志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 第五章测评 (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的 1.在等比数列{am}中，如果a6=6,a9=9,那么a3为() A.4 B C D.2 答案：A 解析：由a哈=a3ag,得a=4, 2.在数列{an}中，若a1=2,2am+1=2an+1,n∈N+,则a1o1的值为(） A.49 B.50 C.51 D.52 答案D 解析：由2a1-2a,+1,得a1a,号 即数列{am}是以首项为2，公差为的等差数列， 则a1o1=a+10d=-2+10*52 故选D. 3.在等差数列{am}中，其前n项和为Sm,S1o-120,则a1+a1o的值是( A12 B.24 C.36 D.48 答案B 解析：S1010a+a10-120,解得a1+a10-24 2 4已知刀为正偶数用数学归的法证明片+号一点+京一会时若已假设≥2 1 且k为偶数)时等式成立，则还需要用归纳假设再证当=」 时等式成立() A.k+1 B.k+2 C.2k+2 D.2(k+2) 答案：B 解析：根据数学归纳法的步骤可知，n=k≥2，且k为偶数)的下一个偶数为n=k+2.故选B. 5.数列{am}满足a+an1-n∈N+),a2-2,Sn是数列{am的前n项和，则S1为水) 1 1
1 第五章测评 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1.在等比数列{an}中,如果 a6=6,a9=9,那么 a3 为( ) A.4 B. 3 2 C. 16 9 D.2 答案:A 解析:由𝑎6 2=a3a9,得 a3=4. 2.在数列{an}中,若 a1=2,2an+1=2an+1,n∈N+,则 a101的值为( ) A.49 B.50 C.51 D.52 答案:D 解析:由 2an+1=2an+1,得 an+1-an= 1 2 , 即数列{an}是以首项为 2,公差为1 2的等差数列, 则 a101=a1+100d=2+100× 1 2 =52. 故选 D. 3.在等差数列{an}中,其前 n 项和为 Sn,S10=120,则 a1+a10的值是( ) A.12 B.24 C.36 D.48 答案:B 解析:S10= 10(𝑎1+𝑎10) 2 =120,解得 a1+a10=24. 4.已知 n 为正偶数,用数学归纳法证明 1- 1 2 + 1 3 − 1 4 +…- 1 𝑛 =2 1 𝑛+2 + 1 𝑛+4 +…+ 1 2𝑛 时,若已假设 n=k(k≥2, 且 k 为偶数)时等式成立,则还需要用归纳假设再证当 n= 时等式成立.( ) A.k+1 B.k+2 C.2k+2 D.2(k+2) 答案:B 解析:根据数学归纳法的步骤可知,n=k(k≥2,且 k 为偶数)的下一个偶数为 n=k+2.故选 B. 5.数列{an}满足 an+an+1= 1 2 (n∈N+),a2=2,Sn 是数列{an}的前 n 项和,则 S21 为( )
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org A.5 B旺 c号 D号 答案B 解析：an+a12-=2, :.an= n为奇数 2,n为偶数 S21=11×(引+10x2子故选B 6.我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？” 这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共 织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上面的已知条件，可求得该女子第4天所织布的尺数为 () A是 B.16 5 c D 答案D 解析：设该女子第n天织布为am尺，且数列为公比qg=2的等比数列， 由题意可得2空5，解得a品 1.2 即该女子第4天所织布的尺数为a4=01g架 故选D 7.在等差数列中，a1+a2+a=-24,a18+a19+a20=78,则此数列前20项和等于() A160 B.180 C.200 D.220 答案：B 解析：，∵a1+a+a3=-24,a18+a19+a20=78, .a1+a20+a2+a19+a3+a18=54=3(a1+a20）, ∴.a1+a20=18, ∴S020a1+a20l-=180 2 2
