志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org 习题课— 数列求和 课后·训练提升 基础巩固 1.若数列{am}的通项公式是an=(-1)"(3n-2),则a1十a2+…+a1o等于() A15 B.12 C.-12 D.-15 答案：A 解析：由题知an=(-1)”(3n-2), 则a1+a2+…+a10=-1+4-7+10--25+28=(-1+4)+(-7+10)+…+(-25+28)=3×5=15. 2数列吃2号号品…的前n项和为(） A22+n+2)-a B2n+1)+1-, C2㎡2-n+2) D.2n+1)+2(1) 答案：A 解标由题意得-1吃2+始+12+3…4m+后++计+》）=型+2 - 1 n出+1-只=r+n+2以故选A 2 3号++爱+…+只等于()） A.2"n-1 2 B.2n+i.n- 2 CAmI D2+nt2 2n 答案：B 解析方法一令S弓+是+亭…受0 y
1 习题课——数列求和 课后· 基础巩固 1.若数列{an}的通项公式是 an=(-1)n (3n-2),则 a1+a2+…+a10 等于( ) A.15 B.12 C.-12 D.-15 答案:A 解析:由题知 an=(-1)n (3n-2), 则 a1+a2+…+a10=-1+4-7+10-…-25+28=(-1+4)+(-7+10)+…+(-25+28)=3×5=15. 2.数列 1 1 2 ,21 4 ,31 8 ,4 1 16,…的前 n项和为( ) A. 1 2 (n 2+n+2)- 1 2 𝑛 B. 1 2 n(n+1)+1- 1 2 𝑛-1 C. 1 2 (n 2 -n+2)- 1 2 𝑛 D. 1 2 n(n+1)+2(1- 1 2 𝑛) 答案:A 解析:由题意得 Sn=1 1 2 +2 1 4 +3 1 8 +…+n 1 2 𝑛=(1+2+3+…+n)+( 1 2 + 1 4 + 1 8 + … + 1 2 𝑛) = 𝑛(𝑛+1) 2 + 1 2 [1-( 1 2 ) 𝑛 ] 1- 1 2 = 𝑛(𝑛+1) 2 +1- 1 2 𝑛 = 1 2 (n 2+n+2)- 1 2 𝑛.故选 A. 3. 1 2 + 1 2 + 3 8 +…+ 𝑛 2 𝑛等于( ) A. 2 𝑛 -𝑛-1 2 𝑛 B. 2 𝑛+1 -𝑛-2 2 𝑛 C. 2 𝑛 -𝑛+1 2 𝑛 D. 2 𝑛+1 -𝑛+2 2 𝑛 答案:B 解析:方法一:令 Sn= 1 2 + 2 2 2 + 3 2 3+…+ 𝑛 2 𝑛,①
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org ①@，++宁…六 引-门 1-7 品整理得S22 2n 故选B 方法二当n=l时，票=代入各选项验证可知选B 4若数列a为等比数列，且a-92则7高++t的结果可化为 anan+l A.l B.1 c1) D.1) 答案C 解析an=2-1,∴1一 2点=份叫 “数列}是以为首项，以为公比的等比数列 ∴.其前n项和Tm 1 2-1) 5已知数列a号+号+子++号++…则数列前项的和) A41) B4假) C.a D吃- 答案：A 解析：an1+2+3++2= n(n+1) 2 n+1 n+1 .bn-andn+ 1 =G) 4 s4++号…-41) 6已知a,=ln(1+)(n∈N,则数列{an}的前n项和为S,= 答案：ln(n+l) 2
