4.3等比数列 4.3.1等比数列的概念 第1课时 等比数列的概念及通项公式 课后训练提升 基础巩固 1.在等比数列{an}中，若a2021=8a2020,则公比g的值为() A.2 B.3 c.4 D.8 答案D 解析：由等比数列的定义，知q=20吐=8， a2020 2.在等比数列{an}中，若1a1=1,a5=-8a2,a5>a2,则数列{an}的通项公式为) A.an=(-2y-I B.an=-(-2- C.an=(-2y D.an=-(-2 答案：A 解析：设等比数列{an}的公比为q,由a5=-8am,知三=-8=q,得q=-2, a2 因为a5>a2,所以a5>0,a20,所以a1=l,故an=(2y- 3.在等比数列{an}中，am>0,且a1+a2=1,a3+a4=9,则a4+a5的值为() A.16 B.27 C.36 D.81 答案B 解析：设等比数列{an}的公比为q,由题意a1+a2=1,a3+a4=9,解得q=9 故q=3或q=-3(舍去)， 所以a4+a5=(a3+a4)q=27 4.已知a,b,c∈R,如果-1，a,b,c,-9成等比数列，那么() A.b=3,ac=9B.b=-3,ac=9 C.b=3,ac=-9D.b=-3,ac=-9 答案B 解析：根据题意，得b2=(-1)×(-9)=9,且b与首项-1同号，即b=-3,且α，c必同号. 故ac=b2=9 5.在等比数列{an}中，a1=1,公比g≠1.若am=a1a2a3a4a5,则m等于() A.9 B.10 C.11 D.12 答案：C
4.3 等比数列 4.3.1 等比数列的概念 第 1 课时 等比数列的概念及通项公式 课后· 基础巩固 1.在等比数列{an}中,若 a2 021=8a2 020,则公比 q 的值为( ). A.2 B.3 C.4 D.8 答案:D 解析:由等比数列的定义,知 q= 𝑎2 021 𝑎2 020 =8. 2.在等比数列{an}中,若|a1|=1,a5=-8a2,a5>a2,则数列{an}的通项公式为( ). A.an=(-2)n-1 B.an=-(-2)n-1 C.an=(-2)n D.an=-(-2)n 答案:A 解析:设等比数列{an}的公比为 q,由 a5=-8a2,知 𝑎5 𝑎2 =-8=q3 ,得 q=-2, 因为 a5>a2,所以 a5>0,a20,所以 a1=1,故 an=(-2)n-1 . 3.在等比数列{an}中,an>0,且 a1+a2=1,a3+a4=9,则 a4+a5的值为( ). A.16 B.27 C.36 D.81 答案:B 解析:设等比数列{an}的公比为 q,由题意 a1+a2=1,a3+a4=9,解得 q 2=9. 故 q=3 或 q=-3(舍去), 所以 a4+a5=(a3+a4)q=27. 4.已知 a,b,c∈R,如果-1,a,b,c,-9 成等比数列,那么( ). A.b=3,ac=9 B.b=-3,ac=9 C.b=3,ac=-9 D.b=-3,ac=-9 答案:B 解析:根据题意,得 b 2=(-1)×(-9)=9,且 b 与首项-1 同号,即 b=-3,且 a,c 必同号. 故 ac=b2=9. 5.在等比数列{an}中,a1=1,公比|q|≠1.若 am=a1a2a3a4a5,则 m 等于( ). A.9 B.10 C.11 D.12 答案:C
解析：在等比数列{an}中，，a1=l,∴.am=a1a2a3a4a5=aq10=ql0 am=aqm-1=qm-l,∴.m-1=10,∴.m=11 6.已知a,b,c,d成等比数列，且曲线y=x2-2x+3的顶点坐标是(b,c),则ad等于() A.3 B.2 C.1 D.-2 答案B 解析：y=(x-1)2+2,∴.b=1,c=2 又a,b,c,d成等比数列，∴.ad=bc=2 7.己知等差数列{an}的公差d不为0，a1=9d,若ak是a1与2k的等比中项，则k等于 () A.2 B.4 C.6 D.8 答案B 解析：根据题意，得an=(n+8)d,且a=a1a2k 即[k+8)d=9d(2k+8)d, 解得k=-2(舍去)或k=4 8.己知等差数列{an}的公差d0,a1=20,且a3,a7,ag成等比数列，则d= 答案：-2 解析：由于a3,a7,a9成等比数列，则a3ag=a弓， 即(a1+2d0(a1+8d0=(a1+6d2 化简得2a1d+20dP=0, 由a1=20,d0,得d=-2 9.已知等比数列{an}中，a1=2,且a4a6=4a子，则a3= 答案：1 解析：设等比数列{an}的公比为q,由等比数列的性质并结合已知条件，得 a3=4a 解得q4=92=2故a3=a1g2=2×3=1, 10.在数列{an}中，若am>0,且an+1=2an+3.证明：数列{am+3}是等比数列. 证明（方法一：定义法） .an>0,∴.an+3>0 又am+1=2an+3, ntt3=20n+3+3=20n+3=2 an+3 an+3 an+3 .数列{am+3}是首项为a1+3,公比为2的等比数列. (方法二：等比中项法) .am>0,∴.am+3>0 又an+1=2am+3,∴.an+2=4an+9
