4.3.2 等比数列的前n项和公式 第1课时 等比数列的前n项和公式 课后训练提升 基础巩固 1.设数列{(-1y}的前n项和为Sm,则Sm等于() A-”1 B.1+1 2 C+1 D1)".1 2 2 答案D 解析Sn=1x1-凸= 1-(-1) 2 2.在等比数列{an}中，若a=1,S6=63,则公比g的值为() A.2 B.-2 C.4 D 答案：A 解析：当公比q=1时，S6=6a1=6≠63，不符合题意； 当g1时，S%=1:=:9=63,将选项代入检验，可得g=2 1- 1- 3.已知数列{an}满足3an+1+an=0,a2=则数列{an的前10项和等于() A.-6×(1-3-10)B2×(1-3-10) C.3×(1-310) D.3×(1+310) 答案：C 解析：由3au+1+an=0,得2-故数列{am}是公比9=的等比数列. an 因为a2=等可得a1=4, 所以S10= -③7 =3×(1-310) 1( 4.已知数列{am}的通项公式为am=六，则其前10项和为() A罗 B.50 28 C509 128 D.s09 256 答案D 解析：设数列{an}的前n项和为Sm, 则S=1×)+2×++n×)”,① 两边同时乘得
4.3.2 等比数列的前 n 项和公式 第 1 课时 等比数列的前 n 项和公式 课后· 基础巩固 1.设数列{(-1)n}的前 n 项和为 Sn,则 Sn 等于( ). A. 𝑛[(-1) 𝑛 -1] 2 B. (-1) 𝑛+1+1 2 C. (-1) 𝑛+1 2 D. (-1) 𝑛 -1 2 答案:D 解析:Sn= (-1)×[1-(-1) 𝑛 ] 1-(-1) = (-1) 𝑛 -1 2 . 2.在等比数列{an}中,若 a1=1,S6=63,则公比 q 的值为( ). A.2 B.-2 C.4 D. 1 2 答案:A 解析:当公比 q=1 时,S6=6a1=6≠63,不符合题意; 当 q≠1 时,S6= 𝑎1 (1-𝑞 6 ) 1-𝑞 = 1-𝑞 6 1-𝑞 =63,将选项代入检验,可得 q=2. 3.已知数列{an}满足 3an+1+an=0,a2=- 4 3 ,则数列{an}的前 10 项和等于( ). A.-6×(1-3 -10) B. 1 9 ×(1-3 -10) C.3×(1-3 -10) D.3×(1+3 -10) 答案:C 解析:由 3an+1+an=0,得 𝑎𝑛+1 𝑎𝑛 =- 1 3 ,故数列{an}是公比 q=- 1 3 的等比数列. 因为 a2=- 4 3 ,可得 a1=4, 所以 S10= 4×[1-(- 1 3 ) 10 ] 1-(- 1 3 ) =3×(1-3 -10). 4.已知数列{an}的通项公式为 an= 𝑛 2 𝑛 ,则其前 10 项和为( ). A. 507 256 B. 507 128 C. 509 128 D. 509 256 答案:D 解析:设数列{an}的前 n 项和为 Sn, 则 Sn=1×( 1 2 ) 1 +2×( 1 2 ) 2 +…+n×( 1 2 ) 𝑛 ,① 两边同时乘1 2 ,得
8=1×)‘+2×)°+…+nx目)”，② 0@,+目+目n*目_1*目 1. =1-”n×)m*1,即5=2-0+2)” 故50=2-12×（佾）=% 5.在数列{an}中，a1=2,an+1=2am,Sm为数列{am的前n项和.若Sm=126,则 n= 答案：6 解析：a1=2,an+1=2an,∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列， 又Sn=126】 2x1-2盟=126，n=6 1.2 6.在各项均为正数的等比数列{an}中，a2=4,a4=16,则数列{anm}的前9项和等 于」 答案：1022 解析：设等比数列{am}的公比为q(g>0), 则2-=g-华-4，解得q=2,a1=2, a2 故S=21-22=20.2=1022. 1-2 7.设等比数列{an}的前n项和为Sm,已知S,2S2,3S3成等差数列，则等比数列{anm}的 公比为 答案尉 解析：由已知4S2=S+3S 即4a1+a2)=a1+3(a1+a2+a3). 即a2=3a,故等比数列{an}的公比q-是= a. 8.设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S1,S,S2成等差数列. (I)求等比数列{an}的公比q: (2)若a1-a3=3,求Sm 解：(1)根据题意有a1+(a1+a1g)=2(a1+a1q+a1q2),由于a1≠0，故2q2+q=0 由90，得q=月 2)迪()可得a1-a()-3,故a1=4 从而Sn 4×-(" 1- -1-(刿 9.在等比数列{an}中，a2-a1=2,且2a2为3a和a3的等差中项，求数列{an}的首项、 公比及前n项和
