志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.1直线与圆的位置关系 第1课时直线与圆的位置关系 课后·训练提升 基础巩固 1.若点M(xo,%)在圆x2+y2=R2外，则直线xox+y=R2与圆的位置关系是() A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 答案B 解析：因为点Mx0,w)在圆2+y2=R2外，所以x名+y>R,圆心到直线0r+y=R?的距离为L < x6+哈 号=R所以直线与圆相交，故选B. 2.若直线x-y+1=0与圆(x-a)2+y2-2有公共点，则实数a的取值范围是() A.[-3,-1] B.[-1,3] C.[-3,1] D.(-0,-3]U[1,+0) 答案：C 解析：令圆(x-a)2+y2-2的圆心C(a,0)到直线xy+1=0的距离为d,则d≤r=√Z,由，点到直线的距离公式 得≤V2,整理得1a+1≤2，解得-3≤a≤1 3.若圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴相切于原点，则() A.E≠0，D=F-=0 B.D≠0，E≠0，F=0 C.D≠0，E=F=0 D.F0,D=E=0 答案：A 1
1 2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.1 直线与圆的位置关系 第 1 课时 直线与圆的位置关系 课后· 基础巩固 1.若点 M(x0,y0)在圆 x 2+y2=R2 外,则直线 x0x+y0y=R2 与圆的位置关系是( ) A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 答案:B 解析:因为点 M(x0,y0)在圆 x 2+y2=R2 外,所以𝑥0 2 + 𝑦0 2>R2 ,圆心到直线 x0x+y0y=R2 的距离为 |𝑅 2 | √𝑥0 2+𝑦 0 2 < 𝑅 2 𝑅 =R,所以直线与圆相交,故选 B. 2.若直线 x-y+1=0 与圆(x-a) 2+y2=2 有公共点,则实数 a 的取值范围是( ) A.[-3,-1] B.[-1,3] C.[-3,1] D.(-∞,-3]∪[1,+∞) 答案:C 解析:令圆(x-a) 2+y2=2 的圆心 C(a,0)到直线 x-y+1=0 的距离为 d,则 d≤r=√2,由点到直线的距离公式 得 |𝑎+1| √2 ≤ √2,整理得|a+1|≤2,解得-3≤a≤1. 3.若圆 x 2+y2+Dx+Ey+F=0 与 x 轴相切于原点,则( ) A.E≠0,D=F=0 B.D≠0,E≠0,F=0 C.D≠0,E=F=0 D.F≠0,D=E=0 答案:A
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 解析：由题意得圆心坐标为(2，》又圆过原点，故F=0,且半径为引=VD2+4,化简可得 E0,D=F-0. 4.若直线x-y=2被圆(x-a)2+y2-4所截得的弦长为2√2，则实数a的值为( A.0或4 B.0或3 C.-2或6 D.-1或√3 答案：A 解析：由圆的方程，可知圆心坐标为(a,0),半径=2.又直线被圆截得的弦长为2V2,所以圆心到直线的距 离d= 22 =V2 又由点到直线的距离得d2,所以-2=2，解得a=4或4=0.故选A 5.直线1与圆x2+y2+2x-4y+a=0(a<3)相交于A,B两点，若弦AB的中点为C(-2,3),则直线1的方程为 () A.xy+5=0 B.x+-1=0 C.x-y5=0 D.x+y-3=0 答案：A 解析：由圆的一般方程，可得圆心坐标为M-1,2).由圆的性质易知，M(-1,2)与C(-2,3)的连线与弦AB垂 直，故有k4B×C=1,又kuC=l,即得k4B=1.故直线AB的方程为y3=x+2,整理得x-y叶5=0. 6.已知直线ar+-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+0ya)2=4相交于A,B两点，且△4BC为等边三角形，则实 数a= 答案：4士√15 解析：由已知及，点到直线的距离公式得圆心C1,)到直线x+-2=0的距离为+a-二国为△4BC为等 va2+1 边三角形，所以AB引=BC=2,所以 1a+a-2 +12=22,解得a=4±V15 Q2+1 7.在圆x+y2-2x-6y=0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积 为 答案：10V2 解析：将圆的方程化为标准形式为(x1)P+03)2-10,由圆的性质可知最长弦4C=2V10,最短弦BD恰 以E(0,1)为中点，且与AC垂直.设点F为圆心，则F1,3) 故1EF1=v5,1BD1-2,(W102-(52-2V5, 2