2 A.5 B. 7 2 C. 9 2 D. 13 2 答案:B 解析:∵an+an+1= 1 2 ,a2=2, ∴an={ - 3 2 ,𝑛为奇数, 2,𝑛为偶数. ∴S21=11×(- 3 2 )+10×2= 7 2 .故选 B. 6.我国古代数学巨著《九章算术》中,有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?” 这个问题用今天的白话叙述为:有一位善于织布的女子,每天织的布都是前一天的 2 倍,已知她 5 天共 织布 5 尺,问这位女子每天分别织布多少?根据上面的已知条件,可求得该女子第 4 天所织布的尺数为 ( ) A. 8 15 B. 16 15 C. 20 31 D. 40 31 答案:D 解析:设该女子第 n 天织布为 an 尺,且数列为公比 q=2 的等比数列, 由题意可得𝑎1(1-2 5 ) 1-2 =5,解得 a1= 5 31, 即该女子第 4 天所织布的尺数为 a4=a1q 3= 40 31. 故选 D. 7.在等差数列中,a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,则此数列前 20 项和等于( ) A.160 B.180 C.200 D.220 答案:B 解析:∵a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78, ∴a1+a20+a2+a19+a3+a18=54=3(a1+a20), ∴a1+a20=18, ∴S20= 20(𝑎1+𝑎20 ) 2 =180
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org 故选B. 8.对于正项数列{am,定义：Gn1+2a2+3ag++n2为数列{a}的匀称值已知数列{am}的匀称值”为 Gm=n+2,则该数列中的a1o等于( ) A号 B号 C9 D 21 10 答案D 解析：Gna1+2a2+33++mGn=n+2, n ∴.n:Gn=n(n+2)=a1+2a2+3a3+…+nam, .∴.10-(10+2)=a1+2a2+3a3+…+10a10; 9-(9+2)=Q1+2a2+3a3+…+9a9,两式相减得10a10=21, ∴a0品故选D 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选 对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 9.设数列{am}(n∈N+)是各项为正数的等比数列，q是其公比，Kn是其前n项的积，且KsKs, 则下列选项中正确的是() A0Ks D.K6与K均为Kn的最大值 答案：ABD 解析对于A由太K,D正确.故选ABD 10.设Sn是数列{an}的前n项和，且a1=-1,am+1=SnSn+1,则() Aa2动 (-1,n=1, Ba片n2 C数列侣}为等差数列 3
3 故选 B. 8.对于正项数列{an},定义:Gn= 𝑎1+2𝑎2+3𝑎3+…+𝑛𝑎𝑛 𝑛 为数列{an}的“匀称值”.已知数列{an}的“匀称值”为 Gn=n+2,则该数列中的 a10 等于( ) A. 8 3 B. 12 5 C. 9 4 D. 21 10 答案:D 解析:∵Gn= 𝑎1+2𝑎2+3𝑎3+…+𝑛𝑎𝑛 𝑛 ,Gn=n+2, ∴n·Gn=n·(n+2)=a1+2a2+3a3+…+nan, ∴10·(10+2)=a1+2a2+3a3+…+10a10; 9·(9+2)=a1+2a2+3a3+…+9a9,两式相减得 10·a10=21, ∴a10= 21 10.故选 D. 二、选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选 对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分. 9.设数列{an}(n∈N+)是各项为正数的等比数列,q 是其公比,Kn 是其前 n 项的积,且 K5K8, 则下列选项中正确的是( ) A.0K5 D.K6 与 K7 均为 Kn 的最大值 答案:ABD 解析:对于 A,由 K51,则 q= 𝑎7 𝑎6 ∈(0,1),A 正确;对于 B,若 K6=K7,则 a7= 𝐾7 𝐾6 =1,B 正确;对于 C,由数列{an}是各项为正数的等比数列且 q∈(0,1)可得数列是递减数列,则有 K9K8,D 正确.故选 ABD. 10.设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 a1=-1,an+1=SnSn+1,则( ) A.an=- 1 2 𝑛-1 B.an={ -1,𝑛 = 1, 1 𝑛-1 - 1 𝑛 ,𝑛 ≥ 2 C.数列{ 1 𝑆𝑛 }为等差数列