1 2 Sn=1×( 1 2 ) 2 +2×( 1 2 ) 3 +…+n×( 1 2 ) 𝑛+1 ,② 由①-②,得 1 2 Sn= 1 2 + ( 1 2 ) 2 +…+( 1 2 ) 𝑛 -n×( 1 2 ) 𝑛+1 = 1 2 ×[1-( 1 2 ) 𝑛 ] 1- 1 2 -n×( 1 2 ) 𝑛+1 =1-( 1 2 ) 𝑛 -n×( 1 2 ) 𝑛+1 ,即 Sn=2-(n+2)( 1 2 ) 𝑛 , 故 S10=2-12×( 1 2 ) 10 = 509 256 . 5.在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn为数列{an}的前 n 项和.若 Sn=126,则 n= . 答案:6 解析:∵a1=2,an+1=2an,∴数列{an}是首项为 2,公比为 2 的等比数列, 又 Sn=126, ∴ 2×(1-2 𝑛 ) 1-2 =126,∴n=6. 6.在各项均为正数的等比数列{an}中,a2=4,a4=16,则数列{an}的前 9 项和等 于 . 答案:1 022 解析:设等比数列{an}的公比为 q(q>0), 则 𝑎4 𝑎2 =q2= 16 4 =4,解得 q=2,a1=2, 故 S9= 2×(1-2 9 ) 1-2 =2 10 -2=1 022. 7.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,2S2,3S3成等差数列,则等比数列{an}的 公比为 . 答案: 1 3 解析:由已知 4S2=S1+3S3, 即 4(a1+a2)=a1+3(a1+a2+a3). 即 a2=3a3,故等比数列{an}的公比 q= 𝑎3 𝑎2 = 1 3 . 8.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,S3,S2成等差数列. (1)求等比数列{an}的公比 q; (2)若 a1-a3=3,求 Sn. 解:(1)根据题意有 a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q 2 ),由于 a1≠0,故 2q 2+q=0. 由 q≠0,得 q=- 1 2 . (2)由(1)可得 a1-a1(- 1 2 ) 2 =3,故 a1=4. 从而 Sn= 4×[1-(- 1 2 ) 𝑛 ] 1-(- 1 2 ) = 8 3 ×[1 − (− 1 2 ) 𝑛 ]. 9.在等比数列{an}中,a2-a1=2,且 2a2 为 3a1和 a3的等差中项,求数列{an}的首项、 公比及前 n 项和
解：设数列{an}的公比为q(q0) 由2加可a0-3+ag 所以ag-1)=2,① (q2.4q+3=0,② 解②得q=3或q=1. 由于a1(g-1)=2,因此q=1不合题意，舍去.故公比q=3,首项a1=1. 即数列{an}的前n项和Sm=--g凸=1x13=31 1-g 1.3 拓展提高 1.在等比数列{an}中，a1+a2+…+am=2m-l,则a+a吃+…+a等于() A.(2m-12 B22m-1)P C.4m-1 D34-1) 答案D 解析a1+a+…+an=2n-1,即Sn=2n-l, 则Sm-1=2m-l-1(n≥2)， 则an=2m-2m-l=2rl(n≥2)】 因为当n=1时，a1=1也符合上式，所以an=2m-l,a=4m-l, 所以数列{a}是以1为首项，4为公比的等比数列， 所以好++…+a2="=4n-1) 1.4 2.在等比数列{am}中，a1+a2+…+a6=10,二+三+…+三=5，则a1a2…a6等于() a a2 A.2 B.8 c D哈 答案B 解析：设等比数列{am}的公比为q, (1-g9=10, 1-q 由题知 4=5 1 得aq5=2,则a1a2a6=ag+2+"+5-(a1q)3=8. 3.已知等比数列{an}的公比不为1，若a1=1,且an+1,am,an+2成等差数列，则数列{an} 的前5项和S5= 答案：11 解析：由题意知a2,a1,a3成等差数列，即有a2+a3=2a1=2,即q+q2=2 解得q=-2或q=1(舍去)， 故S5=1-g2=2-11 1-q 1-(-2)
