第3课时 导数在解决实际问题中的应用 课后训练提升 基础巩固 1.一底面为正方形的箱子，其体积与底面边长x的关系为x)=x2.600,此时)单调递 增；当400： 3 当2050，∴=二是其唯一的极值点，且为极大值点，也是最大值点 “.当r=时，V取得最大值，且最大值为（元
第 3 课时 导数在解决实际问题中的应用 课后· 基础巩固 1.一底面为正方形的箱子,其体积与底面边长 x 的关系为 V(x)=x2· 60-𝑥 2 (00,此时 V(x)单调递 增;当 400; 当 20√3 3 0,∴r= 𝑙 6是其唯一的极值点,且为极大值点,也是最大值点. ∴当 r= 𝑙 6时,V 取得最大值,且最大值为( 𝑙 6 ) 3 π
4.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使水桶的体积是27π，且用料最省，则水桶的底面 半径为 答案3 解析：设圆柱形水桶的表面积为S,底面半径为，则水桶的高为品 所以S=2+2召=2+54>0，求导数，得S=2令S”=0,解得=3. 当03时，S>0,所以当r=3时，圆柱形水桶的表面积最小，即用 料最省 5.一房地产公司有50套公寓要出租，当月租金定为1000元套时，公寓会全部租 出去，月租金每增加50元，就会多一套租不出去，而租出去的公寓每月需花费100 元维修费，则月租金定为 元套时，此房地产公司可获得最多收入 答案：1800 解析：设没有租出去的公寓为x套」 则收入函数x)=(1000+50x)(50-x)100(50-x)=-50x2+1600x+45000(0≤x≤50)， ∴.fx)=1600-100x, ∴.当x=16时x)取最大值，此时月租金为1000+50×16=1800（元/套） 故把月租金定为1800元/套时收入最多 6.已知某矩形广场的面积为4万平方米，则其周长至少为 米 答案：800 解析：设广场的长为x米，则宽为0米，于是其周长为y-2(x+0)>0), 所以y=2(1-0）,令y=0,解得x=200x=-200舍去) 当0200时y>0 所以当x=20时，y取得最小值，故其周长至少为2×(200+20）-800米 7.已知矩形的两个顶点A,D位于x轴上，另两个顶点B,C位于抛物线y=4-x2在x 轴上方的曲线上，则当这个矩形的面积最大时，它的长和宽分别为 答案号，9 解析：由题意，设AD=2x,则AB=4-x2 于是矩形的面积S=2x(4-x2)=8xr-2x3(0<x<2) ∴.S=8-6x2 令S=0,解得19=2（含去） 当0<x<23时，S0: 当25<x<2时，S<0. ∴.当x=23时，S取得最大值，且最大值为即矩形的长和宽分别为号，3时，矩形 2 2 的面积最大
4.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使水桶的体积是 27π,且用料最省,则水桶的底面 半径为 . 答案:3 解析:设圆柱形水桶的表面积为 S,底面半径为 r,则水桶的高为27 𝑟 2 , 所以 S=πr 2+2πr· 27 𝑟 2=πr 2+ 54π 𝑟 (r>0),求导数,得 S'=2πr- 54π 𝑟 2 ,令 S'=0,解得 r=3. 当 03 时,S'>0,所以当 r=3 时,圆柱形水桶的表面积最小,即用 料最省. 5.一房地产公司有 50 套公寓要出租,当月租金定为 1 000 元/套时,公寓会全部租 出去,月租金每增加 50 元,就会多一套租不出去,而租出去的公寓每月需花费 100 元维修费,则月租金定为 元/套时,此房地产公司可获得最多收入. 答案:1 800 解析:设没有租出去的公寓为 x 套, 则收入函数 f(x)=(1 000+50x)(50-x)-100(50-x)=-50x 2+1 600x+45 000(0≤x≤50), ∴f'(x)=1 600-100x, ∴当 x=16 时,f(x)取最大值,此时月租金为 1 000+50×16=1 800(元/套). 故把月租金定为 1 800 元/套时收入最多. 