2 则 1 2 Sn= 1 2 2 + 2 2 3+…+ 𝑛-1 2 𝑛 + 𝑛 2 𝑛+1 ,② ①-②,得 1 2 Sn= 1 2 + 1 2 2 + 1 2 3+…+ 1 2 𝑛 − 𝑛 2 𝑛+1 = 1 2 [1-( 1 2 ) 𝑛 ] 1- 1 2 − 𝑛 2 𝑛+1 .整理得 Sn= 2 𝑛+1 -𝑛-2 2 𝑛 . 故选 B. 方法二:当 n=1 时, 𝑛 2 𝑛 = 1 2 ,代入各选项验证可知选 B. 4.若数列{an}为等比数列,且 a1=1,q=2,则 Tn= 1 𝑎1𝑎2 + 1 𝑎2𝑎3 +…+ 1 𝑎𝑛𝑎𝑛+1 的结果可化为( ) A.1- 1 4 𝑛 B.1- 1 2 𝑛 C. 2 3 (1- 1 4 𝑛) D. 2 3 (1- 1 2 𝑛) 答案:C 解析:∵an=2 n-1 ,∴ 1 𝑎𝑛𝑎𝑛+1 = 1 2 𝑛-1 ·2 𝑛 = 1 2 2𝑛-1 = 1 2 · ( 1 4 ) 𝑛-1 . ∴数列{ 1 𝑎𝑛𝑎𝑛+1 }是以1 2为首项,以 1 4为公比的等比数列, ∴其前 n 项和 Tn= 1 2 (1- 1 4 𝑛 ) 1- 1 4 = 2 3 (1- 1 4 𝑛). 5.已知数列{an}:1 2 , 1 3 + 2 3 , 1 4 + 2 4 + 3 4 , 1 5 + 2 5 + 3 5 + 4 5 ,……则数列{ 1 𝑎𝑛𝑎𝑛+1 }前 n 项的和为( ) A.4(1- 1 𝑛+1 ) B.4( 1 2 - 1 𝑛+1 ) C.1- 1 𝑛+1 D. 1 2 − 1 𝑛+1 答案:A 解析:∵an= 1+2+3+…+𝑛 𝑛+1 = 𝑛(𝑛+1) 2 𝑛+1 = 𝑛 2 , ∴bn= 1 𝑎𝑛𝑎𝑛+1 = 4 𝑛(𝑛+1) =4( 1 𝑛 - 1 𝑛+1 ). ∴Sn=4 1- 1 2 + 1 2 − 1 3 + 1 3 − 1 4 +…+ 1 𝑛 − 1 𝑛+1 =4(1- 1 𝑛+1 ). 6.已知 an=ln(1 + 1 𝑛 )(n∈N+),则数列{an}的前 n 项和为 Sn= . 答案:ln(n+1)
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 解析：aw=ln+nn+1)-lnn n .'S=(In 2-In 1)+(In 3-In 2)+(In 4-In 3)+..+[In(n+1)-In n]=In(n+1)-In 1=In(n+1). 7.数列11,103,1005,10007，…的前n项和Sn= 答案号(10-1)+r2 解析：由题意得数列的通项公式am-10+(2n-1) 所以Sm-(10+1)+(102+3)+…+(10+2n-1)=(10+102++10)+[1+3+…+2n-1]101-102+ 1-10 1+1=910-1)+。 2 &已知数列{am,}满足+子+…+品=(32-1，n∈N a1 a2 an (I)求数列{an}的通项公式： 2设oe÷求+点 1 解)当n=1时号=3影32-1)-=3 当≥2时2=（层+品+…+品）-（台+品++）=32031）-3 a2 当n=1时云31也成立， 故an=3品 (2)bm=log32=-(2n-1), “aa=n+西=（品z） 1 1 1+…+bnbn+ 小+ ()+G+(债)克 9.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，数列{bm}是等差数列，且a1=b1=l,b2+b3=2a3,as-3b2-7. (I)求数列{an}和{bn}的通项公式， (2)设cn=anbm,n∈N+,求数列{cn}的前n项和. 解(1)设数列{an}的公比为q,数列{bm}的公差为d,由题意知，q>0, 由已知有2g2-3d=2, g4-3d=10, 消去d整理得g-2g-8=0. 心
