5.2导数的运算 5.2.1 基本初等函数的导数 课后训练提升 基础巩固 1.下列说法正确的是( A.若y=cosx,则y'=sinx B.若y=sinx,则y'=-cosx C.若y则y- D若y=√元，则y=区 答案：C 2.若曲线x)=在某点处的切线的倾斜角为”，则该点的坐标为( A.(1,1) B.(-1,-1) C.(-1,1) D.(1,1)或(-1，-1) 答案D 解析：由已知得切线的斜率k=tan严-l, 设切点为(0o),则fx0)=-1, 又)京房山 ∴.x0=1或0=-1) ∴.切点坐标为(1,1)或(-1,1)故选D 3.已知曲线y=x3在点(2,8)处的切线方程为y=+b则k-b=() A.4 B.-4 C.28 D.-28 答案：C 解析：y=3x2 .曲线在点(2,8)处的切线斜率为k=yx=2=12 ∴.切线方程为y-8=12(x-2),即y=12x-16 ∴.k=12,b=-16,.k-b=28 4.下列曲线中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是( A.fx)=ex B./(x)=x3 C.fx)=In x D.fx)=sin x 答案D 解析：若两直线垂直且斜率存在，则其斜率之积为-1
5.2 导数的运算 5.2.1 基本初等函数的导数 课后· 基础巩固 1.下列说法正确的是( ). A.若 y=cos x,则 y'=sin x B.若 y=sin x,则 y'=-cos x C.若 y= 1 𝑥 ,则 y'=- 1 𝑥 2 D.若 y=√𝑥,则 y'=√𝑥 2 答案:C 2.若曲线 f(x)= 1 𝑥 在某点处的切线的倾斜角为3π 4 ,则该点的坐标为( ). A.(1,1) B.(-1,-1) C.(-1,1) D.(1,1)或(-1,-1) 答案:D 解析:由已知得切线的斜率 k=tan 3π 4 =-1, 设切点为(x0,y0),则 f'(x0)=-1, 又 f'(x)=- 1 𝑥 2 ,∴- 1 𝑥0 2=-1, ∴x0=1 或 x0=-1, ∴切点坐标为(1,1)或(-1,-1).故选 D. 3.已知曲线 y=x3 在点(2,8)处的切线方程为 y=kx+b,则 k-b=( ). A.4 B.-4 C.28 D.-28 答案:C 解析:∵y'=3x 2 , ∴曲线在点(2,8)处的切线斜率为 k=y'|x=2=12. ∴切线方程为 y-8=12(x-2),即 y=12x-16, ∴k=12,b=-16,∴k-b=28. 4.下列曲线中,存在无数对互相垂直的切线的曲线是( ). A.f(x)=e x B.f(x)=x3 C.f(x)=ln x D.f(x)=sin x 答案:D 解析:若两直线垂直且斜率存在,则其斜率之积为-1
因为A项中fx)=(e)'=e>0,B项中fx)=(x3)'=3x2≥0，C项中，x>0,则fx)=(ln x)'=>0,所以不会使切线斜率之积为1，故选D. 5.若x)=-sin xf(a)=2则下列a的值中满足条件的是( A号 B 6 C D.5 6 答案：A 解析：x)=sinx,fx)=cosx. 又a)=cosa-=2∴.a=2m±k∈Z☑ 结合选项可知选A 6.己知x)=x2gx)=lnx,若fx)g《x)=1,则x= 答案1 解析：因为x)=x2gx)=lnx, 所以fx)=2x,gx)=三且x>0, 所以fx8《x)=2x=l, 即2x2-x-1=0, 解得x=1或x=舍去故x=1 7.已知直线y=x+b是曲线y=lnxx>0)的一条切线，则实数b= 答案：ln2-1 解析：设切点坐标为(0o),则0=lnx0 “y=mx划-2 由题意知去=…0-=2=ln2 由ln2-1×2+b,得b=ln2-1 8.设正弦曲线y=sinx上一点P,以点P为切点的切线为直线1，则直线I的倾斜角 a的取值范围是 答案o,[m) 解析：y'=(inx)'=cosx, ∴.切线I的斜率为M=Cosx ∴-l≤≤l,a∈[o,u腰 9.证明：曲线y=二在任一点P(0ox0>0)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面 积为一定值 证明由y-得y=是 所以曲线)在，点P心0wXo>0)处的切线的斜丰为k与儿，==房
