综合检测(A卷) (时间120分钟满分：150分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 1.数列1,3,7,15，…的通项公式am等于() A.2n B.2n+1 C.2m-1 D.2n-1 答案：C 解析：a1=2l-1=1,2=22-1=3,a3=231=7,a4=241=15,故可得am=2m-1. 2.曲线y=sinx+er在点(0,1)处的切线的斜率为( ) A.2 B.3 c D时 答案：A 解析：，y'=cosx+e, ∴.所求斜率k=cos0+e0=2,故选A 3.在等差数列{an}中，若a2=4,a4=2,则a6=() A.-1 B.0 C.1 D.6 答案B 解析：由题意，得a6=2a4-a2=2×2-4=0 4.若函数x)=ax2+lnx的图象上存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是 （) A.(-0,0) B.(-0,1) C.(0,+o) D.(1,+o) 答案A 解析：易知fx)=2ar+x>0), 若函数x)=ar2+lnx的图象上存在垂直于y轴的切线，则2ar+二=0存在大于0的 实数根，于是a=是<0，即所求实数a的取值范围为(-∞，0) 5.以正弦曲线y=sinx上一点P为切点的切线为直线I,则直线I的倾斜角的取值 范围是( A,腰 B.[0,π) c割 D.0.U 答案：A 解析y'=cosx,,cosx∈[-l,1], .切线的斜率的取值范围是[1,1] ∴直线1的倾斜角的范围是[0，到U[m
综合检测(A 卷) (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.数列 1,3,7,15,…的通项公式 an 等于( ). A.2 n B.2 n+1 C.2 n -1 D.2 n-1 答案:C 解析:a1=2 1 -1=1,a2=2 2 -1=3,a3=2 3 -1=7,a4=2 4 -1=15,故可得 an=2 n -1. 2.曲线 y=sin x+e x 在点(0,1)处的切线的斜率为( ). A.2 B.3 C. 1 3 D. 1 2 答案:A 解析:∵y'=cos x+e x , ∴所求斜率 k=cos 0+e 0=2,故选 A. 3.在等差数列{an}中,若 a2=4,a4=2,则 a6=( ). A.-1 B.0 C.1 D.6 答案:B 解析:由题意,得 a6=2a4-a2=2×2-4=0. 4.若函数 f(x)=ax2+ln x 的图象上存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是 ( ). A.(-∞,0) B.(-∞,1) C.(0,+∞) D.(1,+∞) 答案:A 解析:易知 f'(x)=2ax+1 𝑥 (x>0). 若函数 f(x)=ax2+ln x 的图象上存在垂直于 y 轴的切线,则 2ax+1 𝑥 =0 存在大于 0 的 实数根,于是 a=- 1 2𝑥 2<0,即所求实数 a 的取值范围为(-∞,0). 5.以正弦曲线 y=sin x 上一点 P 为切点的切线为直线 l,则直线 l 的倾斜角的取值 范围是( ). A.[0, π 4 ] ∪ [ 3π 4 ,π) B.[0,π) C.[ π 4 , 3π 4 ] D.[0, π 4 ] ∪ ( π 2 , 3π 4 ] 答案:A 解析:y'=cos x,∵cos x∈[-1,1], ∴切线的斜率的取值范围是[-1,1], ∴直线 l 的倾斜角的范围是[0, π 4 ] ∪ [ 3π 4 ,π)
