志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 第2课时直线与圆的方程的应用 课后·训练提升 基础巩固 1.若实数xy满足(x+5)2+(12)2-142,则x2+2的最小值为( A.2 B.1 C.3 D./2 答案B 解析：设P(x,y),则点P在圆x+5)2+012)2-142上，即圆心C(-5,12),半径 r=14,10C-52+122-13.x2+2=0P12,又10P1的最小值为rl0C-14-13-1,故x2+y2的最小值为1. 2.已知圆x2+y2+2x-2y+2a=0截直线x+y+2=0所得弦长为4，则实数a的值是() A.-1 B.-2 C.-3 D.-4 答案B 解析：将圆x2+y2+2x-2y+2a=0化为标准方程，即(x+1)2+01)2=2-2a,可知圆心坐标为(-1,1).由点到直线 的距离公式，得弦心距d1+=V2 再由弦长公式得(v2-2a)2=(√2)2+22，解得a=-2. 3.台风中心从A地以20km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险区，城市B 在A地的正东40km处，B地处于危险区内的时间为() A.0.5小时 B.1小时 C.1.5小时 D.2小时 答案B 解析：以A为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示。 则台风中心在直线y=x上移动，又B(40,0)到y=x的距离为d-20VZ. 由BE=BF=30知EF=20,即台风中心从E到F时，B地处于危险区内，时间为1=20k-1小时.故选 20km/h B. 4.己知点A(-1,1)和圆C(x-5)2+7}=4,一束光线从点A经x轴反射到圆C上的最短路程是( ) A.62-2 B.8 1
1 第 2 课时 直线与圆的方程的应用 课后· 基础巩固 1.若实数 x,y 满足(x+5)2+(y-12)2=142 ,则 x 2+y2 的最小值为( ) A.2 B.1 C.√3 D.√2 答案:B 解析:设 P(x,y),则点 P 在圆(x+5)2+(y-12)2=142 上,即圆心 C(-5,12),半径 r=14,|OC|=√5 2 + 12 2=13.x 2+y2=|OP|2 ,又|OP|的最小值为 r-|OC|=14-13=1,故 x 2+y2 的最小值为 1. 2.已知圆 x 2+y2+2x-2y+2a=0 截直线 x+y+2=0 所得弦长为 4,则实数 a 的值是( ) A.-1 B.-2 C.-3 D.-4 答案:B 解析:将圆 x 2+y2+2x-2y+2a=0 化为标准方程,即(x+1)2+(y-1)2=2-2a,可知圆心坐标为(-1,1).由点到直线 的距离公式,得弦心距 d=|-1+1+2| √2 = √2. 再由弦长公式得(√2-2𝑎) 2=(√2) 2+2 2 ,解得 a=-2. 3.台风中心从 A 地以 20 km/h 的速度向东北方向移动,离台风中心 30 km 内的地区为危险区,城市 B 在 A 地的正东 40 km 处,B 地处于危险区内的时间为( ) A.0.5 小时 B.1 小时 C.1.5 小时 D.2 小时 答案:B 解析:以 A 为坐标原点建立平面直角坐标系,如图所示. 则台风中心在直线 y=x 上移动,又 B(40,0)到 y=x 的距离为 d=20√2. 由|BE|=|BF|=30 知|EF|=20,即台风中心从 E 到 F 时,B 地处于危险区内,时间为 t= 20km 20km/h =1 小时.故选 B. 4.已知点 A(-1,1)和圆 C:(x-5)2+(y-7)2=4,一束光线从点 A 经 x 轴反射到圆 C 上的最短路程是( ) A.6√2-2 B.8
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org c.4v6 D.10 答案B 解析：点A关于x轴的对称点A(1,-1),4'与圆心(5,7)的距离为(5+1)2+(7+1)2-10 又圆C的半径为2，故所求最短路程为10-2=8. 5.若直线y=+1与圆x2+y2-1相交于P,Q两点，且∠POQ=120°（其中0为原点），则k的值为() A.-V3或V3 B.v3 C.-v2或VZ D.2 答案：A 解析：，∠P0Q=120°， ·点0到直线y+1的距离d之 由d-0出=之得k=士v3 k2+1 6.已知实数xy满足+y=1,则的取值范围为 x+1 答案民，+o) 解析：令k号即xy4k2-0 则圆心0,0)到直钱y+k-2-0的距离小于或等于半径，即：2≤1，即k≥是 k2+1 7.