综合检测(B卷) (时间120分钟满分：150分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 1(V+)”的展开式中的系数等于() A.45 B-20 C.-45 D.-90 答案：A 解析：通项为Im1=Cio（x)(y=l)0-Cox5号，当=2时的系数为( 10-r 1)C3=45, 2.设随机变量X服从二项分布X~Bn,p),则P等于( (E(X)2 ) A.p2 B.(1-p)2 C.1-p D.以上都不对 答案B 解析：因为X-B(n,p),(D)2=(np(1-p)2,(EX)2=(np}, 所以Dx2 (E(X)2 mp1p=lp.故选B (np)2 3.若(2x+√34=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则(a0+a2+a4)P-(a1+a3P的值是( A.1 B.-1 C.0 D.2 答案A 解析：令x=1,得a0+a1+…+a4=(2+V3)4,令x=-1,a0-a1+a2-a+a4=(-2+V3A,故 (a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(2+V3)(-2+V34=1. 4.从分别标有1,2，…，9的9张卡片中有放回地随机抽取5次，每次抽取1张，则恰 好有2次抽到奇数的概率是( A()' B.c((周 c( Dc)'() 答案B 解析：每次抽到奇数的概率都相等，为。 故恰好有2次抽到奇数的概率是C()() 5.某导弹发射的事故率为0.001，若发射10次，记出事故的次数为飞，则D()=() A.0.0999 B.0.00999 C.0.01 D.0.001 答案B
综合检测(B 卷) (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.(-√𝑥 + 1 𝑥 ) 10 的展开式中 x 2 的系数等于( ) A.45 B.-20 C.-45 D.-90 答案:A 解析:通项为 Tr+1=C10 𝑟 (-𝑥 1 2 ) 10-𝑟 (x -1 ) r=(-1)10-rC10 𝑟 𝑥 5- 3 2 𝑟 ,当 r=2 时,x 2 的系数为(- 1)8C10 2 =45. 2.设随机变量 X 服从二项分布 X~B(n,p),则 (𝐷(𝑋)) 2 (𝐸(𝑋)) 2等于( ) A.p 2 B.(1-p) 2 C.1-p D.以上都不对 答案:B 解析:因为 X~B(n,p),(D(X))2=(np(1-p))2 ,(E(X))2=(np) 2 , 所以(𝐷(𝑋)) 2 (𝐸(𝑋)) 2 = (𝑛𝑝(1-𝑝)) 2 (𝑛𝑝) 2 =(1-p) 2 .故选 B. 3.若(2x+√3) 4=a0+a1x+a2x 2+a3x 3+a4x 4 ,则(a0+a2+a4) 2 -(a1+a3) 2的值是( ) A.1 B.-1 C.0 D.2 答案:A 解析:令 x=1,得 a0+a1+…+a4=(2+√3) 4 ,令 x=-1,a0-a1+a2-a3+a4=(-2+√3) 4 ,故 (a0+a2+a4) 2 -(a1+a3) 2=(2+√3) 4 (-2+√3) 4=1. 4.从分别标有 1,2,…,9 的 9 张卡片中有放回地随机抽取 5 次,每次抽取 1 张,则恰 好有 2 次抽到奇数的概率是( ) A.( 5 9 ) 2 ( 4 9 ) 3 B.C5 2 ( 5 9 ) 2 ( 4 9 ) 3 C.( 4 9 ) 2 ( 5 9 ) 3 D.C5 3 ( 5 9 ) 3 ( 4 9 ) 2 答案:B 解析:每次抽到奇数的概率都相等,为 5 9 , 故恰好有 2 次抽到奇数的概率是C5 2 ( 5 9 ) 2 ( 4 9 ) 3 . 5.某导弹发射的事故率为 0.001,若发射 10 次,记出事故的次数为 ξ,则 D(ξ)=( ) A.0.099 9 B.0.009 99 C.0.01 D.0.001 答案:B