6.己知函数x)的定义域为开区间(a,b),导函数fx)在区间(a,b)内的图象如图所示， 则函数x)在开区间(a,b)内极小值点的个数为()， y=f'(x) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：A 解析：从题中fx)的图象可知，x)在区间(a,b)内从左到右的单调性依次为增→减 →增→减，故函数x)在开区间(a,b)内只有1个极小值点 7.(多选题)已知数列{an}满足a=l,an+am+1=2n+1,n∈N,Sn是数列的前n项 和，则下列结论正确的是( A.S2n-1=(2n-l)1 B.S2n-iSn an C5≥-六+ D.Sm≥Sn+月 答案：CD 解析：易知a=2,由an+an+1=2n+1,an+1+am+2=2n+3,两式相减，得an+2-an=2, 即此数列每隔一项成等差数列，由a1=1,可得数列{am}的奇数项为1,3,5，…， 由a2=2,可得其偶数项为2,4,6，…，故am=n. A.令n=2,51=58=号(2n-l)=2mH2n-lA错； an B令n=1,,=5=1+号=S8B错 C5=1++甘…+六又22m-l…六>六 1+号+…+品≥1++甘…+员=-六故C正确 2 2n-1 A 8 D.:SS=++…+六设m+t…+品 n+1n+2 2九 +1m=+-=+-20, 1 11 1 n+l)>n,n)单调递增 m)≥1)克Sm-Sn≥ S2m≥Sn+n∈N,故D正确， 8.若函数x)在区间(0，+o)内可导，且满足x)>-xfx),则一定有()】 A.函数Fx)=四在区间(0，+oo)内单调递增 B.函数Fx)=凶在区间(0，+∞)内单调递减 C.函数G(x)=x)在区间(0，+o)内单调递增 D.函数G(x)=xx)在区间(0，+o)内单调递减 答案：C
6.已知函数 f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数 f'(x)在区间(a,b)内的图象如图所示, 则函数 f(x)在开区间(a,b)内极小值点的个数为( ). A.1 B.2 C.3 D.4 答案:A 解析:从题中 f'(x)的图象可知,f(x)在区间(a,b)内从左到右的单调性依次为增→减 →增→减,故函数 f(x)在开区间(a,b)内只有 1 个极小值点. 7.(多选题)已知数列{an}满足 a1=1,an+an+1=2n+1,n∈N* ,Sn是数列{ 1 𝑎𝑛 }的前 n 项 和,则下列结论正确的是( ). A.S2n-1=(2n-1)· 1 𝑎𝑛 B.S2n= 1 2 Sn C.S2n≥ 3 2 − 1 2 𝑛 + 1 2 Sn D.S2n≥Sn+ 1 2 答案:CD 解析:易知 a2=2,由 an+an+1=2n+1,an+1+an+2=2n+3,两式相减,得 an+2-an=2, 即此数列每隔一项成等差数列,由 a1=1,可得数列{an}的奇数项为 1,3,5,…, 由 a2=2,可得其偶数项为 2,4,6,…,故 an=n. A.令 n=2,S2n-1=S3= 11 6 ,(2n-1)· 1 𝑎𝑛 = 3 2 ,S2n-1≠(2n-1)· 1 𝑎𝑛 ,A 错; B.令 n=1,S2n=S2=1+ 1 2 = 3 2 , 1 2 Sn= 1 2 S1= 1 2 ,S2n≠ 1 2 Sn,B 错; C.∵S2n- 1 2 Sn=1+ 1 3 + 1 5 +…+ 1 2𝑛-1 ,又 2 n>2n-1,∴ 1 2𝑛-1 > 1 2 𝑛 , ∴1+ 1 3 + 1 5 +…+ 1 2𝑛-1 ≥1+ 1 4 + 1 8 +…+ 1 2 𝑛 = 3 2 − 1 2 𝑛 ,故 C 正确; D.∵S2n-Sn= 1 𝑛+1 + 1 𝑛+2 +…+ 1 2𝑛 ,设 f(n)= 1 𝑛+1 + 1 𝑛+2 +…+ 1 2𝑛 , ∵f(n+1)-f(n)= 1 2𝑛+1 + 1 2𝑛+2 − 1 𝑛+1 = 1 2𝑛+1 − 1 2𝑛+2 >0, ∴f(n+1)>f(n),∴f(n)单调递增, ∴f(n)≥f(1)= 1 2 ,∴S2n-Sn≥ 1 2 , ∴S2n≥Sn+ 1 2 (n∈N* ),故 D 正确. 8.若函数 f(x)在区间(0,+∞)内可导,且满足 f(x)>-xf'(x),则一定有( ). A.函数 F(x)= 𝑓(𝑥) 𝑥 在区间(0,+∞)内单调递增 B.函数 F(x)= 𝑓(𝑥) 𝑥 在区间(0,+∞)内单调递减 C.函数 G(x)=xf(x)在区间(0,+∞)内单调递增 D.函数 G(x)=xf(x)在区间(0,+∞)内单调递减 答案:C