解析:在等比数列{an}中,∵a1=1,∴am=a1a2a3a4a5=𝑎1 5 q 10=q10 . ∵am=a1q m-1=qm-1 ,∴m-1=10,∴m=11. 6.已知 a,b,c,d 成等比数列,且曲线 y=x2 -2x+3 的顶点坐标是(b,c),则 ad 等于( ). A.3 B.2 C.1 D.-2 答案:B 解析:∵y=(x-1)2+2,∴b=1,c=2. 又 a,b,c,d 成等比数列,∴ad=bc=2. 7.已知等差数列{an}的公差 d 不为 0,a1=9d,若 ak 是 a1与 a2k的等比中项,则 k 等于 ( ). A.2 B.4 C.6 D.8 答案:B 解析:根据题意,得 an=(n+8)d,且𝑎𝑘 2=a1·a2k, 即[(k+8)d] 2=9d·(2k+8)d, 解得 k=-2(舍去)或 k=4. 8.已知等差数列{an}的公差 d≠0,a1=20,且 a3,a7,a9成等比数列,则 d= . 答案:-2 解析:由于 a3,a7,a9 成等比数列,则 a3a9=𝑎7 2 , 即(a1+2d)(a1+8d)=(a1+6d) 2 , 化简得 2a1d+20d 2=0, 由 a1=20,d≠0,得 d=-2. 9.已知等比数列{an}中,a1=2,且 a4a6=4𝑎7 2 ,则 a3= . 答案:1 解析:设等比数列{an}的公比为 q,由等比数列的性质并结合已知条件,得 𝑎5 2=4·𝑎5 2 q 4 . 解得 q 4= 1 4 ,q 2= 1 2 ,故 a3=a1q 2=2× 1 2 =1. 10.在数列{an}中,若 an>0,且 an+1=2an+3.证明:数列{an+3}是等比数列. 证明:(方法一:定义法) ∵an>0,∴an+3>0. 又 an+1=2an+3, ∴ 𝑎𝑛+1+3 𝑎𝑛+3 = 2𝑎𝑛+3+3 𝑎𝑛+3 = 2(𝑎𝑛+3) 𝑎𝑛+3 =2. ∴数列{an+3}是首项为 a1+3,公比为 2 的等比数列. (方法二:等比中项法) ∵an>0,∴an+3>0. 又 an+1=2an+3,∴an+2=4an+9
.(an+2+3)(an+3)=(4an+12)(an+3)=(2an+6)2=(an+1+3)}2,即an+3,an+1+3,an+2+3成 等比数列，∴.数列{an+3}是等比数列. 11.己知数列{an},{bn}满足a1=0,am=1,an+2=+,bn=an+1-an 2 (I)求证：{bm}是等比数列； (2)求数列{bm}的通项公式 (1)证明：根据题意，得b1=a2-a1=1, 且bn=an+1-am≠0. .2an+2=an+an+l; ∴n出=nt2~an出= 2 bn an+i-an anti-an {bm}是公比为二的等比数列. 2 2)解：由(1)知公比q=之 故ba=1×()=() 拓展提高 1.在等比数列{an}中，若am+a3=10,a4+a6=则数列{an}的通项公式为() A.an=24-n B.an=2n-4 C.an=2n-3 D.an=23-n 答案：A 解析说字比教列的公比为g则号兰9-言-后科g a1+a3 因为a1+a3=a1+a1g2=10, 所以a=8故a=8×目”-2 2.如图所示，在“三角形数阵”中，每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等 比数列，而且每一行的公比都相等，设第i行第j列的数为aij∈N,则a53的值为 (). 1-4 11 24 333 4'8'16 A若 c培 D 答案C 解析：国为第一列构成首项为号公差为的等差数列，所以51子+(5-1)×=