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org D+ 1=.5050 5100 答案：BCD 解析：因为Sn是数列{am}的前n项和， 且a1=-l,am+1=SnSn+1, 所以SS-茶理得动分-害数 所以数列份}是以好1为首项，1为公差的等差数列， 所以分1-m-)=n.S=号 所以当n≥2时，a=SS1启-首项不特合通项)， -1.n=1. 所以an= 日n≥2故B,C正确 -1n +…+5100 所以+号 =(1+2+3++100)=-5050.故D正确 故选BCD】 11.已知数列{am}是等差数列，前n项和为Sm,满足a1+5a3=S8,下列选项正确的有() A.a10=0 B.So最小 C.S]=S12 D.S20=0 答案：AC 解析：数列{an}是等差数列，满足a+5a=S8,即a1+5a1+10d-8a1+28d,整理可得a1=-9d.又由am=a1+(n- 1)d=(n-10)d,则有a1o=0,A正确；不能确定a1和d的符号，不能确定S0最小B不正确：由 S=na+1-9ndm1业=号0-19m,则有S=S.C正痛：则S0-20a+20191=180d+190d-10d 2 不一定为0，D不正确.故选AC 12.关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有(） A.若数列{an}的前n项和Sm=am2+bn+c(a,b,c为常数)，则数列{an}为等差数列 B.若数列{an}的前n项和Sn=2”+1-2,则数列{am}为等差数列 C.数列{an}是等差数列，Sn为其前n项和，则Sm,S2m-Sn,S3nm-Sm,…仍为等差数列 D.数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，则Sm,S2m-Sm,Sn-S2m,…仍为等比数列 答案：ABD 解析：对于A,若数列{an}的前n项和Sm=an2+bn+c, 4
4 D. 1 𝑆1 + 1 𝑆2 +…+ 1 𝑆100 =-5 050 答案:BCD 解析:因为 Sn 是数列{an}的前 n 项和, 且 a1=-1,an+1=SnSn+1, 所以 Sn+1-Sn=SnSn+1,整理得 1 𝑆𝑛+1 − 1 𝑆𝑛 =-1(常数), 所以数列{ 1 𝑆𝑛 }是以 1 𝑆1 =-1 为首项,-1 为公差的等差数列, 所以 1 𝑆𝑛 =-1-(n-1)=-n,Sn=- 1 𝑛 . 所以当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= 1 𝑛-1 − 1 𝑛 (首项不符合通项), 所以 an={ -1,𝑛 = 1, 1 𝑛-1 - 1 𝑛 ,𝑛 ≥ 2, 故 B,C 正确. 所以 1 𝑆1 + 1 𝑆2 +…+ 1 𝑆100 =-(1+2+3+…+100)=-5 050.故 D 正确. 故选 BCD. 11.已知数列{an}是等差数列,前 n 项和为 Sn,满足 a1+5a3=S8,下列选项正确的有( ) A.a10=0 B.S10 最小 C.S7=S12 D.S20=0 答案:AC 解析:数列{an}是等差数列,满足 a1+5a3=S8,即 a1+5a1+10d=8a1+28d,整理可得 a1=-9d.又由 an=a1+(n- 1)d=(n-10)d,则有 a10=0,A 正确;不能确定 a1和 d 的符号,不能确定 S10 最小,B 不正确;由 Sn=na1+ 𝑛(𝑛-1)𝑑 2 =-9nd+𝑛(𝑛-1)𝑑 2 = 𝑑 2 ×(n 2 -19n),则有 S7=S12,C 正确;则 S20=20a1+ 20×19 2 d=-180d+190d=10d, 不一定为 0,D 不正确.故选 AC. 12.关于等差数列和等比数列,下列四个选项中不正确的有( ) A.若数列{an}的前 n 项和 Sn=an2+bn+c(a,b,c 为常数),则数列{an}为等差数列 B.若数列{an}的前 n 项和 Sn=2 n+1 -2,则数列{an}为等差数列 C.数列{an}是等差数列,Sn 为其前 n 项和,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,……仍为等差数列 D.数列{an}是等比数列,Sn 为其前 n 项和,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,……仍为等比数列 答案:ABD 解析:对于 A,若数列{an}的前 n 项和 Sn=an2+bn+c
