志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 课后·训练提升 基础巩固 1.己知过点P(3,2m)和点Q(m,2)的直线与过点M2,-1)和点N(-3,4)的直线平行，则m的值是() A.1 B.-1 C.2 D.-2 答案B 解析国为k49-l,所以若直线PQ与直线MN平行，则-l,mf3,解得m=1. .3-2 3-m 2.以点A(-1,1),B(2,-1),C(1,4)为顶点的三角形是() A.锐角三角形 B.钝角三角形 C以A点为直角顶点的直角三角形 D.以B点为直角顶点的直角三角形 客案c 解标由题意及针率公式得ks治-号c品=身 k4Bk4C=-1,AB⊥AC, 即A为直角， ∴，△ABC是以A点为直角顶点的直角三角形 3.直线1过(m,n),(n,m)两点，其中m≠n,m0,则( ） A.1与x轴垂直 B.I与y轴垂直 C.I过原点和第一、三象限 D.1的倾斜角为135 答案D 解析由题意及斜率公式得直线1的斜率k-m”-1,故直线1的倾斜角为135°， n-m 4.已知经过点P(-2,m)和Qm,4)的直线平行于斜率等于1的直线，则m的值是() A.4 B.1 C.1或3 D.1或4 1
1 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 课后· 基础巩固 1.已知过点 P(3,2m)和点 Q(m,2)的直线与过点 M(2,-1)和点 N(-3,4)的直线平行,则 m 的值是( ) A.1 B.-1 C.2 D.-2 答案:B 解析:因为 kMN= 4-(-1) -3-2 =-1,所以若直线 PQ 与直线 MN 平行,则 2𝑚-2 3-𝑚 =-1,m≠3,解得 m=-1. 2.以点 A(-1,1),B(2,-1),C(1,4)为顶点的三角形是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.以 A 点为直角顶点的直角三角形 D.以 B 点为直角顶点的直角三角形 答案:C 解析:由题意及斜率公式得 kAB= -1-1 2-(-1) =- 2 3 ,kAC= 4-1 1-(-1) = 3 2 . ∵kAB·kAC=-1,∴AB⊥AC, 即 A 为直角. ∴△ABC 是以 A 点为直角顶点的直角三角形. 3.直线 l 过(m,n),(n,m)两点,其中 m≠n,mn≠0,则( ) A.l 与 x 轴垂直 B.l 与 y 轴垂直 C.l 过原点和第一、三象限 D.l 的倾斜角为 135° 答案:D 解析:由题意及斜率公式得直线 l 的斜率 k=𝑚-𝑛 𝑛-𝑚 =-1,故直线 l 的倾斜角为 135°. 4.已知经过点 P(-2,m)和 Q(m,4)的直线平行于斜率等于 1 的直线,则 m 的值是( ) A.4 B.1 C.1 或 3 D.1 或 4
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org 答案B 解析由题意，知4m=1,解得m=1 m-(-2) 5.若直线h的斜率子直线h经过点43a,-2,B0,2+1),且1h,则实数a的值为() A.1 B.3 C.0或1 D.1或3 答案D 解析h⊥2， kk=-1,即2×2t-②-l,解得a=1或a=3 0-3a 6.(多选题)对于两条不重合的直线，下列说法正确的有() A.若两条直线斜率相等，则两条直线平行 B.若1⊥2，则k2=-1 C若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交 D.若两条直线斜率都不存在，则两条直线平行 答案ACD 解析当1=时，与h平行，故A正确；B中也可能一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，故 B不正确：C,D正确， 7.己知点A(2,3),B(-2,6),C(6,6),D10,3),则以A,B,C,D为顶点的四边形是() A.梯形 B.平行四边形 C.菱形 D.矩形 答案B 解析：如图所示，易知k4B=子kec-0,keD=子kD0,keD=kuc-子即k4B=kcn,kac=kD,k4gkD0,ckD= 品，故AB∥CD,AD∥BC,AB与AD不垂直，BD与AC不垂直，国此四边形ABCD为平行四边形. 2 A -20246810x 8.直线1,2的斜率，是关于k的方程22-3k-b=0的两根，若1⊥五，则b=;若1∥2，则 b= 2