己知圆Ox2+y2=5和点A(1,2),则过点A与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积 为 答案空 解析：，点A(1,2)在圆x2+y2=5上，∴.过点A与圆0相切的切线方程为x+2y=5,易知切线在x轴、y轴 上的藏距分别为5号∴切钱与坐标轴围成的三角形的面积为空 4 8.过点P(1,1)的直线，将圆形区域{x,)x2+y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直 线的方程为 答案x+2=0 解析：由题意知，点P(1,1)在圆x2+2=4内，则过点P截得的弦最短的直线将圆面分成的两部分面积之 差最大，则所求直线与圆心O和P(1,1)的连线垂直，故该直线斜率为-1. 由点斜式方程，得y1=-(x1), P
2 C.4√6 D.10 答案:B 解析:点 A 关于 x 轴的对称点 A'(-1,-1),A'与圆心(5,7)的距离为√(5 + 1) 2 + (7 + 1) 2=10. 又圆 C 的半径为 2,故所求最短路程为 10-2=8. 5.若直线 y=kx+1 与圆 x 2+y2=1 相交于 P,Q 两点,且∠POQ=120°(其中 O 为原点),则 k 的值为( ) A.-√3或√3 B.√3 C.-√2或√2 D.√2 答案:A 解析:∵∠POQ=120°, ∴点 O 到直线 y=kx+1 的距离 d=1 2 . 由 d=|0-0+1| √𝑘 2+1 = 1 2 ,得 k=±√3. 6.已知实数 x,y 满足 x 2+y2=1,则 𝑦+2 𝑥+1的取值范围为 . 答案:[ 3 4 , + ∞) 解析:令 k=𝑦+2 𝑥+1 ,即 kx-y+k-2=0. 则圆心(0,0)到直线 kx-y+k-2=0 的距离小于或等于半径,即 |𝑘-2| √𝑘 2+1 ≤1,即 k≥ 3 4 . 7.已知圆 O:x 2+y2=5 和点 A(1,2),则过点 A 与圆 O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积 为 . 答案: 25 4 解析:∵点 A(1,2)在圆 x 2+y2=5 上,∴过点 A 与圆 O 相切的切线方程为 x+2y=5,易知切线在 x 轴、y 轴 上的截距分别为 5,5 2 ,∴切线与坐标轴围成的三角形的面积为25 4 . 8.过点 P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x2+y2≤4}分为两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直 线的方程为 . 答案:x+y-2=0 解析:由题意知,点 P(1,1)在圆 x 2+y2=4 内,则过点 P 截得的弦最短的直线将圆面分成的两部分面积之 差最大,则所求直线与圆心 O 和 P(1,1)的连线垂直,故该直线斜率为-1. 由点斜式方程,得 y-1=-(x-1)
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org 即x+y2=0, 9.设有半径长为3km的圆形村落，甲、乙两人同时从村落中心出发，甲向东前进而乙向北前进，甲离开 村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落边界的方向前进，后来恰好与乙相遇设甲、乙两人的速度 都一定，且其速度比为3：1，问：甲、乙两人在何处相遇？ 解：如图所示， 以村落中心为坐标原点，以东西方向为x轴，南北方向为y轴建立平面直角坐标系 设甲向东走到D转向到C恰好与乙相遇，CD所在直线的方程为+台-l(a>3,b>3),乙的速度为，则甲 的速度为3v labl =3, /a2+62 依题意，有 解得8二375 3v 1 所以乙向北前进3.75km时甲、乙两人相遇 10.己知实数xy满足方程(x-3)2+03)2=6.求： (1)的最大值与最小值： (2)(x2)2+y2的最大值与最小值 解()设k之表示圆上点P(x)与原点连线的斜率，直线OP的方程为y=c当直线OP与圆C相切时， 斜率取得最值，此时点C到直线y=:的距离d=Bk3=V6.得k=3士2V2即当k=3士2V2时，直线OP Vk2+1 与圆C相切，所以的）x=3+2v2.(的)n=3-22 (2)代数式(x-2)2+y2表示圆C上的点到定点(2,0)的距离.圆心(3,3)与定点(2,0)的距离为 3-2)2+32=V 又圆C的半径是V6,故(x-2)2+y2)mx=√1⑥+V6,((x-2)2+y2)mn=V1⑩-V6 拓展提高 3