解析：由于每次发射导弹是相互独立的，且重复了10次，因此可以认为是10次独 立重复试验，故服从二项分布B(10,0.001),D()=np(1p)=10×0.001×0.999=0.009 99. 6.若随机变量：-N(-2,4),则变量在区间(-4，-21上取值的概率等于变量飞在下列哪 个区间上取值的概率() A.(2,4] B.0,2] C.[-2,0) D.(-4,4] 答案：C 解析：此正态密度曲线关于直线x=-2对称，故变量飞在区间(4，-2]上取值的概率等 于变量在区间[-2,0)内取值的概率 7.在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息 不同排列表示不同信息.若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应 位置上的数字相同的信息个数为( A.10 B.11 C.12 D.15 答案B 解析：方法一：分0个相同、1个相同、2个相同讨论 (1)若0个相同，则信息为1001，共1个 (2)若1个相同，则信息为0001,1101,1011,1000，共4个 (3)若2个相同，则又分为以下情况 ①若位置一与二相同，则信息为0101； ②若位置一与三相同，则信息为0011； ③若位置一与四相同，则信息为0000； ④若位置二与三相同，则信息为1111： ⑤若位置二与四相同，则信息为1100： ⑥若位置三与四相同，则信息为1010，共有6个 故与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为1+4+6=11 方法二：若0个相同，则共有1个 若1个相同，则共有C4=4(个方 若2个相同，则共有C子=6（个）， 故共有1+4+6=11（个） 8.某地区一次联考的数学成绩X近似地服从正态分布，记为X~N(85,σ2)，己知 P(X≤122)=0.96，现随机从这次考试的成绩中抽取100个样本，则成绩低于48分 的样本个数大约为( A.6 B.4 C.94 D.96 答案B 解析：由题意，知P(X≤122)=0.96，可得P(X≥122)=0.04， 又由对称轴为x=85,所以P(X<48)=0.04
解析:由于每次发射导弹是相互独立的,且重复了 10 次,因此可以认为是 10 次独 立重复试验,故 ξ 服从二项分布 B(10,0.001),D(ξ)=np(1-p)=10×0.001×0.999=0.009 99. 6.若随机变量 ξ~N(-2,4),则变量 ξ 在区间(-4,-2]上取值的概率等于变量 ξ 在下列哪 个区间上取值的概率( ) A.(2,4] B.(0,2] C.[-2,0) D.(-4,4] 答案:C 解析:此正态密度曲线关于直线 x=-2 对称,故变量 ξ 在区间(-4,-2]上取值的概率等 于变量 ξ 在区间[-2,0)内取值的概率. 7.在某种信息传输过程中,用 4 个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息, 不同排列表示不同信息.若所用数字只有 0 和 1,则与信息 0110 至多有两个对应 位置上的数字相同的信息个数为( ) A.10 B.11 C.12 D.15 答案:B 解析:方法一:分 0 个相同、1 个相同、2 个相同讨论. (1)若 0 个相同,则信息为 1001,共 1 个. (2)若 1 个相同,则信息为 0001,1101,1011,1000,共 4 个. (3)若 2 个相同,则又分为以下情况: ①若位置一与二相同,则信息为 0101; ②若位置一与三相同,则信息为 0011; ③若位置一与四相同,则信息为 0000; ④若位置二与三相同,则信息为 1111; ⑤若位置二与四相同,则信息为 1100; ⑥若位置三与四相同,则信息为 1010,共有 6 个. 故与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 1+4+6=11. 方法二:若 0 个相同,则共有 1 个; 若 1 个相同,则共有C4 1=4(个); 若 2 个相同,则共有C4 2=6(个). 故共有 1+4+6=11(个). 8.某地区一次联考的数学成绩 X 近似地服从正态分布,记为 X~N(85,σ 2 ),已知 P(X≤122)=0.96,现随机从这次考试的成绩中抽取 100 个样本,则成绩低于 48 分 的样本个数大约为( ) A.6 B.4 C.94 D.96 答案:B 解析:由题意,知 P(X≤122)=0.96,可得 P(X≥122)=0.04, 又由对称轴为 x=85,所以 P(X<48)=0.04