解析：设G(x)=xx),则G(x)=xfx)+x)>0,故G(x)=xx)在区间(0，+oo)内单调递增.。 9.已知函数x)=x2+2cosx,fx)是x)的导函数，则函数y=fx)的图象大致为 （) 答案：C 解析fx)=2x-2sinx,显然fx)是奇函数，设gx)=2x-2sinx,则g(x)=2-2cosx≥0，所 以gx)在R上单调递增，即fx)在R上单调递增.观察题中四个选项可知，只有选 项C符合 10.(多选题)已知函数x)=x3-2x24x-7,其导函数为fx),下列命题中是真命题的为 (). Aw)的单调递减区间是（作，2） Bx)的极小值是-15 C.当a>2时，对任意的x>2,且x≠a,恒有x)2时g《x)>0,故gx)即fx)在区间(2，+o)上单调递 增.设Gx)=fx)a)fa)x-a)x>2), 则G(x)=fx)fa).令G(x)=0,得x=a 根据函数的单调性，知函数G(x)在x=a处取得极小值也是最小值G()=O. 故当a>0时，对任意的x>2,且≠a,恒有Gx)>0,即x)>a+fa)x-a) 故C错误.故选BD
解析:设 G(x)=xf(x),则 G'(x)=xf'(x)+f(x)>0,故 G(x)=xf(x)在区间(0,+∞)内单调递增. 9.已知函数 f(x)=x2+2cos x,f'(x)是 f(x)的导函数,则函数 y=f'(x)的图象大致为 ( ). 答案:C 解析:f'(x)=2x-2sin x,显然 f'(x)是奇函数,设 g(x)=2x-2sin x,则 g'(x)=2-2cos x≥0,所 以 g(x)在 R 上单调递增,即 f'(x)在 R 上单调递增.观察题中四个选项可知,只有选 项 C 符合. 10.(多选题)已知函数 f(x)=x3 -2x 2 -4x-7,其导函数为 f'(x),下列命题中是真命题的为 ( ). A.f(x)的单调递减区间是( 2 3 ,2) B.f(x)的极小值是-15 C.当 a>2 时,对任意的 x>2,且 x≠a,恒有 f(x)2 时,g'(x)>0,故 g(x)即 f'(x)在区间(2,+∞)上单调递 增.设 G(x)=f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)(x>2), 则 G'(x)=f'(x)-f'(a).令 G'(x)=0,得 x=a. 根据函数的单调性,知函数 G(x)在 x=a 处取得极小值也是最小值 G(a)=0. 故当 a>0 时,对任意的 x>2,且 x≠a,恒有 G(x)>0,即 f(x)>f(a)+f'(a)(x-a). 故 C 错误.故选 BD
1L.已知定义在R上的奇函数x),设其导数为fx),当x∈(-o,0]时，恒有fx) x),令F(x)=xx),则满足F(3)>F(2x-1)的实数x的取值范围为( A.(-1,2) B(1,) c,2) D.(-2,1) 答案A 解析：x)是奇函数 ∴.当x∈(-oo,0]时，不等式xfx)-x)等价于xfx)Kx),即xfx)+x)0 ,'Fx)=xx),∴.F'《(x)=xfx)+x), ∴.当x∈(oo,0]时，Fx)K0, .函数Fx)单调递减 x)是奇函数，Fx)=xx)为偶函数 ∴.当x>0时，F(x)单调递增 ∴.不等式F(3)>F2x-1)等价于F3)>F(2x-1D,且2x-1<3 ∴.-3<2x-1<3,得-1<x<2.故选A 12设函数x)=+ax的导函数)=2x+1,则数列∈N门的前n项和是 () A品 B.+2 C n+1 ‘-1 D出 答案：A 解析：由题意，函数x)=xm+ax,则fx)=mxm-l+a,又由fx)=2x+1,所以m=2,a=1, 所以fx)=x2+x,所以n)=2+n=n(n+1)月 所以==片- 1 所以局}的前n项和为(1-》+（住-》++（保-）=l本=本 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13设)=1+片-+…+六则k+1)= (不用化简). 答案元 解桥0=1宁+片一+…六 2n-11 ∴k+1)=1+-2+…+1 234 1212欢+ 2k+1 =1++ 2k-1 k+I+-灵 14.己知函数x)在R上连续可导fx)为其导函数，且x)=er+2fO)x,则曲线fx)在 点(0,0)处的切线方程为 答案y=x+1 解析：由题意fx)=e+2f0),所以f0)=e°+2f0)=1+2f0),因此f0)=-1,所以 x)=e-2x,所以0)=1，所以所求切线方程为y-1=-(x-0),即y=-x+1
