志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 2.2 直线的方程 2.2.1直线的点斜式方程 课后·训练提升 基础巩固 1.过点(4，-2)，倾斜角为150°的直线的点斜式方程为() A2-x+4 B(2)=x4 C-2)x-4 D2-x+4 含案B 解析由题意知k-n150°一票 故直线的点斜式方程为(2)=4 2.直线-b=2(x-a)在y轴上的截距为() A.a+b B.2a-b C.b-2a D.|2a-bl 客案c 3.与直线y=2x+1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程为() Ay之+4 B.y=2x+4 Cy=-2x+4 D=之+4 含案D 解析由题意可设所求直线方程为y=6+4,又由2k=-1,得k=故所求直线方程为y=+4. 4.先将直线y=3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度，所得到的直线方程为(） 1
1 2.2 直线的方程 2.2.1 直线的点斜式方程 课后· 基础巩固 1.过点(4,-2),倾斜角为 150°的直线的点斜式方程为( ) A.y-2=- √3 3 (x+4) B.y-(-2)=- √3 3 (x-4) C.y-(-2)= √3 3 (x-4) D.y-2= √3 3 (x+4) 答案:B 解析:由题意知 k=tan 150°=- √3 3 , 故直线的点斜式方程为 y-(-2)=- √3 3 (x-4). 2.直线 y-b=2(x-a)在 y 轴上的截距为( ) A.a+b B.2a-b C.b-2a D.|2a-b| 答案:C 3.与直线 y=2x+1 垂直,且在 y 轴上的截距为 4 的直线的斜截式方程为( ) A.y= 1 2 x+4 B.y=2x+4 C.y=-2x+4 D.y=- 1 2 x+4 答案:D 解析:由题意可设所求直线方程为 y=kx+4,又由 2k=-1,得 k=- 1 2 ,故所求直线方程为 y=- 1 2 x+4. 4.先将直线 y=3x 绕原点逆时针旋转 90°,再向右平移 1 个单位长度,所得到的直线方程为( )
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org A=字月 By=子+1 C.y=3x-3 D字+1 答案A 解析将直线y=3x绕原点逆时针旋转90°，得到直线y=子式，再向右平移1个单位长度，所得到的直线 为)l),即字号 5.(多选题)函数y-ar+。的图象可能是( 答案AB 解析a0,.C不可能， 当a>0时，己>0，即直线的倾斜角为锐角，且在y轴上的截距大于0，故A可能； 当a<0时<0，即直线的倾斜角为钝角，且在y轴上的截距小于0，故B可能，D不可能. 6.在y轴上的截距为-6，且与y轴相交成30°角的直线的斜截式方程是_ 图案=V3x-6或y=-V3x-6 解析国为直线与y轴相交成30°角，所以直线的倾斜角为60°或120°，所以直线的斜率为V3或： √3.又因为在y轴上的截距为-6，所以直线的斜截式方程为y=√3x-6或y=-V3x-6 7若直线)y与直线)-3x:2垂直则a的值为 1 答案 解析：两条直线垂直， “受3=1，解得a号 8直线y4在y轴上的截距是 含案4 2
2 A.y=- 1 3 x+1 3 B.y=- 1 3 x+1 C.y=3x-3 D.y= 1 3 x+1 答案:A 解析:将直线 y=3x 绕原点逆时针旋转 90°,得到直线 y=- 1 3 x,再向右平移 1 个单位长度,所得到的直线 为 y=- 1 3 (x-1),即 y=- 1 3 x+1 3 . 5.(多选题)函数 y=ax+1 𝑎的图象可能是( ) 答案:AB 解析:∵a≠0,∴C 不可能; 当 a>0 时, 1 𝑎 >0,即直线的倾斜角为锐角,且在 y 轴上的截距大于 0,故 A 可能; 当 a<0 时, 1 𝑎 <0,即直线的倾斜角为钝角,且在 y 轴上的截距小于 0,故 B 可能,D 不可能. 6.在 y 轴上的截距为-6,且与 y 轴相交成 30°角的直线的斜截式方程是 . 答案:y=√3x-6 或 y=-√3x-6 解析:因为直线与 y 轴相交成 30°角,所以直线的倾斜角为 60°或 120°,所以直线的斜率为√3或- √3.又因为在 y 轴上的截距为-6,所以直线的斜截式方程为 y=√3x-6 或 y=-√3x-6. 7.若直线 y=- 1 2 ax- 1 2 与直线 y=3x-2 垂直,则 a 的值为 . 答案: 2 3 解析:∵两条直线垂直, ∴- 𝑎 2 ×3=-1,解得 a= 2 3 . 8.直线 y= 4 3 x-4 在 y 轴上的截距是 . 答案:-4