2 答案:B 解析:由题意,知 4-𝑚 𝑚-(-2) =1,解得 m=1. 5.若直线 l1 的斜率 k1= 3 4 ,直线 l2 经过点 A(3a,-2),B(0,a 2+1),且 l1⊥l2,则实数 a的值为( ) A.1 B.3 C.0 或 1 D.1 或 3 答案:D 解析:∵l1⊥l2, ∴k1k2=-1,即 3 4 × 𝑎 2+1-(-2) 0-3𝑎 =-1,解得 a=1 或 a=3. 6.(多选题)对于两条不重合的直线,下列说法正确的有( ) A.若两条直线斜率相等,则两条直线平行 B.若 l1⊥l2,则 k1k2=-1 C.若两条直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则两直线相交 D.若两条直线斜率都不存在,则两条直线平行 答案:ACD 解析:当 k1=k2 时,l1 与 l2 平行,故 A 正确;B 中也可能一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为 0,故 B 不正确;C,D 正确. 7.已知点 A(2,3),B(-2,6),C(6,6),D(10,3),则以 A,B,C,D 为顶点的四边形是( ) A.梯形 B.平行四边形 C.菱形 D.矩形 答案:B 解析: 如图所示,易知 kAB=- 3 4 ,kBC=0,kCD=- 3 4 ,kAD=0,kBD=- 1 4 ,kAC= 3 4 ,即 kAB=kCD,kBC=kAD,kAB·kAD=0,kAC·kBD=- 3 16,故 AB∥CD,AD∥BC,AB 与 AD 不垂直,BD 与 AC 不垂直,因此四边形 ABCD 为平行四边形. 8.直线 l1,l2 的斜率 k1,k2 是关于 k 的方程 2k 2 -3k-b=0 的两根,若 l1⊥l2,则 b= ;若 l1∥l2,则 b=
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 含案 解析若h上b,则k=名-1，得b=2 若1∥k,则k-电，即49+8b-0,得6-号 9.己知直线1y=x,若直线2⊥1，则直线2的倾斜角为 答案135° 解析国为直线=x的斜率1=1，所以若直线2⊥1，则直线2的斜率阳-1，所以直线2的倾斜角为 135°. 10.当m为何值时，过两点A(1,1),B2m2+1,m-2)的直线： (1)倾斜角为135°？ (2)与过两点(3,2)，(0，-7)的直线垂直？ (3)与过两点(2，-3)，(-4,9)的直线平行？ 图1)由题意得u器-1，得2m2+m3-0,解得m=我1 (2)得3及垂直关系，得婴器月 2m2-3 解得m我-3. ()冷器=号-2，解得m煮1 11.已知三点A(1,-1),B2,2),C3,0),求点D,使直线CD⊥AB,且CB∥AD 图段Dx由己知得kD六ks=3ks=-20岩出 要使直线CD⊥AB,且CB∥AD, 则kCD:kAB=--l,kCB=kD 所以六×3-1，岩费2 解得x=0,y=1,即D(0,1) 拓展提高 1.若点P(a,b)与Q(b-1,a+1)关于直线1对称，则直线1的倾斜角a为() A.135 B.45 C.30 D.60 3
3 答案:2 - 9 8 解析:若 l1⊥l2,则 k1k2=- 𝑏 2 =-1,得 b=2. 若 l1∥l2,则 k1=k2,即 Δ=9+8b=0,得 b=- 9 8 . 9.已知直线 l1:y=x,若直线 l2⊥l1,则直线 l2 的倾斜角为 . 答案:135° 解析:因为直线 y=x 的斜率 k1=1,所以若直线 l2⊥l1,则直线 l2 的斜率 k2=-1,所以直线 l2 的倾斜角为 135°. 10.当 m 为何值时,过两点 A(1,1),B(2m2+1,m-2)的直线: (1)倾斜角为 135°? (2)与过两点(3,2),(0,-7)的直线垂直? (3)与过两点(2,-3),(-4,9)的直线平行? 解:(1)由题意得 kAB= 𝑚-3 2𝑚2=-1,得 2m2+m-3=0,解得 m=- 3 2或 1. (2)由 -7-2 0-3 =3 及垂直关系,得 𝑚-3 2𝑚2=- 1 3 , 解得 m= 3 2或-3. (3)令 𝑚-3 2𝑚2 = 9+3 -4-2 =-2,解得 m= 3 4或-1. 