11.已知定义在 R 上的奇函数 f(x),设其导数为 f'(x),当 x∈(-∞,0]时,恒有 xf'(x)F(2x-1)的实数 x 的取值范围为( ). A.(-1,2) B.(-1, 1 2 ) C.( 1 2 ,2) D.(-2,1) 答案:A 解析:∵f(x)是奇函数, ∴当 x∈(-∞,0]时,不等式 xf'(x)0 时,F(x)单调递增, ∴不等式 F(3)>F(2x-1)等价于 F(3)>F(|2x-1|),且|2x-1|<3, ∴-3<2x-1<3,得-1<x<2.故选 A. 12.设函数 f(x)=xm+ax 的导函数 f'(x)=2x+1,则数列{ 1 𝑓(𝑛) }(n∈N* )的前 n 项和是 ( ). A. 𝑛 𝑛+1 B. 𝑛+2 𝑛+1 C. 𝑛 𝑛-1 D. 𝑛+1 𝑛 答案:A 解析:由题意,函数 f(x)=xm+ax,则 f'(x)=mxm-1+a,又由 f'(x)=2x+1,所以 m=2,a=1, 所以 f(x)=x2+x,所以 f(n)=n2+n=n(n+1), 所以 1 𝑓(𝑛) = 1 𝑛(𝑛+1) = 1 𝑛 − 1 𝑛+1 , 所以{ 1 𝑓(𝑛) }的前 n 项和为(1 − 1 2 )+( 1 2 − 1 3 )+…+( 1 𝑛 − 1 𝑛+1 )=1- 1 𝑛+1 = 𝑛 𝑛+1 . 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.设 f(n)=1- 1 2 + 1 3 − 1 4 +…+ 1 2𝑛-1 ,则 f(k+1)=f(k)+ (不用化简). 答案: 1 2𝑘+1 − 1 2𝑘 解析:∵f(n)=1- 1 2 + 1 3 − 1 4 +…+ 1 2𝑛-1 , ∴f(k+1)=1- 1 2 + 1 3 − 1 4 +…+ 1 2𝑘-1 − 1 2𝑘 + 1 2𝑘+1 , ∴f(k)=1- 1 2 + 1 3 − 1 4 +…+ 1 2𝑘-1 , ∴f(k+1)-f(k)= 1 2𝑘+1 − 1 2𝑘 . 14.已知函数 f(x)在 R 上连续可导,f'(x)为其导函数,且 f(x)=e x+2f'(0)x,则曲线 f(x)在 点(0,f(0))处的切线方程为 . 答案:y=-x+1 解析:由题意,f'(x)=e x+2f'(0),所以 f'(0)=e 0+2f'(0)=1+2f'(0),因此 f'(0)=-1,所以 f(x)=e x -2x,所以 f(0)=1,所以所求切线方程为 y-1=-(x-0),即 y=-x+1
15.某渔业公司今年年初用100万元购进一艘渔船用于捕捞，已知第一年捕捞工作 需各种费用4万元，从第二年开始，每年所需费用均比上一年增加2万元若该渔 船预计使用n年，则其总花费（含购买费用）为 万元；当n=_ 时，该渔船年平均花费最低（含购买费用）】 答案：m2+3n+10010 解析：由题意，知该渔船每年所需费用是首项为4，公差为2的等差数列，则总花费 S0n)=nx4+m2x2+100=m2+3n+100 2 于是年平均花费为四=n+兴+3≥2n兴+3=23，当且仅当n90即n=10时，等 号成立，也即n=10时，该渔船年平均花费最低 16.牛顿用“作切线”的方法求函数x)的零点时给出了一个数列{xn}xm+1=, f(xn) 我们把该数列称为牛顿数列.若函数x)=ar2+bx+c(a>0)有两个零点1和3，数列 {m}为牛顿数列，a=lg之3且a1=3xn>3,则数列{am}的通项公式为 xn-11 an= 答案3×2m 解析：由函数x)=ax2+bx+c(a>0)有两个零点1和3，可得x)=a(-1)x-3)=ar2 4ax+3a(a>0).则fx)=2ax-4a(a>0)】 由题意，得n+1=x a:4好n+3=xn 行4比m+超=3 a(2xn-4) 2xn-4 2xn-4 33 x元6xn+g 则n+13=2xn4 2x1-4 =xn3)2 xn+11 x7-3 -1 x2xn+1 (xn17 2xn-4 2xn-4 8a+-l8-乎=21g-2an, 又n>3,于是a+1=lgt3=lg3 xn-1 又a1=3,因而数列{an}是首项为3，公比为2的等比数列，故an=3×2m-l 三、解答题：本大题共6小题，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤，共70分 17.