6.已知某矩形广场的面积为 4 万平方米,则其周长至少为 米. 答案:800 解析:设广场的长为 x 米,则宽为40 000 𝑥 米,于是其周长为 y=2(𝑥 + 40 000 𝑥 )(x>0), 所以 y'=2(1 − 40 000 𝑥 2 ),令 y'=0,解得 x=200(x=-200 舍去). 当 0200 时,y'>0. 所以当 x=200 时,y 取得最小值,故其周长至少为 2×(200 + 40 000 200 )=800 米. 7.已知矩形的两个顶点 A,D 位于 x 轴上,另两个顶点 B,C 位于抛物线 y=4-x 2 在 x 轴上方的曲线上,则当这个矩形的面积最大时,它的长和宽分别为 . 答案: 8 3 , 4√3 3 解析:由题意,设 AD=2x,则 AB=4-x 2 , 于是矩形的面积 S=2x(4-x 2 )=8x-2x 3 (00; 当 2√3 3 <x<2 时,S'<0. ∴当 x= 2√3 3 时,S 取得最大值,且最大值为32√3 9 ,即矩形的长和宽分别为8 3 , 4√3 3 时,矩形 的面积最大
8.一艘轮船在航行中的燃料费和它速度的立方成正比，已知当速度为10k/h时， 燃料费是6元时，而其他与速度无关的费用是96元时，当行驶每千米的费用总和 最小时，此轮船的航行速度为 km/h. 答案20 解析：设轮船的速度为xkm/h时燃料费用为Q元，则Q=r3(0) 因为6=kx103,所以k=3所以Q=3x3 5001 500 设行驶每千米的费用总和为y, 则（品x3+96)归=2+兰≥0 所以y高9令0，解得x-20 因为当x∈(0,20)时y'0,此时函数单调递增」 所以当x=20时，y取得最小值，即当此轮船以20k/h的速度行驶时，行驶每千米 的费用总和最小 9.某造船公司年造船量为20艘，已知造船x(x∈N)艘的产值函数R(x)=3 700x+45x2-10x3(单位：万元)，成本函数为C(x)=460x+5000(单位：万元)，在经济学 中，函数x)的边际函数Mx)定义为Mx)=x+1)x): (I)求利润函数Px)及其边际利润函数MP(x)提示：利润=产值-成本)： (2)年造船量为多少艘时，可使公司造船的年利润最大？ (3)求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义 是什么」 解：(1)Px)=Rx)Cx)=-10x3+45x2+3240x-50000x∈N,且 1≤x≤20).MP(x)=Px+1)P(x)=-30x2+60x+3275(x∈N*,且1≤x≤19). (2)P(x)=-30x2+90x+3240=-30(x-12)x+9) 令P(x)=0,解得x=12或x=-9(舍去) 当00,当x>12时，P(x)<0,所以当x=12时，P(x)有最大值，即年造船 量为12艘时，可使公司造船的年利润最大， (3)MP(x)=-30x2+60x+3275=-30(x-1)2+3305,当x≥1时，MP(x)单调递减，所以单调 递减区间为[1,19]，且x∈N.单调递减的实际意义是：随着产量的增加，每艘船的利 润与前一艘比较，利润在减少 拓展提高 1.某商场从生产厂家购进一批商品，每件的价格为20元.若该商品的零售价定为p 元件，销售量为Q件时，则销售量Q与零售价p有如下关系：Q=8300-170p-p2,则 最大毛利润（毛利润=销售收入-进货支出）为() A.30元 B.60元 C.28000元D.23000元 答案D