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org 若c=0,由等差数列的性质可得数列{an}为等差数列，若c0,则数列{am}不是等差数列，故A不正确；对 于B,若数列{am}的前n项和Sn=2m+1-2,可得a1=4-2=2,a2=S2-S1=8-2-2=4,a3=S3-S2=16-2-6=8,则 a1,a2,a3成等比数列，则数列{an}不为等差数列，故B不正确：对于C,数列{am}是等差数列，Sn为前n项 和，则Sm,S2m-Sn,Sn-S2m,…仍为等差数列，C正确；对于D,数列{an}是等比数列，Sn为前n项和，则SnmS2n Sn,S3m-S2m,…不一定为等比数列，比如公比q=-l,n为偶数，Sn,2m-Sm,S3m-S2m,…均为0，不为等比数 列，D不正确.故选ABD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13.在一个数列中，如果n∈N+,都有ana+1ar+2=kk为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数 列的公积.已知数列{an}是等积数列，且a1=1,a2=2,公积为8，则a1+a2+a3+…+a12= 答案：28 解析：依题意得数列{an}是周期为3的数列，且a1=1,a2=2,a3=4, 因此a1+a2+a3+…+a12=4(a1+a2+a3)=4×(1+2+4)=28. 14.已知在公差不为零的正项等差数列{am}中，Sn为其前n项和，lga1,ga,lga4也成等差数列，若a5=10, 则S= 答案：30 解析：设数列{am}的公差为d,则d0. 由lga1,lgam,lga4成等差数列， 得2lgam=lga1+lga4, 则a吃=a1a4, 即(a+d02=a1(a1+3d0,P=a1d. 又d0,故d=a1,a5=5a1=10,d=a1-2, s=5am+5xd=30, 15.设数列{an}的前n项和为Sn.若2=4，a+1-2Sn+l,n∈N+,则a1= S5= (本题第 一空2分，第二空3分) 答案：1121 解析：，an+1=2Sm+1, ∴.Sn+1-Sn=2Sm+l, .Sm+1=3Sn+1, Sa1+2-3(sn+2) ∴数列S+引是公比为3的等比数列， 5
5 若 c=0,由等差数列的性质可得数列{an}为等差数列,若 c≠0,则数列{an}不是等差数列,故 A不正确;对 于 B,若数列{an}的前 n 项和 Sn=2 n+1 -2,可得 a1=4-2=2,a2=S2-S1=8-2-2=4,a3=S3-S2=16-2-6=8,则 a1,a2,a3 成等比数列,则数列{an}不为等差数列,故 B 不正确;对于 C,数列{an}是等差数列,Sn为前 n 项 和,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,……仍为等差数列,C 正确;对于 D,数列{an}是等比数列,Sn为前 n 项和,则 Sn,S2nSn,S3n-S2n,……不一定为等比数列,比如公比 q=-1,n 为偶数,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,……均为 0,不为等比数 列,D 不正确.故选 ABD. 三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.在一个数列中,如果 n∈N+,都有 anan+1an+2=k(k 为常数),那么这个数列叫做等积数列,k 叫做这个数 列的公积.已知数列{an}是等积数列,且 a1=1,a2=2,公积为 8,则 a1+a2+a3+…+a12= . 答案:28 解析:依题意得数列{an}是周期为 3 的数列,且 a1=1,a2=2,a3=4, 因此 a1+a2+a3+…+a12=4(a1+a2+a3)=4×(1+2+4)=28. 14.已知在公差不为零的正项等差数列{an}中,Sn 为其前 n 项和,lg a1,lg a2,lg a4 也成等差数列,若 a5=10, 则 S5= . 答案:30 解析:设数列{an}的公差为 d,则 d≠0. 由 lg a1,lg a2,lg a4 成等差数列, 得 2lg a2=lg a1+lg a4, 则𝑎2 2=a1a4, 即(a1+d) 2=a1(a1+3d),d 2=a1d. 又 d≠0,故 d=a1,a5=5a1=10,d=a1=2, S5=5a1+ 5×4 2 ×d=30. 15.设数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N+,则 a1= ,S5= .(本题第 一空 2 分,第二空 3 分) 答案:1 121 解析:∵an+1=2Sn+1, ∴Sn+1-Sn=2Sn+1, ∴Sn+1=3Sn+1, ∴Sn+1+ 1 2 =3(𝑆𝑛 + 1 2 ), ∴数列{𝑆𝑛 + 1 2 }是公比为 3 的等比数列