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 9.直线y=x-2)+3必过定点，该定点为 答案2,3) 解析将直线方程化为点斜式得上3-x-2),即过定点(2,3)， 10.求满足下列条件的m的值 (1)直线hy=-x+1与直线23y=(m2-2)x+2m平行； (2)直线1y=-2x+3与直线2y=(2m-1)x-5垂直. 解)：hh,∴两条直线斜率相等. .m2-2=-1,且2m时1，.m=±1. (2hLh∴-2x2m-1)=-1,m 11.己知直线1过点(2,2)，且与x轴和直线y=x围成的三角形的面积为2，求直线1的方程 解当直线1的斜率不存在时，！的方程为x=2,经检验符合题目的要求 当直线1的斜率存在时，设直线1的方程为y-2=x-2),即y=-2k+2. 令0，得x=兴 由三角形的面积为2，得×2=2 解得号 可得直线1的方程为2-2，综上可知，直线1的方程为x=2或2x-2) 拓展提高 1.下列四个结论： ①方程k朵与方程)2=x+1)表示同一条直线， ②若直线1过点P(x1),倾斜角为90°，则其方程是x=x1; ③若直线1过点P(x1y),斜率为0，则其方程是y=y1; ④所有的直线都有点斜式和斜截式方程 其中结论正确的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 答案B 3
3 9.直线 y=k(x-2)+3 必过定点,该定点为 . 答案:(2,3) 解析:将直线方程化为点斜式得 y-3=k(x-2),即过定点(2,3). 10.求满足下列条件的 m 的值. (1)直线 l1:y=-x+1 与直线 l2:y=(m2 -2)x+2m 平行; (2)直线 l1:y=-2x+3 与直线 l2:y=(2m-1)x-5 垂直. 解:(1)∵l1∥l2,∴两条直线斜率相等. ∴m2 -2=-1,且 2m≠1,∴m=±1. (2)∵l1⊥l2,∴-2×(2m-1)=-1,∴m= 3 4 . 11.已知直线 l 过点(2,2),且与 x 轴和直线 y=x 围成的三角形的面积为 2,求直线 l 的方程. 解:当直线 l 的斜率不存在时,l 的方程为 x=2,经检验符合题目的要求. 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y-2=k(x-2),即 y=kx-2k+2. 令 y=0,得 x= 2𝑘-2 𝑘 . 由三角形的面积为 2,得 1 2 × | 2𝑘-2 𝑘 |×2=2. 解得 k=1 2 . 可得直线 l 的方程为 y-2= 1 2 (x-2),综上可知,直线 l 的方程为 x=2 或 y-2= 1 2 (x-2). 拓展提高 1.下列四个结论: ①方程 k=𝑦-2 𝑥+1 与方程 y-2=k(x+1)表示同一条直线; ②若直线 l 过点 P(x1,y1),倾斜角为 90°,则其方程是 x=x1; ③若直线 l 过点 P(x1,y1),斜率为 0,则其方程是 y=y1; ④所有的直线都有点斜式和斜截式方程. 其中结论正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案:B
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 解0中方程k器中1，方程2-x+1)中x可以取山，故①错误，国中斜率不存在的直线没有点 斜式和斜截式方程，④错误；②③正确. 2.直线hy=ax+b与直线h:y=br+a(ab≠0，a时b)在同一平面直角坐标系内的位置可能是() 答案D 解析对于A,由h得a>0,b0,b>0,矛盾；对于B,由1得a0,而由h得a>0,b>0,矛 盾；对于C,由1得a>0,b0,矛盾；对于D,由1得a>0,b>0,由2得a>0,b>0.故选D. 3.若方程y=ax与y=x+a(a>0)所确定的函数图象有两个公共点，则a的取值范围是(） A.a>1 B.01 答案A 解析=x+a(a>0)表示斜率为1，在y轴上的截距为aa>0)的直线，y=alkl表示关于y轴对称的两条射 线.因此当01时，有两个公共点，故选A 4.若原点O在直线1上的射影是P(-2,1),则直线1的斜截式方程为() A.x+2y=0 B.1=-2(x+2) C.y=2x+5 D.y=2x+3 含案c 解析：直线OP的斜率为之 又OP⊥I, .直线1的斜率为2， .直线1的点斜式方程为y1=2(x+2),化简得直线1的斜截式方程为y=2x+5,故选C 5.与直线2x+3y+5=0平行，且与x,y轴交点的横、纵坐标之和为的直线1的方程为 含案2x+3y-1-0 解析设直线12x+3y+c=0, 令x0,则=导令=0，则x= 4