3 解析:∵an=ln𝑛+1 𝑛 =ln(n+1)-ln n, ∴Sn=(ln 2-ln 1)+(ln 3-ln 2)+(ln 4-ln 3)+…+[ln(n+1)-ln n]=ln(n+1)-ln 1=ln(n+1). 7.数列 11,103,1 005,10 007,…的前 n 项和 Sn= . 答案: 10 9 (10n -1)+n2 解析:由题意得数列的通项公式 an=10n+(2n-1). 所以 Sn=(10+1)+(102+3)+…+(10n+2n-1)=(10+102+…+10n )+[1+3+…+(2n-1)]= 10(1-10 𝑛 ) 1-10 + 𝑛(1+2𝑛-1) 2 = 10 9 (10n -1)+n2 . 8.已知数列{an}满足: 1 𝑎1 + 2 𝑎2 +…+ 𝑛 𝑎𝑛 = 3 8 (32n -1),n∈N+. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=log3 𝑎𝑛 𝑛 ,求 1 𝑏1𝑏2 + 1 𝑏2𝑏3 +…+ 1 𝑏𝑛𝑏𝑛+1 . 解:(1)当 n=1 时, 1 𝑎1 = 3 8 (32 -1)=3; 当 n≥2 时, 𝑛 𝑎𝑛 = ( 1 𝑎1 + 2 𝑎2 + … + 𝑛 𝑎𝑛 ) − ( 1 𝑎1 + 2 𝑎2 + … + 𝑛-1 𝑎𝑛-1 ) = 3 8 (32n -1)- 3 8 (32n-2 -1)=3 2n-1 . 当 n=1 时, 𝑛 𝑎𝑛 =3 2n-1 也成立, 故 an= 𝑛 3 2𝑛-1 . (2)∵bn=log3 𝑎𝑛 𝑛 =-(2n-1), ∴ 1 𝑏𝑛𝑏𝑛+1 = 1 (2𝑛-1)(2𝑛+1) = 1 2 ( 1 2𝑛-1 - 1 2𝑛+1 ), ∴ 1 𝑏1𝑏2 + 1 𝑏2𝑏3 +…+ 1 𝑏𝑛𝑏𝑛+1 = 1 2 (1- 1 3 ) + ( 1 3 - 1 5 )+…+( 1 2𝑛-1 - 1 2𝑛+1 ) = 1 2 1- 1 2𝑛+1 = 𝑛 2𝑛+1 . 9.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列,数列{bn}是等差数列,且 a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5-3b2=7. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)设 cn=anbn,n∈N+,求数列{cn}的前 n 项和. 解:(1)设数列{an}的公比为 q,数列{bn}的公差为 d,由题意知,q>0, 由已知有{ 2𝑞 2 -3𝑑 = 2, 𝑞 4 -3𝑑 = 10, 消去 d 整理得 q 4 -2q 2 -8=0
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org ,q>0,解得q=2, .d-2 .数列{an}的通项公式为am=2-l,n∈N+; 数列{bn}的通项公式为bn=2n-l,n∈N+ (2)由(1)有cn=(2n-1)2m-1 设数列{cn}的前n项和为S,则 Sn=1×20+3×2l+5×22+…+(2n-3)×2m-2+(2m-1)×2m-1,① 2Sm=1×21+3×22+5×23+…+(2n-3)×2m-1+(2n-1)×2,② ①-②，得-Sm=1+22+23+…+2”-(2n-1)×2"=-(2n-3)×2"-3. ∴.Sm=(2n-3)2"+3,n∈N+ 拓展提高 1.数列1,1+2,1+2+22，…，1+2+22+…+2"-1，…的前n项和为 A2-m-1 B.2+1-n-2 C.2 D.2"+1-n 答案B 解析：am=2-1,Sn=(2+22+…+2-n2-2n=20*1n-2 1-2 2数列{a}满足am=l,且对任意的n∈N,都有a1-a1+a+n,则数列日}的前100项和为( A器 B99 100 c删 D跚 答案D 解析：由题意得an+1-an=l+n,∴anan-1=n aa-(a-aa-)+(a1-am-2）t…+(a2-am）+a1=n+(0n-l)+…+2+lnm+1 2 2 六数列月的前10项和为21号+号…品--21）=器 故选D. 3.已知函数nm)= 2,n为奇数且a,mm+1,则a+a+as++ao0等于( -n2,n为偶数， A.0 B.100 C.-100 D.10200 4