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org S1+吃 又S2=4,..S1=1,∴.a1=1 S3 即Sn3-1), s351）=121. .S5=121 16己知公比为整数的等比数列{a,的前n项和为S,且a=4,5=l4,若6：0ga,则数列6}的前 100项和为 答案盟 解析：由公比g为整数的等比数列{an}的前n项和为Sm,且a2=4,S3=14, 可得a1q=4,a1+a1q+a1q=14, 解得9=2(（位舍去)，a1=2, 所以an=22”-1=2” ba=logzan=log22"=n, 1 1 Dnbn+1 国此前100项和为吃+片-+号…品1品=器 四、解答题本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.(10分)设数列{an}满足a1=1,am+1=3am,n∈N+,数列{bn}满足b1-2,b4=31,且数列{bm-an}为等差数列. (1)求数列{an}和{bm}的通项公式， (2)求数列{bm}的前n项和Sm. 解(1)数列{an}满足：a1=1,an+1=3am,n∈N+, .数列{an}是等比数列，首项为1，公比为3， an=3- ,数列{bn}满足b1=2,b4-31,且数列{bm-an}为等差数列，设公差为d. ∴.3d=(b4-a4)-(b1-a1)=(31-3-(2-1)=3,解得d=1. 又b1-a1=1, 6
6 ∴ 𝑆2+ 1 2 𝑆1+ 1 2 =3. 又 S2=4,∴S1=1,∴a1=1, ∴Sn+ 1 2 = 3 2 ·3 n-1 , 即 Sn= 1 2 (3n -1), ∴S5= 1 2 (35 -1)=121. ∴S5=121. 16.已知公比为整数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a2=4,S3=14,若 bn=log2an,则数列{ 1 𝑏𝑛𝑏𝑛+1 }的前 100 项和为 . 答案: 100 101 解析:由公比 q 为整数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a2=4,S3=14, 可得 a1q=4,a1+a1q+a1q 2=14, 解得 q=2( 1 2 舍去),a1=2, 所以 an=2·2 n-1=2 n . bn=log2an=log22 n=n, 1 𝑏𝑛𝑏𝑛+1 = 1 𝑛(𝑛+1) = 1 𝑛 − 1 𝑛+1 , 因此前 100 项和为 1- 1 2 + 1 2 − 1 3 + 1 3 − 1 4 +…+ 1 100 − 1 101=1- 1 101 = 100 101. 四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10 分)设数列{an}满足:a1=1,an+1=3an,n∈N+,数列{bn}满足 b1=2,b4=31,且数列{bn-an}为等差数列. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 解:(1)∵数列{an}满足:a1=1,an+1=3an,n∈N+, ∴数列{an}是等比数列,首项为 1,公比为 3, ∴an=3 n-1 . ∵数列{bn}满足 b1=2,b4=31,且数列{bn-an}为等差数列,设公差为 d. ∴3d=(b4-a4)-(b1-a1)=(31-3 3 )-(2-1)=3,解得 d=1. 又 b1-a1=1
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org .bm-an=1+(n-1)=n, ∴.bn=n+3m-l (②)数列6，}的前n项和S生史+器=+ 2 2 18(2分)已知数列a}的前n项和S共u∈N) (1)求数列{an}的通项公式： (2)设bm=2an+(-1)”am,求数列{bm}的前2n项和 解(1)当n=1时，a1=S1=1; 当n≥2时a=S-- 2 且当n=1时，a1满足上式 故数列{an}的通项公式为an=n. (2)由(1)知an=n,故bm=2”+(-1)n 记数列{bn}的前2n项和为T2m, 则T2m(21+22+…+22乃+(-1+2-3+4-…+2n). 记A=21+22+…+22n,B=.1+2-3+4-…+2n, 则4-241-2-22m*1-2, 1-2 B=-(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n-1)+2n=n,故数列{bn}的前2n项和T2n=A+B=22m+1+n-2. 19.(12分)已知数列{an}满足：a1=1,公差d>0,该数列的前三项分别加上1,1,3后顺次成为等比数列{bm} 的前三项 (I)求数列{an},{bm}的通项公式， (2)设ca会求数列{c,的前n项和7. 解(1)设等比数列{bn}的公比为q, 则b1=a1+1=2,b2=a2+1-2+d,b3=a3+3=4+2d, 故(2+d02=2(4+2d, 因为d>0,所以d=2,q=2, 故an=2n-1,bn=2” (2)油(1知c0-(2n-1)a 故T+3×)2+5x°++2m-1)是 7
