第四章过关检测(A卷) (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 1.已知数列{am}中，a1=1,a2=3,an=an-1+1(n≥3)，则a5等于( a元-2 A.55 B.13 12 C.4 D.5 答案：A 解折a=m+片-3+1=4a:=as位4+号=号as=a4片=号+=器 a 3 2.在等差数列{an}中，若a+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为() A.1 B.2 C.3 D.4 答案B 解析：，a1+a5=2a3=10,∴.a3=5 ∴.公差d=a4-a3=7-5=2 3.在等差数列{an}中，若a3=2,a5=7,则a等于(). A.10 B.20 C.16 D.12 答案D 解析：.{an}是等差数列 ÷公差d-号=1=-2+4*经-12 5-3 4.已知数列{an}中，a1=2,an+1=an+2n,则a10o的值是( A.9900 B.9902 C.9904 D.11000 答案B 解析：a100=(a100-a99)+(a99-a98)+…+(a2- a1)+a1=2×(99+98+…+2+1)+2=2×99x99+1+2=9902, 2 5.设等比数列{an}的前n项和为Sm,若So:S5=1:2,则S15:Ss等于() A.3:4 B.2:3 C.1:2 D.1:3 答案：A 解析：在等比数列{am}中，S5,S0-S5,S15-S10,…成等比数列，因为S10:S5=1:2,所以 S5=2S10,S15=S5,得S15:S5=3:4,故选A. 6.数列1,1 25x8’8x“3m3n+2…的前n项和为 1 B.力 6n+4
第四章过关检测(A 卷) (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.已知数列{an}中,a1=1,a2=3,an=an-1+ 1 𝑎𝑛-2 (n≥3),则 a5 等于( ). A. 55 12 B. 13 3 C.4 D.5 答案:A 解析:a3=a2+ 1 𝑎1 =3+1=4,a4=a3+ 1 𝑎2 =4+ 1 3 = 13 3 ,a5=a4+ 1 𝑎3 = 13 3 + 1 4 = 55 12 . 2.在等差数列{an}中,若 a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为( ). A.1 B.2 C.3 D.4 答案:B 解析:∵a1+a5=2a3=10,∴a3=5, ∴公差 d=a4-a3=7-5=2. 3.在等差数列{an}中,若 a3=2,a5=7,则 a7等于( ). A.10 B.20 C.16 D.12 答案:D 解析:∵{an}是等差数列, ∴公差 d=𝑎5 -𝑎3 5-3 = 5 2 ,∴a7=2+4× 5 2 =12. 4.已知数列{an}中,a1=2,an+1=an+2n,则 a100的值是( ). A.9 900 B.9 902 C.9 904 D.11 000 答案:B 解析:a100=(a100-a99)+(a99-a98)+…+(a2- a1)+a1=2×(99+98+…+2+1)+2=2× 99×(99+1) 2 +2=9 902. 5.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S10∶S5=1∶2,则 S15∶S5等于( ). A.3∶4 B.2∶3 C.1∶2 D.1∶3 答案:A 解析:在等比数列{an}中,S5,S10-S5,S15-S10,…成等比数列,因为 S10∶S5=1∶2,所以 S5=2S10,S15= 3 4 S5,得 S15∶S5=3∶4,故选 A. 6.数列 1 2×5 , 1 5×8 , 1 8×11 ,…, 1 (3𝑛-1)(3𝑛+2) ,…的前 n 项和为( ). A. 𝑛 3𝑛+2 B. 𝑛 6𝑛+4