3 即 x+y-2=0. 9.设有半径长为 3 km 的圆形村落,甲、乙两人同时从村落中心出发,甲向东前进而乙向北前进,甲离开 村后不久,改变前进方向,斜着沿切于村落边界的方向前进,后来恰好与乙相遇.设甲、乙两人的速度 都一定,且其速度比为 3∶1,问:甲、乙两人在何处相遇? 解:如图所示, 以村落中心为坐标原点,以东西方向为 x 轴,南北方向为 y 轴建立平面直角坐标系. 设甲向东走到 D 转向到 C 恰好与乙相遇,CD 所在直线的方程为𝑥 𝑎 + 𝑦 𝑏 =1(a>3,b>3),乙的速度为 v,则甲 的速度为 3v. 依题意,有 { |𝑎𝑏| √𝑎2+𝑏 2 = 3, √𝑎2+𝑏 2+𝑎 3𝑣 = 𝑏 𝑣 . 解得{ 𝑎 = 5, 𝑏 = 3.75. 所以乙向北前进 3.75 km 时甲、乙两人相遇. 10.已知实数 x,y 满足方程(x-3)2+(y-3)2=6.求: (1)𝑦 𝑥 的最大值与最小值; (2)√(𝑥-2) 2 + 𝑦 2的最大值与最小值. 解:(1)设 k=𝑦 𝑥 ,表示圆上点 P(x,y)与原点连线的斜率,直线 OP 的方程为 y=kx.当直线 OP 与圆 C 相切时, 斜率取得最值,此时点 C 到直线 y=kx 的距离 d= |3𝑘-3| √𝑘 2+1 = √6,得 k=3±2√2.即当 k=3±2√2时,直线 OP 与圆 C 相切,所以( 𝑦 𝑥 ) max =3+2√2, ( 𝑦 𝑥 ) min =3-2√2. (2)代数式√(𝑥-2) 2 + 𝑦 2表示圆 C 上的点到定点(2,0)的距离.圆心(3,3)与定点(2,0)的距离为 √(3-2) 2 + 3 2 = √10, 又圆 C 的半径是√6,故(√(𝑥-2) 2 + 𝑦 2)max=√10 + √6,(√(𝑥-2) 2 + 𝑦 2)min=√10 − √6. 拓展提高
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 1.设集合A={(x,川(x-4)2+y2-1},B={x,y)川x-1)2+0a1+2)2=1},若存在实数1，使得AnB≠o,则实数a的取 值范围是( A(0, B.(o.) co,刳 D.[0,2] 答案：C 解析：集合A,B实际上是圆上的点的集合，即A,B表示两个圆， A∩B≠o说明这两个圆相交或相切（有公共，点）， 由于两圆半径都是1， 因此两圆圆心距不大于半径之和2， 即(t-4)2+(at-2)2≤2， 整理成关于1的不等式为(2+1)2-4(a+2)1+16≤0. 根据题意此不等式有实解，因此其判别式不小于零，即=16(a+2)2.4(a2+1)×16≥0， 解得0≤a≤ 2.(多选题)如图所示，已知直线1的方程是y学4，并且与x轴、y轴分别交于点4，B.一个半径为1.5的 圆C,圆心C从点(0,1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动，当圆C与直线1相切时，该圆 运动的时间可能为() A.6s B.8s C.16s D.10s 答案：AC 解析：设当圆与直线1相切时，圆心坐标为(0，m), 直钱方程为4-312-0，则圆心到直线1的距商为3m1巴=是得m=钱m=号即圆心坐标为(0，引 42+32 或(0，) 4
4 1.设集合 A={(x,y)|(x-4)2+y2=1},B={(x,y)|(x-t) 2+(y-at+2)2=1},若存在实数 t,使得 A∩B≠⌀,则实数 a的取 值范围是( ) A.(0, 4 3 ] B.[0, 4 3 ) C.[0, 4 3 ] D.[0,2] 答案:C 解析:集合 A,B 实际上是圆上的点的集合,即 A,B 表示两个圆, A∩B≠⌀说明这两个圆相交或相切(有公共点). 由于两圆半径都是 1, 因此两圆圆心距不大于半径之和 2, 即√(𝑡-4) 2 + (𝑎𝑡-2) 2≤2, 整理成关于 t 的不等式为(a 2+1)t 2 -4(a+2)t+16≤0. 根据题意此不等式有实解,因此其判别式不小于零,即 Δ=16(a+2)2 -4(a 2+1)×16≥0, 解得 0≤a≤ 4 3 . 2.(多选题)如图所示,已知直线 l 的方程是 y= 4 3 x-4,并且与 x 轴、y 轴分别交于点 A,B.一个半径为 1.5的 圆 C,圆心 C 从点(0,1.5)开始以每秒 0.5 个单位的速度沿着 y 轴向下运动,当圆 C 与直线 l相切时,该圆 运动的时间可能为( ) A.6 s B.8 s C.16 s D.10 s 答案:AC 解析:设当圆与直线 l 相切时,圆心坐标为(0,m), 直线方程为 4x-3y-12=0,则圆心到直线 l 的距离为|-3𝑚-12| √4 2+3 2 = 3 2 ,得 m=- 3 2或 m=- 13 2 ,即圆心坐标为(0,- 3 2 ) 或(0,- 13 2 )
