志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 5.5数学归纳法 课后·训练提升 基础巩固 1用数学归纳法证明1安+字…2六≥2加∈N时第一步需要证到 1 1 A1<2a B1+2 C1京+京2安 D1+++2 22.1 答案：C 解析：第一乡需验证第一个加值应为n2,此时不等式为1宁+子2高 2.对于不等式Vn2+n<n+1(n∈N+),某同学用数学归纳法的证明过程如下： (1)当n=1时，V12+1<1+1,不等式成立 (2)假设当n=k∈N)时，不等式成立，即Vk2+k<k+1,则当n=k+1时，(k+1)2+(k+1)= VR2+3k+2<√k2+3k+2)+k+2=,(k+2)2-(k+1)+1,因此n=k+1时，不等式成立 则上述证法() A过程全部正确 B.n=1验得不正确 C归纳假设不正确 D.从n=k到n=k+1的推理不正确 答案：D 解析：当n=k+1时，没有应用当n=k时的归纳假设，故选D. 3.某个命题与正整数n有关，如果当n=kk∈N+)时命题成立，那么可推得当n=k+1时命题也成立现已 知当n=7时该命题不成立，那么可推得() A当n=6时该命题不成立 B.当n=6时该命题成立 1
1 5.5 数学归纳法 课后· 基础巩固 1.用数学归纳法证明 1+ 1 2 2 + 1 3 2+…+ 1 (2 𝑛 -1) 2<2- 1 2 𝑛 -1 (n≥2)(n∈N+)时,第一步需要证明( ) A.1<2- 1 2-1 B.1+ 1 2 2<2- 1 2 2 -1 C.1+ 1 2 2 + 1 3 2<2- 1 2 2 -1 D.1+ 1 2 2 + 1 3 2 + 1 4 2<2- 1 2 2 -1 答案:C 解析:第一步需验证第一个 n 值应为 n=2,此时不等式为 1+ 1 2 2 + 1 3 2<2- 1 2 2 -1 . 2.对于不等式√𝑛2 + 𝑛<n+1(n∈N+),某同学用数学归纳法的证明过程如下: (1)当 n=1 时,√1 2 + 1<1+1,不等式成立. (2)假设当 n=k(k∈N+)时,不等式成立,即√𝑘 2 + 𝑘<k+1,则当 n=k+1 时,√(𝑘 + 1) 2 + (𝑘 + 1) = √𝑘 2 + 3𝑘 + 2 < √(𝑘 2 + 3𝑘 + 2) + 𝑘 + 2 = √(𝑘 + 2) 2=(k+1)+1,因此 n=k+1 时,不等式成立. 则上述证法( ) A.过程全部正确 B.n=1 验得不正确 C.归纳假设不正确 D.从 n=k 到 n=k+1 的推理不正确 答案:D 解析:当 n=k+1 时,没有应用当 n=k 时的归纳假设,故选 D. 3.某个命题与正整数 n 有关,如果当 n=k(k∈N+)时命题成立,那么可推得当 n=k+1 时命题也成立.现已 知当 n=7 时该命题不成立,那么可推得( ) A.当 n=6 时该命题不成立 B.当 n=6 时该命题成立
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org C.当n=8时该命题不成立 D.当n=8时该命题成立 答案：A 解析：由题意可知，原命题成立则逆否命题成立， P(n)对n=7不成立，P(n)对n=6也不成立， 否则，n=6成立，由已知推得n=7也成立 与当n=7时该命题不成立矛盾. 4用数学归纳法证明1+2+3…+㎡”则当n=k+1(0n∈八，)时，等式左边应在n=k的基础上加上 Ak2+1 B.(k+1)2 C.+1+k+1)2 2 D.(2+1)+(2+2)+(2+3)++(k+1)2 答案D 解析：当n=k时，等式左边=1+2+…+2；当n=k+1时，等式左边=1+2+…+k2+(2+1)+…+(k+1)2,故选 D. 5.