8.一艘轮船在航行中的燃料费和它速度的立方成正比,已知当速度为 10 km/h 时, 燃料费是 6 元/时,而其他与速度无关的费用是 96 元/时,当行驶每千米的费用总和 最小时,此轮船的航行速度为 km/h. 答案:20 解析:设轮船的速度为 x km/h 时燃料费用为 Q 元,则 Q=kx3 (k≠0). 因为 6=k×103 ,所以 k= 3 500 ,所以 Q= 3 500 x 3 . 设行驶每千米的费用总和为 y, 则 y=( 3 500 𝑥 3 + 96)· 1 𝑥 = 3 500 x 2+ 96 𝑥 (x>0). 所以 y'= 3 250 x- 96 𝑥 2 .令 y'=0,解得 x=20. 因为当 x∈(0,20)时,y'0,此时函数单调递增, 所以当 x=20 时,y 取得最小值,即当此轮船以 20 km/h 的速度行驶时,行驶每千米 的费用总和最小. 9.某造船公司年造船量为 20 艘,已知造船 x(x∈N* )艘的产值函数 R(x)=3 700x+45x 2 -10x 3 (单位:万元),成本函数为 C(x)=460x+5 000(单位:万元),在经济学 中,函数 f(x)的边际函数 Mf(x)定义为 Mf(x)=f(x+1)-f(x). (1)求利润函数 P(x)及其边际利润函数 MP(x)(提示:利润=产值-成本); (2)年造船量为多少艘时,可使公司造船的年利润最大? (3)求边际利润函数 MP(x)的单调递减区间,并说明单调递减在本题中的实际意义 是什么. 解:(1)P(x)=R(x)-C(x)=-10x 3+45x 2+3 240x-5 000(x∈N* ,且 1≤x≤20).MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x 2+60x+3 275(x∈N* ,且 1≤x≤19). (2)P'(x)=-30x 2+90x+3 240=-30(x-12)(x+9). 令 P'(x)=0,解得 x=12 或 x=-9(舍去). 当 00;当 x>12 时,P'(x)<0,所以当 x=12 时,P(x)有最大值,即年造船 量为 12 艘时,可使公司造船的年利润最大. (3)MP(x)=-30x 2+60x+3 275=-30(x-1)2+3 305,当 x≥1 时,MP(x)单调递减,所以单调 递减区间为[1,19],且 x∈N* .单调递减的实际意义是:随着产量的增加,每艘船的利 润与前一艘比较,利润在减少. 拓展提高 1.某商场从生产厂家购进一批商品,每件的价格为 20 元.若该商品的零售价定为 p 元/件,销售量为 Q 件时,则销售量 Q 与零售价 p 有如下关系:Q=8 300-170p-p 2 ,则 最大毛利润(毛利润=销售收入-进货支出)为( ). A.30 元 B.60 元 C.28 000 元 D.23 000 元 答案:D
解析：设毛利润为L(p)元，由题意知 L(p)=pQ-20Q=Q(p-20) =(8300-170p-p2)p-20) =-p3-150p2+11700p-166000(p≥20) 所以L(p)=-3p2-300p+11700 令Lp)=0,解得p=30或p=-130(舍去) 此时，L(30)=23000 因为在p=30附近的左侧L(p)>0,右侧L(p)0),生产 成本2（单位：万元）是产量x(单位：千台)的函数2=2x3-x2(x>0),为使利润最大，产量 x的值为 答案：6 解析：设利润为y,则y=y1-2=17x2-(2x3-x2)=-2x3+18x2(x>0) 即y'=-6xr2+36x=-6x(x-6), 令y'=0,解得x=0(舍去)或x=6,则当x∈(0,6)时y>0,函数单调递增；当x∈(6，+0 时y'0及x>0,得00, 当x∈(1,1.6)时y'<0 故当x=1时y取最大值，且max=-2+2.2+1.6=1.8,这时高为1.2m 4.为处理含有某种杂质的污水，要制造一宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长为α米，高为b米.已知流出的水中该杂 质的质量分数与α，b的乘积ab成反比，现有制箱材料60平方米，那么当 a= b= 时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小 (A,B孔的面积忽略不计)
