5.2.2 导数的四则运算法则 课后训练提升 基础巩固 1若)二则)的导数) A-2xsinx-(1xcosx sin2x B2xsinx+(1x)cosx sin2x C.2xsinx+(x2) sinx D.2xsinx-(1) sinx 答案A 解析fx)=-ysin-:Msin=2sinx1x2)cosx sinx sin2x 2.若函数x)=exsinx,则此函数图象在点(4.4)处的切线的倾斜角为() A.直角 B.0 C.钝角 D.锐角 答案C 解析：.fx)=e'sinr+e'cosx, ..f(4)=e4(sin 4+cos 4). 0的解集为() A.(0,+o0) B.(-1,0)U(2,+o) C.(2,+o) D.(-1,0) 答案：C 解析：.x)=x2-2x-4lnx ∴fx)=2x-2由fx)>0, 整理得+1x2>0,:x>0,x>2. 故所求解集为(2，+0) 4.曲线x)=x+xlnx在点(1,1)处的切线方程为( A.2x+y1=0 B.2x-y-1=0 C.2x+y+1=0 D.2x-y+1=0 答案B
5.2.2 导数的四则运算法则 课后· 基础巩固 1.若 f(x)= 1-𝑥 2 sin𝑥 ,则 f(x)的导数 f'(x)=( ). A. -2𝑥sin𝑥-(1-𝑥 2 )cos𝑥 sin 2𝑥 B. -2𝑥sin𝑥+(1-𝑥 2 )cos𝑥 sin 2𝑥 C. -2𝑥sin𝑥+(1-𝑥 2 ) sin𝑥 D. -2𝑥sin𝑥-(1-𝑥 2 ) sin𝑥 答案:A 解析:f'(x)= (1-𝑥 2 )'sin𝑥-(1-𝑥 2 )(sin𝑥)' sin 2𝑥 = -2𝑥sin𝑥-(1-𝑥 2 )cos𝑥 sin 2𝑥 . 2.若函数 f(x)=e x sin x,则此函数图象在点(4,f(4))处的切线的倾斜角为( ). A.直角 B.0 C.钝角 D.锐角 答案:C 解析:∵f'(x)=e x sin x+e xcos x, ∴f'(4)=e 4 (sin 4+cos 4). ∵π0 的解集为( ). A.(0,+∞) B.(-1,0)∪(2,+∞) C.(2,+∞) D.(-1,0) 答案:C 解析:∵f(x)=x2 -2x-4ln x, ∴f'(x)=2x-2- 4 𝑥 ,由 f'(x)>0, 整理得(𝑥+1)(𝑥-2) 𝑥 >0,∵x>0,∴x>2. 故所求解集为(2,+∞). 4.曲线 f(x)=x+xln x 在点(1,1)处的切线方程为( ). A.2x+y-1=0 B.2x-y-1=0 C.2x+y+1=0 D.2x-y+1=0 答案:B
解析：.fx)=(+xnx)'=1+xnx+xnx)'=1+lnx+1=2+lnx, f1)=2+ln1=2,∴.曲线x)在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0. 5.若函数x)=xcos x-sinx,则对其导函数的说法正确的是(). A.是奇函数 B.是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D既不是奇函数，又不是偶函数 答案B (x)=(xcos x)'-(sin x)'=cos x-xsin x-cos x=-xsin x. 因为x∈R,f-x)=xsin(-x)=-xsin x=fx),所以fx)是偶函数 6.(多选题)若函数x)的导函数fx)的图象关于y轴对称，则x)的解析式可能为 (). A.fx)=3cos x B.Ax)=x3+x C./x)=x+ D.Ax)=e*+x 答案BC 解析：对于Ax)=3cosx,其导数fx)=-3sinx为奇函数，图象不关于y轴对称，不符 合题意； 对于B,x)=x3+x,其导数fx)=3x2+1为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意， 对于C,x)=x+其导数f心x)=l是为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意 对于Dx)=+x,其导数fx)=er+1不是偶函数，图象不关于y轴对称，不符合题 意.故选BC 7.若曲线y=xnx在点P处的切线平行于直线2xy+1=0,则点P的坐标 是」 答案(e,e) 解析：设P(x0o) .y=xinx,..y=In x+x-=1+In x. ∴.切线斜率为k=l+nxo 又k=2,∴.1+lnxo=2,∴.x0=e o=elne=e.∴，点P的坐标是(e,e) 8.若5)=5，f5)=3,g(5)=4g5)=1,设)=f+则h5)= g(x) 答案 6 解析：hx)=+2g四 [g(x)]2 ÷hA5)P5W+2=452=是 [g(5)]2 42 9.已知函数x)=cos x+-sinx,则织的值为 答案1
