7.2离散型随机变量及其分布列 课后训练提升 基础巩固 1.下列变量中，不是随机变量的是() A.某景点7月份每天接待的游客数量 B.2022年冬奥会上中国取得的奖牌数 C.某人投篮2次，投中的次数 D.某急救中心每天接到的呼救次数 答案B 解析：2022年我国冬奥会上取得的奖牌数是一个具体的数字，不是随机变量，其他 三个均为随机变量 2.下列表格中，不是某个随机变量的分布列的是( A -2 2 4 0.5 0.2 0.3 0 0 1 2 0.7 0.15 0.15 2 3 1 2 2 3 2 3 lg 1 Ig 2 lg 5 答案：C 解析：C选项中，P(X=1)<0不符合P(X=x)≥0的特点，也不符合 PX=1)+PX=2)+P(X=3)=1的特点，故C选项不是分布列. 3.(多选题)下面给出四个随机变量，其中是离散型随机变量的为( A.高速公路某收费站在未来1小时内经过的车辆数X B.一个沿直线y=x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置Y C.某商店每天卖出的瓶装矿泉水 D某人一生中的身高X 答案：AC
7.2 离散型随机变量及其分布列 课后· 基础巩固 1.下列变量中,不是随机变量的是( ) A.某景点 7 月份每天接待的游客数量 B.2022 年冬奥会上中国取得的奖牌数 C.某人投篮 2 次,投中的次数 D.某急救中心每天接到的呼救次数 答案:B 解析:2022 年我国冬奥会上取得的奖牌数是一个具体的数字,不是随机变量,其他 三个均为随机变量. 2.下列表格中,不是某个随机变量的分布列的是( ) A. X -2 0 2 4 P 0.5 0.2 0.3 0 B. X 0 1 2 P 0.7 0.15 0.15 C. X 1 2 3 P - 1 3 1 2 2 3 D. X 1 2 3 P lg 1 lg 2 lg 5 答案:C 解析:C 选项中,P(X=1)<0 不符合 P(X=xi)≥0 的特点,也不符合 P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1 的特点,故 C 选项不是分布列. 3.(多选题)下面给出四个随机变量,其中是离散型随机变量的为( ) A.高速公路某收费站在未来 1 小时内经过的车辆数 X B.一个沿直线 y=x 进行随机运动的质点,它在该直线上的位置 Y C.某商店每天卖出的瓶装矿泉水 D.某人一生中的身高 X 答案:AC
解析：对于A,收费站在未来1小时内经过的车辆数X有限，且可一一列出，是离散 型随机变量，同理，C也是：而BD,都是某一范围内的任意实数，无法一一列出，不符 合离散型随机变量的定义.故选AC 4.(多选题)下列问题中的随机变量服从两点分布的是() A.抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量X B.某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量X 〔1，取出白球， C.从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X= 0,取出红球 D某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X 答案BCD 解析：A中随机变量X的取值有6个，不服从两点分布，BCD均服从两点分布，故选 BCD. 5.若随机变量X的分布列如下表所示，则2+b2的最小值为( X=i 2 P(X=i) A24 1 B品 c 案：C 解析由分布列性质可知a+b且a≥0，b≥0，剥a2+≥a-吉 6.袋中装有10个红球，5个黑球，每次随机抽取一个球，若取到黑球，则另换一个红 球放回袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为X,则表示“放回5个红球”的事件 为() AY=4 B.X=5 C.X=6 D.X≤4 答案：C 解析：若第一次取到黑球，则放回1个红球：若第二次取到黑球，则再放回1个红 球…共放了五回，第六次取到了红球，试验终止，故X=6 7.设随机变量X等可能地取值1,2,3,4，…，10.又设随机变量Y=2X-1,则P(Y<6)的值 为) A.0.3 B.0.5 C.0.1 D.0.2 答案A 解析Y<6即2X1<6,解得X<3又随机变量X等可能地取值1,2,3,4，…，10， 故X=1,2,3 因此PY<6)=P(X<)=PX=1)+PX=2)+PX=3)=0