解析:设毛利润为 L(p)元,由题意知 L(p)=pQ-20Q=Q(p-20) =(8 300-170p-p 2 )(p-20) =-p 3 -150p 2+11 700p-166 000(p≥20), 所以 L'(p)=-3p 2 -300p+11 700. 令 L'(p)=0,解得 p=30 或 p=-130(舍去). 此时,L(30)=23 000. 因为在 p=30 附近的左侧 L'(p)>0,右侧 L'(p)0),生产 成本 y2(单位:万元)是产量 x(单位:千台)的函数:y2=2x 3 -x 2 (x>0),为使利润最大,产量 x 的值为 . 答案:6 解析:设利润为 y,则 y=y1-y2=17x 2 -(2x 3 -x 2 )=-2x 3+18x 2 (x>0), 即 y'=-6x 2+36x=-6x(x-6). 令 y'=0,解得 x=0(舍去)或 x=6,则当 x∈(0,6)时,y'>0,函数单调递增;当 x∈(6,+∞) 时,y'0 及 x>0,得 00, 当 x∈(1,1.6)时,y'<0, 故当 x=1 时,y 取最大值,且 ymax=-2+2.2+1.6=1.8,这时高为 1.2 m. 4.为处理含有某种杂质的污水,要制造一宽为 2 米的无盖长方体沉淀箱,污水从 A 孔流入,经沉淀后从 B 孔流出,设箱体的长为 a 米,高为 b 米.已知流出的水中该杂 质的质量分数与 a,b 的乘积 ab 成反比,现有制箱材料 60 平方米,那么当 a= ,b= 时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小 (A,B 孔的面积忽略不计)
答案：63 解析：设y为流出的水中该杂质的质量分数，则y-品其中(k>0)为比例系数 依据题意4b+2ab+2a=60(a>0,b>0), 则b=30-a 2+a 于是y=k k ab 30a2=02t20a0,函数单调递增 所以，α=6为函数的极小值点，也是唯一的极值点， 所以函数在α=6处取得最小值 当a=6时，b=3,即当a=6,b=3时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小 5.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量（单位L)关于行驶 速度单位kmh)的函数为yzo。品+800,函数h=高+婴-只0<x≤120)单调递增 故当x=80时，h取得极小值11.25. 因为函教h2+婴-0<x≤120)在区间0,120上只有一个极值所以它是 1280 最小值 故汽车以80kh的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25L
答案:6 3 解析:设 y 为流出的水中该杂质的质量分数,则 y= 𝑘 𝑎𝑏 ,其中 k(k>0)为比例系数. 依据题意 4b+2ab+2a=60(a>0,b>0), 则 b=30-𝑎 2+𝑎 . 于是 y= 𝑘 𝑎𝑏 = 𝑘 30𝑎-𝑎2 2+𝑎 = 𝑘(2+𝑎) 30𝑎-𝑎 2 (00,函数单调递增. 所以,a=6 为函数的极小值点,也是唯一的极值点, 所以函数在 a=6 处取得最小值. 当 a=6 时,b=3,即当 a=6,b=3 时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小. 5.统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量 y(单位:L)关于行驶 速度 x(单位:km/h)的函数为 y= 1 128 000 x 3 - 3 80 x+8(00,函数 h= 1 1 280 x 2+ 800 𝑥 − 15 4 (0<x≤120)单调递增. 故当 x=80 时,h 取得极小值 11.25. 因为函数 h= 1 1 280 x 2+ 800 𝑥 − 15 4 (0<x≤120)在区间(0,120]上只有一个极值,所以它是 最小值. 故汽车以 80 km/h 的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为 11.25 L
