志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 2.1直线的倾斜角与斜率 2.1.1 倾斜角与斜率 课后·训练提升 基础巩固 1.已知过点P(3,m)和点Q(m,-2)的直线的斜率等于2，则m的值为() A.-1 B.1 C.2 D 答案p 解析由直线的斜率公式，得品-2，即m兰 3.m 2.如图，直线1，h,5的斜率分别为kk2,,则( A.%<k< B.k3<ki<k2 C.ki<k2<k3 D.ks<k<k 答案A 解析设直线1，h,的倾斜角分别为a1,心，s,则0°<<m<90°<a1<180°，故相应斜率的大小关系 为k<0<k< 3.已知直线经过点A(-2,0),B(-5,3),则该直线的倾斜角为() A.150° B.135° C.75 D.45° 客案B 解析：直线经过点A(-2,0),B(-5,3), 3-0 由斜率公式得kB5-21 设其倾斜角为0 又0°≤0k180°，tan0=-1,故0=135°. 1
1 2.1 直线的倾斜角与斜率 2.1.1 倾斜角与斜率 课后· 基础巩固 1.已知过点 P(3,m)和点 Q(m,-2)的直线的斜率等于 2,则 m 的值为( ) A.-1 B.1 C.2 D. 4 3 答案:D 解析:由直线的斜率公式,得 𝑚+2 3-𝑚 =2,即 m= 4 3 . 2.如图,直线 l1,l2,l3的斜率分别为 k1,k2,k3,则( ) A.k1<k3<k2 B.k3<k1<k2 C.k1<k2<k3 D.k3<k2<k1 答案:A 解析:设直线 l1,l2,l3 的倾斜角分别为 α1,α2,α3,则 0°<α3<α2<90°<α1<180°,故相应斜率的大小关系 为 k1<0<k3<k2. 3.已知直线经过点 A(-2,0),B(-5,3),则该直线的倾斜角为( ) A.150° B.135° C.75° D.45° 答案:B 解析:∵直线经过点 A(-2,0),B(-5,3), ∴由斜率公式得 kAB= 3-0 -5-(-2) =-1. 设其倾斜角为 θ. 又 0°≤θ<180°,tan θ=-1,故 θ=135°
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 4.若过两点A(4,y),B(2,-3)的直线的倾斜角为45°，则y=() A B C.-1 D.1 含案c 解析由题意得an45°-kB即号1，解得=-l. 2.43 4-2 5.已知直线1经过点A(1,2),且不经过第四象限，则直线1的斜率k的取值范围是() A.(-1,0] B.[0,1] C.[1,2] D.[0,2] 答案D 解析：由图可知当直线位于阴影部分的区域时满足题意，故直线1的斜率满足0≤k≤2 A(1,2) 6.(多选题)下列各组中的三点共线的是( A.(1,4),(-1,2),(3,5) B.(3,5),(7,6),-5,3) C.(1,0.(0-)7,2) D.(0,0),(2,4).(-1,-2) 答案BCD 图园时于A“铝卡品三点不共线 对于B第= 3-6 5-7 三点共线： 对于e起电 ,∴三点共线； 对子D端=器三点共线 2.0 7.如图，已知直线1的倾斜角是150°，2⊥1，垂足为点B.直线1,2与x轴分别相交于点C,A,3平分∠ BAC,则3的倾斜角为 2
2 4.若过两点 A(4,y),B(2,-3)的直线的倾斜角为 45°,则 y=( ) A.- √3 2 B. √3 2 C.-1 D.1 答案:C 解析:由题意得 tan 45°=kAB= -3-𝑦 2-4 ,即 𝑦+3 4-2 =1,解得 y=-1. 5.已知直线 l 经过点 A(1,2),且不经过第四象限,则直线 l 的斜率 k 的取值范围是( ) A.(-1,0] B.[0,1] C.[1,2] D.[0,2] 答案:D 解析: 由图可知当直线位于阴影部分的区域时满足题意,故直线 l 的斜率满足 0≤k≤2. 6.(多选题)下列各组中的三点共线的是( ) A.(1,4),(-1,2),(3,5) B.(3,5),(7,6),(-5,3) C.(1,0),(0,- 1 3 ),(7,2) D.(0,0),(2,4),(-1,-2) 答案:BCD 解析:对于 A,∵ 4-2 1-(-1) ≠ 5-2 3-(-1) ,∴三点不共线; 对于 B,∵ 6-5 7-3 = 3-6 -5-7 , ∴三点共线; 对于 C,∵ - 1 3 -0 0-1 = 2-(- 1 3 ) 7-0 ,∴三点共线; 对于 D,∵ 4-0 2-0 = -2-0 -1-0 ,∴三点共线. 7.如图,已知直线 l1 的倾斜角是 150°,l2⊥l1,垂足为点 B.直线 l1,l2与 x 轴分别相交于点 C,A,l3 平分∠ BAC,则 l3 的倾斜角为