解析:对于 A,收费站在未来 1 小时内经过的车辆数 X 有限,且可一一列出,是离散 型随机变量,同理,C 也是;而 BD,都是某一范围内的任意实数,无法一一列出,不符 合离散型随机变量的定义.故选 AC. 4.(多选题)下列问题中的随机变量服从两点分布的是( ) A.抛掷一枚骰子,所得点数为随机变量 X B.某射手射击一次,击中目标的次数为随机变量 X C.从装有 5 个红球,3 个白球的袋中取 1 个球,令随机变量 X={ 1,取出白球, 0,取出红球 D.某医生做一次手术,手术成功的次数为随机变量 X 答案:BCD 解析:A 中随机变量 X 的取值有 6 个,不服从两点分布,BCD 均服从两点分布,故选 BCD. 5.若随机变量 X 的分布列如下表所示,则 a 2+b2 的最小值为( ) X=i 0 1 2 3 P(X=i) 1 4 a 1 4 b A. 1 24 B. 1 16 C. 1 8 D. 1 4 答案:C 解析:由分布列性质可知 a+b=1 2 ,且 a≥0,b≥0,则 a 2+b2≥ (𝑎+𝑏) 2 2 = 1 8 . 6.袋中装有 10 个红球,5 个黑球,每次随机抽取一个球,若取到黑球,则另换一个红 球放回袋中,直到取到红球为止,若抽取的次数为 X,则表示“放回 5 个红球”的事件 为( ) A.X=4 B.X=5 C.X=6 D.X≤4 答案:C 解析:若第一次取到黑球,则放回 1 个红球;若第二次取到黑球,则再放回 1 个红 球……共放了五回,第六次取到了红球,试验终止,故 X=6. 7.设随机变量 X 等可能地取值 1,2,3,4,…,10.又设随机变量 Y=2X-1,则 P(Y<6)的值 为( ) A.0.3 B.0.5 C.0.1 D.0.2 答案:A 解析:Y<6 即 2X-1<6,解得 X<7 2 ,又随机变量 X 等可能地取值 1,2,3,4,…,10, 故 X=1,2,3, 因此 P(Y<6)=P(𝑋 < 7 2 )=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)= 3 10
8.在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不 正确得-100分，则选手甲回答这三个问题的总得分‘的所有可能取值是 答案：300,100，-100，-300 解析：可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100 分，-100分，-300分 9.将一枚硬币掷三次，设X为正面朝上的次数，则P(0<X<3)= 答案 解析：本题是一个等可能事件的概率试验发生包含的事件是将一枚硬币掷三次共 有23=8种结果.而X的可能取值为0,1,2,3.X=0表示三次都是反面朝上，有一种结 果，X=3表示三次都是正面朝上，有一种结果」 因此，P0<X3)=1台= 10.一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为. (1)列表说明可能出现的结果与对应的飞的值： (2)若规定抽取3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后不管结 果都加上6分.求最终得分n的可能取值，并判定？的随机变量类型 解1) 1 2 3 可能 取得1个白 取得2个白 取得3 取得3个黑球 结果 球，2个黑球 球，1个黑球 个白球 (2)由题意可得1=5+6，因为可能的取值范围为0,1,2,3， 所以1对应的各值是5×0+6,5×1+6,5×2+6,5×3+6 故7的可能取值为6,11,16,21，显然1为离散型随机变量 11.从集合{1,2,3,4,5}中，等可能地取出一个非空子集 (1)记性质：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r的概 率 (2)记所取出的非空子集的元素个数为X,求X的分布列： 解(1)记“所取出的非空子集满足性质”为事件A 试验样本空间Q包含C+C?+C+C+C-31个样本，点，即n(2)=31 事件A包含的样本，点是{1,4,5}，{2,3,5}，{1,2,34}，即4)=3 国此PM (2)依题意X的所有可能值为1,2,3,4,5 又P0KX=I=品P0X-2)-=品 31 P0X=3)=品PX=4)-=品 31 31 P0X=5)=g=击 故X的分布列为
