志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 5.2.2 等差数列的前n项和 第1课时等差数列的前n项和 课后·训练提升 基础巩固 1.在等差数列{am}中，己知a4+as=16,则该数列前11项的和S1=() A.58 B.88 C.143 D.176 答案B 解析：S1-1x@1+a 2 ,a1+a11=a4+a8=16, S1X16-88.故选B 2 2.若等差数列{am}的前5项和S5=25,且a2=3,则a7=(） A12 B.13 C.14 D.15 答案：B 解析：S,5a1+a= 5a2+a4-25 2 2 ∴.a2+a4=10. 又a2=3,∴.a4=7,∴公差d=2. ∴.a7=04+3d=7+3×2=13. 3.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1=l,公差d=2,Sk+2-S4=24,则k=() A.8 B.7 C.6 D.5 答案D 解析：由a1=1,公差d=2得通项公式am=2m-1,又Sk+2-Sk=ak+1+ak+2,所以2k+1+2k+3=24,得k=5.故选D. 4.己知数列{an}的前n项和Sm=r2-9n,第k项满足5<ak<8,则k等于(） A.9 B.8 C.7 D.6 答案：B 解析：当n≥2时，an=Sm-Sm-1=(2.9n)H(m-1)2-9(n-1】=2n-10; 当n=1时，a1=S1=-8,满足上式 所以an=2n-10(n∈N+). 1
1 5.2.2 等差数列的前 n 项和 第 1 课时 等差数列的前 n 项和 课后· 基础巩固 1.在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项的和 S11=( ) A.58 B.88 C.143 D.176 答案:B 解析:∵S11= 11×(𝑎1+𝑎11 ) 2 ,a1+a11=a4+a8=16, ∴S11= 11×16 2 =88.故选 B. 2.若等差数列{an}的前 5 项和 S5=25,且 a2=3,则 a7=( ) A.12 B.13 C.14 D.15 答案:B 解析:S5= 5(𝑎1+𝑎5 ) 2 = 5(𝑎2+𝑎4) 2 =25, ∴a2+a4=10. 又 a2=3,∴a4=7,∴公差 d=2. ∴a7=a4+3d=7+3×2=13. 3.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 a1=1,公差 d=2,Sk+2-Sk=24,则 k=( ) A.8 B.7 C.6 D.5 答案:D 解析:由 a1=1,公差 d=2 得通项公式 an=2n-1,又 Sk+2-Sk=ak+1+ak+2,所以 2k+1+2k+3=24,得 k=5.故选 D. 4.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2 -9n,第 k 项满足 5<ak<8,则 k 等于( ) A.9 B.8 C.7 D.6 答案:B 解析:当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(n 2 -9n)-[(n-1)2 -9(n-1)]=2n-10; 当 n=1 时,a1=S1=-8,满足上式. 所以 an=2n-10(n∈N+)
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org 由5<a<8得5<2k-10<8,解得7.5<k<9. 又k∈N+,因此k=8. 5.己知等差数列{an}前9项的和为27，a1o=8,则a1o=() A100 B.99 C.98 D.97 答案C 解析：由等差数列性质，知S9a1+=9X2=9a5=27,得a5=3,而a10=8,因此公差d=40:=1,所以 2 2 10-5 a100=a10+90d-98.故选C 6.在等差数列{an}中，其前n项和为Sn,若S12=8S4,则9= d 答案品 解析：rS2=12a+21s-4a+3 .∴.12a1+66d=32a1+48d.,∴.20a1=18d 7.已知数列{am}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1二S=as,则a2= Sn= 答案：1n+边 4 解析：，∵S2=a3=a1+a2, ∴as-a=d-a12 ∴a=a1td+2l, aw+n-1)×2=2 2-+ 2 4 8.等差数列{an}的前n项和为Sn,己知am-1+am+1-a品n=0,S2m-1-38,则m=_ 答案：10 解析：因为数列{an}是等差数列， 所以am-1+am+1=2am. 由am-1+am+1-a品=0，得2am-a品=0. 由S2m-1=38知am0, 2