(10分)设函数x)=lnx,gx)=x)+fx),求函数g(x)的单调区间和最小值 解：由题意，知) 则gt)=lnx+x>0,.于是g)号 令g(x)=0,得x=1. 则当x∈(0,1)时g(x)0,故区间(1，+o是函数g(x)的单调递增区间. 因此，x=1是(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值，点. 所以gx)的最小值为g(1)=1. 18.(12分)已知数列{an}满足：a1=1,am+1=2am+n-1,bm=am+n. (I)证明：数列{bm}是等比数列； (2)设数列{an}的前n项和为Sm,求Sm
15.某渔业公司今年年初用 100 万元购进一艘渔船用于捕捞,已知第一年捕捞工作 需各种费用 4 万元,从第二年开始,每年所需费用均比上一年增加 2 万元.若该渔 船预计使用 n 年,则其总花费(含购买费用)为 万元;当 n= 时,该渔船年平均花费最低(含购买费用). 答案:n 2+3n+100 10 解析:由题意,知该渔船每年所需费用是首项为 4,公差为 2 的等差数列,则总花费 S(n)=n×4+ 𝑛(𝑛-1) 2 ×2+100=n2+3n+100. 于是年平均花费为𝑆(𝑛) 𝑛 =n+100 𝑛 +3≥2√𝑛· 100 𝑛 +3=23,当且仅当 n= 100 𝑛 ,即 n=10 时,等 号成立,也即 n=10 时,该渔船年平均花费最低. 16.牛顿用“作切线”的方法求函数 f(x)的零点时给出了一个数列{xn}:xn+1=xn- 𝑓(𝑥𝑛 ) 𝑓'(𝑥𝑛 ) , 我们把该数列称为牛顿数列.若函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0)有两个零点 1 和 3,数列 {xn}为牛顿数列,an=lg𝑥𝑛 -3 𝑥𝑛 -1 ,且 a1=3,xn>3,则数列{an}的通项公式为 an= . 答案:3×2 n-1 解析:由函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0)有两个零点 1 和 3,可得 f(x)=a(x-1)(x-3)=ax2 - 4ax+3a(a>0).则 f'(x)=2ax-4a(a>0). 由题意,得 xn+1=xn- 𝑎(𝑥𝑛 2 -4𝑥𝑛 +3) 𝑎(2𝑥𝑛 -4) =xn- 𝑥𝑛 2 -4𝑥𝑛 +3 2𝑥𝑛 -4 = 𝑥𝑛 2 -3 2𝑥𝑛 -4 . 则 𝑥𝑛+1 -3 𝑥𝑛+1 -1 = 𝑥𝑛 2 -3 2𝑥𝑛-4 -3 𝑥𝑛 2 -3 2𝑥𝑛-4 -1 = 𝑥𝑛 2-6𝑥𝑛+9 2𝑥𝑛-4 𝑥𝑛 2-2𝑥𝑛+1 2𝑥𝑛-4 = (𝑥𝑛-3) 2 (𝑥𝑛-1) 2 , 又 xn>3,于是 an+1=lg𝑥𝑛 +1 -3 𝑥𝑛 +1 -1 =lg(𝑥𝑛 -3) 2 (𝑥𝑛 -1) 2=2lg𝑥𝑛 -3 𝑥𝑛 -1 =2an, 又 a1=3,因而数列{an}是首项为 3,公比为 2 的等比数列,故 an=3×2 n-1 . 三、解答题:本大题共 6 小题,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤,共 70 分. 17.(10 分)设函数 f(x)=ln x,g(x)=f(x)+f'(x),求函数 g(x)的单调区间和最小值. 解:由题意,知 f'(x)= 1 𝑥 , 则 g(x)=ln x+1 𝑥 (x>0),于是 g'(x)= 𝑥-1 𝑥 2 . 令 g'(x)=0,得 x=1. 则当 x∈(0,1)时,g'(x)0,故区间(1,+∞)是函数 g(x)的单调递增区间. 因此,x=1 是 g(x)的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点. 所以 g(x)的最小值为 g(1)=1. 18.(12 分)已知数列{an}满足:a1=1,an+1=2an+n-1,bn=an+n. (1)证明:数列{bn}是等比数列; (2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,求 Sn