7 ∴bn-an=1+(n-1)=n, ∴bn=n+3 n-1 . (2)数列{bn}的前 n 项和 Sn= 𝑛(𝑛+1) 2 + 3 𝑛 -1 3-1 = 𝑛 2+𝑛+3 𝑛 -1 2 . 18.(12 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn= 𝑛 2+𝑛 2 (n∈N+). (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=2 𝑎𝑛 +(-1)n an,求数列{bn}的前 2n 项和. 解:(1)当 n=1 时,a1=S1=1; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= 𝑛 2+𝑛 2 − (𝑛-1) 2+(𝑛-1) 2 =n. 且当 n=1 时,a1 满足上式. 故数列{an}的通项公式为 an=n. (2)由(1)知 an=n,故 bn=2 n+(-1)n n. 记数列{bn}的前 2n 项和为 T2n, 则 T2n=(21+2 2+…+2 2𝑛 )+(-1+2-3+4-…+2n). 记 A=2 1+2 2+…+2 2𝑛 ,B=-1+2-3+4-…+2n, 则 A=2(1-2 2𝑛 ) 1-2 =2 2n+1 -2, B=(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n-1)+2n]=n,故数列{bn}的前 2n 项和 T2n=A+B=2 2n+1+n-2. 19.(12 分)已知数列{an}满足:a1=1,公差 d>0,该数列的前三项分别加上 1,1,3 后顺次成为等比数列{bn} 的前三项. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)设 cn= 𝑎𝑛 𝑏𝑛 ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 解:(1)设等比数列{bn}的公比为 q, 则 b1=a1+1=2,b2=a2+1=2+d,b3=a3+3=4+2d, 故(2+d) 2=2(4+2d), 因为 d>0,所以 d=2,q=2, 故 an=2n-1,bn=2 n . (2)由(1)知 cn= 𝑎𝑛 𝑏𝑛 =(2n-1)· 1 2 𝑛, 故 Tn= 1 2 +3×( 1 2 ) 2 +5×( 1 2 ) 3 +…+(2n-1)· 1 2 𝑛
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 2-1+3x得5x月+…+2-0（月1 圆 T=1+1+…+份)(2m-l)六1+ 2m-)是323 2n 20(12分)已知数列{a}满足a1=4,aw-4>l),记bs之 an-1 (1)求证：数列{bm}是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式 证明点品点点点品器汉品号 1 1 1 an 1 “数列{b如}是首项为经公差为的等差数列. 2)解由()知bmn-1)3=n, 品2a+2+2 .on=1 2L.(12分)设数列{am}的前n项和为Sm=2am-2” (1)求a1,a2 (2)设cn=an+1-2am,证明：数列{cn}是等比数列 (3)求数列是}的前n项和7， (1)解：a1=S1,2a1=S1+2,.a1=2,S1=2. 由2an=Sn+2"知2am+1=Sn+1+2m+1=an+1+Sn+2m+1,得am+1=Sn+2m+1,① .a2=S1+22=2+22=6. (2)证明：由题设和①式知cn=an+1-2an=(Sn+2m+1)-(Sn+2")=2”+1-2”=2”,即cn=2, .中=2（常数） Cn .数列{cn}是首项为2，公比为2的等比数列. (3)解：cm=2”, +1=+1 2cn 2n+7 数列铝的前n项和1+是+…兴 +是… 2n++ P