C.3n D+1 6n+4 n+2 答案B 解析：由数列通项公式 式a=（品-）得前n项和S-+甘 =九 7.在等比数列{an}中，已知前n项和Sn=5m+l+a,则a的值为( A.-1 B.1 C.5 D.-5 答案D 解析：因为Sn=5m+1+a=5x50+a,由等比数列的前n项和S-aLa”=总-品q,可 1- 1-q1-g 知其常数项与g”的系数互为相反数，所以a=-5. 8.(多选题)已知数列{an}的前n项之和、前2n项之和、前3n项之和分别为 a,b,c,则下列说法正确的是()】 A.若{an}是等差数列，则3b-3a=c B.若{an}是等差数列，则a,b-a,c-b也为等差数列 C.若{an}是等比数列，则a2+b2=ab+bc D.若{an}是等比数列，则a,b-a,cb也为等比数列 答案：ABD 解析：根据题意，数列{an}的前n项之和、前2n项之和、前3n项之和分别为 a,b,c,由等差数列的前n项和公式的性质，可得a,b-a,c-b也成等差数列，则有2(b a)=a+c-b,即3b-3a=c,故A,B正确； 由等比数列的前n项和公式的性质，可得a,b-a,c-b也成等比数列，则(b-a)2=a(c-b), 即a2+b2=ab+ac,故C错误，D正确. 故选ABD 9.已知数列{am}是等差数列，其前n项和为Sm,若a1a2a3=15,且3+5+5 则a2等于( A.2 B时 C.3 D.- 3 答案：C 解析：.S1=a1,S3=3a2,Ss=5a3, aaz :a1ma3=l5,∴=是+是+是=号 15 15 5 ∴.a2=3.故选C. 10.己知数列{an}中，a1=1,a+1=,,则这个数列的第n项为( 1+2a A.2n-1 B.2n+1
C. 3𝑛 6𝑛+4 D. 𝑛+1 𝑛+2 答案:B 解析:由数列通项公式 1 (3𝑛-1)(3𝑛+2) = 1 3 ( 1 3𝑛-1 − 1 3𝑛+2 ),得前 n 项和 Sn= 1 3 ( 1 2 − 1 5 + 1 5 − 1 8 + 1 8 − 1 11 + ⋯ + 1 3𝑛−1 − 1 3𝑛+2 )= 1 3 ( 1 2 − 1 3𝑛+2 )= 𝑛 6𝑛+4 . 7.在等比数列{an}中,已知前 n 项和 Sn=5 n+1+a,则 a 的值为( ). A.-1 B.1 C.5 D.-5 答案:D 解析:因为 Sn=5 n+1+a=5×5 n+a,由等比数列的前 n 项和 Sn= 𝑎1 (1-𝑞 𝑛 ) 1-𝑞 = 𝑎1 1-𝑞 − 𝑎1 1-𝑞 ·q n ,可 知其常数项与 q n 的系数互为相反数,所以 a=-5. 8.(多选题)已知数列{an}的前 n 项之和、前 2n 项之和、前 3n 项之和分别为 a,b,c,则下列说法正确的是( ). A.若{an}是等差数列,则 3b-3a=c B.若{an}是等差数列,则 a,b-a,c-b 也为等差数列 C.若{an}是等比数列,则 a 2+b2=ab+bc D.若{an}是等比数列,则 a,b-a,c-b 也为等比数列 答案:ABD 解析:根据题意,数列{an}的前 n 项之和、前 2n 项之和、前 3n 项之和分别为 a,b,c,由等差数列的前 n 项和公式的性质,可得 a,b-a,c-b 也成等差数列,则有 2(ba)=a+c-b,即 3b-3a=c,故 A,B 正确; 由等比数列的前 n 项和公式的性质,可得 a,b-a,c-b 也成等比数列,则(b-a) 2=a(c-b), 即 a 2+b2=ab+ac,故 C 错误,D 正确. 故选 ABD. 9.已知数列{an}是等差数列,其前 n 项和为 Sn,若 a1a2a3=15,且 3 𝑆1 𝑆3 + 15 𝑆3 𝑆5 + 5 𝑆5 𝑆1 = 3 5 , 则 a2 等于( ). A.2 B. 1 2 C.3 D. 1 3 答案:C 解析:∵S1=a1,S3=3a2,S5=5a3, ∴ 1 𝑎1𝑎2 + 1 𝑎2𝑎3 + 1 𝑎1𝑎3 = 3 5 . ∵a1a2a3=15,∴ 3 5 = 𝑎3 15 + 𝑎1 15 + 𝑎2 15 = 𝑎2 5 , ∴a2=3.故选 C. 10.已知数列{an}中,a1=1,an+1= 𝑎𝑛 1+2𝑎𝑛 ,则这个数列的第 n 项为( ). A.2n-1 B.2n+1