(I)证明：由bn=an+n,得bn+1=an+1+n+l,又amt1=2an+n-l, ∴.b2=t1+n+=20n+n-1+n+1=2, ”bn an+n an+n 又b1=a41+1=2, ∴.数列{bm}是首项为2，公比为2的等比数列. (2)解：由(1)可得am+n=2n,则an=2m-n. 于是数列{am}的前n项和Sm=2-1+22-2+23-3+…+2m-n=(21+22+…+2m) 1+2+3…+m-212号-号 19.(12分)已知函数x)=音+1nx是其中a∈R,且曲线y)在点(L)处的切 线垂直于直线y-x (1)求a的值： (2)求函数x)的单调区间与极值， 解0对m求子得片÷-三由曲线在点(11)处的切线垂直于直线 y之知1)=子a=-2,解得a- 2油(0可知)-+是nx是 则fx)=x2.5 4x2 令fx)=0,解得x=-1或x=5, 因为x=-1不在x)的定义域(0，+o)内，故舍去. 当x∈(0,5)时fx)0,则x) 在区间(5，+o)内单调递增 由此可知，函数x)在x=5处取得极小值，且极小值为5)=ln5,无极大值，且x)的 单调递减区间为(0,5)，单调递增区间为(5，+0)， 20.(12分)已知)-=ga-1)+lnx-1a∈R,设g=f (1)求gx)的单调区间； (2)若当x≥1时，x)≥0恒成立，求实数a的取值范围 解(1)由题意，得x)的定义域为(0，+o )=号+a ∴gt)/-g+a “g)=号-是，易知g)在区间0，+o)内单调递增，且g)=0, ∴.当x∈(0,1)时g(x)0, ·gx)在区间(0,1)内单调递减，在区间(1，+o)内单调递增。 故函数gx)的单调递增区间为(1，+o),单调递减区间为(0,1)
(1)证明:由 bn=an+n,得 bn+1=an+1+n+1,又 an+1=2an+n-1, ∴ 𝑏𝑛+1 𝑏𝑛 = 𝑎𝑛+1+𝑛+1 𝑎𝑛 +𝑛 = 2𝑎𝑛 +𝑛-1+𝑛+1 𝑎𝑛+𝑛 =2, 又 b1=a1+1=2, ∴数列{bn}是首项为 2,公比为 2 的等比数列. (2)解:由(1)可得 an+n=2 n ,则 an=2 n -n. 于是数列{an}的前 n 项和 Sn=2-1+2 2 -2+2 3 -3+…+2 n -n=(21+2 2+…+2 n )- (1+2+3+…+n)=2 n+1 -2- 𝑛 2 2 − 𝑛 2 . 19.(12 分)已知函数 f(x)= 𝑥 4 + 𝑎 𝑥 -ln x- 3 2 ,其中 a∈R,且曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切 线垂直于直线 y= 1 2 x. (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值. 解:(1)对 f(x)求导得 f'(x)= 1 4 − 𝑎 𝑥 2 − 1 𝑥 ,由曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线 y= 1 2 x,知 f'(1)=- 3 4 -a=-2,解得 a= 5 4 . (2)由(1)可知 f(x)= 𝑥 4 + 5 4𝑥 -ln x- 3 2 , 则 f'(x)= 𝑥 2 -4𝑥-5 4𝑥 2 . 令 f'(x)=0,解得 x=-1 或 x=5. 因为 x=-1 不在 f(x)的定义域(0,+∞)内,故舍去. 当 x∈(0,5)时,f'(x)0,则 f(x) 在区间(5,+∞)内单调递增. 由此可知,函数 f(x)在 x=5 处取得极小值,且极小值为 f(5)=-ln 5,无极大值,且 f(x)的 单调递减区间为(0,5),单调递增区间为(5,+∞). 20.(12 分)已知 f(x)= e 𝑥 e -a(x-1)+ln x-1(a∈R),设 g(x)=f'(x). (1)求 g(x)的单调区间; (2)若当 x≥1 时,f(x)≥0 恒成立,求实数 a 的取值范围. 解:(1)由题意,得 f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)= e 𝑥 e + 1 𝑥 -a, ∴g(x)=f'(x)= e 𝑥 e + 1 𝑥 -a. ∴g'(x)= e 𝑥 e − 1 𝑥 2 ,易知 g'(x)在区间(0,+∞)内单调递增,且 g'(1)=0, ∴当 x∈(0,1)时,g'(x)0, ∴g(x)在区间(0,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增. 故函数 g(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1)