8 2Tn=1+3×( 1 2 )+5×( 1 2 ) 2 +…+(2n-1)·( 1 2 ) 𝑛-1 , Tn=1+1+ 1 2 +…+( 1 2 ) 𝑛-2 -(2n-1)· 1 2 𝑛=1+ 1-( 1 2 ) 𝑛-1 1- 1 2 -(2n-1)· 1 2 𝑛=3- 2𝑛+3 2 𝑛 . 20.(12 分)已知数列{an}满足 a1=4,an=4- 4 𝑎𝑛-1 (n>1),记 bn= 1 𝑎𝑛-2 . (1)求证:数列{bn}是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式. (1)证明:∵bn+1-bn= 1 𝑎𝑛+1-2 − 1 𝑎𝑛-2 = 1 (4- 4 𝑎𝑛 )-2 − 1 𝑎𝑛-2 = 𝑎𝑛 2(𝑎𝑛 -2) − 1 𝑎𝑛-2 = 𝑎𝑛-2 2(𝑎𝑛 -2) = 1 2 ,又 b1= 1 𝑎1-2 = 1 2 , ∴数列{bn}是首项为1 2 ,公差为1 2的等差数列. (2)解:由(1)知 bn= 1 2 +(n-1)× 1 2 = 1 2 n, ∵bn= 1 𝑎𝑛-2 ,∴an= 1 𝑏𝑛 +2= 2 𝑛 +2. 21.(12 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn=2an-2 n . (1)求 a1,a2; (2)设 cn=an+1-2an,证明:数列{cn}是等比数列; (3)求数列{ 𝑛+1 2𝑐𝑛 }的前 n 项和 Tn. (1)解:∵a1=S1,2a1=S1+2,∴a1=2,S1=2. 由 2an=Sn+2 n 知 2an+1=Sn+1+2 n+1=an+1+Sn+2 n+1 ,得 an+1=Sn+2 n+1 ,① ∴a2=S1+2 2=2+2 2=6. (2)证明:由题设和①式知 cn=an+1-2an=(Sn+2 n+1 )-(Sn+2 n )=2 n+1 -2 n=2 n ,即 cn=2 n , ∴ 𝑐𝑛+1 𝑐𝑛 =2(常数), ∴数列{cn}是首项为 2,公比为 2 的等比数列. (3)解:∵cn=2 n , ∴ 𝑛+1 2𝑐𝑛 = 𝑛+1 2 𝑛+1 , ∴数列{ 𝑛+1 2𝑐𝑛 }的前 n 项和 Tn= 2 2 2 + 3 2 3 + 4 2 4+…+ 𝑛+1 2 𝑛+1 , 1 2 Tn= 2 2 3 + 3 2 4+…+ 𝑛 2 𝑛+1 + 𝑛+1 2 𝑛+2
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org 1 1是-是-贵=是-将 22.(12分)如图所示，将正整数按规律排列，把第一行数1,2,5,10,17，…记为数列{an}(n∈N+),第一列数 1,4,9,16,25,…记为数列{bm}(n∈N+). 2 1 5 1017… 4-3 61118… 9-8-7 1219… 16-15-14-1320… 25-24—23-22—21… (1)写出数列{am},{bnm}的通项公式， (2)若数列{an},{bnm}的前n项和分别为Sm,Tm,用数学归纳法证明：3(Tn+Sn)=2m+4n(n∈N+)方 )当≥3时，证明0, 所以+品+…>+品=月 又++…=++京…京<+++…=+)+（传 )…+()=+-< 蜂上可知<++…<线立 9
9 相减得1 2 Tn= 2 2 2 + 1 2 3 + 1 2 4 + 1 2 5+…+ 1 2 𝑛+1 − 𝑛+1 2 𝑛+2 = 1 2 + 1 2 3 ×(1- 1 2 𝑛-1 ) 1- 1 2 − 𝑛+1 2 𝑛+2 = 3 4 − 1 2 𝑛+1 − 𝑛+1 2 𝑛+2 , ∴Tn= 3 2 − 1 2 𝑛 − 𝑛+1 2 𝑛+1 = 3 2 − 𝑛+3 2 𝑛+1 . 22.(12 分)如图所示,将正整数按规律排列,把第一行数 1,2,5,10,17,…记为数列{an}(n∈N+),第一列数 1,4,9,16,25,…记为数列{bn}(n∈N+). (1)写出数列{an},{bn}的通项公式; (2)若数列{an},{bn}的前 n项和分别为 Sn,Tn,用数学归纳法证明:3(Tn+Sn)=2n 3+4n(n∈N+); (3)当 n≥3 时,证明: 5 4 0, 所以 1 𝑏1 + 1 𝑏2 + 1 𝑏3 +…+ 1 𝑏𝑛 > 1 𝑏1 + 1 𝑏2 = 5 4 . 又 1 𝑏1 + 1 𝑏2 + 1 𝑏3 +…+ 1 𝑏𝑛 = 1 1 + 1 2 2 + 1 3 2+…+ 1 𝑛2 < 1 1 + 1 2 2 + 1 2×3 + 1 3×4 +…+ 1 (𝑛-1)𝑛 = 5 4 + ( 1 2 - 1 3 ) + ( 1 3 - 1 4 )+…+( 1 𝑛-1 - 1 𝑛 ) = 5 4 + 1 2 − 1 𝑛 < 7 4 . 综上可知, 5 4 < 1 𝑏1 + 1 𝑏2 + 1 𝑏3 +…+ 1 𝑏𝑛 < 7 4成立