4 ∵q>0,解得 q=2, ∴d=2, ∴数列{an}的通项公式为 an=2 n-1 ,n∈N+; 数列{bn}的通项公式为 bn=2n-1,n∈N+. (2)由(1)有 cn=(2n-1)·2 n-1 , 设数列{cn}的前 n 项和为 Sn,则 Sn=1×2 0+3×2 1+5×2 2+…+(2n-3)×2 n-2+(2n-1)×2 n-1 ,① 2Sn=1×2 1+3×2 2+5×2 3+…+(2n-3)×2 n-1+(2n-1)×2 n ,② ①-②,得-Sn=1+2 2+2 3+…+2 n -(2n-1)×2 n=-(2n-3)×2 n -3. ∴Sn=(2n-3)·2 n+3,n∈N+. 拓展提高 1.数列 1,1+2,1+2+2 2 ,…,1+2+2 2+…+2 n-1 ,……的前 n 项和为( ) A.2 n -n-1 B.2 n+1 -n-2 C.2 n D.2 n+1 -n 答案:B 解析:∵an=2 n -1,∴Sn=(2+2 2+…+2 n )-n= 2(1-2 𝑛 ) 1-2 -n=2 n+1 -n-2. 2.数列{an}满足 a1=1,且对任意的 n∈N+都有 an+1=a1+an+n,则数列{ 1 𝑎𝑛 }的前 100项和为( ) A. 100 101 B. 99 100 C. 101 100 D. 200 101 答案:D 解析:由题意得 an+1-an=1+n,∴an-an-1=n, ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=n+(n-1)+…+2+1= 𝑛(𝑛+1) 2 , ∴ 1 𝑎𝑛 = 2 𝑛(𝑛+1) =2( 1 𝑛 - 1 𝑛+1 ), ∴数列{ 1 𝑎𝑛 }的前 100 项和为 2 1- 1 2 + 1 2 − 1 3 +…+ 1 100 − 1 101 =2(1- 1 101) = 200 101. 故选 D. 3.已知函数 f(n)={ 𝑛 2 ,𝑛为奇数, -𝑛 2 ,𝑛为偶数, 且 an=f(n)+f(n+1),则 a1+a2+a3+…+a100 等于( ) A.0 B.100 C.-100 D.10 200
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org 答案B 解析：由题意，得a1+a2+a3+…+a100=12-22.22+32+32.42.42+52+…+992-1002-1002+1012=-(1+2)+(3+2)- (4+3)+…-(99+100)+(101+100)=-(1+2+…+99+100)+(2+3+…+100+101)=-50×101+50×103=100. 故选B 4数列2本6。…的前n项和等于 1 1 1 答案子-m+ 2n+3 1(11) 解析：am+2=2元n+z 8(-)+)+…+)点点是 2m+3 5.己知数列{am}的通项公式为am=4n-25,则其前10项和S1o的值为 数列{an}的前n项和Tn 为 答案-307-23-2.n≤6 n(2n-23)+132,n>6 解析：因为am-4n-25,所以S1010-21+40-25=-30. 2 因为al4n-251,所以，当n≤6时，T,=a-0m-…-am--21+n2过=n23-2n当n>6时，n=-a1-42-… 2 a6+a+…tanm-21+,4n251-2S=n2n-23)+132 2 所以T,=n23-2.n≤6， n(2m-23)+132,n>6. 