若存在常数ab,使等式12+232+…+mn+1P-m+m+2(am+b)对n∈N,都成立，则a,b的值分别 12 为 答案35 解析：因为存在常数α，b,使等式对所有的正整数都成立，所以当n=1,2时等式都成立， 所以得a+b=8,2a+b=11,解得a=3,b=5. 6用数学归纳法证明1+片+式…+六加∈N,且m>,第一步要证的不等式是】 1 答案：1号+2 解析：当n-2时，左边为1号+1号+号右边为2 故应填1+子2 7用数学归纳法证明号 “叶>号京假设当大时，不等式成立，则当n1时应推证 2+…+1 1 的目标不等式是 2
2 C.当 n=8 时该命题不成立 D.当 n=8 时该命题成立 答案:A 解析:由题意可知,原命题成立则逆否命题成立, P(n)对 n=7 不成立,P(n)对 n=6 也不成立, 否则,n=6 成立,由已知推得 n=7 也成立. 与当 n=7 时该命题不成立矛盾. 4.用数学归纳法证明 1+2+3+…+n2= 𝑛 4+𝑛 2 2 ,则当 n=k+1(n∈N+)时,等式左边应在 n=k 的基础上加上 ( ) A.k 2+1 B.(k+1)2 C. (𝑘+1) 4+(𝑘+1) 2 2 D.(k 2+1)+(k 2+2)+(k 2+3)+…+(k+1)2 答案:D 解析:当 n=k 时,等式左边=1+2+…+k2 ;当 n=k+1 时,等式左边=1+2+…+k2+(k 2+1)+…+(k+1)2 ,故选 D. 5.若存在常数 a,b,使等式 1·2 2+2·3 2+…+n(n+1)2= 𝑛(𝑛+1)(𝑛+2) 12 ·(an+b)对 n∈N+都成立,则 a,b 的值分别 为 、 . 答案:3 5 解析:因为存在常数 a,b,使等式对所有的正整数都成立,所以当 n=1,2 时等式都成立, 所以得 a+b=8,2a+b=11,解得 a=3,b=5. 6.用数学归纳法证明:1+ 1 2 + 1 3 +…+ 1 2 𝑛 -1 1),第一步要证的不等式是 . 答案:1+ 1 2 + 1 3 1 2 − 1 𝑛+2 .假设当 n=k 时,不等式成立,则当 n=k+1 时,应推证 的目标不等式是
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org *+ 答案+宁… > 解析：观案不等式中各项的分母变化知，当n41时，应推证的目标不等式是+宁… >南 8.由下列式子： 1++分1， 1++号++日+名+> 1+…+2 猜想第n个表达式，并用数学归纳法给予证明. 解：猜想1号+…+六>号 用数学归纳法证明如下： (1)当n=1时，不等式成立 （②假设时，不等式成立，即1+号…六>身 则当n=k+1时， 左边=片+…+>+… 共中…对有…>>六 1 1 所以1+…站+京…>+字…>尝 即当n=k+1时，成立 由(1)(2)可知，结论成立 9.给出四个等式： 1=1, 1-4=-(1+2), 3
3 . 答案: 1 2 2 + 1 3 2+…+ 1 (𝑘+1) 2 + 1 (𝑘+2) 2 > 1 2 − 1 𝑘+3 解析:观察不等式中各项的分母变化知,当 n=k+1 时,应推证的目标不等式是 1 2 2 + 1 3 2+…+ 1 (𝑘+1) 2 + 1 (𝑘+2) 2 > 1 2 − 1 𝑘+3 . 8.由下列式子: 1> 1 2 , 1+ 1 2 + 1 3 >1, 1+ 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + 1 7 > 3 2 , 1+ 1 2 + 1 3 +…+ 1 15 >2, …… 猜想第 n 个表达式,并用数学归纳法给予证明. 解:猜想 1+ 1 2 + 1 3 +…+ 1 2 𝑛 -1 > 𝑛 2 . 