D.1 2n+1 答案：C 解析：an+1= an 1=1+2 anti an “侣为等差数列，公差为2，首项为宁山 =1+-l02-=2n-la 2n-1 11.(多选题)在数列{an}中，n∈N,若t2出=k为常数)，则称{an}为等差比数 an+i-an 列”，下列对“等差比数列”的判断正确的为( A.k不可能为0 B.等差数列一定是等差比数列” C等比数列一定是“等差比数列” D.“等差比数列中可以有无数项为0 答案：ACD 解析：对于A,“?不可能为0”正确； 对于B,an=1时，{am}为等差数列，但不是等差比数列； 对于C,若等比数列an=a1q-l,则k=2t2出=gf0,故{an}为等差比数列； anti-an 对于D,数列0,1,0,1,0,1，…，0,1是等差比数列，且有无数项为0，故选ACD 12.一个正整数数表如下（表中下一行数的个数是上一行的2倍），则第8行中的第 5个数是( 第1行 第2行 23 第3行 4567 A.68 B.132 C.133 D.260 答案B 解析：前7行中共有1+2+22+…+26=27-1=127个数，则第8行中的第5个数是 127+5=132 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13.若Sm=1-2+3-4+…+(-1yn-ln,n∈N*,则S50= 答案：-25 解析：S50=1-2+3-4+…+49-50=(-1)×25=-25. 14若数列{an}的前n项和为Sm,a=2,且对任意大于1的整数n,点√Sn,√Sn)在 直线x-y-VZ=0上，则数列{am}的通项公式为 答案：an=4n-2 解析：由题意得√n-√Sc1=V2(n∈N*,n≥2)
C. 1 2𝑛-1 D. 1 2𝑛+1 答案:C 解析:∵an+1= 𝑎𝑛 1+2𝑎𝑛 ,∴ 1 𝑎𝑛+1 = 1 𝑎𝑛 +2, ∴{ 1 𝑎𝑛 }为等差数列,公差为 2,首项为 1 𝑎1 =1, ∴ 1 𝑎𝑛 =1+(n-1)·2=2n-1,∴an= 1 2𝑛-1 . 11.(多选题)在数列{an}中,n∈N* ,若 𝑎𝑛+2 -𝑎𝑛+1 𝑎𝑛+1 -𝑎𝑛 =k(k 为常数),则称{an}为“等差比数 列”,下列对“等差比数列”的判断正确的为( ). A.k 不可能为 0 B.等差数列一定是“等差比数列” C.等比数列一定是“等差比数列” D.“等差比数列”中可以有无数项为 0 答案:ACD 解析:对于 A,“k 不可能为 0”正确; 对于 B,an=1 时,{an}为等差数列,但不是等差比数列; 对于 C,若等比数列 an=a1q n-1 ,则 k=𝑎𝑛+2 -𝑎𝑛+1 𝑎𝑛+1 -𝑎𝑛 =q≠0,故{an}为等差比数列; 对于 D,数列 0,1,0,1,0,1,…,0,1 是等差比数列,且有无数项为 0,故选 ACD. 12.一个正整数数表如下(表中下一行数的个数是上一行的 2 倍),则第 8 行中的第 5 个数是( ). 第 1 行 1 第 2 行 2 3 第 3 行 4 5 6 7 … … A.68 B.132 C.133 D.260 答案:B 解析:前 7 行中共有 1+2+2 2+…+2 6=2 7 -1=127 个数,则第 8 行中的第 5 个数是 127+5=132. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.若 Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n,n∈N* ,则 S50= . 答案:-25 解析:S50=1-2+3-4+…+49-50=(-1)×25=-25. 14.若数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=2,且对任意大于 1 的整数 n,点(√𝑆𝑛 , √𝑆𝑛-1 )在 直线 x-y-√2=0 上,则数列{an}的通项公式为 . 答案:an=4n-2 解析:由题意得√𝑆𝑛 − √𝑆𝑛-1 = √2(n∈N* ,n≥2)
即{VSn}是首项为√S1=V瓜=VZ,公差为V2的等差数列.VSn=V2n,即Sm=2, 则am=Sm-Sm-1=2n2-2(n-1)2=4n-2(n≥2) 当n=1时，a1=2也适合上式.故am=4n-2. 15.已知数列{am}的通项公式am=ncos其前n项和为Sm,则S2o20= 答案：1010 解析a1=c0s92=0,a=2c0s元=-2，a3=0,a4=4,… 故数列{am}的所有奇数项为0，前2020项的所有偶数项（共1010项）依次为-2,4， 6,8,… 故S2020=0+(-2+4)+(-6+8)+…+(-2018+2020)=1010. 16.己知数列{an}满足an+1=3an+2,且a1=1,则am= 答案2×3m-l-1 解析：设an+1+A=3(an+A),化简得am+1=3an+2A 因为an+1=3am+2,所以2A=2,即A=1, 即am+1+1=3(an+1),2t-3, an+1 故数列{an+1}是等比数列，首项为a1+1=2,公比为3，则an+1=2×3ml,即an=2×3l 1. 