故成绩小于48分的样本个数为100×0.04=4. 9.由一组观测数据(x1y),(x22)2…,(x12y12)得x=1.542,=2.847 12 5,∑x=29.808,∑y=99.208,∑xy=54.243,则经验回归方程为( i=1 Ay=1.218x-0.969 B.y=-1.218x+0.969 C.y=0.969x+1.218 D.y=1.218x+0.969 答案D 解析：由公式得b≈1.218，a0.969 故经验回归方程为y=1.218x+0.969 10.如图，用4种不同颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域 涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有() A.72种 B.96种 C.108种 D.120种 答案B 解析：分四步来完成：第一步，涂区域1，有4种方法；第二步，涂区域2，有3种方法；第 三步，涂区域4，有2种方法；第四步：涂区域3，分两类，第一类，区域3与区域1同色 则区域5涂第四种颜色，第二类，区域3与区域1不同色，则涂第四种颜色，此时区 域5就可以涂区域1或区域2或区域3中的任意一种颜色，有3种方法.所以，不 同的涂色种数有4×3×2×(1×1+1×3)=96（种） 11.假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1p,且各引擎是否有故障 相互独立，己知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行：2引擎 飞机要2个引擎全部正常运行，飞机才可成功飞行.要使4引擎飞机比2引擎飞机 更安全，则p的取值范围是( A(作，) B.(1) c(o,) D(o,) 答案B 解析：4引擎飞机成功飞行的概率为Cp(1p)+p,2引擎飞机成功飞行的概率为 p2,要使Cp(1-p)+p>p2,必有p1. 12.下列说法正确的是() A(2-4)x+)°的展开式中含项的系数为-210
故成绩小于 48 分的样本个数为 100×0.04=4. 9.由一组观测数据(x1,y1),(x2,y2),…,(x12,y12)得𝑥=1.542,𝑦=2.847 5, ∑ 𝑖=1 12 xi 2=29.808, ∑ i=1 12 𝑦𝑖 2=99.208, ∑ 𝑖=1 12 xiyi=54.243,则经验回归方程为( ) A.𝑦 ^ =1.218x-0.969 B.𝑦 ^ =-1.218x+0.969 C.𝑦 ^ =0.969x+1.218 D.𝑦 ^ =1.218x+0.969 答案:D 解析:由公式得𝑏 ^ ≈1.218,a ^ ≈0.969, 故经验回归方程为𝑦 ^ =1.218x+0.969. 10.如图,用 4 种不同颜色对图中 5 个区域涂色(4 种颜色全部使用),要求每个区域 涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色种数有( ) A.72 种 B.96 种 C.108 种 D.120 种 答案:B 解析:分四步来完成:第一步,涂区域 1,有 4 种方法;第二步,涂区域 2,有 3 种方法;第 三步,涂区域 4,有 2 种方法;第四步:涂区域 3,分两类,第一类,区域 3 与区域 1 同色, 则区域 5 涂第四种颜色,第二类,区域 3 与区域 1 不同色,则涂第四种颜色,此时区 域 5 就可以涂区域 1 或区域 2 或区域 3 中的任意一种颜色,有 3 种方法.所以,不 同的涂色种数有 4×3×2×(1×1+1×3)=96(种). 11.假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为 1-p,且各引擎是否有故障 相互独立,已知 4 引擎飞机中至少有 3 个引擎正常运行,飞机就可成功飞行;2 引擎 飞机要 2 个引擎全部正常运行,飞机才可成功飞行.要使 4 引擎飞机比 2 引擎飞机 更安全,则 p 的取值范围是( ) A.( 2 3 ,1) B.( 1 3 ,1) C.(0, 2 3 ) D.(0, 1 3 ) 答案:B 解析:4 引擎飞机成功飞行的概率为C4 3p 3 (1-p)+p4 ,2 引擎飞机成功飞行的概率为 p 2 ,要使C4 3p 3 (1-p)+p4>p2 ,必有1 3 <p<1. 12.下列说法正确的是( ) A.(x 2 -4)(𝑥 + 1 𝑥 ) 9 的展开式中含 x 3 项的系数为-210
