4.2.5正态分布 K-102 1.设一正态总体的概率密度函数为x),且x)=p,)V元e8一，则这个正态总体的均值与 标准差分别是( A.10.8 B.10.2 C.8,10 D.2,10 答案☐B (x-) 2(多选题)已知某正态曲线是函数)云e票x∈R的图象则下列结论正确的是( A.正态曲线关于直线x=μ对称 B.正态曲线关于直线x=o对称 C.正态曲线与x轴一定不相交 D.正态曲线与x轴一定相交 答案AC 3.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N(0,32),从中随机取一件，其长度误差 落在区间[3,6]上的概率为( A.4.56% B.13.55% C.27.18% D.31.74% 答案☐B 解析□由题意可知，P(356)P-6≤≤6，P3≤≤3≈954%683%-13.55%.故选B 2 4.假设某工厂制造的零件尺寸X服从正态分布N(4,2),当随机抽取某一个测量值α时，可以说 明假设不成立的是 () A.a∈(-3o,1+3o) B.a(-3o,+3o) C.a∈(-2o,u+2o) D.c4(-2o,+2o） 答案□B 解析☐由30原则可知，P(u-3oXs+3o)99.7%,故a-3o+3o)几乎为不可能事件。 5.在某市2020年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布 (98,100).已知参加本次考试的全市理科学生约有9450人，如果某学生在这次考试中的数学 成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市 () A.第1498名 B.第1700名 C.第4500名 D.第8000名 答案☐ 解析因为数学成绩X服从正态分布N(98,100) 所以P2108)21-P(88≤X1082×1-68.3%)=0.1585, 所以0.1585×9450≈1498. 故该学生的数学成绩大约排在全市第1498名】 6.某物理量的测量结果服从正态分布N(10,2),下列结论中不正确的是() A.σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大 B.σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
4.2.5 正态分布 1.设一正态总体的概率密度函数为 f(x),且 f(x)=φμ,σ(x)= 1 √8π e - (𝑥-10) 2 8 ,则这个正态总体的均值与 标准差分别是( ) A.10,8 B.10,2 C.8,10 D.2,10 答案 B 2.(多选题)已知某正态曲线是函数 f(x)= 1 𝜎√2π · e - (𝑥-𝜇) 2 2𝜎2 ,x∈R 的图象,则下列结论正确的是( ) A.正态曲线关于直线 x=μ 对称 B.正态曲线关于直线 x=σ 对称 C.正态曲线与 x 轴一定不相交 D.正态曲线与 x 轴一定相交 答案 AC 3.已知某批零件的长度误差 ξ(单位:毫米)服从正态分布 N(0,32 ),从中随机取一件,其长度误差 落在区间[3,6]上的概率为( ) A.4.56% B.13.55% C.27.18% D.31.74% 答案 B 解析 由题意可知,P(3≤ξ≤6)= 𝑃(-6≤𝜉≤6)-𝑃(-3≤𝜉≤3) 2 ≈ 95.4%-68.3% 2 =13.55%.故选 B. 4.假设某工厂制造的零件尺寸 X 服从正态分布 N(μ,σ 2 ),当随机抽取某一个测量值 α 时,可以说 明假设不成立的是 ( ) A.α∈(μ-3σ,μ+3σ) B.α∉(μ-3σ,μ+3σ) C.α∈(μ-2σ,μ+2σ) D.α∉(μ-2σ,μ+2σ) 答案 B 解析 由 3σ 原则可知,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈99.7%,故 α∉(μ-3σ,μ+3σ)几乎为不可能事件. 5.在某市 2020 年 1 月份的高三质量检测考试中,理科学生的数学成绩服从正态分布 N(98,100).已知参加本次考试的全市理科学生约有 9 450 人,如果某学生在这次考试中的数学 成绩是 108 分,那么他的数学成绩大约排在全市 ( ) A.第 1 498 名 B.第 1 700 名 C.第 4 500 名 D.第 8 000 名 答案 A 解析 因为数学成绩 X 服从正态分布 N(98,100), 所以 P(X≥108)= 1 2 [1-P(88≤X≤108)]≈1 2 ×(1-68.3%)=0.158 5, 所以 0.158 5×9 450≈1 498. 故该学生的数学成绩大约排在全市第 1 498 名. 6.某物理量的测量结果服从正态分布 N(10,σ 2 ),下列结论中不正确的是( ) A.σ 越小,该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大 B.σ 越小,该物理量在一次测量中大于 10 的概率为 0.5