8.在一次比赛中,需回答三个问题,比赛规则规定:每题回答正确得 100 分,回答不 正确得-100 分,则选手甲回答这三个问题的总得分 ξ 的所有可能取值是 . 答案:300,100,-100,-300 解析:可能回答全对,两对一错,两错一对,全错四种结果,相应得分为 300 分,100 分,-100 分,-300 分. 9.将一枚硬币掷三次,设 X 为正面朝上的次数,则 P(0<X<3)= . 答案: 3 4 解析:本题是一个等可能事件的概率.试验发生包含的事件是将一枚硬币掷三次共 有 2 3=8 种结果.而 X 的可能取值为 0,1,2,3.X=0 表示三次都是反面朝上,有一种结 果,X=3 表示三次都是正面朝上,有一种结果. 因此,P(0<X<3)=1- 2 8 = 3 4 . 10.一个袋中装有 5 个白球和 5 个黑球,从中任取 3 个,其中所含白球的个数为 ξ. (1)列表说明可能出现的结果与对应的 ξ 的值; (2)若规定抽取 3 个球中,每抽到一个白球加 5 分,抽到黑球不加分,且最后不管结 果都加上 6 分.求最终得分 η 的可能取值,并判定 η 的随机变量类型. 解:(1) ξ 0 1 2 3 可能 结果 取得 3 个黑球 取得 1 个白 球,2 个黑球 取得 2 个白 球,1 个黑球 取得 3 个白球 (2)由题意可得 η=5ξ+6,因为 ξ 可能的取值范围为 0,1,2,3, 所以 η 对应的各值是 5×0+6,5×1+6,5×2+6,5×3+6. 故 η 的可能取值为 6,11,16,21,显然 η 为离散型随机变量. 11.从集合{1,2,3,4,5}中,等可能地取出一个非空子集. (1)记性质 r:集合中的所有元素之和为 10,求所取出的非空子集满足性质 r 的概 率; (2)记所取出的非空子集的元素个数为 X,求 X 的分布列. 解:(1)记“所取出的非空子集满足性质 r”为事件 A. 试验样本空间 Ω 包含C5 1 + C5 2 + C5 3 + C5 4 + C5 5=31 个样本点,即 n(Ω)=31. 事件 A 包含的样本点是{1,4,5},{2,3,5},{1,2,3,4},即 n(A)=3. 因此 P(A)= 3 31 . (2)依题意,X 的所有可能值为 1,2,3,4,5. 又 P(X=1)= C5 1 31 = 5 31 ,P(X=2)= C5 2 31 = 10 31 , P(X=3)= C5 3 31 = 10 31 ,P(X=4)= C5 4 31 = 5 31 , P(X=5)= C5 5 31 = 1 31 . 故 X 的分布列为
4 5 5 10 10 5 1 31 31 31 31 31 拓展提高 1抛掷两枚骰子（六点），所得点数之和X是一个随机变量，则PX≤4)等于( A 6 B号 c D 答案：A 解析：根据题意，有PX≤4)=PX=2)+P(X=3)+P(X=4), 抛掷两枚骰子，该试验的样本空间2包含36个样本，点，而X=2对应(1,1)，X=3对 应(1,2)，(2,1)，X=4对应(1,3)，(3,1)，(2,2)， 故PX=2)PX=3)品=PK=4=6=立因此PX≤4)6+6+立=君 2.(多选题)已知随机变量X的概率分布列为PX=n)= +1n+2n=0,12),其中a是 常数，则( A.PX=0)+P(X=1)+PX=2)=1 B.a=4 CP0≤X4”表示的试验结果是 答案：第一枚为6点，第二枚为1点 解析：因为一枚骰子的点数可以是1,2,3,4,5,6六种结果之一，由已知得-5≤X≤5，即 “X>4”就是X=5” 因此“X>4”表示两枚骰子中第一枚为6点，第二枚为1点 4.若P(≤n)=1-a,P(≥m)=1-b,其中mn)P(<m)=1-[1-(1-a小-[1-(1-b)]=1-(a+b) 5.一批产品等级分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品 的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量，则P≤5≤)
X 1 2 3 4 5 P 5 31 10 31 10 31 5 31 1 31 拓展提高 1.抛掷两枚骰子(六点),所得点数之和 X 是一个随机变量,则 P(X≤4)等于( ) A. 1 6 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 答案:A 解析:根据题意,有 P(X≤4)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4). 抛掷两枚骰子,该试验的样本空间 Ω 包含 36 个样本点,而 X=2 对应(1,1),X=3 对 应(1,2),(2,1),X=4 对应(1,3),(3,1),(2,2), 故 P(X=2)= 1 36 ,P(X=3)= 2 36 = 1 18 ,P(X=4)= 3 36 = 1 12 ,因此 P(X≤4)= 1 36 + 1 18 + 1 12 = 1 6 . 2.