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 故该圆运动的时间为 引 0.5 2=16(s). 综上所述，该圆运动的时间为6s或16s 3.己知两点A(-2,0),0,2),点C是圆x2+y2-2x=0上任意一点，则△4BC的面积的最小值是( A.3-V2 B.3+V2 c39 D 答案：A 解析：由两点坐标得直线AB的方程为y+2=0,圆x2+2-2x=0的标准方程为(x-1)2+2=1,圆心坐标为 (1,0),圆心到直线AB的距离dL-0+2=3 2 2 所以圆上任意一点到直线AB的最小距离为三1， 2 所以△MBC面积的最小值为SaARC-B卧×(y1)=22×(受-13-2 4.圆x2+0+4)2=4上的点到直线1x+y=1的距离的最大值为 ,最小值为 答案22 解析：由圆的方程x2+0y+4)2=4知，圆心C(0,-4),半径r=2 由题意及图象得，圆上的，点到直线1的距离的最小值dn心425三2，最大值 2 dmx-0-41+2-5y5+2】 2 5.已知M={(x,y)by=V9-x2,0;,N={(xy)by=x+b;,若M∩N≠o,则实数b的取值范围是_ 答案(-3,3V2 解析：y=V9-x2≠0等价于x2+y2-90y>0),表示的图形是圆x2+y2-9在x轴之上的部分，如图所示. 5
5 故该圆运动的时间为 3 2 -(- 3 2 ) 0.5 =6(s)或 3 2 -(- 13 2 ) 0.5 =16(s). 综上所述,该圆运动的时间为 6 s 或 16 s. 3.已知两点 A(-2,0),B(0,2),点 C 是圆 x 2+y2 -2x=0 上任意一点,则△ABC 的面积的最小值是( ) A.3-√2 B.3+√2 C.3- √2 2 D. 3-√2 2 答案:A 解析:由两点坐标得直线 AB 的方程为 x-y+2=0,圆 x 2+y2 -2x=0 的标准方程为(x-1)2+y2=1,圆心坐标为 (1,0),圆心到直线 AB 的距离 d=|1-0+2| √2 = 3√2 2 , 所以圆上任意一点到直线 AB 的最小距离为3√2 2 -1, 所以△ABC 面积的最小值为 S△ABC= 1 2 ×|AB|×( 3√2 2 -1) = 1 2 ×2√2 × ( 3√2 2 -1)=3-√2. 4.圆 x 2+(y+4)2=4 上的点到直线 l:x+y=1 的距离的最大值为 ,最小值为 . 答案: 5√2 2 +2 5√2 2 -2 解析:由圆的方程 x 2+(y+4)2=4 知,圆心 C(0,-4),半径 r=2. 由题意及图象得,圆上的点到直线 l 的距离的最小值 dmin= |0-4-1| √2 -2= 5√2 2 -2,最大值 dmax= |0-4-1| √2 +2= 5√2 2 +2. 5.已知 M={(x,y)|y=√9-𝑥 2,y≠0},N={(x,y)|y=x+b},若 M∩N≠⌀,则实数 b 的取值范围是 . 答案:(-3,3√2] 解析: y=√9-𝑥 2,y≠0 等价于 x 2+y2=9(y>0),表示的图形是圆 x 2+y2=9 在 x 轴之上的部分,如图所示
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 当直线与圆相切时岛3，解得=32，或=3V2(舍去) 当直线过点(3,0)时，解得b=3. 结合图形可知，当-30)有公共点. 6.己知圆C的圆心是直线xy+1=0与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切，则圆C的方程 为 答案：(x+1)2+y2-2 解析：直线xy+1=0与x轴的交点坐标为(-1,0)，即圆心C(-1,0) 因为圆C与直线x++3-0相切，所以圆心到直线r+y+3=0的距离等于半径，即1+0+3=V2=,所以 圆C的方程为(x+1)2+y2=2 7.如图，一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监 船正东40km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30km的B处的岛屿，速度为28km/h问：这艘外 籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？（要求用坐标法） 解：如图，以O为原点，东西方向为x轴建立平面直角坐标系，则A(40,0),B(0,30), 圆0的方程为x2+y2=252 直线AB的方程为希+六1，即3x+4少-120-0， 设点O到直线AB的距离为d, 则由点到直线的距离公式得d120-24<25, 5 所以外籍轮船能被海监船监测到」 设益测时同为1尉22-如 所以外籍轮船能被海监船监测到，持续时间是0.5h 挑战创新 6