∴(an+2+3)(an+3)=(4an+12)(an+3)=(2an+6)2=(an+1+3)2 ,即 an+3,an+1+3,an+2+3 成 等比数列,∴数列{an+3}是等比数列. 11.已知数列{an},{bn}满足 a1=0,a2=1,an+2= 𝑎𝑛+𝑎𝑛+1 2 ,bn=an+1-an. (1)求证:{bn}是等比数列; (2)求数列{bn}的通项公式. (1)证明:根据题意,得 b1=a2-a1=1, 且 bn=an+1-an≠0. ∵2an+2=an+an+1, ∴ 𝑏𝑛+1 𝑏𝑛 = 𝑎𝑛+2 -𝑎𝑛+1 𝑎𝑛+1 -𝑎𝑛 = 𝑎𝑛+𝑎𝑛+1 2 -𝑎𝑛+1 𝑎𝑛+1 -𝑎𝑛 =- 1 2 , ∴{bn}是公比为- 1 2的等比数列. (2)解:由(1)知公比 q=- 1 2 , 故 bn=1×(- 1 2 ) 𝑛-1 = (- 1 2 ) 𝑛-1 . 拓展提高 1.在等比数列{an}中,若 a1+a3=10,a4+a6= 5 4 ,则数列{an}的通项公式为( ). A.an=2 4-n B.an=2 n-4 C.an=2 n-3 D.an=2 3-n 答案:A 解析:设等比数列{an}的公比为 q,则 𝑎4+𝑎6 𝑎1+𝑎3 =q3= 5 4 10 = 1 8 ,得 q= 1 2 . 因为 a1+a3=a1+a1q 2=10, 所以 a1=8,故 an=8×( 1 2 ) 𝑛-1 =2 4-n . 2.如图所示,在“三角形数阵”中,每一列数成等差数列,从第三行起,每一行数成等 比数列,而且每一行的公比都相等,设第 i 行第 j 列的数为 aij(i,j∈N* ),则 a53 的值为 ( ). 1 4 1 2 , 1 4 3 4 , 3 8 , 3 16 …… A. 1 16 B. 1 8 C. 5 16 D. 5 4 答案:C 解析:因为第一列构成首项为1 4 ,公差为1 4 的等差数列,所以 a51= 1 4 +(5-1)× 1 4 = 5 4
又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等， 所以第5行构成首项为公比为的等比数列，故53=×()=点 3.(多选题)已知数列{am}是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是()， A B.log2a C.{an+an+1 D.an+an+1+an+2} 答案：AD 解析：由数列{an}是等比数列，设公比为q. 在A中变==后侣定是将比载列，故A正骑 在B中，假设an=2",则log2a?=log222m=2n,不是等比数列，故B错误； 在C中，an+an+1=an(1+q),当q=-l时，{an+an+l}不是等比数列，故C错误； 在D中，an+an+1+an+2=an1+q+q2),{an+am+1+am+2}是等比数列，故D正确. 4.设等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2an的最大值 为 答案64 解析：设等比数列{am}的公比为q,由a1+a3=10,am+a4=5,得a1=8,q=三则 a2=4,a3=2,a4=l,a5=2故a1a2…an≤a1a2a3a4=64. 5.若k,2k+2,3k+3是等比数列的前三项，则第四项为 答案号 解析：因为k,2k+2,3k+3成等比数列，所以k(3k+3)=(2k+2?,解得k=-4或k=-1(舍 去，所以公比9=导=是即该等比数列的前三项依次为4,6,9， 所以第四项为9×号 6.若数列{an}的前n项和为Sm,且an=2Sm-3,则数列{an}的通项公式 是 答案an=3(-1y- 解析：令n=1,得a1=2a-3,解得a1=3, 由an=2Sm-3,得am-1=2Sm-3(n≥2)，两式相减得an-am-1=2ann≥2)， 即aa.m≥2%则a40兰-l0n≥2) 故{am}是公比为-l的等比数列， 即an=3×(-1y-l 7.已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，且Sn+1=gSn+1,其中g>0.若 2a2,a3,a2+2成等差数列，求数列{an}的通项公式 解：由Sn+1=qSn+1①，可知当n≥2时，Sn=qSm-1+1②，由①-②，可得a+1=qan 当n=1时，S2=qS+1, 即a1+a2=ga1+1,解得a2=q0
又因为从第三行起每一行数成等比数列,而且每一行的公比都相等, 所以第 5 行构成首项为5 4 ,公比为1 2的等比数列,故 a53= 5 4 × ( 1 2 ) 2 = 5 16 . 3.(多选题)已知数列{an}是等比数列,则下列数列一定是等比数列的是( ). A.{ 1 𝑎𝑛 } B.log2𝑎𝑛 2 C.{an+an+1} D.{an+an+1+an+2} 答案:AD 解析:由数列{an}是等比数列,设公比为 q. 在 A 中, 1 𝑎𝑛+1 1 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛 𝑎𝑛+1 = 1 𝑞 , { 1 𝑎𝑛 }一定是等比数列,故 A 正确; 在 B 中,假设 an=2 n ,则 log2𝑎𝑛 2=log22 2n=2n,不是等比数列,故 B 错误; 在 C 中,an+an+1=an(1+q),当 q=-1 时,{an+an+1}不是等比数列,故 C 错误; 在 D 中,an+an+1+an+2=an(1+q+q2 ),{an+an+1+an+2}是等比数列,故 D 正确. 4.