B.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，从独立性检验知，有充分的证据推证 吸烟与患肺病有关，且此推断犯错误的概率不超过0.01，我们说某人吸烟，那么他 有99%的可能患肺病 C.设随机变量服从正态分布N(2,9),若P(>c)=P(0对x>1恒成立的充要条件是0c)=P(0对x>1恒成立，则当a=0时，满足条件；当a0时， (a>0. 有 f(1)=-a+2≥0，解得00对x>1恒成立的充要条件是0≤a≤2成立，故D不 正确」 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面朝上时，就说这次试验 成功，则在2次试验中成功次数X的均值是 答案 解析：方法一：由题意可知每次试验不成功的概率为三成功的概率为三在2次试验 中成功次数X的可能取值为0,1,2， 则PX-0)=六P0K=)-c防×x=P-2)-(目)2=是 因此在2次试验中成功次数X的分布列为 3 6 则在2次试验中成功次数X的均值为 B00-0x合+1×g+2x品=是 16 8 方法二：此试验满足二项分布，其中子故在2次试验中成功次数X的均值为 00=p-2x2=》
B.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中,从独立性检验知,有充分的证据推证 吸烟与患肺病有关,且此推断犯错误的概率不超过 0.01,我们说某人吸烟,那么他 有 99%的可能患肺病 C.设随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,9),若 P(ξ>c)=P(ξ0 对∀x>1 恒成立的充要条件是 0c)=P(ξ0 对∀x>1 恒成立,则当 a=0 时,满足条件;当 a≠0 时, 有{ 𝑎 > 0, 𝑓(1) = -𝑎 + 2 ≥ 0, 2𝑎-3 2𝑎 ≤ 1, 解得 00 对∀x>1 恒成立的充要条件是 0≤a≤2 成立,故 D 不 正确. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面朝上时,就说这次试验 成功,则在 2 次试验中成功次数 X 的均值是 . 答案: 3 2 解析:方法一:由题意可知每次试验不成功的概率为1 4 ,成功的概率为3 4 ,在 2 次试验 中成功次数 X 的可能取值为 0,1,2, 则 P(X=0)= 1 16 ,P(X=1)=C2 1 × 1 4 × 3 4 = 3 8 ,P(X=2)=( 3 4 ) 2 = 9 16 . 因此在 2 次试验中成功次数 X 的分布列为 X 0 1 2 P 1 16 3 8 9 16 则在 2 次试验中成功次数 X 的均值为 E(X)=0× 1 16 +1× 3 8 +2× 9 16 = 3 2 . 方法二:此试验满足二项分布,其中 p= 3 4 ,故在 2 次试验中成功次数 X 的均值为 E(X)=np=2× 3 4 = 3 2
14.为了调查患慢性气管炎是否与吸烟有关，调查了339名50岁以上的人，调查结 果如下表所示， 单位：人 是否患慢性气管炎 是否吸烟 患慢性气管炎 未患慢性气管炎 合计 吸烟 43 162 205 不吸烟 13 121 134 合计 56 283 339 根据列联表数据，求得2≈ 答案：7.469 解析：由计算公式得 n(ad-be)2 (abXerdae 339×(43×121-162×13)2 7.469 205×134×56×283 15.在5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5，若将它们混合，再任意排列成一行，则得 到的数能被2或5整除的概率是 答案 解析：因为五位数的总个数为A=120,能被2或5整除的五位数的个数为 3×A4=72,所以P=72=3 1205 16.某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中 目标相互之间没有影响，有下列结论 ①他第3次击中目标的概率是0.9： ②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1； ③他至少击中目标1次的概率是1-0.14 其中结论正确的序号是 答案：①③ 解析：①因为各次射击是否击中目标相互之间没有影响，所以第3次击中目标的概 率是0.9，正确： ②恰好击中目标3次的概率应为C3×0.93×0.1,错误； ③4次射击都未击中的概率为0.14，则至少击中目标1次的概率为10.14，正确 三、解答题共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 1710分已知(+1y展开式中的各项系数之和等于（传x2+)°的展开式的常 数项，而(a2+1y的展开式的系数最大的项等于54，求a的值. 解：由已知得（侣x2+)的展开式的通项为 1-c(x)'(=(9cg 令20-5r=0,得=4