6 当直线与圆相切时, |𝑏| √2 =r=3,解得 b=3√2,或 b=-3√2(舍去). 当直线过点(3,0)时,解得 b=-3. 结合图形可知,当-30)有公共点. 6.已知圆 C 的圆心是直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点,且圆 C 与直线 x+y+3=0 相切,则圆 C 的方程 为 . 答案:(x+1)2+y2=2 解析:直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点坐标为(-1,0),即圆心 C(-1,0). 因为圆 C 与直线 x+y+3=0 相切,所以圆心到直线 x+y+3=0 的距离等于半径,即 |-1+0+3| √2 = √2=r,所以 圆 C 的方程为(x+1)2+y2=2. 7.如图,一艘海监船 O 上配有雷达,其监测范围是半径为 25 km 的圆形区域,一艘外籍轮船从位于海监 船正东 40 km 的 A 处出发,径直驶向位于海监船正北 30 km 的 B 处的岛屿,速度为 28 km/h.问:这艘外 籍轮船能否被海监船监测到?若能,持续时间多长?(要求用坐标法) 解:如图,以 O 为原点,东西方向为 x 轴建立平面直角坐标系,则 A(40,0),B(0,30), 圆 O 的方程为 x 2+y2=252 . 直线 AB 的方程为 𝑥 40 + 𝑦 30=1,即 3x+4y-120=0. 设点 O 到直线 AB 的距离为 d, 则由点到直线的距离公式得 d=|-120| 5 =24<25, 所以外籍轮船能被海监船监测到. 设监测时间为 t,则 t= 2 √25 2 -24 2 28 = 1 2 (h). 所以外籍轮船能被海监船监测到,持续时间是 0.5 h. 挑战创新
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org 如图，过半径为2的圆M上两点P,Q的切线相交于点T,自点P向平行于PQ的直径AB的两端各 作一直线，这两条直线分别交垂直于PQ的直径所在直线于点R,S.试建立适当的直角坐标系用解析法 证明R7=ST. B 证明：如图，以圆心M为坐标原，点，平行于PQ的直径AB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系， 则可得圆的方程x2+y2=4,A(0,2),B(0,-2) 设P(x0,0),则x行+y=4. 直线AP的方程为)行2令)0件号 直线BP的方程为y2令)0得 2x0 ,切线PT的方程为x0x+0y=4,由对称性知点T在x轴上， 故令0得片 2yn(2-Yo) (2-yo)xo STI=xs-xrl= 2x0.4 2y2+y 2+y0x0 (2+yo)xo 2RT=7 7
7 如图,过半径为 2 的圆 M 上两点 P,Q 的切线相交于点 T,自点 P 向平行于 PQ 的直径 AB 的两端各 作一直线,这两条直线分别交垂直于 PQ 的直径所在直线于点 R,S.试建立适当的直角坐标系用解析法 证明:|RT|=|ST|. 证明:如图,以圆心 M 为坐标原点,平行于 PQ 的直径 AB 所在直线为 y 轴,建立平面直角坐标系, 则可得圆的方程 x 2+y2=4,A(0,2),B(0,-2). 设 P(x0,y0),则𝑥0 2 + 𝑦0 2=4. 直线 AP 的方程为 y= 𝑦 0 -2 𝑥0 x+2,令 y=0 得 xR= 2𝑥0 2-𝑦 0 , 直线 BP 的方程为 y= 𝑦 0 +2 𝑥0 x-2,令 y=0 得 xS= 2𝑥0 2+𝑦 0 . ∵切线 PT 的方程为 x0x+y0y=4,由对称性知点 T 在 x 轴上, 故令 y=0 得 xT= 4 𝑥0 . ∴|RT|=|xR-xT|=| 2𝑥0 2-𝑦 0 - 4 𝑥0 |= 2𝑦 0 (2-𝑦 0 ) (2-𝑦 0 )𝑥0 =| 2𝑦 0 𝑥0 |, |ST|=|xS-xT|=| 2𝑥0 2+𝑦 0 - 4 𝑥0 |= 2𝑦 0 (2+𝑦 0 ) (2+𝑦 0 )𝑥0 =| 2𝑦 0 𝑥0 |,∴|RT|=|ST|