6在数列{a,}中，a=n(sin受+cos受），前n项和为S则Soo= 答案0 解析：易知a1=1,2=-2,a3=-3,a4=4,a5=5,a6=-6,a7=-7,08=8,, ∴.a1+a2+a3+a4=0. 又sin受+cos受的周期为4， .∴.an十an+1+an+2十an+3=0, .S100=0. 7.在等差数列{an}中，已知公差d=2,a是a1与a4的等比中项. (I)求数列{am}的通项公式： (2)设bn=ann+1,记Tn=-b1+b2-b3+b4-…+(-1)"bm求Tnm 5
5 答案:B 解析:由题意,得 a1+a2+a3+…+a100=1 2 -2 2 -2 2+3 2+3 2 -4 2 -4 2+5 2+…+992 -1002 -1002+1012=-(1+2)+(3+2)- (4+3)+…-(99+100)+(101+100)=-(1+2+…+99+100)+(2+3+…+100+101)=-50×101+50×103=100. 故选 B. 4.数列 1 1 2+2 , 1 2 2+4 , 1 3 2+6 , 1 4 2+8 ,…的前 n 项和等于 . 答案: 3 4 − 2𝑛+3 2(𝑛+1)(𝑛+2) 解析:∵an= 1 𝑛2+2𝑛 = 1 2 1 𝑛 − 1 𝑛+2 , ∴Sn= 1 2 (1- 1 3 ) + ( 1 2 - 1 4 ) + ( 1 3 - 1 5 )+…+( 1 𝑛 - 1 𝑛+2 ) = 1 2 1+ 1 2 − 1 𝑛+1 − 1 𝑛+2 = 3 4 − 2𝑛+3 2(𝑛+1)(𝑛+2) . 5.已知数列{an}的通项公式为 an=4n-25,则其前 10 项和 S10 的值为 ,数列{|an|}的前 n 项和 Tn 为 . 答案:-30 Tn={ 𝑛(23-2𝑛),𝑛 ≤ 6, 𝑛(2𝑛-23)+ 132,𝑛 > 6 解析:因为 an=4n-25,所以 S10= 10(-21+40-25) 2 =-30. 因为|an|=|4n-25|,所以,当 n≤6 时,Tn=-a1-a2-…-an=- 𝑛(-21+4𝑛-25) 2 =n(23-2n);当 n>6 时,Tn=-a1-a2-…- a6+a7+…+an= 𝑛(-21+4𝑛-25) 2 -2S6=n(2n-23)+132. 所以 Tn={ 𝑛(23-2𝑛),𝑛 ≤ 6, 𝑛(2𝑛-23) + 132,𝑛 > 6. 6.在数列{an}中,an=n(sin 𝑛π 2 + cos 𝑛π 2 ),前 n 项和为 Sn,则 S100= . 答案:0 解析:易知 a1=1,a2=-2,a3=-3,a4=4,a5=5,a6=-6,a7=-7,a8=8,…, ∴a1+a2+a3+a4=0. 又 sin𝑛π 2 +cos 𝑛π 2 的周期为 4, ∴an+an+1+an+2+an+3=0, ∴S100=0. 7.在等差数列{an}中,已知公差 d=2,a2 是 a1与 a4的等比中项. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=𝑎𝑛(𝑛+1) 2 ,记 Tn=-b1+b2-b3+b4-…+(-1)n bn,求 Tn