解:设数列{an}的公比为 q(q≠0). 由已知可得{ 𝑎1𝑞-𝑎1 = 2, 4𝑎1𝑞 = 3𝑎1 + 𝑎1𝑞 2 , 所以{ 𝑎1 (𝑞-1) = 2,① 𝑞 2 -4𝑞 + 3 = 0,② 解②得 q=3 或 q=1. 由于 a1(q-1)=2,因此 q=1 不合题意,舍去.故公比 q=3,首项 a1=1. 即数列{an}的前 n 项和 Sn= 𝑎1 (1-𝑞 𝑛 ) 1-𝑞 = 1×(1-3 𝑛 ) 1-3 = 3 𝑛 -1 2 . 拓展提高 1.在等比数列{an}中,a1+a2+…+an=2 n -1,则𝑎1 2 + 𝑎2 2+…+𝑎𝑛 2等于( ). A.(2n -1)2 B. 1 3 (2n -1)2 C.4 n -1 D. 1 3 (4n -1) 答案:D 解析:a1+a2+…+an=2 n -1,即 Sn=2 n -1, 则 Sn-1=2 n-1 -1(n≥2), 则 an=2 n -2 n-1=2 n-1 (n≥2), 因为当 n=1 时,a1=1 也符合上式,所以 an=2 n-1 ,𝑎𝑛 2=4 n-1 , 所以数列{𝑎𝑛 2 }是以 1 为首项,4 为公比的等比数列, 所以𝑎1 2 + 𝑎2 2+…+𝑎𝑛 2 = 1×(1-4 𝑛 ) 1-4 = 1 3 (4n -1). 2.在等比数列{an}中,a1+a2+…+a6=10, 1 𝑎1 + 1 𝑎2 +…+ 1 𝑎6 =5,则 a1a2·…·a6 等于( ). A.2 B.8 C. 1 2 D. 1 8 答案:B 解析:设等比数列{an}的公比为 q, 由题知 { 𝑎1 (1-𝑞 6 ) 1-𝑞 = 10, 1 𝑎1 [1-( 1 𝑞 ) 6 ] 1- 1 𝑞 = 5, 得𝑎1 2 q 5=2,则 a1a2…a6=𝑎1 6 q 1+2+…+5=(𝑎1 2 q 5 ) 3=8. 3.已知等比数列{an}的公比不为 1,若 a1=1,且 an+1,an,an+2成等差数列,则数列{an} 的前 5 项和 S5= . 答案:11 解析:由题意知 a2,a1,a3 成等差数列,即有 a2+a3=2a1=2,即 q+q2=2, 解得 q=-2 或 q=1(舍去), 故 S5= 𝑎1 (1-𝑞 5 ) 1-𝑞 = 1-(-2) 5 1-(-2) =11
4.设等比数列{an}的前n项和为Sm,若S3+S6=2Sg,则公比q= 答案-2 解析：当q=1时，Sn=na1,S3+S6=3a1+6a1=9a1=S时2S9,不符合题意； 当gf1时，+a2=2×2a2,得2-9-g=2-2g, 1-0 1-q 1-g 即29g5-93=0,解得9=2或92=（舍去）浅g=0(舍去)，故q=-2 5.设数列{an}满足a1+3a2+32a3+…+3m-lam-3 (I)求数列{an}的通项公式： (2)设bm=,求数列{bm}的前n项和Sm an 解()a1+3am+32a3+…+3raw号 ∴a1+3m+32a3++32am1=n≥2)， 两式相减得3ran号-号=n≥2 即an-n≥2) 当n=1时，a1=也满足上式，故an= (2)bn=”=n3”, an ∴.Sn=1×3+2×32+3×33+…+n3n,① 由①×3，得3Sm=1×32+2×33+3×34+…+n31,② 由①-②，得-2Sm=3+32+33+…+3mn31,即-2Sn=331 13-h3n+1 故Sm-223m+1+异 4 6.已知数列{am}满足a1=1,an+1-an=2,等比数列{bm}满足b1=a1,b4=a4+1. (I)求数列{an},{bm}的通项公式； (2)设cn=anbm,求数列{cn}的前n项和Sm. 解：(1)由a1=1,an+1-an=2,得{an}是以1为首项，以2为公差的等差数列，即an=2n-1. 由b1=1,b4=8,得数列{bm}的公比q=2,故bm=2r1 (2)cm=(2n-1)2m-l 则Snm=1×1+3×2+5×22+…+(2n-1)2m-1 2Sm=1×2+3×22+5×23+…+(2n-3)2m-l+(2n-1)2m 上述两式作差，得 -Sm=1+2×2+2×22+2×23++2X×2l(2n-12m=1+2×灯2-2]2m-l02, 1-2 故n=3-2"(3-2n) 挑战创新 己知等差数列{am}满足a2=0,a6+a8=-10 (I)求数列{an}的通项公式， 2)求数列票}的前n项和