(2)由(1)知gx)在区间(1，+∞)内单调递增，即fx)在区间(1，+o)内单调递增，则当 x≥1时gx)≥g1)=2-a,即fx)≥2-a, 当a≤2时x)≥0，x)在区间[1，+o)内单调递增，则x)≥1)=0，符合题意； 当a>2时/I)=2a0，则存在n∈(l,1+lha使o)-0, 又fx)在区间[1，+o)内单调递增， ∴.当x∈(0，xo)时，fx)0,>1) (1)证明：对任意x∈(0，+o),都有nx0,剥h-点=令hx)-0,得x=4 2x 则当x∈(0,4)时，h(x)>0,当x∈(4，+oo)时，h'x)<0. 所以h(x)在区间(0,4)内单调递增，在区间(4，+o)内单调递减， 所以函数x)在x=4处取得极大值，也是最大值 所以h(x)的最大值为h(4)=ln4-2=2n2-1)0,所以h(x)0在区间(0，+oo)内恒成 立
(2)由(1)知,g(x)在区间(1,+∞)内单调递增,即 f'(x)在区间(1,+∞)内单调递增,则当 x≥1 时,g(x)≥g(1)=2-a,即 f'(x)≥2-a, 当 a≤2 时,f'(x)≥0,f(x)在区间[1,+∞)内单调递增,则 f(x)≥f(1)=0,符合题意; 当 a>2 时,f'(1)=2-a0,则存在 x0∈(1,1+ln a),使 f'(x0)=0, 又 f'(x)在区间[1,+∞)内单调递增, ∴当 x∈(0,x0)时,f'(x)0,a>1). (1)证明:对任意 x∈(0,+∞),都有 ln x0),则 h'(x)= 1 𝑥 − 1 2√𝑥 = 2-√𝑥 2𝑥 ,令 h'(x)=0,得 x=4. 则当 x∈(0,4)时,h'(x)>0,当 x∈(4,+∞)时,h'(x)<0. 所以 h(x)在区间(0,4)内单调递增,在区间(4,+∞)内单调递减, 所以函数 h(x)在 x=4 处取得极大值,也是最大值. 所以 h(x)的最大值为 h(4)=ln 4-2=2(ln 2-1)<0,所以 h(x)<0 在区间(0,+∞)内恒成 立
所以对任意x∈(0，+o),都有lnx0.则gtw)-g且a)-尝令gtw)=0,得x=e 则当x∈(0，e)时g(x)>0,当x∈(e,+oo)时g《x)0), 则p)=1￥= 令p'《x)=0,得x=e-1. 则当x∈(0，e-1)时，p(x)0. 所以p(x)在区间(0，e-1)内单调递减，在区间(e-l,+o)内单调递增，又p(1)=p(e)=0, 所以当x∈(0,1)时，p(x)>0,当x∈(1，e)时，p(x)0, 所以当x∈(0,1)时，x-1>(e-1)lnx,则e-l>xe-l,则fx)>0, 同理可得：当x∈(1，e)时fx)0. 所以x=1和x=e分别是函数x)的极大值点和极小值点. 所以x)的极大值为1)=e-1,极小值为e)=0
所以对任意 x∈(0,+∞),都有 ln x0),则 g'(x)= 1-ln𝑥 𝑥 2 ,且 g(a)= ln𝑎 𝑎 ,令 g'(x)=0,得 x=e. 则当 x∈(0,e)时,g'(x)>0,当 x∈(e,+∞)时,g'(x)0), 则 φ'(x)=1- e-1 𝑥 = 𝑥-(e-1) 𝑥 , 令 φ'(x)=0,得 x=e-1. 则当 x∈(0,e-1)时,φ'(x)0. 所以 φ(x)在区间(0,e-1)内单调递减,在区间(e-1,+∞)内单调递增,又 φ(1)=φ(e)=0, 所以当 x∈(0,1)时,φ(x)>0,当 x∈(1,e)时,φ(x)0, 所以当 x∈(0,1)时,x-1>(e-1)ln x,则 e x-1>xe-1 ,则 f'(x)>0, 同理可得:当 x∈(1,e)时,f'(x)0. 所以 x=1 和 x=e 分别是函数 f(x)的极大值点和极小值点. 所以 f(x)的极大值为 f(1)=e-1,极小值为 f(e)=0