14.为了调查患慢性气管炎是否与吸烟有关,调查了 339 名 50 岁以上的人,调查结 果如下表所示. 单位:人 是否吸烟 是否患慢性气管炎 合计 患慢性气管炎 未患慢性气管炎 吸烟 43 162 205 不吸烟 13 121 134 合计 56 283 339 根据列联表数据,求得 χ 2≈ . 答案:7.469 解析:由计算公式得 χ 2= 𝑛(𝑎𝑑-𝑏𝑐) 2 (𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑) = 339×(43×121-162 ×13) 2 205 ×134 ×56×283 ≈7.469. 15.在 5 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,5,若将它们混合,再任意排列成一行,则得 到的数能被 2 或 5 整除的概率是 . 答案: 3 5 解析:因为五位数的总个数为A5 5=120,能被 2 或 5 整除的五位数的个数为 3×A4 4=72,所以 P= 72 120 = 3 5 . 16.某射手射击 1 次,击中目标的概率是 0.9,他连续射击 4 次,且各次射击是否击中 目标相互之间没有影响,有下列结论: ①他第 3 次击中目标的概率是 0.9; ②他恰好击中目标 3 次的概率是 0.9 3×0.1; ③他至少击中目标 1 次的概率是 1-0.1 4 . 其中结论正确的序号是 . 答案:①③ 解析:①因为各次射击是否击中目标相互之间没有影响,所以第 3 次击中目标的概 率是 0.9,正确; ②恰好击中目标 3 次的概率应为C4 3×0.9 3×0.1,错误; ③4 次射击都未击中的概率为 0.1 4 ,则至少击中目标 1 次的概率为 1-0.1 4 ,正确. 三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10 分)已知(a 2+1)n 展开式中的各项系数之和等于( 16 5 𝑥 2 + 1 √𝑥 ) 5 的展开式的常 数项,而(a 2+1)n 的展开式的系数最大的项等于 54,求 a 的值. 解:由已知得( 16 5 𝑥 2 + 1 √𝑥 ) 5 的展开式的通项为 Tr+1=C5 𝑟 ( 16 5 𝑥 2 ) 5-𝑟 ( 1 √𝑥 ) 𝑟 = ( 16 5 ) 5-𝑟 C5 𝑟𝑥 20-5𝑟 2 . 令 20-5r=0,得 r=4
故常数项15=C×乌=16 又(a2+1y展开式的各项系数之和等于2m, 由题意知2m=16,得n=4. 由二项式系数的性质知，(2+1)y”展开式中系数最大的项是中间项T, 故有Ca-54 解得a=士V3. 18.(12分)甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为乙每次击中目 标的概率为 (I)记甲击中目标的次数为X,求X的概率分布列及均值E): (2)求乙至多击中目标2次的概率； (3)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率， 解(1)X的概率分布列为 2 3 1 3 8 8 8 8 均值E00=0x日+1×2+2×2+3xg=月 8 2乙至多击中目标2次的概率为1-C()°=号 (3)设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目 标0次为事件B1,甲恰好击中目标3次且乙恰好击中目标1次为事件B2,则 A=B1+B2. 国为B1,Bm为互斥事件，所以P心)=PB)HPB)×言+言×号=云 1 19.(12分)退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某 机构为了解某城市市民的年龄构成，按1%的比例从年龄在20-80岁（含20岁和 80岁)之间的市民中随机抽取600人进行调查，并将年龄按 [20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]进行分组，绘制成频率分布直方图，如 图所示.规定年龄在20,40)岁的人为青年人”，40,60)岁的人为中年人”，[60,801岁 的人为老年人” ↑频率/组距 0.03 0.02 0.01 20304050607080年龄/岁 (1)根据频率分布直方图估计该城市60岁以上（含60岁）的人数，若每一组中的数 据用该组区间的中点值来代表，试估算所调查的600人的平均年龄；