11.已知三点 A(1,-1),B(2,2),C(3,0),求点 D,使直线 CD⊥AB,且 CB∥AD. 解:设 D(x,y),由已知得 kCD= 𝑦 𝑥-3 ,kAB=3,kCB=-2,kAD= 𝑦+1 𝑥-1 . 要使直线 CD⊥AB,且 CB∥AD, 则 kCD·kAB=-1,kCB=kAD, 所以 𝑦 𝑥-3 ×3=-1,𝑦+1 𝑥-1 =-2, 解得 x=0,y=1,即 D(0,1). 拓展提高 1.若点 P(a,b)与 Q(b-1,a+1)关于直线 l对称,则直线 l 的倾斜角 α 为( ) A.135° B.45° C.30° D.60°
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 答案B 解析由题意知，PQ⊥1 +1b-1 :kpo-b-1-a ∴.h=l,即tana=1,∴.a=45° 2.己知四点A(m,3),B(2m,m+4),C(m+1,2),D(1,0),且直线AB与直线CD平行，则m的值为() A.1 B.0 C.0或2 D.0或1 答案p 解析当m=0时，直线AB与直线CD的斜率都不存在，且不重合，此时直线AB与直线CD平行；当m0 时，km品由肚-品解得ml:蛛上所述，m的值为0或1 3.己知直线1,2,3的斜率分别是k,,k,其中1∥2，且k1k3是方程223x-2=0的两根，则%++k的 值是() A.1 c D.1或好 客案p 解机由，6是方程23x2-0的两根，解方程得k1=克 k1=2, 1又h∥2，所以k=, k3=2 k3=-2 所以++的值是1我号 4.己知△ABC的顶点B(2,1),C(-6,3),其垂心为H-3,2),则其顶点A的坐标为(） A.(-19,-62) B.(19,-62) C.(-19,62) D.(19,62) 含案A 解析设Ax,由已知，得AH L BC,BHLAC,且直线AH,BH的斜率存在， fkAH'kBC =-1, 器×（月）=1， 所以H KAC=1, 即 ()×=1 解得配二62脚41962 5.己知A(2,3),B1,-1),C(-1,2)三点，点D在x轴上，则当点D的坐标为 时，AB⊥CD. 答案-9,0)
4 答案:B 解析:由题意知,PQ⊥l. ∵kPQ= 𝑎+1-𝑏 𝑏-1-𝑎 =-1, ∴kl=1,即 tan α=1,∴α=45°. 2.已知四点 A(m,3),B(2m,m+4),C(m+1,2),D(1,0),且直线 AB 与直线 CD 平行,则 m 的值为( ) A.1 B.0 C.0 或 2 D.0 或 1 答案:D 解析:当 m=0 时,直线 AB 与直线 CD 的斜率都不存在,且不重合,此时直线 AB 与直线 CD 平行;当 m≠0 时,kAB= 𝑚+1 𝑚 ,kCD= 2 𝑚 ,由 𝑚+1 𝑚 = 2 𝑚 ,解得 m=1.综上所述,m 的值为 0 或 1. 3.已知直线 l1,l2,l3 的斜率分别是 k1,k2,k3,其中 l1∥l2,且 k1,k3 是方程 2x 2 -3x-2=0 的两根,则 k1+k2+k3 的 值是( ) A.1 B. 3 2 C. 7 2 D.1 或 7 2 答案:D 解析:由 k1,k3 是方程 2x 2 -3x-2=0 的两根,解方程得{ 𝑘1 = - 1 2 , 𝑘3 = 2 或{ 𝑘1 = 2, 𝑘3 = - 1 2 . 又 l1∥l2,所以 k1=k2, 所以 k1+k2+k3 的值是 1 或 7 2 . 4.已知△ABC 的顶点 B(2,1),C(-6,3),其垂心为 H(-3,2),则其顶点 A 的坐标为( ) A.(-19,-62) B.(19,-62) C.(-19,62) D.(19,62) 答案:A 解析:设 A(x,y),由已知,得 AH⊥BC,BH⊥AC,且直线 AH,BH 的斜率存在, 所以{ 𝑘𝐴𝐻 ·𝑘𝐵𝐶 = -1, 𝑘𝐵𝐻 ·𝑘𝐴𝐶 = -1, 即 { 𝑦-2 𝑥+3 × (- 1 4 ) = -1, (- 1 5 ) × 𝑦-3 𝑥+6 = -1, 解得{ 𝑥 = -19, 𝑦 = -62,即 A(-19,-62). 5.已知 A(2,3),B(1,-1),C(-1,-2)三点,点 D 在 x 轴上,则当点 D的坐标为 时,AB⊥CD. 答案:(-9,0)