2 解析:由题意得圆心坐标为(- 𝐷 2 ,- 𝐸 2 ),又圆过原点,故 F=0,且半径为|- 𝐸 2 | = 1 2 √𝐷2 + 𝐸2-4𝐹,化简可得 E≠0,D=F=0. 4.若直线 x-y=2 被圆(x-a) 2+y2=4 所截得的弦长为 2√2,则实数 a 的值为( ) A.0 或 4 B.0 或 3 C.-2 或 6 D.-1 或√3 答案:A 解析:由圆的方程,可知圆心坐标为(a,0),半径 r=2.又直线被圆截得的弦长为 2√2,所以圆心到直线的距 离 d=√2 2-( 2√2 2 ) 2 = √2. 又由点到直线的距离得 d=|𝑎-2| √2 ,所以|a-2|=2,解得 a=4 或 a=0.故选 A. 5.直线 l 与圆 x 2+y2+2x-4y+a=0(a<3)相交于 A,B 两点,若弦 AB 的中点为 C(-2,3),则直线 l 的方程为 ( ) A.x-y+5=0 B.x+y-1=0 C.x-y-5=0 D.x+y-3=0 答案:A 解析:由圆的一般方程,可得圆心坐标为 M(-1,2).由圆的性质易知,M(-1,2)与 C(-2,3)的连线与弦 AB 垂 直,故有 kAB×kMC=-1,又 kMC=-1,即得 kAB=1.故直线 AB 的方程为 y-3=x+2,整理得 x-y+5=0. 6.已知直线 ax+y-2=0 与圆心为 C 的圆(x-1)2+(y-a) 2=4 相交于 A,B 两点,且△ABC 为等边三角形,则实 数 a= . 答案:4±√15 解析:由已知及点到直线的距离公式得圆心 C(1,a)到直线 ax+y-2=0 的距离为|𝑎+𝑎-2| √𝑎2+1 .因为△ABC 为等 边三角形,所以|AB|=|BC|=2,所以( |𝑎+𝑎-2| √𝑎2+1 ) 2 +1 2=2 2 ,解得 a=4±√15. 7.在圆 x 2+y2 -2x-6y=0 内,过点 E(0,1)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积 为 . 答案:10√2 解析:将圆的方程化为标准形式为(x-1)2+(y-3)2=10,由圆的性质可知最长弦|AC|=2√10,最短弦 BD 恰 以 E(0,1)为中点,且与 AC 垂直.设点 F 为圆心,则 F(1,3). 故|EF|=√5,|BD|=2√(√10) 2 -(√5) 2=2√5
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 故Sa号4ABCD之4C-BD=l0VZ 8.一条光线从点(-2，-3)射出，经y轴反射后与圆(x+3)2+(y2)2-1相切，则反射光线所在直线的斜率 为 答案戟 解析：由已知得点(-2，-3)关于y轴的对称点为(2，-3)，由入射光线与反射光线的对称性知，反射光线一定 过点(2，-3).设反射光线所在直线的斜率为k则反射光线所在直线的方程为y+3=x-2),即c-y2k 3=0.由反射光线与圆相切，得圆心(3,2)到直线-2k-3=0的距离为半径，即d322k3=1,解得k= Jk2+1 钱仁是 9.由直线y=x+1上的一点向圆x2-6x+y2+8=0引切线，则切线长的最小值为 答案√7 解析：易知直线与圆相离，当直线y=x+1上的点与圆心的距离最小时即可求得切线长的最小值由圆的 一般方程得圆心坐标为(3,0)，则圆心(3,0)到直线xy41=0的距离为dB-0=2V2,圆的半径为1，故切 线长的最小值为√2r2=V⑧-I=√7 10.己知圆0：x2+y2=2(>0)与直线x-y+2√Z-0相切 (1)求圆O的方程； ②)过点(1，)的直线1截圆所得弦长为2V3,求直线1的方程 解()直线x叶2V2-0与圆0x2+2=相切，“圆心00,0)到直线的距离等于圆的半径即2 ∴.r=2.∴.圆0的方程为x2+y2=4. (2)当直线1的斜率不存在时，则直线1的方程为x=1,此时直线1截圆所得弦长为2V3,符合题意 当直线1的斜率存在时，设直线1的方程为)号，即少号k0 由直线1截圆所得弦长为2V3,半径r=2,得圆心到直线1的距离d=V4-3-1,即 1,解得太- k2+1 故直线1的方程为y2号0，即x32-0 综上所述，直线1的方程为x+V3y-2=0或x=1 拓展提高 心