用数学归纳法证明如下: (1)当 n=1 时,不等式成立; (2)假设 n=k 时,不等式成立,即 1+ 1 2 + 1 3 +…+ 1 2 𝑘 -1 > 𝑘 2 , 则当 n=k+1 时, 左边=1+ 1 2 + 1 3 +…+ 1 2 𝑘 -1 + 1 2 𝑘+…+ 1 2 𝑘+1 -1 > 𝑘 2 + 1 2 𝑘+…+ 1 2 𝑘+1 -1 , 其中 1 2 𝑘+…+ 1 2 𝑘+1 -1 共有 2 k项, 1 2 𝑘+…+ 1 2 𝑘+1 -1 > 2 𝑘 2 𝑘+1 -1 > 2 𝑘 2 𝑘+1 = 1 2 , 所以 1+ 1 2 + 1 3 +…+ 1 2 𝑘 -1 + 1 2 𝑘+…+ 1 2 𝑘+1 -1 > 𝑘 2 + 1 2 𝑘+…+ 1 2 𝑘+1 -1 > 𝑘+1 2 , 即当 n=k+1 时,成立. 由(1)(2)可知,结论成立. 9.给出四个等式: 1=1, 1-4=-(1+2)
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 1-4+9=1+2+3, 1-4+9-16=-(1+2+3+4), … (1)写出第5,6个等式，并猜测第n(n∈N+)个等式： (2)用数学归纳法证明你猜测的等式 (1)解：第5个等式，1-4+9-16+25=1+2+3+4+5 第6个等式，1-4+9-16+25-36=-(1+2+3+4+5+6). 第n个等式，12-22+32.42+52.…+(-1)m1=(-1)-1(1+2+3+4+…+n). (2)证明：①当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立： ②假设n=k时，等式成立，即1-4+9-16+25-…+(-1)2=(-1)(1+2+3+4+…+)， 则当n=t+1时，2-22+3.42+5.+(1+（←1汽k+1P-11生+1k+1P-汽+1[k+1 月←1)++L 2 即当n=k+1时，等式也成立 由①②知，对于任意的正整数n等式均成立 拓展提高 1.当n=1,2,3,4,5,6时，比较2"和㎡的大小并猜想() A.当n≥1时，2">2 B.当n≥3时，2">2 C.当n≥4时，2">2 D.当n≥5时，2">2 答案：D 解析：当n=1时，21>12，即2">n2: 当n=2时，22-22，即2=2； 当n=3时，2352，即2”>2 当n=6时，2>62，即2>2； 猜想当n≥5时，2">2； 下面用数学归纳法证明猜测成立 4
4 1-4+9=1+2+3, 1-4+9-16=-(1+2+3+4), …… (1)写出第 5,6 个等式,并猜测第 n(n∈N+)个等式; (2)用数学归纳法证明你猜测的等式. (1)解:第 5 个等式,1-4+9-16+25=1+2+3+4+5. 第 6 个等式,1-4+9-16+25-36=-(1+2+3+4+5+6). 第 n 个等式,12 -2 2+3 2 -4 2+5 2 -…+(-1)n-1n 2=(-1)n-1 (1+2+3+4+…+n). (2)证明:①当 n=1 时,左边=1,右边=1,等式成立; ②假设 n=k 时,等式成立,即 1-4+9-16+25-…+(-1)k-1 k 2=(-1)k-1 (1+2+3+4+…+k), 则当 n=k+1 时,12 -2 2+3 2 -4 2+5 2 -…+(-1)k-1 k 2+(-1)k (k+1)2=(-1)k-1· 𝑘(𝑘+1) 2 +(-1)k (k+1)2=(-1)k (k+1)·[(𝑘 + 1)- 𝑘 2 ]=(-1)k· (𝑘+1)[(𝑘+1)+1] 2 . 即当 n=k+1 时,等式也成立. 由①②知,对于任意的正整数 n 等式均成立. 