解析:∵f'(x)=(x+xln x)'=1+x'ln x+x(ln x)'=1+ln x+1=2+ln x, ∴f'(1)=2+ln 1=2,∴曲线 f(x)在点(1,1)处的切线方程为 y-1=2(x-1),即 2x-y-1=0. 5.若函数 f(x)=xcos x-sin x,则对其导函数的说法正确的是( ). A.是奇函数 B.是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数,又不是偶函数 答案:B 解析:f'(x)=(xcos x)'-(sin x)'=cos x-xsin x-cos x=-xsin x. 因为 x∈R,f'(-x)=xsin(-x)=-xsin x=f'(x),所以 f'(x)是偶函数. 6.(多选题)若函数 f(x)的导函数 f'(x)的图象关于 y 轴对称,则 f(x)的解析式可能为 ( ). A.f(x)=3cos x B.f(x)=x3+x C.f(x)=x+1 𝑥 D.f(x)=e x+x 答案:BC 解析:对于 A,f(x)=3cos x,其导数 f'(x)=-3sin x 为奇函数,图象不关于 y 轴对称,不符 合题意; 对于 B,f(x)=x3+x,其导数 f'(x)=3x 2+1 为偶函数,图象关于 y 轴对称,符合题意; 对于 C,f(x)=x+1 𝑥 ,其导数 f'(x)=1- 1 𝑥 2为偶函数,图象关于 y 轴对称,符合题意; 对于 D,f(x)=e x+x,其导数 f'(x)=e x+1 不是偶函数,图象不关于 y 轴对称,不符合题 意.故选 BC. 7.若曲线 y=xln x 在点 P 处的切线平行于直线 2x-y+1=0,则点 P 的坐标 是 . 答案:(e,e) 解析:设 P(x0,y0). ∵y=xln x,∴y'=ln x+x· 1 𝑥 =1+ln x. ∴切线斜率为 k=1+ln x0. 又 k=2,∴1+ln x0=2,∴x0=e. ∴y0=eln e=e.∴点 P 的坐标是(e,e). 8.若 f(5)=5,f'(5)=3,g(5)=4,g'(5)=1,设 h(x)= 𝑓(𝑥)+2 𝑔(𝑥) ,则 h'(5)= . 答案: 5 16 解析:∵h'(x)= 𝑓'(𝑥)𝑔(𝑥)-[𝑓(𝑥)+2]𝑔'(𝑥) [𝑔(𝑥)] 2 , ∴h'(5)= 𝑓'(5)𝑔(5)-[𝑓(5)+2]𝑔'(5) [𝑔(5)] 2 = 3×4-(5+2)×1 4 2 = 5 16 . 9.已知函数 f(x)=f'( π 4 )cos x+sin x,则 f( π 4 )的值为 . 答案:1
解析：x)=/(inx+cosx 9)份×竖+盟 得f=V2-1 ∴)=(V2.1eosx+sinx∴（母）=l 10.已知曲线y1=2与2=x3x2+2x在x=0处切线的斜率的乘积为3，则 x0= 答案1 解析：由题知12=32-2x+2,所以两曲线在x=知处切线的斜率分别为京3x行 20+2,所以3始2+=3，解得0=1 11.偶函数x)=a4+bx3+cr2+d+e的图象过点P(0,1),且在x=1处的切线方程为 y=x-2,求x)的解析式 解：x)的图象过点P(0,1),∴e=1. x)为偶函数，几-x)=x) ..ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e. ∴.b=0,d=0. ∴x)=ar4+cx2+1. 函数x)的图象在x=1处的切线方程为y=x-2 ∴.切点坐标为(1，-1)..a+c+1=1 .f1)=4a+2c,∴.4a+2c=1. a=3c=2 “函数)的解析式为)=2+1 拓展提高 1设曲线)-出在点(3,2处的切线与直线ax++1=0垂直，则a等于() A.2 B时 c D.-2 案D 解析y=牛-1+2 x-1 ..y=2 心y1== ÷ax()-l,即a=-2 2.在下面的四个图象中，其中一个图象是函数x)=之x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R)的导 函数y=x)的图象，则-1)等于()
解析:∵f'(x)=-f'( π 4 )sin x+cos x, ∴f'( π 4 )=-f'( π 4 ) × √2 2 + √2 2 , 得 f'( π 4 ) = √2-1. ∴f(x)=(√2-1)cos x+sin x,∴f( π 4 )=1. 10.已知曲线 y1=2- 1 𝑥与 y2=x3 -x 2+2x 在 x=x0 处切线的斜率的乘积为 3,则 x0= . 答案:1 解析:由题知 y'1= 1 𝑥 2 ,y'2=3x 2 -2x+2,所以两曲线在 x=x0 处切线的斜率分别为 1 𝑥0 2 ,3𝑥0 2 - 2x0+2,所以3𝑥0 2 -2𝑥0 +2 𝑥0 2 =3,解得 x0=1. 11.偶函数 f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e 的图象过点 P(0,1),且在 x=1 处的切线方程为 y=x-2,求 f(x)的解析式. 