2 由 5<ak<8 得 5<2k-10<8,解得 7.5<k<9. 又 k∈N+,因此 k=8. 5.已知等差数列{an}前 9 项的和为 27,a10=8,则 a100=( ) A.100 B.99 C.98 D.97 答案:C 解析:由等差数列性质,知 S9= 9(𝑎1+𝑎9) 2 = 9×2𝑎5 2 =9a5=27,得 a5=3,而 a10=8,因此公差 d=𝑎10-𝑎5 10-5 =1,所以 a100=a10+90d=98.故选 C. 6.在等差数列{an}中,其前 n 项和为 Sn,若 S12=8S4,则 𝑎1 𝑑 = . 答案: 9 10 解析:∵S12=12a1+ 12×11 2 d,S4=4a1+ 4×3 2 d, ∴12a1+66d=32a1+48d.∴20a1=18d. ∴ 𝑎1 𝑑 = 18 20 = 9 10. 7.已知数列{an}为等差数列,Sn 为其前 n 项和.若 a1= 1 2 ,S2=a3,则 a2= ;Sn= . 答案:1 𝑛(𝑛+1) 4 解析:∵S2=a3=a1+a2, ∴a3-a2=d=a1= 1 2 , ∴a2=a1+d=1 2 + 1 2 =1. an= 1 2 +(n-1)× 1 2 = 𝑛 2 , ∴Sn= 𝑛( 1 2 + 𝑛 2 ) 2 = 𝑛(𝑛+1) 4 . 8.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 am-1+am+1-𝑎𝑚 2 =0,S2m-1=38,则 m= . 答案:10 解析:因为数列{an}是等差数列, 所以 am-1+am+1=2am. 由 am-1+am+1-𝑎𝑚 2 =0,得 2am-𝑎𝑚 2 =0. 由 S2m-1=38 知 am≠0
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 所以am=2.又S2m-1=38, 即2m-1a1+a2mL=38, 2 即(2m-1)×2=38解得m=10 9.已知等差数列{an},解答下列问题 (1)已知a1=5,a10=95,求S10 (2)已知a1=100,d=-2,求S50: (3)已知a1=20,an=54,Sn=999,求n,d (4)已知d=2,S1o0=10000,求a1与am. 解：(1)S1o10a,+a10-10x5+95-50, 2 (250=50x100+509(-2)-250 (3:S,wa1,tm=20+54-99, 2 2 n-27d-9=-贵 n-1 (4):S10=100a1+10,x99×2=10000, 2 ∴.a1=l,∴.am=a1+(n-1)d=2n-l. 10.己知等差数列{an}的前n项和为Sm,且a1+S3=20,Ss=50. (I)求数列{an}的通项公式： (2)请确定3998是否是数列{am}中的项？ 解(1)设数列{an}的公差为d, 由题意有侣a30630-20解得a21 则数列{an}的通项公式为am=2+4(n-1)=4n-2. (2)假设3998是数列{am}中的项，有4n-2=3998,得n=1000, 故3998是数列{an}中的第1000项 拓展提高 1.在等差数列{an}中，a1+a4+am=39,a3+a6+a9=27,则数列{an}前9项的和S,等于(） A.66 B.99 C.144 D.297 答案：B 解析：，数列{an}是等差数列，.a+a4+a,a2+a5+a8,a3+a6+a9成等差数列. 3
3 所以 am=2.又 S2m-1=38, 即 (2𝑚-1)(𝑎1+𝑎2𝑚-1) 2 =38, 即(2m-1)×2=38,解得 m=10. 9.已知等差数列{an},解答下列问题: (1)已知 a1=5,a10=95,求 S10; (2)已知 a1=100,d=-2,求 S50; (3)已知 a1=20,an=54,Sn=999,求 n,d; (4)已知 d=2,S100=10 000,求 a1 与 an. 解:(1)S10= 10(𝑎1+𝑎10) 2 = 10×(5+95) 2 =500. (2)S50=50×100+ 50×49 2 ×(-2)=2 550. (3)∵Sn= 𝑛(𝑎1+𝑎𝑛) 2 = 𝑛(20+54) 2 =999, ∴n=27.∴d=𝑎𝑛-𝑎1 𝑛-1 = 54-20 27-1 = 17 13. (4)∵S100=100a1+ 100×99 2 ×2=10 000, ∴a1=1,∴an=a1+(n-1)d=2n-1. 10.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1+S3=20,S5=50. (1)求数列{an}的通项公式; (2)请确定 3 998 是否是数列{an}中的项? 解:(1)设数列{an}的公差为 d, 由题意有{ 𝑎1 + (3𝑎1 + 3𝑑) = 20, 5𝑎1 + 10𝑑 = 50, 解得 a1=2,d=4, 则数列{an}的通项公式为 an=2+4(n-1)=4n-2. (2)假设 3 998 是数列{an}中的项,有 4n-2=3 998,得 n=1 000, 故 3 998 是数列{an}中的第 1 000 项. 拓展提高 1.在等差数列{an}中,a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则数列{an}前 9项的和 S9等于( ) A.66 B.99 C.144 D.297 答案:B 解析:∵数列{an}是等差数列,∴a1+a4+a7,a2+a5+a8,a3+a6+a9 成等差数列