拓展提高 1.当 n=1,2,3,4,5,6 时,比较 2 n和 n 2的大小并猜想( ) A.当 n≥1 时,2n>n2 B.当 n≥3 时,2n>n2 C.当 n≥4 时,2n>n2 D.当 n≥5 时,2n>n2 答案:D 解析:当 n=1 时,21>1 2 ,即 2 n>n2 ; 当 n=2 时,22=2 2 ,即 2 n=n2 ; 当 n=3 时,235 2 ,即 2 n>n2 ; 当 n=6 时,26>6 2 ,即 2 n>n2 ; …… 猜想当 n≥5 时,2n>n2 ; 下面用数学归纳法证明猜测成立
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org (1)当n=5时，由以上可知猜想成立 (2)设n=kk≥5)时，命题成立，即2>2 当n=k+1时，2+1=2-2>22=2+2>2+(2k+1)=(k+1)2,即当n=k+1时，命题成立. 由(1)和(2)可得当n≥5时，2">n2； 故当n=2或4时，2”=n2;当n=3时，2"2.故选D. 2用数学归纳法证明品+高…宁>总≥2)的过程中，设侧站+克…坛从nk递推到 1 n=k+1时，不等式左边为() A+点 B本+ 1 c肉 D+克一 。1 答案：C 解析：当nk时，左璃k本+克+…只 当+1时，左端+安+ 1 故从n-k到n=k+1时，不等式左端为闭+…2布一本市 1 3(多选题)用数学归纳法证明片+本+本2+…京1，从n=k到n=k+1,则下列说法正确的是(） A左边应增加的项是本十2叶心月 1 +…+1 B.左边应增加的项是1+ 1 k2+1k2+2(k+1 C.左边增加了2k+1项 D.左边增加了2k项 答案：AD 解析：用教学归纳法证明片+本+2…京1时， 假设当收时，不等式成立，左边是+中+中…位 3
5 (1)当 n=5 时,由以上可知猜想成立. (2)设 n=k(k≥5)时,命题成立,即 2 k>k2 . 当 n=k+1 时,2k+1=2·2 k>2k 2=k2+k2>k2+(2k+1)=(k+1)2 ,即当 n=k+1 时,命题成立. 由(1)和(2)可得当 n≥5 时,2n>n2 ; 故当 n=2 或 4 时,2n=n2 ;当 n=3 时,2nn2 .故选 D. 2.用数学归纳法证明 1 𝑛+1 + 1 𝑛+2 +…+ 1 2 𝑛 > 13 24(n≥2)的过程中,设 f(k)= 1 𝑘+1 + 1 𝑘+2 +…+ 1 2 𝑘 ,从 n=k 递推到 n=k+1 时,不等式左边为( ) A.f(k)+ 1 2 𝑘+1 B.f(k)+ 1 2 𝑘+1 + 1 2 𝑘+1 C.f(k)+ 1 2 𝑘+1 +…+ 1 2 𝑘+1 − 1 𝑘+1 D.f(k)+ 1 2 𝑘+1 − 1 𝑘+1 答案:C 解析:当 n=k 时,左端= 1 𝑘+1 + 1 𝑘+2 +…+ 1 2 𝑘 , 当 n=k+1 时,左端= 1 𝑘+2 + 1 𝑘+3 +…+ 1 2 𝑘 + 1 2 𝑘+1 +…+ 1 2 𝑘+1 , 故从 n=k 到 n=k+1 时,不等式左端为 f(k)+ 1 2 𝑘+1 +…+ 1 2 𝑘+1 − 1 𝑘+1 . 3.(多选题)用数学归纳法证明1 𝑛 + 1 𝑛+1 + 1 𝑛+2 +…+ 1 𝑛2>1,从 n=k 到 n=k+1,则下列说法正确的是( ) A.左边应增加的项是 1 𝑘 2+1 + 1 𝑘 2+2 +…+ 1 (𝑘+1) 2 − 1 𝑘 B.左边应增加的项是 1 𝑘 2+1 + 1 𝑘 2+2 +…+ 1 (𝑘+1) 2 C.左边增加了 2k+1 项 D.左边增加了 2k 项 答案:AD 解析:用数学归纳法证明1 𝑛 + 1 𝑛+1 + 1 𝑛+2 +…+ 1 𝑛2>1 时, 假设当 n=k 时,不等式成立,左边= 1 𝑘 + 1 𝑘+1 + 1 𝑘+2 +…+ 1 𝑘 2