3 故 S 四边形 ABCD= 1 2 |AC|·|BD|=10√2. 8.一条光线从点(-2,-3)射出,经 y 轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1 相切,则反射光线所在直线的斜率 为 . 答案:- 4 3或- 3 4 解析:由已知得点(-2,-3)关于 y 轴的对称点为(2,-3),由入射光线与反射光线的对称性知,反射光线一定 过点(2,-3).设反射光线所在直线的斜率为 k,则反射光线所在直线的方程为 y+3=k(x-2),即 kx-y-2k- 3=0.由反射光线与圆相切,得圆心(-3,2)到直线 kx-y-2k-3=0 的距离为半径,即 d=|-3𝑘-2-2𝑘-3| √𝑘 2+1 =1,解得 k=- 4 3或 k=- 3 4 . 9.由直线 y=x+1 上的一点向圆 x 2 -6x+y2+8=0 引切线,则切线长的最小值为 . 答案:√7 解析:易知直线与圆相离,当直线 y=x+1 上的点与圆心的距离最小时即可求得切线长的最小值.由圆的 一般方程得圆心坐标为(3,0),则圆心(3,0)到直线 x-y+1=0 的距离为 d=|3-0+1| √2 =2√2,圆的半径为 1,故切 线长的最小值为√𝑑2-𝑟 2 = √8-1 = √7. 10.已知圆 O:x 2+y2=r2 (r>0)与直线 x-y+2√2=0 相切. (1)求圆 O 的方程; (2)过点(1, √3 3 )的直线 l 截圆所得弦长为 2√3,求直线 l 的方程. 解:(1)∵直线 x-y+2√2=0 与圆 O:x 2+y2=r2 相切,∴圆心 O(0,0)到直线的距离等于圆的半径 r,即 2√2 √2 =r. ∴r=2.∴圆 O 的方程为 x 2+y2=4. (2)当直线 l 的斜率不存在时,则直线 l 的方程为 x=1,此时直线 l截圆所得弦长为 2√3,符合题意. 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y- √3 3 =k(x-1),即 kx-y+ √3 3 -k=0. 由直线 l 截圆所得弦长为 2√3,半径 r=2,得圆心到直线 l 的距离 d=√4-3=1,即 | √3 3 -𝑘| √𝑘 2+1 =1,解得 k=- √3 3 . 故直线 l 的方程为- √3 3 x-y+2√3 3 =0,即 x+√3y-2=0. 综上所述,直线 l 的方程为 x+√3y-2=0 或 x=1. 拓展提高
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org 1.(多选题)已知圆Ox2+y2=r2,点P(a,b)(ab≠0)是圆O内一点，过点P的圆O的最短的弦所在的直线为 1,直线2的方程为bx-y=2,那么() A.h∥2 B.h⊥2 C.2与圆0相离 D.h与圆O相交 答案：BC 解析：由题意得2+b2 ∴.2与圆O相离.故C正确 2.(多选题)已知圆Cx2+y2-4x-4y-10=0,直线1x-y+c=0,则下列c的取值满足圆C上至少有三个不同的 点到直线1的距离为2vZ的是() A.-2 B.-1 c.0 D.1 答案：ABCD 解析：圆C的方程x2+y2-4x-410-0可化为(x-2)2+02)2-18,则圆心C2,2),半径为3V2 若圆上至少有三个不同的点到直线1xy+c-0的距离为2W2,则圆心C到直线1的距离号≤3V2-2V2, 解得-2≤c≤2， 故ABCD都满足 3.若过点A(4,0)的直线1与曲线x-2)2+2=1有公共点，则直线1的斜率的取值范围为_ 答案9 解析：利用数形结合的方法，如图所示，∠CAB=∠BAD=30°， y B204Q) 由题意知，直线1的倾斜角0的取值范围为[0°，30°]U[150°，180°) 4
