3.1.2 ，排列与排列数 第1课时 排列与排列数 1.(多选题)下列为排列问题的是( A.从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组 B.从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动 C.从a,b,c,d中选出3个字母 D.从1,2,3,4,5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数 客案☐AD 解析由排列的定义知A,D是排列问题 2.89×90×91×..×100可表示为( A.A100 B.A100 C.A60 D.A80 答案 解析☐A品0=100×99×.×(100-12+1)=100×99××89， 3.已知An=2A先+1，则logm25的值为( ) A.1 B.2 C.4 D.不确定 含案]B 解析因为A3n=2A1+1,所以2n(2n-1)(2n-2)=2(n+1)n-(n-1)(n-2) 由题意知223，且n+1≥4， 即n23,整理方程， 解得n=5, 所以10gn25=2 4原A AS A.12 B.24 C.30 D.36 案□D 解析☐国为A9=7x6×A,A2=6xA,所以原式36A生-36 A 5.(多选题)下列各式与排列数A相等的是( n! A (nm+1)! B.n(n-1)(n-2)..(n-m+l) C.nA n-m+1 D.ALA1 答案BD 解析由排列数公式可知A咒=(n-1)(n-2).…(n-m+1),故B正确； A好=高而AAn巴=高即AA=A,故D正疏 6.从a,b,c,d,e五个元素中每次取出三个元素，可组成 个以b为首的不同的排列，它 们分别是 答案☐12 bac bad bae bca bed bce bda bdc bde bea bec bed 解析 画出树状图如下：
3.1.2 排列与排列数 第 1 课时 排列与排列数 1.(多选题)下列为排列问题的是( ) A.从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组 B.从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动 C.从 a,b,c,d 中选出 3 个字母 D.从 1,2,3,4,5 这五个数字中取出 2 个数字组成一个两位数 答案 AD 解析 由排列的定义知 A,D 是排列问题. 2.89×90×91×…×100 可表示为( ) A.A100 10 B.A100 11 C.A100 12 D.A100 13 答案 C 解析 A100 12 =100×99×…×(100-12+1)=100×99×…×89. 3.已知A2𝑛 3 =2A𝑛+1 4 ,则 logn25 的值为( ) A.1 B.2 C.4 D.不确定 答案 B 解析 因为A2𝑛 3 =2A𝑛+1 4 ,所以 2n·(2n-1)·(2n-2)=2(n+1)·n·(n-1)·(n-2). 由题意知 2n≥3,且 n+1≥4, 即 n≥3,整理方程, 解得 n=5, 所以 logn25=2. 4. A7 6 -A6 5 A5 4 =( ) A.12 B.24 C.30 D.36 答案 D 解析 因为A7 6=7×6×A5 4 ,A6 5=6×A5 4 ,所以原式= 36A5 4 A5 4 =36. 5.(多选题)下列各式与排列数A𝑛 𝑚相等的是( ) A. 𝑛! (𝑛-𝑚+1)! B.n(n-1)(n-2)…(n-m+1) C. 𝑛A𝑛-1 𝑚 𝑛-𝑚+1 D.A𝑛 1 A𝑛-1 𝑚-1 答案 BD 解析 由排列数公式可知A𝑛 𝑚=n(n-1)(n-2)…(n-m+1),故 B 正确; A𝑛 𝑚 = 𝑛! (𝑛-𝑚)!,而A𝑛 1 A𝑛-1 𝑚-1=n× (𝑛-1)! (𝑛-𝑚)! = 𝑛! (𝑛-𝑚)!,即A𝑛 1 A𝑛-1 𝑚-1 = A𝑛 𝑚,故 D 正确. 6.从 a,b,c,d,e 五个元素中每次取出三个元素,可组成 个以 b 为首的不同的排列,它 们分别是 . 答案 12 bac,bad,bae,bca,bcd,bce,bda,bdc,bde,bea,bec,bed 解析 画出树状图如下:
bac bad bae bca d bed e、 bce bda bde bde a- bea -bec d-bed 它们分别是bac,bad,bae,bca,bcd,bce,bda,bdc,bde,bea,bec,bed,共12个 7.若集合P={xx=A?,m∈N+},则集合P中共有」 个元素 客案☐3 解析由题意知，m=1,2,3,4,由A经=A4,故集合P中共有3个元素。 8满足不等式是>12的n的最小值为 A 答案☐10 解析由排列数公式，得5>12， "(n-7)!n! 即(n-5)(n-6)>12, 解得n>9或n9, 又n∈N+, 所以n的最小值为10. 9.(1)计算A5和A: (2)若3A经=2A?+1+6A经，求x的值. 解☐1)A35=15×14×13-2730,Ag=6×5×4×3×2×1=720. (2)由3A3=2A经+1+6A2,得3x(x-1)(x-2)=2(x+1)x+6x(x-1). 因为之3，且x∈N+, 所以3x2-17x+10=0. 解得x=5或x子舍去) 所以x=5. 10.解不等式：A饶x+1<140A3 解☐根据原不等式，x∈N,且应满足x+)1≥4， x≥3. 解得之3. 根据排列数公式，原不等式可化为(2x+1)2xr(2x1)(2x-2)<140x(x-1)(x-2) 23 ∴.两边同除以4x(x-1),得(2x+1)(2x-1)<35(x-2), 即4x2.-35x+69<0, 解得3<<5 x∈N+, x=4或x=5 11.(1)解不等式：A+2<6A路； (2)证明A1-A=nA,并用此结论计算A1+2A经+3A3+.+8A8
它们分别是 bac,bad,bae,bca,bcd,bce,bda,bdc,bde,bea,bec,bed,共 12 个. 7.若集合 P={x|x=A4 𝑚,m∈N+},则集合 P 中共有 个元素. 答案 3 解析 由题意知,m=1,2,3,4,由A4 3 = A4 4 ,故集合 P 中共有 3 个元素. 8.满足不等式A𝑛 7 A𝑛 5>12 的 n 的最小值为 . 答案 10 解析 由排列数公式,得 𝑛!(𝑛-5)! (𝑛-7)!𝑛! >12, 即(n-5)(n-6)>12, 解得 n>9 或 n9, 又 n∈N+, 所以 n 的最小值为 10. 9.(1)计算A15 3 和A6 6 ; (2)若 3A𝑥 3=2A𝑥+1 2 +6A𝑥 2 ,求 x 的值. 解 (1)A15 3 =15×14×13=2 730,A6 6=6×5×4×3×2×1=720. (2)由 3A𝑥 3=2A𝑥+1 2 +6A𝑥 2 ,得 3x(x-1)(x-2)=2(x+1)x+6x(x-1). 因为 x≥3,且 x∈N+, 所以 3x 2 -17x+10=0. 解得 x=5 或 x= 2 3 (舍去). 所以 x=5. 10.解不等式:A2𝑥+1 4 <140A𝑥 3 . 解 根据原不等式,x∈N+,且应满足{ 2𝑥 + 1 ≥ 4, 𝑥 ≥ 3, 解得 x≥3. 根据排列数公式,原不等式可化为(2x+1)·2x·(2x-1)·(2x-2)<140x·(x-1)·(x-2). ∵x≥3, ∴两边同除以 4x(x-1),得(2x+1)·(2x-1)<35(x-2), 即 4x 2 -35x+69<0, 解得 3<x<5 3 4 . ∵x∈N+, ∴x=4 或 x=5. 11.(1)解不等式:A8 𝑥+2<6A8 𝑥 ; (2)证明A𝑛+1 𝑛+1 − A𝑛 𝑛=nA𝑛 𝑛 ,并用此结论计算A1 1+2A2 2+3A3 3+…+8A8 8
81 (1懈☐原不等式等价于 [8-(x+2 <6×, x+2≤8，且x∈N+ x2-15x+50<0, 整理得 x≤6，且x∈N+ 即5<≤6，且x∈N+,从而解得x=6 (2)证明A%1-A经=(n+1)1-nl =(n+1)n!-n! =nn! -nAn. A1+2A3+3A3+..+8A8 =(A2-A1)+(A3-A)+..+(Ag-A)+(A号-A8) =A号-A1 =91-1 =362879
(1)解 原不等式等价于{ 8! [8-(𝑥+2)]! < 6 × 8! (8-𝑥)! , 𝑥 + 2 ≤ 8,且𝑥∈N+, 整理得{ 𝑥 2 -15𝑥 + 50 < 0, 𝑥 ≤ 6,且𝑥∈N+. 即 5<x≤6,且 x∈N+,从而解得 x=6. (2)证明 A𝑛+1 𝑛+1 − A𝑛 𝑛=(n+1)!-n! =(n+1)n!-n! =n·n! =nA𝑛 𝑛 . A1 1+2A2 2+3A3 3+…+8A8 8 =(A2 2 − A1 1 )+(A3 3 − A2 2 )+…+(A8 8 − A7 7 )+(A9 9 − A8 8 ) =A9 9 − A1 1 =9!-1 =362 879