故常数项 T5=C5 4 × 16 5 =16. 又(a 2+1)n 展开式的各项系数之和等于 2 n , 由题意知 2 n=16,得 n=4. 由二项式系数的性质知,(a 2+1)n 展开式中系数最大的项是中间项 T3, 故有C4 2a 4=54, 解得 a=±√3. 18.(12 分)甲、乙两人各进行 3 次射击,甲每次击中目标的概率为1 2 ,乙每次击中目 标的概率为2 3 . (1)记甲击中目标的次数为 X,求 X 的概率分布列及均值 E(X); (2)求乙至多击中目标 2 次的概率; (3)求甲恰好比乙多击中目标 2 次的概率. 解:(1)X 的概率分布列为 X 0 1 2 3 P 1 8 3 8 3 8 1 8 均值 E(X)=0× 1 8 +1× 3 8 +2× 3 8 +3× 1 8 = 3 2 . (2)乙至多击中目标 2 次的概率为 1-C3 3 ( 2 3 ) 3 = 19 27 . (3)设甲恰好比乙多击中目标 2 次为事件 A,甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目 标 0 次为事件 B1,甲恰好击中目标 3 次且乙恰好击中目标 1 次为事件 B2,则 A=B1+B2. 因为 B1,B2 为互斥事件,所以 P(A)=P(B1)+P(B2)= 3 8 × 1 27 + 1 8 × 2 9 = 1 24 . 19.(12 分)退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某 机构为了解某城市市民的年龄构成,按 1%的比例从年龄在 20~80 岁(含 20 岁和 80 岁)之间的市民中随机抽取 600 人进行调查,并将年龄按 [20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]进行分组,绘制成频率分布直方图,如 图所示.规定年龄在[20,40)岁的人为“青年人”,[40,60)岁的人为“中年人”,[60,80]岁 的人为“老年人”. (1)根据频率分布直方图估计该城市 60 岁以上(含 60 岁)的人数,若每一组中的数 据用该组区间的中点值来代表,试估算所调查的 600 人的平均年龄;
(2)将上述人口分布的频率视为该城市年龄在20~80岁的人口分布的概率，从该城 市年龄在20-80岁的市民中随机抽取3人，记抽到老年人”的人数为X,求随机变 量X的分布列和数学期望 解：(1)由频率分布直方图可知60岁以上（含60岁）的频率为(0.01+0.01)×10=0.2， 故样本中60岁以上（含60岁）的人数为600×0.2=120，故该城市60岁以上（含60 岁)的人数为120÷1%=12000. 所调查的600人的平均年龄为 25×0.1+35×0.2+45×0.3+55×0.2+65×0.1+75×0.1=48(岁) 2)由频率分布直方图知，“老年人”所占的频率为号 因此从该城市年龄在20~80岁的市民中随机抽取1人，抽到“老年人”的概率为号 分析可知X的所有可能取值为0,1,2,3， Pox-0)-c((= Px=1-c()')°=器 Px-2-c目'（目=器 P0x=3)-c(目)'（目°=话 所以X的分布列为 64 48 12 1 125 125 125 125 E00=0X会+1x器+2x岳+3x六=昌 125 125 125 125 20.(12分)某聋哑研究机构对聋与哑是否有关系进行抽样调查，在耳聋的657人中 有416人哑，而在另外不聋的680人中有249人哑.依据小概率值a=0.001的独立 性检验，能否推断出聋与哑有关系？ 解：根据题目所给数据得到如下列联表： 单位：人 是否哑 是否聋 合计 哑 不哑 聋 416 241 557 不聋 249 431 580 合计 665 672 1337 零假设为H0:聋与哑无关 根据列联表中数据得到： X=1376x4a24X249295.291>10.828=001 657×680×665×672