C.σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D.σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等 答案]D 解析对于A,G2为数据的方差，所以σ越小，数据在4=10附近越集中，所以测量结果落在 (9.9,10.1)内的概率越大，故A正确：对于B,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次 测量大于10的概率为0.5，故B正确：对于C,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一 次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确；对于D,因为该物理量一次 测量结果落在(9.9,10)的概率与落在(10.2,10.3)的概率不相等，所以一次测量结果落在 (9.9,10.2)的概率与落在(10,10.3)的概率不相等，故D错误 7.已知随机变量X服从正态分布N(a,4),且PX1)=0.5,则实数a的值为】 答案☐ 解析因为X服从正态分布NMa,4),所以正态曲线关于直线x=a对称.又PX1)=0.5,故a=1. 8.设随机变量X~N(4,2),且P40），若X在区间(0,2)内取值的概率为 0.2,求 (1)P(0<X<4): (2)P(X24). 解1).X-N2,2), ∴正态曲线关于直线x=2对称 ∴.P(2<X<4)=P(0<X<2)=0.2 ..P(0<X<4)=P(0<X<2)+P(2<X<4)=0.4 (2)P24)-1-P0<X<4-x(1-04)=0.3 11.有一种精密零件，其尺寸X单位：mm)服从正态分布N(20,4).若这批零件共有5000个，试 求： (1)这批零件中尺寸在18~22mm的零件所占的百分比： (2)若规定尺寸在24-26mm的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？ 解1)因为X~N20,4),所以u=20,o=2,所以1-o-18,u+o=22.故尺寸在18-22mm的零件所占 的百分比大约是68.3%
C.σ 越小,该物理量在一次测量中小于 9.99 与大于 10.01 的概率相等 D.σ 越小,该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等 答案 D 解析 对于 A,σ 2 为数据的方差,所以 σ 越小,数据在 μ=10 附近越集中,所以测量结果落在 (9.9,10.1)内的概率越大,故 A 正确;对于 B,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次 测量大于 10 的概率为 0.5,故 B 正确;对于 C,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一 次测量结果大于 10.01 的概率与小于 9.99 的概率相等,故 C 正确;对于 D,因为该物理量一次 测量结果落在(9.9,10)的概率与落在(10.2,10.3)的概率不相等,所以一次测量结果落在 (9.9,10.2)的概率与落在(10,10.3)的概率不相等,故 D 错误. 7.已知随机变量 X 服从正态分布 N(a,4),且 P(X≤1)=0.5,则实数 a 的值为 . 答案 1 解析 因为 X 服从正态分布 N(a,4),所以正态曲线关于直线 x=a 对称.又 P(X≤1)=0.5,故 a=1. 8.设随机变量 X~N(4,σ 2 ),且 P(40),若 X 在区间(0,2)内取值的概率为 0.2,求: (1)P(0<X<4); (2)P(X≥4). 解 (1)∵X~N(2,σ 2 ), ∴正态曲线关于直线 x=2 对称. ∴P(2<X<4)=P(0<X<2)=0.2. ∴P(0<X<4)=P(0<X<2)+P(2<X<4)=0.4. (2)P(X≥4)= 1 2 [1-P(0<X<4)]= 1 2 ×(1-0.4)=0.3. 11.有一种精密零件,其尺寸 X(单位:mm)服从正态分布 N(20,4).若这批零件共有 5 000 个,试 求: (1)这批零件中尺寸在 18~22 mm 的零件所占的百分比; (2)若规定尺寸在 24~26 mm 的零件不合格,则这批零件中不合格的零件大约有多少个? 解 (1)因为 X~N(20,4),所以 μ=20,σ=2,所以 μ-σ=18,μ+σ=22.故尺寸在 18~22 mm 的零件所占 的百分比大约是 68.3%
(2)因为-30=14，u+30=26,-2o=16,u+2o=24,所以尺寸在2426mm的零件所占的百分比大 约是9.7%954%=2.15%. 2 所以这批零件中不合格的零件大约有5000×2.15%≈108（个）
(2)因为 μ-3σ=14,μ+3σ=26,μ-2σ=16,μ+2σ=24,所以尺寸在 24~26 mm 的零件所占的百分比大 约是99.7%-95.4% 2 =2.15%. 所以这批零件中不合格的零件大约有 5 000×2.15%≈108(个)