三、解答题本大题共6小题，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤，共70分 17.(I0分)已知函数广辛数列{x}的通项公式由n-n≥2，且x∈N确 定 (①)求证}是等差数列： (2)当x1=时，求2021. (①)证明：xw=fx-1)=3n≥2，且n∈N, xn-1+3 3xt-1 Xn-1 小法-六=≥2，且neN “}是公差为的等差数列 2解0加2=+0-1-2+号=警5即=2215=2g5故0210 xn x1 31 X2021 3 18.(12分)已知等差数列{an}满足a3=7,a5+a7=26,数列{an}的前n项和为Sm (1)求数列{an}的通项公式及Sm; 2冷b加点求数列b的前n项和7m 解(I)设等差数列{an}的公差为d, 因为a=7,a5+a=26,所以{g+2d7, 2a1+10d=26
即{√𝑆𝑛 }是首项为√𝑆1 = √𝑎1 = √2,公差为√2的等差数列.√𝑆𝑛 = √2n,即 Sn=2n 2 , 则 an=Sn-Sn-1=2n 2 -2(n-1)2=4n-2(n≥2). 当 n=1 时,a1=2 也适合上式.故 an=4n-2. 15.已知数列{an}的通项公式 an=ncos 𝑛π 2 ,其前 n 项和为 Sn,则 S2 020= . 答案:1 010 解析:a1=cos π 2 =0,a2=2cos π=-2,a3=0,a4=4,…. 故数列{an}的所有奇数项为 0,前 2 020 项的所有偶数项(共 1 010 项)依次为-2,4,- 6,8,…, 故 S2 020=0+(-2+4)+(-6+8)+…+(-2 018+2 020)=1 010. 16.已知数列{an}满足 an+1=3an+2,且 a1=1,则 an= . 答案:2×3 n-1 -1 解析:设 an+1+A=3(an+A),化简得 an+1=3an+2A. 因为 an+1=3an+2,所以 2A=2,即 A=1, 即 an+1+1=3(an+1),𝑎𝑛+1+1 𝑎𝑛+1 =3, 故数列{an+1}是等比数列,首项为 a1+1=2,公比为 3,则 an+1=2×3 n-1 ,即 an=2×3 n-1 - 1. 三、解答题:本大题共 6 小题,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤,共 70 分. 17.(10 分)已知函数 f(x)= 3𝑥 𝑥+3 ,数列{xn}的通项公式由 xn=f(xn-1)(n≥2,且 x∈N* )确 定. (1)求证:{ 1 𝑥𝑛 }是等差数列; (2)当 x1= 1 2时,求 x2 021. (1)证明:∵xn=f(xn-1)= 3𝑥𝑛-1 𝑥𝑛-1 +3 (n≥2,且 n∈N* ), ∴ 1 𝑥𝑛 = 𝑥𝑛-1 +3 3𝑥𝑛-1 = 1 3 + 1 𝑥𝑛-1 , ∴ 1 𝑥𝑛 − 1 𝑥𝑛-1 = 1 3 (n≥2,且 n∈N* ), ∴{ 1 𝑥𝑛 }是公差为1 3的等差数列. (2)解:由(1)知 1 𝑥𝑛 = 1 𝑥1 +(n-1)× 1 3 =2+ 𝑛-1 3 = 𝑛+5 3 ,即 1 𝑥2 021 = 2 021 +5 3 = 2 026 3 .故 x2 021= 3 2 026 . 18.(12 分)已知等差数列{an}满足 a3=7,a5+a7=26,数列{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求数列{an}的通项公式及 Sn; (2)令 bn= 1 𝑎𝑛 2 -1 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 解:(1)设等差数列{an}的公差为 d, 因为 a3=7,a5+a7=26,所以{ 𝑎1 + 2𝑑 = 7, 2𝑎1 + 10𝑑 = 26