解:∵f(x)的图象过点 P(0,1),∴e=1. ∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x). ∴ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4 -bx3+cx2 -dx+e. ∴b=0,d=0. ∴f(x)=ax4+cx2+1. ∵函数 f(x)的图象在 x=1 处的切线方程为 y=x-2, ∴切点坐标为(1,-1).∴a+c+1=-1. ∵f'(1)=4a+2c,∴4a+2c=1. ∴a= 5 2 ,c=- 9 2 . ∴函数 f(x)的解析式为 f(x)= 5 2 x 4 - 9 2 x 2+1. 拓展提高 1.设曲线 y= 𝑥+1 𝑥-1 在点(3,2)处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直,则 a 等于( ). A.2 B. 1 2 C.- 1 2 D.-2 答案:D 解析:∵y= 𝑥+1 𝑥-1 =1+ 2 𝑥-1 , ∴y'=- 2 (𝑥-1) 2 ,∴y'|x=3=- 1 2 . ∴-a×(- 1 2 )=-1,即 a=-2. 2.在下面的四个图象中,其中一个图象是函数 f(x)= 1 3 x 3+ax2+(a 2 -1)x+1(a∈R)的导 函数 y=f'(x)的图象,则 f(-1)等于( )
长利 A号 B c好 D或 答案B 解析：fx)=x2+2ar+(a2-1), ∴.导函数fx)的图象开口向上， 其图象必为③， 由图象特征知f0)=0,且-a>0, ∴.a=-1, -1)=子1+1=号故选B. 3.己知点P在曲线y=4上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围 ex+1 是() A[0,) B店引 c(, D 答案D 解析：因为y=4 ex+1 所以y4e -4e 4 e+1。+2*+=。++2 国为e>0,所以e+≥2，当且仅当x=0时，等号成立， 所以y'∈[-l,0),所以tana∈[-l,0) 又国为a∈0，所以a∈g 4.己知函数x)=xnx,若直线1过点(0，-1)，并且与曲线y=x)相切，则直线1的方程 为 答案x-y-1=0 解析：，点(O,-1)不在曲线x)=xlnx上，则设切，点坐标为(xoo)】 因为fx)=1+lnx, 所以%=oln, lyo +1=(1+In xo)xo, 解得xo=1,J0=0, 所以切点坐标为(1,0) 又f1)=1+n1=1, 所以直线1的方程为y=x-1,即xy-1=0
A. 1 3 B.- 1 3 C. 7 3 D.- 1 3 或 5 3 答案:B 解析:∵f'(x)=x2+2ax+(a 2 -1), ∴导函数 f'(x)的图象开口向上, 其图象必为③. 由图象特征知 f'(0)=0,且-a>0, ∴a=-1, ∴f(-1)=- 1 3 -1+1=- 1 3 .故选 B. 3.已知点 P 在曲线 y= 4 e 𝑥+1 上,α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 α 的取值范围 是( ). A.[0, π 4 ) B.[ π 4 , π 2 ) C.( π 2 , 3π 4 ] D.[ 3π 4 ,π) 答案:D 解析:因为 y= 4 e 𝑥+1 , 所以 y'= -4e 𝑥 (e 𝑥+1) 2 = -4e 𝑥 e 2𝑥+2e 𝑥+1 = -4 e 𝑥+ 1 e 𝑥+2 . 因为 e x>0,所以 e x+ 1 e 𝑥≥2,当且仅当 x=0 时,等号成立, 所以 y'∈[-1,0),所以 tan α∈[-1,0). 又因为 α∈[0,π),所以 α∈[ 3π 4 ,π). 4.已知函数 f(x)=xln x,若直线 l 过点(0,-1),并且与曲线 y=f(x)相切,则直线 l 的方程 为 . 答案:x-y-1=0 解析:点(0,-1)不在曲线 f(x)=xln x 上,则设切点坐标为(x0,y0). 因为 f'(x)=1+ln x, 所以{ 𝑦0 = 𝑥0 ln 𝑥0 , 𝑦0 + 1 = (1 + ln 𝑥0 )𝑥0 , 解得 x0=1,y0=0. 所以切点坐标为(1,0). 又 f'(1)=1+ln 1=1, 所以直线 l 的方程为 y=x-1,即 x-y-1=0
5.已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切，则 a= 答案：8 解析：由y=x+nx得y=1+号 则曲线在，点(1,1)处的切线的斜率为k=yx=1=2, 所以切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1. 将其代入曲线方程y=ax2+(a+2)x+1得ar2+ar+2=0, 所以a≠0且4=a2-8a=0,解得a=8. 6.