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org a2+a5tas-a1+a4+a7)a3+a6+a2=39+2Z=3. 2 2 ∴.S9=a1+a+…+a9=(a1+a4+am)+(a+a5+a8)+(a3+a6+a9)=39+33+27=99. 2.(多选题)己知数列{am}为等差数列，其前n项和为Sm,且2a1+3as=S6,则下列结论正确的是() Aa10=0 B.So最小 C.S7=S12 D.S9=0 答案：ACD 解析：A.因为数列{an}为等差数列，2a1+3a=S6,即5a1+6d=6a1+15d,即a1+9d=a10=0,A正确； B.因为a1o=0,所以Sg=S10,但是无法推出数列{am}的单调性，故无法确定S10是最大值还是最小值，B错 误 C.因为a8+a9+a10+a11+a12=5a10=0, 所以S12=S7+a8+a9+a10+a11+a12=S7+0=S7,C正确； D.S1g-a1+a19x19=19a10=0,D正确.故选ACD, 2 3.设等差数列{an}的前n项和为S,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=() A.3 B.4 C.5 D.6 答案C 解析：，数列{an}是等差数列，Sm-1=-2,Sm=0, ∴.am=Sm-Sm-1=2. ,Sm+1=3,∴.am+1=Sm+1-Sm=3, ∴.d=am+1-am=1. 又S m(aitam)=ma+2-0, 2 2 ∴.a1=-2,∴.am=-2+(m-1)1=2, .m=5. 4.设数列{am}为等差数列，公差d=-2,Sn为其前n项和，若So=S,则a= 答案：20 解析：S11=S10+a11,S10=S11, ∴.a11=0 由a11=a1+10d,且d=-2,解得a1=20 5.植树节当天，某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时 需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每名同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总 和最小，此最小值为 米 4
4 ∴a2+a5+a8= (𝑎1+𝑎4+𝑎7)+(𝑎3+𝑎6+𝑎9) 2 = 39+27 2 =33. ∴S9=a1+a2+…+a9=(a1+a4+a7)+(a2+a5+a8)+(a3+a6+a9)=39+33+27=99. 2.(多选题)已知数列{an}为等差数列,其前 n 项和为 Sn,且 2a1+3a3=S6,则下列结论正确的是( ) A.a10=0 B.S10 最小 C.S7=S12 D.S19=0 答案:ACD 解析:A.因为数列{an}为等差数列,2a1+3a3=S6,即 5a1+6d=6a1+15d,即 a1+9d=a10=0,A 正确; B.因为 a10=0,所以 S9=S10,但是无法推出数列{an}的单调性,故无法确定 S10 是最大值还是最小值,B 错 误; C.因为 a8+a9+a10+a11+a12=5a10=0, 所以 S12=S7+a8+a9+a10+a11+a12=S7+0=S7,C 正确; D.S19= 𝑎1+𝑎19 2 ×19=19a10=0,D 正确.故选 ACD. 3.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则 m=( ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案:C 解析:∵数列{an}是等差数列,Sm-1=-2,Sm=0, ∴am=Sm-Sm-1=2. ∵Sm+1=3,∴am+1=Sm+1-Sm=3, ∴d=am+1-am=1. 又 Sm= 𝑚(𝑎1+𝑎𝑚 ) 2 = 𝑚(𝑎1+2) 2 =0, ∴a1=-2,∴am=-2+(m-1)·1=2, ∴m=5. 4.设数列{an}为等差数列,公差 d=-2,Sn 为其前 n 项和,若 S10=S11,则 a1= . 答案:20 解析:∵S11=S10+a11,S10=S11, ∴a11=0. 由 a11=a1+10d,且 d=-2,解得 a1=20. 5.植树节当天,某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树,每人植树一棵,相邻两棵树相距 10 米,开始时 需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边,使每名同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总 和最小,此最小值为 米