解得仔2 即an=3+2(n-l)=2n+1, Sm=3n+x2=+2n. 2 故an=2n+1,Sm=n2+2n. (2)由(1)知am=2n+1, 1 4 故(-+…+片)×(1)= 即数列}的前n项和Tn 19.(12分)已知数列{an}满足a1=1,a2=4,an+2=4an+1-3an. (1)求a3,a4的值； (2)证明：数列{am+1-an}是等比数列； (3)求数列{an}的通项公式. (1)解：a3=4a2-3a1=13,a4=4a3-3a2=40 (2)证明：.an+2=4an+1-3an, .an+2-an+1=3(am+1-an） 又a1=l,a=4,an+1-am0.2at2an±=3 an+ran .{an+1-an}是以a2-a1=3为首项，3为公比的等比数列. (3)解：由(2)得an+1-an=3" 当n≥2时，an-an-1=3m-l ∴an=(a-anal）+(am-1an2）+…+(a-an）+a=3ml+32+…+3+1=g= 1.3 2 a1=l符合上式∴a- 2 20.(12分)在△ABC中，若lg sin A,lg sin B,lg sin C成等差数列，且三个内角A,B,C 也成等差数列，试判断此三角形的形状 解：A,B,C成等差数列，2B=A+C A+B+C=元，∴3B=元即B=FA+C=子 'lg sin A,lg sin B,g sin C成等差数列， .'.2lg sin B=lg sin A+lg sin C, 即sin2B=sin Asin C. sin sin Asin C-sin cos(A+C)=cos Acos C-sin Asin C,cos(A-C)=cos Acos C+sin Asin C, ..sin Asin C=cos(4+C)-cos(4-C)]. ∴cos号-cos(A-C]= +20s(4-C=∴cos4-C)=l
解得{ 𝑎1 = 3, 𝑑 = 2. 即 an=3+2(n-1)=2n+1, Sn=3n+𝑛(𝑛-1) 2 ×2=n2+2n. 故 an=2n+1,Sn=n2+2n. (2)由(1)知 an=2n+1, 则 bn= 1 𝑎𝑛 2 -1 = 1 (2𝑛+1) 2 -1 = 1 4 × 1 𝑛(𝑛+1) = 1 4 × ( 1 𝑛 - 1 𝑛+1 ), 故 Tn= 1 4 ×(1 − 1 2 + 1 2 − 1 3 + ⋯ + 1 𝑛 − 1 𝑛+1 )= 1 4 × (1- 1 𝑛+1 ) = 𝑛 4(𝑛+1) , 即数列{bn}的前 n 项和 Tn= 𝑛 4(𝑛+1) . 19.(12 分)已知数列{an}满足 a1=1,a2=4,an+2=4an+1-3an. (1)求 a3,a4 的值; (2)证明:数列{an+1-an}是等比数列; (3)求数列{an}的通项公式. (1)解:a3=4a2-3a1=13,a4=4a3-3a2=40. (2)证明:∵an+2=4an+1-3an, ∴an+2-an+1=3(an+1-an). 又 a1=1,a2=4,an+1-an≠0,∴ 𝑎𝑛+2 -𝑎𝑛+1 𝑎𝑛+1 -𝑎𝑛 =3, ∴{an+1-an}是以 a2-a1=3 为首项,3 为公比的等比数列. (3)解:由(2)得 an+1-an=3 n , ∵当 n≥2 时,an-an-1=3 n-1 , ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=3 n-1+3 n-2+…+3+1= 1-3 𝑛 1-3 = 3 𝑛 -1 2 . ∵a1=1 符合上式,∴an= 3 𝑛 -1 2 . 20.(12 分)在△ABC 中,若 lg sin A,lg sin B,lg sin C 成等差数列,且三个内角 A,B,C 也成等差数列,试判断此三角形的形状. 解:∵A,B,C 成等差数列,∴2B=A+C. ∵A+B+C=π,∴3B=π,即 B=π 3 ,A+C=2 3 π. ∵lg sin A,lg sin B,lg sin C 成等差数列, ∴2lg sin B=lg sin A+lg sin C, 即 sin2B=sin Asin C. ∵B=π 3 ,∴sin B=√3 2 ,∴sin Asin C=sin2B=3 4 . 又 cos(A+C)=cos Acos C-sin Asin C,cos(A-C)=cos Acos C+sin Asin C, ∴sin Asin C=- 1 2 [cos(A+C)-cos(A-C)], ∴- 1 2 [cos 2π 3 -cos(𝐴-𝐶)] = 3 4 , ∴ 1 4 + 1 2 cos(A-C)= 3 4 ,∴cos(A-C)=1
