志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 6.1.3 基本初等函数的导数 课后·训练提升 1.下列导数公式正确的是( A()'=” B(月 C.(sinx)'=-cos x D.(e)'=e 答案D 2.曲线y=sinx在x=0处的切线的倾斜角是() A B明 c唱 D 答案D 3.己知x)=log2x,则1)+f1)=() A.1 B品 c.0 D品 答案D 解析：)应 品 又1)=0， )品 4.若曲线y=x2在点（α，a处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为18，则a等于(） A64 B.32 C.16 D.8 答案：A 解折：y子x是 心切线斜率-a号 切线方程为ai=arad 1
1 6.1.3 基本初等函数的导数 课后· 1.下列导数公式正确的是( ) A.(x n )'=nxn B.( 1 𝑥 )'= 1 𝑥 2 C.(sin x)'=-cos x D.(ex )'=e x 答案:D 2.曲线 y=sin x 在 x=0 处的切线的倾斜角是( ) A. π 2 B. π 3 C. π 6 D. π 4 答案:D 3.已知 f(x)=log2x,则 f(1)+f'(1)=( ) A.1 B.- 1 ln2 C.0 D. 1 ln2 答案:D 解析:∵f'(x)= 1 𝑥ln2, ∴f'(1)= 1 ln2. 又 f(1)=0, ∴f(1)+f'(1)= 1 ln2. 4.若曲线 y=𝑥 - 1 2在点(a,𝑎 - 1 2)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 18,则 a 等于( ) A.64 B.32 C.16 D.8 答案:A 解析:∵y'=- 1 2 𝑥 - 3 2, ∴切线斜率 k=- 1 2 𝑎 - 3 2, ∴切线方程为 y-𝑎 - 1 2=- 1 2 𝑎 - 3 2(x-a)
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 令x=0,得之 令y=0,得x=3a. 故好3a*a-18, 解得a=64 5.曲线y=lnx在点M(e,l)处的切线的斜率是 切线方程为 答案子 x-ey=0 解析：y-血x “切线斜率日 切线方程为1-x-e 即x-ey=0. 6.已知x)=x2,gx)=lnx,若fxo)-g(xo)=l,则x0=」 答案：1 解析f)=2xgx)由题意知2x0之=l,解得0=1或0=舍去)， x0 7.设曲线y=x+'(n∈N+)在点(L,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xm,令an=lgxm,则a1+a2+…+a9g 的值为 答案：-2 解析：y'=(n+1)x, .曲线y=x1在点(1,1)处的切线方程为y=(n+1)(x-1)+1. 令0，得x ∴a=lg1gn-lg(n+) ∴.a+a2+…+a99=(lg1-lg2)+(lg2-lg3)+…+(lg99-lg100)=lg1-lg100=-2 8.己知函数y=x2(x>0)的图象在点(ak,a)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，且a1=16,则 a1+a3十a5= 答案：21 解析y=x2, ∴y'=2x .函数y=x(x>0)的图象在点(ak,a)处的切线方程为ya呢=2a(x-a 2
2 令 x=0,得 y= 3 2 𝑎 - 1 2, 令 y=0,得 x=3a. 故 1 2 ×3a× 3 2 𝑎 - 1 2=18, 解得 a=64. 5.曲线 y=ln x 在点 M(e,1)处的切线的斜率是 ,切线方程为 . 答案: 1 e x-ey=0 解析:∵y'=(ln x)'=1 𝑥 , ∴切线斜率 k=1 e . ∴切线方程为 y-1= 1 e (x-e), 即 x-ey=0. 6.已知 f(x)=x2 ,g(x)=ln x,若 f'(x0)-g'(x0)=1,则 x0= . 答案:1 解析:f'(x)=2x,g'(x)= 1 𝑥 .由题意知 2x0- 1 𝑥0 =1,解得 x0=1 或 x0=- 1 2 (舍去). 7.设曲线 y=xn+1 (n∈N+)在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn,令 an=lg xn,则 a1+a2+…+a99 的值为 . 答案:-2 解析:∵y'=(n+1)x n , ∴曲线 y=xn+1 在点(1,1)处的切线方程为 y=(n+1)(x-1)+1. 令 y=0,得 xn= 𝑛 𝑛+1 , ∴an=lg 𝑛 𝑛+1 =lg n-lg(n+1), ∴a1+a2+…+a99=(lg 1-lg 2)+(lg 2-lg 3)+…+(lg 99-lg 100)=lg 1-lg 100=-2. 8.已知函数 y=x2 (x>0)的图象在点(ak,𝑎𝑘 2 )处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak+1,k 为正整数,且 a1=16,则 a1+a3+a5= . 答案:21 解析:∵y=x2 , ∴y'=2x. ∴函数 y=x2 (x>0)的图象在点(ak,𝑎𝑘 2 )处的切线方程为 y-𝑎𝑘 2=2ak(x-ak)
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 令y0,得x学 a1受=克 ak ∴数列{a}为首项为16，公比为的等比数列. .a1+a3+a5=16+4+1=21. 9.求下列函数的导数 (1)y=Inx; (2y=cos(9-x月 (3)y= 解(y=lnx) (2)y-cos(径-x-sinx ..y'=(sin x)'=cos x. 3w/-(网)-(x-gx 10.求证：曲线)y=1在任意一点P(x0Jw)(x0>0)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是一个常数 证明由y=l,得y 所以-佾)是 所以切线斜率人一方 又功易 所以切线方程为)品一o》 令x0,得品令0，得20 所以曲线在点P0,w)处的切线与两坐标轴国成的三角形的面积S×子202，是一个常数 x0 心
3 令 y=0,得 x= 𝑎𝑘 2 , ∴ak+1= 𝑎𝑘 2 ,∴ 𝑎𝑘+1 𝑎𝑘 = 1 2 . ∴数列{ak}为首项为 16,公比为1 2 的等比数列. ∴a1+a3+a5=16+4+1=21. 9.求下列函数的导数. (1)y=ln x; (2)y=cos( π 2 -𝑥); (3)y=√x 4 5 . 解:(1)y'=(ln x)'=1 x . (2)∵y=cos( 𝜋 2 -x)=sin x, ∴y'=(sin x)'=cos x. (3)y'=( √𝑥 4 5 )'=(𝑥 4 5)'=4 5 𝑥 - 1 5. 10.求证:曲线 xy=1 在任意一点 P(x0,y0)(x0>0)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是一个常数. 证明:由 xy=1,得 y= 1 𝑥 , 所以 y'=( 1 𝑥 )'=- 1 𝑥 2 . 所以切线斜率 k=- 1 𝑥0 2 . 又 y0= 1 𝑥0 , 所以切线方程为 y- 1 𝑥0 =- 1 𝑥0 2 (x-x0). 令 x=0,得 y= 2 𝑥0 ,令 y=0,得 x=2x0. 所以曲线在点 P(x0,y0)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积 S=1 2 × 2 𝑥0 ×2x0=2,是一个常数