设等比数列{an}满足 a1+a3=10,a2+a4=5,则 a1a2·…·an 的最大值 为 . 答案:64 解析:设等比数列{an}的公比为 q,由 a1+a3=10,a2+a4=5,得 a1=8,q= 1 2 ,则 a2=4,a3=2,a4=1,a5= 1 2 ,故 a1a2·…·an≤a1a2a3a4=64. 5.若 k,2k+2,3k+3 是等比数列的前三项,则第四项为 . 答案:- 27 2 解析:因为 k,2k+2,3k+3 成等比数列,所以 k(3k+3)=(2k+2)2 ,解得 k=-4 或 k=-1(舍 去),所以公比 q= -6 -4 = 3 2 ,即该等比数列的前三项依次为-4,-6,-9, 所以第四项为-9× 3 2 =- 27 2 . 6.若数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 an=2Sn-3,则数列{an}的通项公式 是 . 答案:an=3·(-1)n-1 解析:令 n=1,得 a1=2a1-3,解得 a1=3. 由 an=2Sn-3,得 an-1=2Sn-1-3(n≥2),两式相减得 an-an-1=2an(n≥2), 即 an=-an-1(n≥2),则 an≠0, 𝑎𝑛 𝑎𝑛-1 =-1(n≥2). 故{an}是公比为-1 的等比数列, 即 an=3×(-1)n-1 . 7.已知数列{an}的首项为 1,Sn 为数列{an}的前 n 项和,且 Sn+1=qSn+1,其中 q>0.若 2a2,a3,a2+2 成等差数列,求数列{an}的通项公式. 解:由 Sn+1=qSn+1①,可知当 n≥2 时,Sn=qSn-1+1②,由①-②,可得 an+1=qan, 当 n=1 时,S2=qS1+1, 即 a1+a2=qa1+1,解得 a2=q≠0
则anf0,+=qn≥2)， an 因为2=q,所以{an}是公比为q的等比数列. a 根据2a2,a3,a2+2成等差数列， 由等差数列的性质，可得2a2+an+2=2a3, 即24-3q-2=0,解得g-=2或9=2 由q>0可知，9=2，故an=2m-1 挑战创新 设数列{an}的首项a=a时且anl 作an为偶数 an+n为奇数 设bm=a2m12n=1,23, (1)求a2,a3; (2)判断数列{b}是否为等比数列，并证明你的结论 解(1)根据题意，可知m=a1+片a+片a=之之a+片 1 2)国为a=as+片=知+号 1 3 所以a5=204-40+16 1 2 所以b1=a12=a2 4 加=as=(a》 b=as子=(a》 猜想：数列{b}是公比为二的等比数列. 证明如下： 因为b1=@…1片=3知=(a21+）片=(a24》=动 且b1=a子a0,bm0,所以22=月 bn 故数列{bm}是首项为a子公比为的等比数列
则 an≠0,𝑎𝑛+1 𝑎𝑛 =q(n≥2). 因为𝑎2 𝑎1 =q,所以{an}是公比为 q 的等比数列. 根据 2a2,a3,a2+2 成等差数列, 由等差数列的性质,可得 2a2+a2+2=2a3, 即 2q 2 -3q-2=0,解得 q=2 或 q=- 1 2 , 由 q>0 可知,q=2,故 an=2 n-1 . 挑战创新 设数列{an}的首项 a1=a≠ 1 4 ,且 an+1={ 1 2 𝑎𝑛 ,𝑛为偶数, 𝑎𝑛 + 1 4 ,𝑛为奇数. 设 bn=a2n-1- 1 4 ,n=1,2,3,…. (1)求 a2,a3; (2)判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论. 解:(1)根据题意,可知 a2=a1+ 1 4 =a+1 4 ,a3= 1 2 a2= 1 2 a+1 8 . (2)因为 a4=a3+ 1 4 = 1 2 a+3 8 , 所以 a5= 1 2 a4= 1 4 a+ 3 16 , 所以 b1=a1- 1 4 =a- 1 4 , b2=a3- 1 4 = 1 2 (𝑎- 1 4 ), b3=a5- 1 4 = 1 4 (𝑎- 1 4 ). 猜想:数列{bn}是公比为1 2 的等比数列. 证明如下: 因为 bn+1=a2n+1- 1 4 = 1 2 a2n- 1 4 = 1 2 (𝑎2𝑛-1 + 1 4 )- 1 4 = 1 2 (𝑎2𝑛-1 - 1 4 ) = 1 2 bn, 且 b1=a1- 1 4 =a- 1 4 ≠0,bn≠0,所以𝑏𝑛+1 𝑏𝑛 = 1 2 , 故数列{bn}是首项为 a- 1 4 ,公比为1 2的等比数列