挑战创新 某商场从2020年1月份起的前x个月，顾客对某商品的需求总量px)(单位：件)与 x的关系近似地满足px)=xx+1)(39-2x(其中1≤x≤12，且x∈N该商品第x个 月的进货单价gx)(单位：元)与x的近似关系是 150+2x,1≤x≤6，且x∈N, g(x)= 185.16°，7≤x≤12，且x∈N (1)写出2020年第x个月的需求量x)单位：件)与x的函数关系式； (2)该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，试问 该商场2020年第几个月销售该商品的月利润(x)最大，最大月利润为多少元？ 解：(1)当x=1时1)=p1)=37,当2≤x≤12，且x∈N*时x)=px)p(x 1)=xx+1039-2x)2x-l)41-2x)=-3x2+40x 验证x=1时也符合上式，故x)=-3x2+40x(1≤x≤12，且x∈N (2)预计该商场第x个月销售该商品的月利润为 -3x2+40x)35-2x),1≤x≤6，且x∈N 83x2+40x9,7≤x≤12，且x∈N, 100 当1≤x≤6，且x∈N*时g(x)=18x2-370x+1400 令g)=0,解得x=5或x=9(舍去) 则当x∈(1,5)时g《x)>0,g(x)单调递增： 当x∈(5,6)时g《x)<0,g(x)单调递减 因此当1≤x≤6，且x∈N*时g(x)max=g(5)=3125. 当7≤x≤12，且x∈N*时，gx)=-480x+6400单调递减， 故gx)max=g(7)=3040<3125. 故该商场2020年第5个月销售该商品的月利润最大，最大月利润为3125元
挑战创新 某商场从 2020 年 1 月份起的前 x 个月,顾客对某商品的需求总量 p(x)(单位:件)与 x 的关系近似地满足 p(x)= 1 2 x(x+1)(39-2x)(其中 1≤x≤12,且 x∈N* ).该商品第 x 个 月的进货单价 q(x)(单位:元)与 x 的近似关系是 q(x)={ 150 + 2𝑥,1 ≤ 𝑥 ≤ 6,且𝑥∈N * , 185- 160 𝑥 ,7 ≤ 𝑥 ≤ 12,且𝑥∈N * . (1)写出 2020 年第 x 个月的需求量 f(x)(单位:件)与 x 的函数关系式; (2)该商品每件的售价为 185 元,若不计其他费用且每月都能满足市场需求,试问 该商场 2020 年第几个月销售该商品的月利润 g(x)最大,最大月利润为多少元? 解:(1)当 x=1 时,f(1)=p(1)=37,当 2≤x≤12,且 x∈N*时,f(x)=p(x)-p(x- 1)= 1 2 x(x+1)(39-2x)- 1 2 (x-1)x(41-2x)=-3x 2+40x. 验证 x=1 时也符合上式,故 f(x)=-3x 2+40x(1≤x≤12,且 x∈N* ). (2)预计该商场第 x 个月销售该商品的月利润为 g(x)={ (-3𝑥 2 + 40𝑥)(35-2𝑥),1 ≤ 𝑥 ≤ 6,且𝑥∈N * , (-3𝑥 2 + 40𝑥)· 160 𝑥 ,7 ≤ 𝑥 ≤ 12,且𝑥∈N * , 即 g(x)={ 6𝑥 3 -185𝑥 2 + 1 400𝑥,1 ≤ 𝑥 ≤ 6,且𝑥∈N * , -480𝑥 + 6 400,7 ≤ 𝑥 ≤ 12,且𝑥∈N * . 当 1≤x≤6,且 x∈N*时,g'(x)=18x 2 -370x+1 400, 令 g'(x)=0,解得 x=5 或 x= 140 9 (舍去). 则当 x∈(1,5)时,g'(x)>0,g(x)单调递增; 当 x∈(5,6)时,g'(x)<0,g(x)单调递减. 因此当 1≤x≤6,且 x∈N*时,g(x)max=g(5)=3 125. 当 7≤x≤12,且 x∈N*时,g(x)=-480x+6 400 单调递减, 故 g(x)max=g(7)=3 040<3 125. 故该商场 2020 年第 5 个月销售该商品的月利润最大,最大月利润为 3 125 元