4.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3+S6=2S9,则公比 q= . 答案:-2 - 1 3 解析:当 q=1 时,Sn=na1,S3+S6=3a1+6a1=9a1=S9≠2S9,不符合题意; 当 q≠1 时, 𝑎1 (1-𝑞 3 ) 1-𝑞 + 𝑎1 (1-𝑞 6 ) 1-𝑞 =2× 𝑎1 (1-𝑞 9 ) 1-𝑞 ,得 2-q 3 -q 6=2-2q 9 , 即 2q 9 -q 6 -q 3=0,解得 q 3=- 1 2或 q 3=1(舍去)或 q 3=0(舍去),故 q=-2 - 1 3. 5.设数列{an}满足 a1+3a2+3 2a3+…+3 n-1an= 𝑛 3 . (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn= 𝑛 𝑎𝑛 ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 解:(1)∵a1+3a2+3 2a3+…+3 n-1an= 𝑛 3 , ∴a1+3a2+3 2a3+…+3 n-2an-1= 𝑛-1 3 (n≥2), 两式相减,得 3 n-1an= 𝑛 3 − 𝑛-1 3 = 1 3 (n≥2), 即 an= 1 3 𝑛 (n≥2). 当 n=1 时,a1= 1 3也满足上式,故 an= 1 3 𝑛 . (2)∵bn= 𝑛 𝑎𝑛 =n·3 n , ∴Sn=1×3+2×3 2+3×3 3+…+n·3 n ,① 由①×3,得 3Sn=1×3 2+2×3 3+3×3 4+…+n·3 n+1 ,② 由①-②,得-2Sn=3+3 2+3 3+…+3 n -n·3 n+1 ,即-2Sn= 3-3 𝑛+1 1-3 -n·3 n+1 , 故 Sn= 2𝑛-1 4 ·3 n+1+ 3 4 . 6.已知数列{an}满足 a1=1,an+1-an=2,等比数列{bn}满足 b1=a1,b4=a4+1. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)设 cn=anbn,求数列{cn}的前 n 项和 Sn. 解:(1)由 a1=1,an+1-an=2,得{an}是以 1 为首项,以 2 为公差的等差数列,即 an=2n-1. 由 b1=1,b4=8,得数列{bn}的公比 q=2,故 bn=2 n-1 . (2)cn=(2n-1)2n-1 , 则 Sn=1×1+3×2+5×2 2+…+(2n-1)2n-1 , 2Sn=1×2+3×2 2+5×2 3+…+(2n-3)2n-1+(2n-1)2n , 上述两式作差,得 -Sn=1+2×2+2×2 2+2×2 3+…+2×2 n-1 -(2n-1)2n=1+2×[ 2(1-2 𝑛-1 ) 1-2 ]-(2n-1)2n , 故 Sn=3-2 n (3-2n). 挑战创新 已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8=-10. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{ 𝑎𝑛 2 𝑛-1 }的前 n 项和
解(I)设等差数列{an}的公差为d, 由已加条件可侣12d-10 解得侣十 故数列{an}的通项公式为an=2-n. 2)设数列{品}的前n项和为S, 即Sm=a1+竖++祭，① 2 产=2+学+…+器+会② 当n>1时，由①-②，得 产-a+2+…+学-2=1-传++…+六）-祭-1(1六）-婴=六 2n-1 得S品当n=1时，等式也成立 即数列品}的前n项和Sm品
解:(1)设等差数列{an}的公差为 d, 由已知条件可得{ 𝑎1 + 𝑑 = 0, 2𝑎1 + 12𝑑 = -10, 解得{ 𝑎1 = 1, 𝑑 = -1. 故数列{an}的通项公式为 an=2-n. (2)设数列{ 𝑎𝑛 2 𝑛-1 }的前 n 项和为 Sn, 即 Sn=a1+ 𝑎2 2 +…+ 𝑎𝑛 2 𝑛-1 ,① 𝑆𝑛 2 = 𝑎1 2 + 𝑎2 4 +…+ 𝑎𝑛-1 2 𝑛-1 + 𝑎𝑛 2 𝑛 .② 当 n>1 时,由①-②,得 𝑆𝑛 2 =a1+ 𝑎2 -𝑎1 2 +…+ 𝑎𝑛-𝑎𝑛-1 2 𝑛-1 − 𝑎𝑛 2 𝑛 =1-( 1 2 + 1 4 + … + 1 2 𝑛-1 ) − 2-𝑛 2 𝑛 =1-(1- 1 2 𝑛-1 ) − 2-𝑛 2 𝑛 = 𝑛 2 𝑛 . 得 Sn= 𝑛 2 𝑛-1 ,当 n=1 时,等式也成立. 即数列{ 𝑎𝑛 2 𝑛-1 }的前 n 项和 Sn= 𝑛 2 𝑛-1