其中 μ 近似为样本平均数𝑥,σ 2 近似为样本方差 s 2 . ①利用该正态分布,求 P(187.8≤Z≤212.2); ②某用户从该企业购买了 100 件这种产品,记 X 表示这 100 件产品中质量指标值 位于区间[187.8,212.2]上的产品件数,利用①的结果,求 E(X). (附:√150≈12.2) 解:(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数𝑥和样本方差 s 2 分别为 𝑥=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200, s 2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02 =150. (2)①由(1)知,Z~N(200,150), 从而 P(187.8≤Z≤212.2)=P(200-12.2≤Z≤200+12.2)=0.682 7. ②由①知,一件产品的质量指标值位于区间[187.8,212.2]的概率为 0.682 7, 依题意知 X~B(100,0.682 7), 所以 E(X)=100×0.682 7=68.27