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 解(1)由题意知(a1+d)2=a(a1+3d, 即(a1+2)2=a1(a1+6), 解得a1=2, 所以数列{an}的通项公式为am=2n. (2)由题意知bn=an+1)=n(n+l), 2 所以Tn=-1×2+2×3-3×4+…+(-1)”(n+1). 因为bm+1-bm=2(n+1), 所以当n为偶数时， 17n-bi+h)(-bs+b)t…+(←b1+b)4+8+12+…+2m-84+2=2a+2 2 2 当n为奇数时，Ta=Tnt(-b)n+里nn+1)=n+ 2 2 所以Tn ,n为奇数， 2 n(n+2 2 ,n为偶数. 挑战创新 等比数列{an}的前n项和为Sm,己知对任意的n∈N+,点(n,Sm)均在函数y=b+b>0,且b时1，b,y均为 常数)的图象上 (1)求r的值： (2)当b=2时，记bn-n出nEN),求数列{bn}的前n项和Tm 4an 解：(1)由题意，得Sm=b”+r, 当n≥2时，Sn-1=bm-1+r an=Sn-Sn-1=b"-1(b-1). ,b>0,且b时1， ∴.当n≥2时，数列{an}是以b为公比的等比数列. 又am=b+ra=6(b-1号-b, 即bb-1-b, b+r 解得=1. (2)由(1)知，an=(b-1)b"-1=2m-1n∈N+, 6
6 解:(1)由题意知(a1+d) 2=a1(a1+3d), 即(a1+2)2=a1(a1+6), 解得 a1=2, 所以数列{an}的通项公式为 an=2n. (2)由题意知 bn=𝑎𝑛(𝑛+1) 2 =n(n+1), 所以 Tn=-1×2+2×3-3×4+…+(-1)n n(n+1). 因为 bn+1-bn=2(n+1), 所以当 n 为偶数时, Tn=(-b1+b2)+(-b3+b4)+…+(-bn-1+bn)=4+8+12+…+2n= 𝑛 2 (4+2𝑛) 2 = 𝑛(𝑛+2) 2 ; 当 n 为奇数时,Tn=Tn-1+(-bn)= (𝑛-1)(𝑛+1) 2 -n(n+1)=- (𝑛+1) 2 2 . 所以 Tn={ - (𝑛+1) 2 2 ,𝑛为奇数, 𝑛(𝑛+2) 2 ,𝑛为偶数. 挑战创新 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知对任意的 n∈N+,点(n,Sn)均在函数 y=bx+r(b>0,且 b≠1,b,r 均为 常数)的图象上. (1)求 r 的值; (2)当 b=2 时,记 bn= 𝑛+1 4𝑎𝑛 (n∈N+),求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 解:(1)由题意,得 Sn=bn+r, 当 n≥2 时,Sn-1=bn-1+r, an=Sn-Sn-1=bn-1 (b-1). ∵b>0,且 b≠1, ∴当 n≥2 时,数列{an}是以 b 为公比的等比数列. 又 a1=b+r,a2=b(b-1),𝑎2 𝑎1 =b, 即 𝑏(𝑏-1) 𝑏+𝑟 =b, 解得 r=-1. (2)由(1)知,an=(b-1)b n-1=2 n-1 ,n∈N+
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org ∴b=+1=n+1 4x2-7= 2n+1 1+是+… 2n*7 是+景品+ 两式和成学++去★器= 12 故1是-京-=是 >
7 ∴bn= 𝑛+1 4×2 𝑛-1 = 𝑛+1 2 𝑛+1 . Tn= 2 2 2 + 3 2 3 + 4 2 4+…+ 𝑛+1 2 𝑛+1 , 1 2 Tn= 2 2 3 + 3 2 4+…+ 𝑛 2 𝑛+1 + 𝑛+1 2 𝑛+2 , 两式相减,得 1 2 Tn= 2 2 2 + 1 2 3 + 1 2 4+…+ 1 2 𝑛+1 − 𝑛+1 2 𝑛+2 = 1 2 + 1 2 3 ×(1- 1 2 𝑛-1 ) 1- 1 2 − 𝑛+1 2 𝑛+2 = 3 4 − 1 2 𝑛+1 − 𝑛+1 2 𝑛+2 , 故 Tn= 3 2 − 1 2 𝑛 − 𝑛+1 2 𝑛+1 = 3 2 − 𝑛+3 2 𝑛+1