(2)将上述人口分布的频率视为该城市年龄在 20~80 岁的人口分布的概率,从该城 市年龄在 20~80 岁的市民中随机抽取 3 人,记抽到“老年人”的人数为 X,求随机变 量 X 的分布列和数学期望. 解:(1)由频率分布直方图可知 60 岁以上(含 60 岁)的频率为(0.01+0.01)×10=0.2, 故样本中 60 岁以上(含 60 岁)的人数为 600×0.2=120,故该城市 60 岁以上(含 60 岁)的人数为 120÷1%=12 000. 所调查的 600 人的平均年龄为 25×0.1+35×0.2+45×0.3+55×0.2+65×0.1+75×0.1=48(岁). (2)由频率分布直方图知,“老年人”所占的频率为1 5 , 因此从该城市年龄在 20~80 岁的市民中随机抽取 1 人,抽到“老年人”的概率为1 5 , 分析可知 X 的所有可能取值为 0,1,2,3, P(X=0)=C3 0 ( 1 5 ) 0 ( 4 5 ) 3 = 64 125 , P(X=1)=C3 1 ( 1 5 ) 1 ( 4 5 ) 2 = 48 125 , P(X=2)=C3 2 ( 1 5 ) 2 ( 4 5 ) 1 = 12 125 , P(X=3)=C3 3 ( 1 5 ) 3 ( 4 5 ) 0 = 1 125 . 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 64 125 48 125 12 125 1 125 E(X)=0× 64 125 +1× 48 125 +2× 12 125 +3× 1 125 = 3 5 . 20.(12 分)某聋哑研究机构对聋与哑是否有关系进行抽样调查,在耳聋的 657 人中 有 416 人哑,而在另外不聋的 680 人中有 249 人哑.依据小概率值 α=0.001 的独立 性检验,能否推断出聋与哑有关系? 解:根据题目所给数据得到如下列联表: 单位:人 是否聋 是否哑 合计 哑 不哑 聋 416 241 657 不聋 249 431 680 合计 665 672 1 337 零假设为 H0:聋与哑无关. 根据列联表中数据得到: χ 2= 1 337×(416 ×431-241 ×249) 2 657 ×680 ×665×672 ≈95.291>10.828=x0.001
根据小概率值α=0.001的独立性检验，有充分证据推断出Ho不成立，即聋与哑有 关系，此推断犯错误的概率不超过0.001」 21.(12分)某市在高三年级开展了一次体质健康模拟测试（健康指数满分100分）， 并从中随机抽取了200名学生的数据，根据他们的健康指数绘制了频率分布直方 图如图所示 ↑频率/组距 0.0375 ■■■■■■■■■■■ 0.0225 0.02 0.01 0.007 0.0025 40 5060708090100健康指数 (1)估计这200名学生健康指数的平均数x和样本方差s2(同一组数据用该组区间 的中点值作代表)： (2)由频率分布直方图知，该市学生的健康指数X近似服从正态分布即X~N(4,σ2)， 其中u近似为样本平均数元，σ2近似为样本方差s2. ①求P(63.4<X<98.2) ②已知该市高三学生约有10000名，记体质健康指数在区间(63.4,98.2)内的人数 为，试求E() 附：参考数据：V1.35≈1.16 若随机变量X服从正态分布N(u,o2),则P(-o<X<u+oF0.6827 P(u-2o<X<u+2σ≈0.9545，P-3o<X<4+3o0.9973. 解(1)由频率分布直方图可知，各区间对应的频数分布表如下表所示 分值 [40, [50 [60 [70, [80 90, 区间 50) 50) 70) 180) 90) 100] 频数 5 15 40 75 45 20 因此x=(45×5+55×15+65×40+75×75+85×45+95×20)×1=75 200 32=(45-75×点+(5-75P×品+65-75P×"+(85-75y×0+(95-75×器-135 (2)①由(1)知X-N(75,135),且11.6， 故P(63.4<X<98.2)=P0u-o<Xu+2o)=2x0.9545+2×0.6827=0.8186. ②依题意，服从二项分布，即-B(104,0.8186),则E(=p=8186 22.(12分)在7块形状、大小相同的并排试验田上进行施肥量对水稻产量影响的 试验，得到一组数据如表所示（单位kg) 施肥量x水g 15 20 25 30 35 40 45 水稻产量y水g330 345 B65 405 445 450 455 (1)以施肥量x为自变量，水稻产量y为因变量，作出散点图； (2)求y与x之间的经验回归方程，并求施肥量为28kg时水稻产量的预测值：