因为 A 项中,f'(x)=(ex )'=e x>0,B 项中,f'(x)=(x 3 )'=3x 2≥0,C 项中,x>0,则 f'(x)=(ln x)'=1 𝑥 >0,所以不会使切线斜率之积为-1,故选 D. 5.若 f(x)=sin x,f'(α)= 1 2 ,则下列 α 的值中满足条件的是( ). A. π 3 B. π 6 C. 2π 3 D. 5π 6 答案:A 解析:∵f(x)=sin x,∴f'(x)=cos x. 又 f'(α)=cos α= 1 2 ,∴α=2kπ± π 3 (k∈Z). 结合选项可知选 A. 6.已知 f(x)=x2 ,g(x)=ln x,若 f'(x)-g'(x)=1,则 x= . 答案:1 解析:因为 f(x)=x2 ,g(x)=ln x, 所以 f'(x)=2x,g'(x)= 1 𝑥 ,且 x>0, 所以 f'(x)-g'(x)=2x- 1 𝑥 =1, 即 2x 2 -x-1=0, 解得 x=1 或 x=- 1 2 (舍去).故 x=1. 7.已知直线 y= 1 2 x+b 是曲线 y=ln x(x>0)的一条切线,则实数 b= . 答案:ln 2-1 解析:设切点坐标为(x0,y0),则 y0=ln x0. ∵y'=(ln x)'=1 𝑥 , 由题意知 1 𝑥0 = 1 2 ,∴x0=2,y0=ln 2. 由 ln 2= 1 2 ×2+b,得 b=ln 2-1. 8.设正弦曲线 y=sin x 上一点 P,以点 P 为切点的切线为直线 l,则直线 l 的倾斜角 α 的取值范围是 . 答案:[0, π 4 ] ∪ [ 3π 4 ,π) 解析:∵y'=(sin x)'=cos x, ∴切线 l 的斜率为 kl=cos x, ∴-1≤kl≤1,∴α∈[0, π 4 ] ∪ [ 3π 4 ,π). 9.证明:曲线 y= 1 𝑥在任一点 P(x0,y0)(x0>0)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面 积为一定值. 证明:由 y= 1 𝑥 ,得 y'=- 1 𝑥 2 . 所以曲线 y= 1 𝑥在点 P(x0,y0)(x0>0)处的切线的斜率为 k=y'| 𝑥=𝑥0 =- 1 𝑥0 2
所以切线方程为0-如 国为安所以令=0得y+名=后 t 令y=0,得x=2x0. 因此，曲线)y一在点P0,00>0)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S=x20×2=2,为一定值 拓展提高 1.设曲线y=x+1(n∈N在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xm,则 x1x2xn的值为( A B.1 n n+1 C九 D.1 n+1 答案B 解析：由y=x+l(n∈N)得y'=(n+1)x” 则曲线在，点(1,1)处的切线的斜率为k=n+1, 故切线方程为y-1=(n+1)x-1)月 令y=0,得n= -n+ 所以x1…w×子×子x×件×=故选B n+1n+1 2.若曲线y=x在点(a,a2)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则 a=( A.64 B.32 C.16 D.8 答案：A 解析：因为y'=x三，所以曲线y=x在点(a,a)处的切线方程为-ai=ax-a@), 由x=0得y=3a2,由y=0得x=3a,所以.三a23a=18,解得a=64 3.函数y=x2(x>0)的图象在点(ak,a)处的切线与x轴的交点的横坐标为a+1,其中 k∈N*,若a1=16,则a1+a3+a5的值是 答案21 解析：，y'=2x .∴y=xr2(x>0)的图象在点(a,a呢)处的切线方程为y-a?=2a(x-ak) 又该切线与x轴的交点坐标为(ak+1,0), ∴.ak+1=ak,即数列{aw是首项为a1=l6,公比为q=的等比数列， .a3=4,a5=1,∴.a1+a3+a5=21 4.己知点P是曲线x)=x2上任意一点，则点P到直线y=x-1的最短距离 是
所以切线方程为 y-y0=- 1 𝑥0 2 (x-x0). 因为 y0= 1 𝑥0 ,所以令 x=0,得 y=y0+ 1 𝑥0 = 2 𝑥0 ; 令 y=0,得 x=2x0. 因此,曲线 y= 1 𝑥 在点 P(x0,y0)(x0>0)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S=1 2 ×2x0× 2 𝑥0 =2,为一定值. 拓展提高 1.设曲线 y=xn+1 (n∈N* )在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn,则 x1·x2·…·xn 的值为( ). A. 1 𝑛 B. 1 𝑛+1 C. 𝑛 𝑛+1 D.1 答案:B 解析:由 y=xn+1 (n∈N* )得 y'=(n+1)x n . 则曲线在点(1,1)处的切线的斜率为 k=n+1, 故切线方程为 y-1=(n+1)(x-1). 令 y=0,得 xn= 𝑛 𝑛+1 , 所以 x1·x2·…·xn= 1 2 × 2 3 × 3 4 ×…× 𝑛-1 𝑛 × 𝑛 𝑛+1 = 1 𝑛+1 .故选 B. 2.