4 解析:①中方程:k=𝑦-2 𝑥+1 中 x≠-1,方程:y-2=k(x+1)中 x 可以取-1,故①错误;④中斜率不存在的直线没有点 斜式和斜截式方程,④错误;②③正确. 2.直线 l1:y=ax+b 与直线 l2:y=bx+a(ab≠0,a≠b)在同一平面直角坐标系内的位置可能是( ) 答案:D 解析:对于 A,由 l1 得 a>0,b0,b>0,矛盾;对于 B,由 l1 得 a0,而由 l2得 a>0,b>0,矛 盾;对于 C,由 l1 得 a>0,b0,矛盾;对于 D,由 l1 得 a>0,b>0,由 l2得 a>0,b>0.故选 D. 3.若方程 y=a|x|与 y=x+a(a>0)所确定的函数图象有两个公共点,则 a 的取值范围是( ) A.a>1 B.01 答案:A 解析:y=x+a(a>0)表示斜率为 1,在 y 轴上的截距为 a(a>0)的直线,y=a|x|表示关于 y 轴对称的两条射 线.因此当 01 时,有两个公共点,故选 A. 4.若原点 O 在直线 l 上的射影是 P(-2,1),则直线 l 的斜截式方程为( ) A.x+2y=0 B.y-1=-2(x+2) C.y=2x+5 D.y=2x+3 答案:C 解析:∵直线 OP 的斜率为- 1 2 , 又 OP⊥l, ∴直线 l 的斜率为 2, ∴直线 l 的点斜式方程为 y-1=2(x+2),化简得直线 l 的斜截式方程为 y=2x+5,故选 C. 5.与直线 2x+3y+5=0 平行,且与 x,y 轴交点的横、纵坐标之和为5 6的直线 l 的方程为 . 答案:2x+3y-1=0 解析:设直线 l:2x+3y+c=0, 令 x=0,则 y=- 𝑐 3 ;令 y=0,则 x=- 𝑐 2
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 即+()=吾解得c=1, 即直线1的方程为2x+3y1=0. 6,斜率为且与坐标轴所围成的三角形的周长是12的直线的斜截式方程是_ 答案-子士3 解桐设所求直线的藏式方程为y是+6，令y0,得x号 由题意得专+b2+受-2 即+b+b=12, .4|bl=12,∴.b=±3 “所求直线的斜裁式方程为子士3. 7.己知直线1的斜率与直线3x-2y=6的斜率相等，且直线1在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，求 直线1的斜截式方程 解由题意知，直线1的斜率为 故设直线1的方程为)是+b 可求得直线1在x轴上的藏距为0，在y轴上的截距为b,所以b-b=l,b=影 所以直线1的斜藏式方程为y2号 挑战剑新 (1)已知直线1过点(1,0)，且与直线y=V3(x-1)的夹角为30°，求直线1的方程. (2)已知在△ABC中，A(1,-4),B2,6),C(-2,0),AD⊥BC于点D,求直线AD的方程. 解图1)直线y-√3x-1)的斜率为V3, ∴.其倾斜角为60°，且过点(1,0). 又直线1与直线y=V3(x-1)的夹角为30°，且过点(1,0)， 如图所示，易知直线1的倾斜角为30°或90°
5 即- 𝑐 3 + (- 𝑐 2 ) = 5 6 ,解得 c=-1. 即直线 l 的方程为 2x+3y-1=0. 6.斜率为3 4 ,且与坐标轴所围成的三角形的周长是 12 的直线的斜截式方程是 . 答案:y= 3 4 x±3 解析:设所求直线的斜截式方程为 y= 3 4 x+b,令 y=0,得 x=- 4𝑏 3 , 由题意得|b|+|- 4 3 𝑏| + √𝑏 2 + 16𝑏 2 9 =12, 即|b|+4 3 |b|+5 3 |b|=12, ∴4|b|=12,∴b=±3, ∴所求直线的斜截式方程为 y= 3 4 x±3. 7.已知直线 l 的斜率与直线 3x-2y=6 的斜率相等,且直线 l 在 x 轴上的截距比在 y 轴上的截距大 1,求 直线 l 的斜截式方程. 解:由题意知,直线 l 的斜率为3 2 , 故设直线 l 的方程为 y= 3 2 x+b. 可求得直线 l 在 x 轴上的截距为- 2 3 b,在 y 轴上的截距为 b,所以- 2 3 b-b=1,b=- 3 5 , 所以直线 l 的斜截式方程为 y= 3 2 x- 3 5 . 挑战创新 (1)已知直线 l 过点(1,0),且与直线 y=√3(x-1)的夹角为 30°,求直线 l 的方程. (2)已知在△ABC 中,A(1,-4),B(2,6),C(-2,0),AD⊥BC 于点 D,求直线 AD 的方程. 解:(1)∵直线 y=√3(x-1)的斜率为√3, ∴其倾斜角为 60°,且过点(1,0). 又直线 l 与直线 y=√3(x-1)的夹角为 30°,且过点(1,0), 如图所示,易知直线 l 的倾斜角为 30°或 90°
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org y=5x-1) 3030 X60 故直线1的方程为)或x=1 (2)由题意知，@c盟=月 因为AD⊥BC, 所以直线AD的斜率存在， 且o=号 故直线AD的方程为y叶4=x-). 6
6 故直线 l 的方程为 y= √3 3 (x-1)或 x=1. (2)由题意知,kBC= 0-6 -2-2 = 3 2 . 因为 AD⊥BC, 所以直线 AD 的斜率存在, 且 kAD=- 2 3 . 故直线 AD 的方程为 y+4=- 2 3 (x-1)