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 解析设点Dx,0), 因为k贤-440， 所以直线CD的斜率存在， 由AB⊥CD,知k4BkCD=-l, 即42-1，解得x=-9 x-(-1) 6已知直线4经过点4A0,-1和点（产，1）直线h经过点M1,1)和点M0,-2),若与b没有公共点，则 实数a的值为 答案6 解析由题意得h∥，∴kB=k ,k4B= 4 2-3,a=-6 7.在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次是O(0,0),P1,),Q1-21,2+),R- 21,2),其中>0.试判断四边形OPQR的形状. 图由斜率公式，得a品-4 2-(2+t) koR-2t-(1-2t0) 2-0_1 KoR-.2t-0t' 0器=品-月 .kop=koR,koR=kpe,∴.OP∥QR,OR∥PQ, ∴.四边形OPQR为平行四边形 又kop koR-=-l,∴.OP⊥OR, ∴.四边形OPQR为矩形. 又OP=V1+tz,OR=2V1+t,∴.OP≠OR,即四边形OPQR不是正方形. 综上，四边形OPQR为矩形. 挑战创新 己知△4BC三个顶点坐标分别为A(-2,-4),B(6,6),C(0,6),求此三角形三边的高所在直线的斜率， 5
5 解析:设点 D(x,0), 因为 kAB= -1-3 1-2 =4≠0, 所以直线 CD 的斜率存在. 由 AB⊥CD,知 kAB·kCD=-1, 即 4· 0-(-2) 𝑥-(-1) =-1,解得 x=-9. 6.已知直线 l1 经过点 A(0,-1)和点 B(- 4 𝑎 ,1),直线 l2 经过点 M(1,1)和点 N(0,-2),若 l1与 l2没有公共点,则 实数 a 的值为 . 答案:-6 解析:由题意得 l1∥l2,∴kAB=kMN. ∵kAB= 2 - 4 𝑎 =- 𝑎 2 ,kMN= -2-1 0-1 =3, ∴- 𝑎 2 =3,∴a=-6. 7.在平面直角坐标系中,四边形 OPQR 的顶点坐标按逆时针顺序依次是 O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),R(- 2t,2),其中 t>0.试判断四边形 OPQR 的形状. 解:由斜率公式,得 kOP= 𝑡-0 1-0 =t, kQR= 2-(2+𝑡) -2𝑡-(1-2𝑡) = -𝑡 -1 =t, kOR= 2-0 -2𝑡-0 =- 1 𝑡 , kPQ= 2+𝑡-𝑡 1-2𝑡-1 = 2 -2𝑡 =- 1 𝑡 . ∵kOP=kQR,kOR=kPQ,∴OP∥QR,OR∥PQ, ∴四边形 OPQR 为平行四边形. 又 kOP·kOR=-1,∴OP⊥OR, ∴四边形 OPQR 为矩形. 又 OP=√1 + 𝑡 2,OR=2√1 + 𝑡 2,∴OP≠OR,即四边形 OPQR 不是正方形. 综上,四边形 OPQR 为矩形. 挑战创新 已知△ABC 三个顶点坐标分别为 A(-2,-4),B(6,6),C(0,6),求此三角形三边的高所在直线的斜率
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 图由斜率公式可得岛=月 64=5 kac品-0，kuc 由kBC=O知直线BC∥x轴， ,',BC边上的高线所在直线与x轴垂直，其斜率不存在， 设AB,AC边上的高线所在直线的斜率分别为，， 由k1k4B=-1,k2k4C=-1, 即是-1，e5=-l, 解得=兽®=片 ∴，BC边上的高所在直线的斜率不存在， AB边上的高所在直线的斜率为 4C边上的高所在直线的斜率为号 6
6 解:由斜率公式可得 kAB= 6-(-4) 6-(-2) = 5 4 , kBC= 6-6 0-6 =0,kAC= 6-(-4) 0-(-2) =5. 由 kBC=0 知直线 BC∥x 轴, ∴BC 边上的高线所在直线与 x 轴垂直,其斜率不存在. 设 AB,AC 边上的高线所在直线的斜率分别为 k1,k2, 由 k1·kAB=-1,k2·kAC=-1, 即 k1· 5 4 =-1,k2·5=-1, 解得 k1=- 4 5 ,k2=- 1 5 . ∴BC 边上的高所在直线的斜率不存在, AB 边上的高所在直线的斜率为- 4 5 , AC 边上的高所在直线的斜率为- 1 5