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 答案0° 解析国为直线h的倾斜角为150°，所以∠BCA=30°，所以6的倾斜角为2×(90°-30°)=30°. 8.己知a>0,若平面内三点A(1,-a),B2,a,C(3,a)共线，则a= 答案1+V2 解析由题意知kB=kaC, 则货=器些理得a2da0, 2.1 又a>0,故有a2-2a-1=0, 解得a=1+V2或a=1-V2(舍去)】 9.在y轴上有一点M,经过M与点(V3,1)的直线的倾斜角为60°，则点M的坐标为 窨案0,4) 解析设点M的坐标为0，%.剥an60°一器解得)4，故M0,4) 10.己知A(m,-m+3),B(2,m-1),C(-1,4),直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求m的值 解由题知直线AC的斜率存在，即m时-1， 由斜率公式，得kcem+34kcm兰又m+34-3- m+1 2-(-1) m+1 2-(-1) 整理得m=4(m=-1舍去) 11.己知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(2,-1)的直线1与线段AB有公共点，且直线1的斜率存在，求直线1的 斜率k的取值范围 图曲斜率公式得高1如s贤3， ,直线I与线段AB有公共点， ∴，直线I的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间 当直线1的倾斜角小于90°时，k≥kB 当直线1的倾斜角大于90°时，k≤k4. ∴.直线1的斜率k的取值范围是(-0，-1]U[3,+0), 3
3 答案:30° 解析:因为直线 l1 的倾斜角为 150°,所以∠BCA=30°,所以 l3的倾斜角为1 2 ×(90°-30°)=30°. 8.已知 a>0,若平面内三点 A(1,-a),B(2,a 2 ),C(3,a 3 )共线,则 a= . 答案:1+√2 解析:由题意知 kAB=kBC, 则 𝑎 2+𝑎 2-1 = 𝑎 3 -𝑎 2 3-2 ,整理得 a 3 -2a 2 -a=0, 又 a>0,故有 a 2 -2a-1=0, 解得 a=1+√2或 a=1-√2(舍去). 9.在 y 轴上有一点 M,经过 M 与点(-√3,1)的直线的倾斜角为 60°,则点 M 的坐标为 . 答案:(0,4) 解析:设点 M 的坐标为(0,y),则 tan 60°= 1-𝑦 -√3-0 ,解得 y=4,故 M(0,4). 10.已知 A(m,-m+3),B(2,m-1),C(-1,4),直线 AC 的斜率等于直线 BC 的斜率的 3 倍,求 m 的值. 解:由题知直线 AC 的斜率存在,即 m≠-1. 由斜率公式,得 kAC= (-𝑚+3)-4 𝑚+1 ,kBC= (𝑚-1)-4 2-(-1) ,又 (-𝑚+3)-4 𝑚+1 =3· (𝑚-1)-4 2-(-1) . 整理得 m=4(m=-1 舍去). 11.已知两点 A(-3,4),B(3,2),过点 P(2,-1)的直线 l与线段 AB 有公共点,且直线 l的斜率存在,求直线 l的 斜率 k 的取值范围. 解:由斜率公式得 kPA= -1-4 2-(-3) =-1,kPB= -1-2 2-3 =3, ∵直线 l 与线段 AB 有公共点, ∴直线 l 的倾斜角介于直线 PB 与 PA 的倾斜角之间. 当直线 l 的倾斜角小于 90°时,k≥kPB; 当直线 l 的倾斜角大于 90°时,k≤kPA. ∴直线 l 的斜率 k 的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞)