(多选题)已知随机变量 X 的概率分布列为 P(X=n)= 𝑎 (𝑛+1)(𝑛+2) (n=0,1,2),其中 a 是 常数,则( ) A.P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1 B.a= 4 3 C.P(0≤X4”表示的试验结果是 . 答案:第一枚为 6 点,第二枚为 1 点 解析:因为一枚骰子的点数可以是 1,2,3,4,5,6 六种结果之一,由已知得-5≤X≤5,即 “X>4”就是“X=5”. 因此“X>4”表示两枚骰子中第一枚为 6 点,第二枚为 1 点. 4.若 P(ξ≤n)=1-a,P(ξ≥m)=1-b,其中 mn)-P(ξ<m)=1-[1-(1-a)]-[1-(1-b)]=1-(a+b). 5.一批产品等级分为一、二、三级,其中一级品是二级品的两倍,三级品为二级品 的一半,从这批产品中随机抽取一个检验,其级别为随机变量 ξ,则 P( 1 3 ≤ 𝜉 ≤ 5 3 )
答案 解析：设二级品有k个，由题意得一级品有2k个，三级品有个，总数为登个 因此分布列为 2 p P传≤5≤)=P《=I)= 6.设随机变量X的概率分布列为PX=m)m+n=l,23,4),其中a为常数，则 P传<x<) 答案号 解析：由题意，知P心X=I+PX=2+PX=3)+PK=4品+品+品+只l, 解得a- 因此P<X<引}PX=1+P0X-2=+号=号=×= 6 3 3 7.袋中有4个红球、3个黑球，随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得 1分，从袋中任取4个球 (1)求得分X的分布列： (2)求得分大于6分的概率， 解(1)从袋中随机摸4个球的情况为1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红，分别得分 为5分，6分，7分，8分.故X的可能取值为5,6,7,8. PK=)等-会P-6等=号 PX-7容-号PK-8)答=击 35 C 故所求分布列为 5 8 18 12 D 3 35 35 35 (2)根据随机变量X的分布列，可以得到得分大于6分的概率为 PK6)=PK=7+PX=8)=号+高=号 35 挑战创新 某商店试销某种商品20天，获得如下数据： 旧销售量件 0 2 3 频数 5
= . 答案: 4 7 解析:设二级品有 k 个,由题意得一级品有 2k 个,三级品有𝑘 2个,总数为7𝑘 2 个. 因此分布列为 ξ 1 2 3 P 4 7 2 7 1 7 P( 1 3 ≤ 𝜉 ≤ 5 3 )=P(ξ=1)= 4 7 . 6.设随机变量 X 的概率分布列为 P(X=n)= 𝑎 𝑛(𝑛+1) (n=1,2,3,4),其中 a 为常数,则 P( 1 2 6)=P(X=7)+P(X=8)= 12 35 + 1 35 = 13 35 . 挑战创新 某商店试销某种商品 20 天,获得如下数据: 日销售量/件 0 1 2 3 频数 1 5 9 5
试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商 品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件， 否则不进货，将频率视为概率 (1)求当天商店不进货的概率： (2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列 解：(1)P(“当天商店不进货”)=P(当天商品销售量为0件”)+P(“当天商品销售量为 1件)品+品=器 (2)由题意知，X的可能取值为2,3 PX=-2)=P心当天商品销售量为1件)品=PX=3)=P心当天商品销售量为0 件)+P心当天商品销售量为2件门+P“当天商品销售量为3件)六+品+品= 34 故X的分布列为 2 3 1-4 3
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变),设某天开始营业时有该商 品 3 件,当天营业结束后检查存货,若发现存量少于 2 件,则当天进货补充至 3 件, 否则不进货,将频率视为概率. (1)求当天商店不进货的概率; (2)记 X 为第二天开始营业时该商品的件数,求 X 的分布列. 解:(1)P(“当天商店不进货”)=P(“当天商品销售量为 0 件”)+P(“当天商品销售量为 1 件”)= 1 20 + 5 20 = 3 10 . (2)由题意知,X 的可能取值为 2,3. P(X=2)=P(“当天商品销售量为 1 件”)= 5 20 = 1 4 ;P(X=3)=P(“当天商品销售量为 0 件”)+P(“当天商品销售量为 2 件”)+P(“当天商品销售量为 3 件”)= 1 20 + 9 20 + 5 20 = 3 4 . 故 X 的分布列为 X 2 3 P 1 4 3 4