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 则当m=k+1时，左边本+2+南…+k+ 因北由n递粮到+1时，不等式左边应增加的项足行+中“行左边增加了2张项 1 4.用数学归纳法证明n3+(n+1)3+(n+2)(n∈N+)能被9整除”，要利用归纳假设证n=k+1时的情况，只 需展开() A(k+3)3 B.(k+2)3 C.(k+1)月 D.(k+1)3+(k+2)3 答案：A 解析：因为从n=k到=k+1的过渡，增加了(k+1)3,减少了，故利用归纳假设，只需将(k+3)展开，证明 余下的项92+27k+27能被9整除 5利用数学归纳法证明+片2六n∈N.>)少的过程中，由假设n=成立，推导n-+1也 1 成立时，左边应增加的项数是()） A.k B.k+1 C.2 D.2+1 答案：C 解析假设当n时，不等式成立，即有1号+“六水 当1时即1片+…六+字+ 1 1一… 1 2k+1.1 <k+1, 由此可得左边增加了头+是… 1 2k+1 2+1 共2+1.1-2+1=2项 6用数学归纳法证明等式1+2+3+…+m-2EN,则从n=-到n-k+1时左边应增加的项 为 答案：(k+1)+(k+2)++(k+1) 解析：当n=k时，等式左端为1+2+3+…+； 当n=k+1时，等式左端为1+2+3+…+2+(2+1)+…+(k+1)3, 因此由n=k到n=k+1时，需增加的项是(+1)+(k+2)+…+(k+1)3 6
6 则当 n=k+1 时,左边= 1 𝑘+1 + 1 𝑘+2 + 1 𝑘+3 +…+ 1 (𝑘+1) 2 , 因此由 n=k 递推到 n=k+1 时,不等式左边应增加的项是 1 𝑘 2+1 + 1 𝑘 2+2 +…+ 1 (𝑘+1) 2 − 1 𝑘 ,左边增加了 2k 项. 4.用数学归纳法证明“n 3+(n+1)3+(n+2)3 (n∈N+)能被 9 整除”,要利用归纳假设证 n=k+1 时的情况,只 需展开( ) A.(k+3)3 B.(k+2)3 C.(k+1)3 D.(k+1)3+(k+2)3 答案:A 解析:因为从 n=k 到 n=k+1 的过渡,增加了(k+1)3 ,减少了 k 3 ,故利用归纳假设,只需将(k+3)3 展开,证明 余下的项 9k 2+27k+27 能被 9 整除. 5.利用数学归纳法证明“1+ 1 2 + 1 3 +…+ 1 2 𝑛 -1 1)”的过程中,由假设“n=k”成立,推导“n=k+1”也 成立时,左边应增加的项数是( ) A.k B.k+1 C.2 k D.2 k+1 答案:C 解析:假设当 n=k 时,不等式成立,即有 1+ 1 2 + 1 3 +…+ 1 2 𝑘 -1 <k; 当 n=k+1 时,即 1+ 1 2 + 1 3 +…+ 1 2 𝑘 -1 + 1 2 𝑘 + 1 2 𝑘+1 +…+ 1 2 𝑘+1 -1 <k+1, 由此可得左边增加了 1 2 𝑘 + 1 2 𝑘+1 +…+ 1 2 𝑘+1 -1 , 共 2 k+1 -1-2 k+1=2 k项. 6.用数学归纳法证明等式 1+2+3+…+n3= 𝑛 6+𝑛 3 2 (n∈N+),则从 n=k 到 n=k+1 时左边应增加的项 为 . 答案:(k 3+1)+(k 3+2)+…+(k+1)3 解析:当 n=k 时,等式左端为 1+2+3+…+k3 ; 当 n=k+1 时,等式左端为 1+2+3+…+k3+(k 3+1)+…+(k+1)3 , 因此由 n=k 到 n=k+1 时,需增加的项是(k 3+1)+(k 3+2)+…+(k+1)3