根据小概率值 α=0.001 的独立性检验,有充分证据推断出 H0 不成立,即聋与哑有 关系,此推断犯错误的概率不超过 0.001. 21.(12 分)某市在高三年级开展了一次体质健康模拟测试(健康指数满分 100 分), 并从中随机抽取了 200 名学生的数据,根据他们的健康指数绘制了频率分布直方 图如图所示. (1)估计这 200 名学生健康指数的平均数𝑥和样本方差 s 2 (同一组数据用该组区间 的中点值作代表); (2)由频率分布直方图知,该市学生的健康指数 X 近似服从正态分布即 X~N(μ,σ 2 ), 其中 μ 近似为样本平均数𝑥,σ 2 近似为样本方差 s 2 . ①求 P(63.4<X<98.2); ②已知该市高三学生约有 10 000 名,记体质健康指数在区间(63.4,98.2)内的人数 为 ξ,试求 E(ξ). 附:参考数据:√1.35≈1.16. 若随机变量 X 服从正态分布 N(μ,σ 2 ),则 P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.682 7, P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ<X<μ+3σ)≈0.997 3. 解:(1)由频率分布直方图可知,各区间对应的频数分布表如下表所示: 分值 区间 [40, 50) [50, 60) [60, 70) [70, 80) [80, 90) [90, 100] 频数 5 15 40 75 45 20 因此𝑥=(45×5+55×15+65×40+75×75+85×45+95×20)× 1 200 =75, s 2=(45-75)2× 5 200 +(55-75)2× 15 200 +(65-75)2× 40 200 +(85-75)2× 45 200 +(95-75)2× 20 200 =135. (2)①由(1)知 X~N(75,135),且 σ≈11.6, 故 P(63.4<X<98.2)=P(μ-σ<X<μ+2σ)= 1 2 ×0.954 5+ 1 2 ×0.682 7=0.818 6. ②依题意,ξ 服从二项分布,即 ξ~B(104 ,0.818 6),则 E(ξ)=np=8 186. 22.(12 分)在 7 块形状、大小相同的并排试验田上进行施肥量对水稻产量影响的 试验,得到一组数据如表所示(单位:kg): 施肥量 x/kg 15 20 25 30 35 40 45 水稻产量 y/kg 330 345 365 405 445 450 455 (1)以施肥量 x 为自变量,水稻产量 y 为因变量,作出散点图; (2)求 y 与 x 之间的经验回归方程,并求施肥量为 28 kg 时水稻产量的预测值;
(3)计算残差，并计算残差平方和： (4)求R2 解(1)散，点图如图所示： 个水稻产量kg 500 450 400 350 30 1020304050施肥量/kg (2)由散点图可以看出，样本，点呈条状分布，施肥量和水稻产量有较好的线性相关 关系，因此，可以用经验回归方程近似刻画它们之间的关系 设经验回归方程为y=bx+a,x=30,399.3, A Σ(x元-列 于是b= (x)2 i=1 代入数据得b≈4.75 a=y-bx≈399.3-4.75×30=256.8， 因此所求的经验回归方程是y=4.75x+256.8. 当x=28时，水稻产量的预测值是 y=4.75×28+256.8=389.8kg) (3)因为残差e=y-y 所以可得e1=1.95,e2=-6.8,e3=-10.55,e4=5.7,e5=21.95,e6=3.2,e7=-15.55, > 所以残差平方和为∑e=927.68. i=1 (4)Σ0-y2=16721.43 1三1 故R2=1-,927680.9445=94.45% 16721.43
(3)计算残差,并计算残差平方和; (4)求 R 2 . 解:(1)散点图如图所示: (2)由散点图可以看出,样本点呈条状分布,施肥量和水稻产量有较好的线性相关 关系,因此,可以用经验回归方程近似刻画它们之间的关系. 设经验回归方程为𝑦 ^ = b ^ x+𝑎 ^ , 𝑥=30,𝑦≈399.3, 于是𝑏 ^ = ∑ 𝑖=1 7 (𝑥𝑖 -𝑥)(𝑦𝑖 -𝑦) ∑ 𝑖=1 7 (𝑥𝑖 -𝑥) 2 , 代入数据得𝑏 ^ ≈4.75, 𝑎 ^ = 𝑦 − 𝑏 ^ 𝑥≈399.3-4.75×30=256.8, 因此所求的经验回归方程是𝑦 ^ =4.75x+256.8. 当 x=28 时,水稻产量的预测值是 𝑦 ^ =4.75×28+256.8=389.8(kg). (3)因为残差 ei=yi-𝑦 ^ 𝑖 , 所以可得 e1=1.95,e2=-6.8,e3=-10.55,e4=5.7,e5=21.95,e6=3.2,e7=-15.55, 所以残差平方和为 ∑ 𝑖=1 7 𝑒𝑖 2=927.68. (4) ∑ 𝑖=1 7 (yi-𝑦) 2=16 721.43, 故 R 2=1- 927.68 16 721.43 ≈0.944 5=94.45%