4 1.(多选题)已知圆 O:x 2+y2=r2 ,点 P(a,b)(ab≠0)是圆 O 内一点,过点 P 的圆 O 的最短的弦所在的直线为 l1,直线 l2 的方程为 bx-ay=r2 ,那么( ) A.l1∥l2 B.l1⊥l2 C.l2 与圆 O 相离 D.l2 与圆 O 相交 答案:BC 解析:由题意得 a 2+b2 𝑟 2 |𝑟| =|r|, ∴l2 与圆 O 相离.故 C 正确. 2.(多选题)已知圆 C:x 2+y2 -4x-4y-10=0,直线 l:x-y+c=0,则下列 c 的取值满足圆 C 上至少有三个不同的 点到直线 l 的距离为 2√2的是( ) A.-2 B.-1 C.0 D.1 答案:ABCD 解析:圆 C 的方程 x 2+y2 -4x-4y-10=0 可化为(x-2)2+(y-2)2=18,则圆心 C(2,2),半径为 3√2. 若圆上至少有三个不同的点到直线 l:x-y+c=0 的距离为 2√2,则圆心 C 到直线 l 的距离|𝑐| √2 ≤3√2-2√2, 解得-2≤c≤2. 故 ABCD 都满足. 3.若过点 A(4,0)的直线 l 与曲线(x-2)2+y2=1 有公共点,则直线 l 的斜率的取值范围为 . 答案:[- √3 3 , √3 3 ] 解析:利用数形结合的方法,如图所示,∠CAB=∠BAD=30°. 由题意知,直线 l 的倾斜角 θ 的取值范围为[0°,30°]∪[150°,180°)
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 所以，直钱1的斜车的取值范国为亭乳 4.已知直线1：xV3y+6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点，过A,B作1的垂线与x轴分别交于C,D两点，则 ICDI= 答案：4 解析：如图所示，，直线AB的方程为xV3y+6=0, kun .∠BPD=30°， 从而∠BDP=60° 在Rt△BOD中，IOB=2V3, .lOD1=2. 取AB的中点H,连接OH,则OH⊥AB, ∴.OH为直角梯形ABDC的中位线， ..JOC1=IODI, .lCDl=21OD1=2×2=4 挑h战创新 已知直线1：2mx-y8m-3=0和圆Cx2+y2-6x+12y+20=0. (1)当m∈R时，证明直线1与圆C总相交， (2)m取何值时，直线I被圆C截得的弦长最短？求此弦长。 (1)证明：直线的方程可化为y+3-2m(x-4), 由点斜式可知，直线过点P(4,-3), 圆C化为标准方程为(x-3)2+0y+6)2-25,即圆心坐标为(3，-6)，半径r=5,所以点P到圆心C的距离 -4-3)2+(-3+6)2=1而<5=可， 所以点P在圆内，故直线1与圆C总相交 (2)解：如图，当圆心C(3,-6)到直线1的距离最大时，线段AB的长度最短 5
5 所以,直线 l 的斜率的取值范围为[- √3 3 , √3 3 ]. 4.已知直线 l:x-√3y+6=0 与圆 x 2+y2=12 交于 A,B 两点,过 A,B 作 l的垂线与 x 轴分别交于 C,D 两点,则 |CD|= . 答案:4 解析: 如图所示,∵直线 AB 的方程为 x-√3y+6=0, ∴kAB= √3 3 , ∴∠BPD=30°, 从而∠BDP=60°. 在 Rt△BOD 中,∵|OB|=2√3, ∴|OD|=2. 取 AB 的中点 H,连接 OH,则 OH⊥AB, ∴OH 为直角梯形 ABDC 的中位线, ∴|OC|=|OD|, ∴|CD|=2|OD|=2×2=4. 挑战创新 已知直线 l:2mx-y-8m-3=0 和圆 C:x 2+y2 -6x+12y+20=0. (1)当 m∈R 时,证明直线 l 与圆 C 总相交; (2)m 取何值时,直线 l 被圆 C 截得的弦长最短?求此弦长. (1)证明:直线的方程可化为 y+3=2m(x-4), 由点斜式可知,直线过点 P(4,-3). 圆 C 化为标准方程为(x-3)2+(y+6)2=25,即圆心坐标为(3,-6),半径 r=5,所以点 P 到圆心 C 的距离 d=√(4-3) 2 + (-3 + 6) 2 = √10<5=r, 所以点 P 在圆内,故直线 l 与圆 C 总相交. (2)解:如图,当圆心 C(3,-6)到直线 l的距离最大时,线段 AB 的长度最短
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 此时PC⊥， 又kc36-3, 4-3 所以直线1的斜率为 则2m=号解得m=言 在Rt△4PC中，lPC|-V10,AC=r=5 所以4B=2AC-PC-2V15. 故当m=时，/被C藏得的弦长最短，最短弦长为2V压 6
6 此时 PC⊥l, 又 kPC= -3-(-6) 4-3 =3, 所以直线 l 的斜率为- 1 3 , 则 2m=- 1 3 ,解得 m=- 1 6 . 在 Rt△APC 中,|PC|=√10,|AC|=r=5. 所以|AB|=2√|𝐴𝐶| 2 -|𝑃𝐶| 2=2√15. 故当 m=- 1 6时,l 被 C 截得的弦长最短,最短弦长为 2√15