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org 拓展提高 1.在平面直角坐标系中，等边三角形ABC的边BC所在直线的斜率是O,则边AC,AB所在直线的斜率 之和为() A.-23 B.0 C.3 D.23 答案B 解析如图，易知kB=V3,kc-V3,故kB+k4C-0. 4 1205 2.若经过A(2,1),B(1,m2两点的直线I的倾斜角为锐角，则m的取值范围是( A.m-1 C.-11或m<-1 答案c 解析由题意得二0，即㎡-1<0，解得1<m1 1-2 3.若点P(x,)在以4(-3,1)，B(-1,0),C-2,0)为顶点的△ABC的内部运动（不包含边界），则的取值范围是 .1 () A.] B(传) c眼 D(保 答案p 解析根据已知条件，可知点Px)是点A,B,C围成的△ABC内一动点，那么所求二的几何意义是过动 r.1 点P)与定点M1,2)的直线的斜率由已知，得Mal,k@号利用图象，可得贤的取值范国是 2 x.11 (匠，1)故选D 4.若经过点P(1-a,1+a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围为】 答案-2,1) 4
4 拓展提高 1.在平面直角坐标系中,等边三角形 ABC 的边 BC 所在直线的斜率是 0,则边 AC,AB 所在直线的斜率 之和为( ) A.-2√3 B.0 C.√3 D.2√3 答案:B 解析:如图,易知 kAB=√3,kAC=-√3,故 kAB+kAC=0. 2.若经过 A(2,1),B(1,m2 )两点的直线 l的倾斜角为锐角,则 m 的取值范围是( ) A.m-1 C.-11 或 m0,即 m2 -1<0,解得-1<m<1. 3.若点 P(x,y)在以 A(-3,1),B(-1,0),C(-2,0)为顶点的△ABC 的内部运动(不包含边界),则 𝑦-2 𝑥-1 的取值范围是 ( ) A.[ 1 2 ,1] B.( 1 2 ,1) C.[ 1 4 ,1] D.( 1 4 ,1) 答案:D 解析:根据已知条件,可知点 P(x,y)是点 A,B,C 围成的△ABC 内一动点,那么所求𝑦-2 𝑥-1的几何意义是过动 点 P(x,y)与定点 M(1,2)的直线的斜率.由已知,得 kAM= 1 4 ,kBM=1,kCM= 2 3 .利用图象,可得𝑦-2 𝑥-1的取值范围是 ( 1 4 ,1).故选 D. 4.若经过点 P(1-a,1+a)和 Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角,则实数 a 的取值范围为 . 答案:(-2,1)
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 解：由斜率公式得且直线的倾斜角为纯角∴牛20，解得-21时，k=】>0,此时直线的倾斜角a为锐角，0°<a<90°； m-1 ②当mK1时，人10，此时直钱的倾斜角a为钝角，90°<a<180° 挑战创新 已知点P(3,-1),M(5,1),W2,V3-1),直线1经过点P,且与线段MN相交.求： (1)直线I的倾斜角a的取值范围； (2)直线I的斜率k的取值范围， 图1)直线PN的针车k厚.直线PM的针率0v织1，可得直线PN的领斜角为 2.3 120°，直线PM的倾斜角为45°，如图所示 3
5 解析:∵由斜率公式得 k=𝑎-1 𝑎+2 且直线的倾斜角为钝角,∴ 𝑎-1 𝑎+2 1 时,k= 1 𝑚-1 >0,此时直线的倾斜角 α 为锐角,0°<α<90°; ②当 m<1 时,k= 1 𝑚-1 <0,此时直线的倾斜角 α 为钝角,90°<α<180°. 挑战创新 已知点 P(3,-1),M(5,1),N(2,√3-1),直线 l 经过点 P,且与线段 MN 相交.求: (1)直线 l 的倾斜角 α 的取值范围; (2)直线 l 的斜率 k 的取值范围. 解:(1)直线 PN 的斜率 kPN= √3-1-(-1) 2-3 =-√3,直线 PM 的斜率 kPM= 1-(-1) 5-3 =1,可得直线 PN 的倾斜角为 120°,直线 PM 的倾斜角为 45°,如图所示
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 因为直线1与线段MN相交，所以直线1的倾斜角α的取值范围是[45°，120°]. (2)当直线I的斜率不存在时，直线I与线段MN相交，当直线1的斜率存在时，由正切函数的单调性，得 直线1的斜率k的取值范围是(-0，-√3]U[1,+o) 6
6 因为直线 l 与线段 MN 相交,所以直线 l 的倾斜角 α 的取值范围是[45°,120°]. (2)当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 与线段 MN 相交;当直线 l 的斜率存在时,由正切函数的单调性,得 直线 l 的斜率 k 的取值范围是(-∞,-√3]∪[1,+∞)