若曲线 y=𝑥 - 1 2在点(𝑎,𝑎 - 1 2 )处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为 18,则 a=( ). A.64 B.32 C.16 D.8 答案:A 解析:因为 y'=- 1 2 𝑥 - 3 2,所以曲线 y=𝑥 - 1 2在点(𝑎,𝑎 - 1 2 )处的切线方程为 y-𝑎 - 1 2=- 1 2 𝑎 - 3 2 (x-a), 由 x=0 得 y= 3 2 𝑎 - 1 2 ,由 y=0 得 x=3a,所以1 2 · 3 2 𝑎 - 1 2·3a=18,解得 a=64. 3.函数 y=x2 (x>0)的图象在点(ak,𝑎𝑘 2 )处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 ak+1,其中 k∈N* ,若 a1=16,则 a1+a3+a5的值是 . 答案:21 解析:∵y'=2x, ∴y=x2 (x>0)的图象在点(ak,𝑎𝑘 2 )处的切线方程为 y-𝑎𝑘 2=2ak(x-ak). 又该切线与 x 轴的交点坐标为(ak+1,0), ∴ak+1= 1 2 ak,即数列{ak}是首项为 a1=16,公比为 q= 1 2 的等比数列, ∴a3=4,a5=1,∴a1+a3+a5=21. 4.已知点 P 是曲线 f(x)=x2 上任意一点,则点 P 到直线 y=x-1 的最短距离 是
答案32 8 解析：当曲线在点P处的切线与直线y=x1平行时，点P到直线y=x1的距离最 短，设此时点P的坐标为(o,x),则fxo)=2x0=l,解得x0=2故点P到直线y=xl的 最短距离为别=3 8 5设曲线y=e在点(0,1)处的切线与曲线y=x>0)在点P处的切线垂直，求点P的 坐标 解：设x)=y=e,则fx)=e,所以f0)=l. 因此曲线y=x)=e在点(0，I)处的切线的斜率为1 设gw)y=>0),则g)=2 设点P的坐标为(xP,yP),且xP>0. 由题意可得g6P)号l,解得xp=l,则p子=1.所以点P的坐标为，) Xp 挑战创新 已知直线12x-y+4=0与抛物线y=x2相交于A,B两点，O是坐标原点，试求与直线1 平行的抛物线的切线方程，并在曲线段AB上求一点P,使△ABP的面积最大 解：因为直线12x-y+4=0与抛物线y=x2相交于A,B两点 所以AB为定值，要使△ABP的面积最大，只要，点P到AB的距离最大 由题意易知当抛物线y=x2在点P处的切线与直线I平行时，点P到AB的距离最 大，设此时点P的坐标为o,x),因为y=2x所以yx=。=20=2,所以0=1 所以，点P的坐标为(1,1)，切线方程为y-1=2(x-1),即2x-少1=0， 所以与直线1平行的抛物线的切线方程为2x少1=0，点P(1,1)为曲线段AB上所求 的，点，使△ABP的面积最大
答案: 3√2 8 解析:当曲线在点 P 处的切线与直线 y=x-1 平行时,点 P 到直线 y=x-1 的距离最 短,设此时点 P 的坐标为(x0,𝑥0 2 ),则 f'(x0)=2x0=1,解得 x0= 1 2 ,故点 P 到直线 y=x-1 的 最短距离为| 1 2 - 1 4 -1| √2 = 3√2 8 . 5.设曲线 y=e x 在点(0,1)处的切线与曲线 y= 1 𝑥 (x>0)在点 P 处的切线垂直,求点 P 的 坐标. 解:设 f(x)=y=e x ,则 f'(x)=e x ,所以 f'(0)=1. 因此曲线 y=f(x)=e x 在点(0,1)处的切线的斜率为 1. 设 g(x)=y= 1 𝑥 (x>0),则 g'(x)=- 1 𝑥 2 . 设点 P 的坐标为(xP,yP),且 xP>0. 由题意可得 g'(xP)=- 1 𝑥𝑃 2=-1,解得 xP=1,则 yP= 1 𝑥𝑃 =1.所以点 P 的坐标为(1,1). 挑战创新 已知直线 l:2x-y+4=0 与抛物线 y=x2 相交于 A,B 两点,O 是坐标原点,试求与直线 l 平行的抛物线的切线方程,并在曲线段 AB 上求一点 P,使△ABP 的面积最大. 解:因为直线 l:2x-y+4=0 与抛物线 y=x2 相交于 A,B 两点, 所以|AB|为定值,要使△ABP 的面积最大,只要点 P 到 AB 的距离最大. 由题意易知当抛物线 y=x2 在点 P 处的切线与直线 l 平行时,点 P 到 AB 的距离最 大,设此时点 P 的坐标为(x0,𝑥0 2 ),因为 y'=2x,所以 y'| 𝑥=𝑥0 =2x0=2,所以 x0=1. 所以点 P 的坐标为(1,1),切线方程为 y-1=2(x-1),即 2x-y-1=0. 所以与直线 l 平行的抛物线的切线方程为 2x-y-1=0,点 P(1,1)为曲线段 AB 上所求 的点,使△ABP 的面积最大