:4C∈（号）4C-0,即4-C-号 A=B=C,∴.△ABC是等边三角形 21.(12分)已知等比数列{an}的前n项和为Sm,a1=1,an1,由于a1=1,则a2=q,a3=q, 因为S3=2S2+1,所以a1+a2+a3=2(a1+a2)+1, 即1+q+g2=2(1+q)+1,即q2-q-2=0, 解得q=2或q=-1(舍去)， 故数列{an}的通项公式为an=2m-l (2)由(1)知，bn=(2n-1)an=(2n-1)2m-l, 则Tm=1×20+3×21+5×22+…+(2n-1)×2m-1,① 2Tn=1×21+3×22+5×23+…+(2n-3)×2m-l+(2n-1)×2",② 由①-②，得-Tm=1+2×21+2×22+…+2×2m-l-(2n-1)×2m, 即-n=-1+24-2"2n-1)x×2n 1-2 化简得Tm=(2n-3)×2m+3. 22.(12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sm,且S10=55,S2o=210, (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn=a,是否存在m,kk>m≥2，m,k∈N使得b1,bm,bs成等比数列？若存在，求 anti 出m,k的值；若不存在，请说明理由 解：()设等差数列{a}的公差为d则Sm=na1+巡巴d 10a1+10x9d=55, 由已知，得 2 20a1+20x19d=210, 2 6a+9821解s侣 故an=a1+(n-l)d=n (2)假设存在m,kk>m≥2，m,k∈N使得b1,bm,bk成等比数列，则b品=b1b 因为bn=n=n an+i n+1 所以b1-受bm= k k+1 所以() =xk 2k+1 整理，得k=m2+2m+7 2m2 因为k>0,所以-m2+2m+1>0, 解得1-√2<m<1+V2
∵A-C∈(− 2π 3 , 2π 3 ),∴A-C=0,即 A=C=π 3 , ∴A=B=C,∴△ABC 是等边三角形. 21.(12 分)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,an1,由于 a1=1,则 a2=q,a3=q2 . 因为 S3=2S2+1,所以 a1+a2+a3=2(a1+a2)+1, 即 1+q+q2=2(1+q)+1,即 q 2 -q-2=0, 解得 q=2 或 q=-1(舍去), 故数列{an}的通项公式为 an=2 n-1 . (2)由(1)知,bn=(2n-1)an=(2n-1)·2 n-1 , 则 Tn=1×2 0+3×2 1+5×2 2+…+(2n-1)×2 n-1 ,① 2Tn=1×2 1+3×2 2+5×2 3+…+(2n-3)×2 n-1+(2n-1)×2 n ,② 由①-②,得-Tn=1+2×2 1+2×2 2+…+2×2 n-1 -(2n-1)×2 n , 即-Tn=-1+ 2(1-2 𝑛 ) 1-2 -(2n-1)×2 n , 化简得 Tn=(2n-3)×2 n+3. 22.(12 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S10=55,S20=210. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn= 𝑎𝑛 𝑎𝑛+1 ,是否存在 m,k(k>m≥2,m,k∈N* )使得 b1,bm,bk 成等比数列?若存在,求 出 m,k 的值;若不存在,请说明理由. 解:(1)设等差数列{an}的公差为 d,则 Sn=na1+ 𝑛(𝑛-1) 2 d. 由已知,得{ 10𝑎1 + 10×9 2 𝑑 = 55, 20𝑎1 + 20×19 2 𝑑 = 210, 即{ 2𝑎1 + 9𝑑 = 11, 2𝑎1 + 19𝑑 = 21, 解得{ 𝑎1 = 1, 𝑑 = 1. 故 an=a1+(n-1)d=n. (2)假设存在 m,k(k>m≥2,m,k∈N* )使得 b1,bm,bk 成等比数列,则𝑏𝑚 2 =b1bk. 因为 bn= 𝑎𝑛 𝑎𝑛+1 = 𝑛 𝑛+1 , 所以 b1= 1 2 ,bm= 𝑚 𝑚+1 ,bk= 𝑘 𝑘+1 , 所以( 𝑚 𝑚+1 ) 2 = 1 2 × 𝑘 𝑘+1 . 整理,得 k= 2𝑚2 -𝑚2+2𝑚+1 . 因为 k>0,所以-m2+2m+1>0, 解得 1-√2<m<1+√2
因为m≥2，m∈N,所以m=2,此时k=8. 故存在m=2,k=8使得b1,bm,bk成等比数列
因为 m≥2,m∈N* ,所以 m=2,此时 k=8. 故存在 m=2,k=8 使得 b1,bm,bk 成等比数列