己知函数x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R) (1)若函数x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为-3，求α，b的值： (2)若曲线y=x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围 解：fx)=3x2+21-ax-a(a+2) 0油题件8=92)=-3 解得b=0,a=-3或a=1. (2),曲线y=x)存在两条垂直于y轴的切线， ∴.关于x的方程fx)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)=0有两个不相等的实数根， ∴.4=4(1-a2+12a(a+2)>0, 即4+4a+1>0,a时号 ∴a的取值范国为(0，)u(经，+∞)】 挑战创新 设函数x)=ar曲线y=x)在点(2,2)处的切线方程为7x-4y-12=0. (1)求x)的解析式， (2)证明曲线y=x)在任意一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形 的面积为定值，并求此定值， 解)由7x4少12=0，得y子3. 当x=2时，y是所以2)=2a9=① 又fx)=a+总，所以f2)=a+=子② 由0@解母6二}故)=x (2)设P(xo,o)为曲线上任意一点，由y=1+三知，曲线在点Px0,o)处的切线方程为 w=(1+是)xm,即(x。2)=(（1+)m 令x=0,得)广名则切线与直线x=0的交点坐标为(0，) 令y=x,得y=x=2x0,则切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0)》
5.已知曲线 y=x+ln x 在点(1,1)处的切线与曲线 y=ax2+(a+2)x+1 相切,则 a= . 答案:8 解析:由 y=x+ln x,得 y'=1+ 1 𝑥 , 则曲线在点(1,1)处的切线的斜率为 k=y'|x=1=2, 所以切线方程为 y-1=2(x-1),即 y=2x-1. 将其代入曲线方程 y=ax2+(a+2)x+1 得 ax2+ax+2=0, 所以 a≠0 且 Δ=a2 -8a=0,解得 a=8. 6.已知函数 f(x)=x3+(1-a)x 2 -a(a+2)x+b(a,b∈R). (1)若函数 f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求 a,b 的值; (2)若曲线 y=f(x)存在两条垂直于 y 轴的切线,求 a 的取值范围. 解:f'(x)=3x 2+2(1-a)x-a(a+2). (1)由题意得{ 𝑓(0) = 𝑏 = 0, 𝑓'(0) = -𝑎(𝑎 + 2) = -3, 解得 b=0,a=-3 或 a=1. (2)∵曲线 y=f(x)存在两条垂直于 y 轴的切线, ∴关于 x 的方程 f'(x)=3x 2+2(1-a)x-a(a+2)=0 有两个不相等的实数根, ∴Δ=4(1-a) 2+12a(a+2)>0, 即 4a 2+4a+1>0,∴a≠- 1 2 . ∴a 的取值范围为(-∞,- 1 2 ) ∪ (- 1 2 , + ∞). 挑战创新 设函数 f(x)=ax- 𝑏 𝑥 ,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 7x-4y-12=0. (1)求 f(x)的解析式; (2)证明曲线 y=f(x)在任意一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形 的面积为定值,并求此定值. 解(1)由 7x-4y-12=0,得 y= 7 4 x-3. 当 x=2 时,y= 1 2 ,所以 f(2)=2a- 𝑏 2 = 1 2 .① 又 f'(x)=a+ 𝑏 𝑥 2 ,所以 f'(2)=a+𝑏 4 = 7 4 .② 由①②解得{ 𝑎 = 1, 𝑏 = 3. 故 f(x)=x- 3 𝑥 . (2)设 P(x0,y0)为曲线上任意一点,由 y'=1+ 3 𝑥 2知,曲线在点 P(x0,y0)处的切线方程为 y-y0=(1 + 3 𝑥0 2 )(x-x0),即 y-(𝑥0 - 3 𝑥0 ) = (1 + 3 𝑥0 2 )(x-x0). 令 x=0,得 y=- 6 𝑥0 ,则切线与直线 x=0 的交点坐标为(0,- 6 𝑥0 ). 令 y=x,得 y=x=2x0,则切线与直线 y=x 的交点坐标为(2x0,2x0)
所以曲线在点P(0w)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为引 2xol-6. 故曲线y=x)在任意一点处的切线与直线x=O,y=所围成的三角形的面积为定 值，此定值为6
所以曲线在点 P(x0,y0)处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形的面积为1 2 |- 6 𝑥0 ||2x0|=6. 故曲线 y=f(x)在任意一点处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形的面积为定 值,此定值为 6