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org 答案2000 解析：假设20名同学是1号到20号依次排列，使每名同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的 路程总和最小，则树苗需放在第10号或第11号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为 首项，20为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为S=9×20+9%8×20+10×20+10,9×20=2000未 2 2 6.设Sn是等差数列{am}的前n项和，a12=-8,S=-9,则S16= 答案-72 解析：等差数列{a}的前n项和Snma+a 2 S-9as.S16-16(a+a)-8+a). 2 又S9=-9,a12=-8, ∴.a5=-1. 由等差数列的性质得a1+a16=a5+a12, ∴.S16=.72 7.已知数列{an}的前n项和为Sa(Sm0),且满足an+2 SaSr1=0(n≥2)，a1之 ()求证数列侣是等差数列： (2)求数列{an}的通项公式， (1)证明：，-an=2 Sn Sn--1(n≥2)， .-Sn+Sm-1=2SmSn-1(n≥2)， 又Smf0(n=l,2,3,…), “数列侣是以2为首项，2为公差的等差数列 (2解：山可知安2*0-l2=2n 品 当n≥2时，an=Sn-Sm12n-2n-2nm 1 1 5
5 答案:2 000 解析:假设 20 名同学是 1 号到 20 号依次排列,使每名同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的 路程总和最小,则树苗需放在第 10 号或第 11 号树坑旁,此时两侧的同学所走的路程分别组成以 20 为 首项,20 为公差的等差数列,故所有同学往返的总路程为 S=9×20+ 9×8 2 ×20+10×20+ 10×9 2 ×20=2 000 米. 6.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,a12=-8,S9=-9,则 S16= . 答案:-72 解析:∵等差数列{an}的前 n 项和 Sn= 𝑛(𝑎1+𝑎𝑛) 2 , ∴S9=9a5,S16= 16(𝑎1+𝑎16) 2 =8(a1+a16). 又 S9=-9,a12=-8, ∴a5=-1. 由等差数列的性质得 a1+a16=a5+a12, ∴S16=-72. 7.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn(Sn≠0),且满足 an+2SnSn-1=0(n≥2),a1= 1 2 . (1)求证:数列{ 1 𝑆𝑛 }是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式. (1)证明:∵-an=2SnSn-1(n≥2), ∴-Sn+Sn-1=2SnSn-1(n≥2), 又 Sn≠0(n=1,2,3,…), ∴ 1 𝑆𝑛 − 1 𝑆𝑛-1 =2. 又 1 𝑆1 = 1 𝑎1 =2, ∴数列{ 1 𝑆𝑛 }是以 2 为首项,2 为公差的等差数列. (2)解:由(1)可知 1 𝑆𝑛 =2+(n-1)·2=2n, ∴Sn= 1 2𝑛 . 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= 1 2𝑛 − 1 2(𝑛-1) =- 1 2𝑛(𝑛-1) ;
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 当n=1时，S=a1=克 n=1 ∴.an= 1 2m-n≥2. 挑战创新 已知等差数列的前三项依次为a,4,3a,前n项和为Sm,且Sx=110. (1)求a及k的值： (2)设数列b,)的通项bm产证明数列{b;是等差数列，并求其前n项和T (1)解：设该等差数列为{am}, 则a1=a,a2=4,a3=3a, 由已知a1+a3=2a2, 即a+3a=8,得a1=a=2,公差d=4-2=2, 所以5=ta+d-2k+2=-+k 2 由Sx=110,得2+k-110=0, 解得k=10或k=-11(舍去)， 故a=2,k=10 (2)证明：由(1）得an=a1+n-l)d=2n,Snn2+2m=n+1) 2 则bnS=n+1, 故bn+1-bn=(n+2)-(n+1)=1, 即数列{bm}是首项为2，公差为1的等差数列， 所以Tn2+n+坦=nn+3 2 2 6
6 当 n=1 时,S1=a1= 1 2 . ∴an={ 1 2 ,𝑛 = 1, - 1 2𝑛(𝑛-1) ,𝑛 ≥ 2. 挑战创新 已知等差数列的前三项依次为 a,4,3a,前 n 项和为 Sn,且 Sk=110. (1)求 a 及 k 的值; (2)设数列{bn}的通项 bn= 𝑆𝑛 𝑛 ,证明数列{bn}是等差数列,并求其前 n 项和 Tn. (1)解:设该等差数列为{an}, 则 a1=a,a2=4,a3=3a, 由已知 a1+a3=2a2, 即 a+3a=8,得 a1=a=2,公差 d=4-2=2, 所以 Sk=ka1+ 𝑘(𝑘-1) 2 ·d=2k+𝑘(𝑘-1) 2 ×2=k2+k. 由 Sk=110,得 k 2+k-110=0, 解得 k=10 或 k=-11(舍去), 故 a=2,k=10. (2)证明:由(1)得 an=a1+(n-1)d=2n,Sn= 𝑛(2+2𝑛) 2 =n(n+1), 则 bn= 𝑆𝑛 𝑛 =n+1, 故 bn+1-bn=(n+2)-(n+1)=1, 即数列{bn}是首项为 2,公差为 1 的等差数列, 所以 Tn= 𝑛(2+𝑛+1) 2 = 𝑛(𝑛+3) 2