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 7.用数学归纳法证明1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N+)的过程如下： (1)当n=1时，左边=2-1，右边=21-1=1，等式成立 (2)假设n=kk≥1，且k∈N+)时，等式成立，即1+2+22+…+21=21. 则当n=k+1时，1+2+22+…+2+22*+ 2=21, 所以当n=k+1时，等式也成立 由(I)2)知，对任意n∈N+,等式成立 上述证明中的错误是_ 答案：没有用归纳假设 解析：由证明过程知，在证从n=k到n=k+1时，直接利用等比数列前n项和公式，没有利用归纳假设，因 此证明是错误的」 8设m本+2…宏n∈N,若k∈N则+)+ 1 答案2k+12k+2列 解析)本+… 2nn∈N 利本+2…安k∈N,共k项， 1 +)克+3…京+本十共k1项， 1 ∴k+1)比肉增加了2k+一2k+2=2k+1(2k+2 1 9.已知数列{an}的前n项和为Sm,满足am≥1，且4Sm=(an+1)2,n∈N+. (1)求a,2,a3的值； (2)猜想数列{am}的通项公式，并用数学归纳法予以证明. 解(1)am≥1，且4Sn=(an+1)2 .当n=1时，4a1=(a1+1)2,.a=1, 当n=2时，4(1+a2)=(a2+1)2, .2=3或a2=-1(舍去)， 当n=3时，4(4+a3)=(a+1)2, .a3=5或a=-3(舍去)， .a1=1,a2=3,a3=5. (2)由(1)猜想an=2n-l,下面用数学归纳法证明： 7
7 7.用数学归纳法证明 1+2+2 2+…+2 𝑛-1=2 n -1(n∈N+)的过程如下: (1)当 n=1 时,左边=2 0=1,右边=2 1 -1=1,等式成立. (2)假设 n=k(k≥1,且 k∈N+)时,等式成立,即 1+2+2 2+…+2 k-1=2 k -1. 则当 n=k+1 时,1+2+2 2+…+2 k-1+2 k= 1-2 𝑘+1 1-2 =2 k+1 -1, 所以当 n=k+1 时,等式也成立. 由(1)(2)知,对任意 n∈N+,等式成立. 上述证明中的错误是 . 答案:没有用归纳假设 解析:由证明过程知,在证从 n=k 到 n=k+1 时,直接利用等比数列前 n 项和公式,没有利用归纳假设,因 此证明是错误的. 8.设 f(n)= 1 𝑛+1 + 1 𝑛+2 +…+ 1 2𝑛 ,n∈N+,若 k∈N+,则 f(k+1)=f(k)+ . 答案: 1 (2𝑘+1)(2𝑘+2) 解析:∵f(n)= 1 𝑛+1 + 1 𝑛+2 +…+ 1 2𝑛 ,n∈N+, ∴f(k)= 1 𝑘+1 + 1 𝑘+2 +…+ 1 2𝑘 ,k∈N+,共 k 项, f(k+1)= 1 𝑘+2 + 1 𝑘+3 +…+ 1 2𝑘 + 1 2𝑘+1 + 1 2𝑘+2 ,共 k+1 项, ∴f(k+1)比 f(k)增加了 1 2𝑘+1 − 1 2𝑘+2 = 1 (2𝑘+1)(2𝑘+2) . 9.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 an≥1,且 4Sn=(an+1)2 ,n∈N+. (1)求 a1,a2,a3 的值; (2)猜想数列{an}的通项公式,并用数学归纳法予以证明. 解:(1)∵an≥1,且 4Sn=(an+1)2 , ∴当 n=1 时,4a1=(a1+1)2 ,∴a1=1, 当 n=2 时,4(1+a2)=(a2+1)2 , ∴a2=3 或 a2=-1(舍去), 当 n=3 时,4(4+a3)=(a3+1)2 , ∴a3=5 或 a3=-3(舍去), ∴a1=1,a2=3,a3=5. (2)由(1)猜想 an=2n-1,下面用数学归纳法证明:
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org ①当n=1时，a1=1,显然成立， ②假设n=k时，结论成立，即ak=2k-1,则 当n=k+1时，由4Sk=(ak+1)2,有 4ak+1=4(Sk+1-S)=(ak+1+1)2-(ak+1)2 …a2+1-2ak+1-42+1=(ak+1-2k-1)(ak+1+2k-1)=0, ∴.ak+1=2k+1或ak+1=-2k+1(舍去)， .当n=k+1时结论成立 由①②知，当n∈N+时，an=2n-1均成立. 挑战创新 设函数-品给定数列a,其中a-a>la1aa∈N (1)若数列{an}为常数列，求a的值； (2)判断an与2的大小，并证明你的结论， 解：(1)若数列{an}为常数列，则an=a. 由an+1=an),得a=fa) x2 因为x)2 所以a-2 a2 又a>1,所以a=2(a-1), 解得a=2 (2)当a=2时，由(1)知an=2. 当a时2时，因为a1=a,an+1=fan) a 2(an-1) 、a2 所以a2a1-而=21a-西 所以a-2= 2---24 a2 2(a-1) 24a.0, 即am>2. 因为a3-2 、2-(2-2)2 2a2-可22g-0, 所以a3>2. 猜想当n≥2时，am>2. 下面用数学归纳法证明： 8
8 ①当 n=1 时,a1=1,显然成立, ②假设 n=k 时,结论成立,即 ak=2k-1,则 当 n=k+1 时,由 4Sk=(ak+1)2 ,有 4ak+1=4(Sk+1-Sk)=(ak+1+1)2 -(ak+1)2 , ∴𝑎𝑘+1 2 -2ak+1-4k 2+1=(ak+1-2k-1)(ak+1+2k-1)=0, ∴ak+1=2k+1 或 ak+1=-2k+1(舍去), ∴当 n=k+1 时结论成立, 由①②知,当 n∈N+时,an=2n-1 均成立. 挑战创新 设函数 f(x)= 𝑥 2 2(𝑥-1) ,给定数列{an},其中 a1=a>1,an+1=f(an)(n∈N+). (1)若数列{an}为常数列,求 a 的值; (2)判断 an 与 2 的大小,并证明你的结论. 解:(1)若数列{an}为常数列,则 an=a. 由 an+1=f(an),得 a=f(a). 因为 f(x)= 𝑥 2 2(𝑥-1) , 所以 a= 𝑎 2 2(𝑎-1) . 又 a>1,所以 a=2(a-1), 解得 a=2. (2)当 a=2 时,由(1)知 an=2. 当 a≠2 时,因为 a1=a,an+1=f(an)= 𝑎𝑛 2 2(𝑎𝑛-1) , 所以 a2= 𝑎1 2 2(𝑎1-1) = 𝑎 2 2(𝑎-1) . 所以 a2-2= 𝑎 2 2(𝑎-1) -2= 𝑎 2 -4𝑎+4 2(𝑎-1) = (𝑎-2) 2 2(𝑎-1) >0, 即 a2>2. 因为 a3-2= 𝑎2 2 2(𝑎2-1) -2= (𝑎2-2) 2 2(𝑎2-1) >0, 所以 a3>2. 猜想当 n≥2 时,an>2. 下面用数学归纳法证明:
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org ①当n=2时，a2>2,猜想成立. ②假设当n=kk≥2)时，猜想成立，即a>2. a呢 当n=k+1时，ak+1-a)2ag- 所以a4+1-22-40+4--22 2(ak-1）2(a-1 由ak>2,知ak+1-2>0,所以ak+1>2. 根据①和②可知，当a时2时，对于一切不小于2的正整数n都有am>2. 综上所述，当a-2时，an=2,当12(n≥2)当a>2时，am>2. 9
9 ①当 n=2 时,a2>2,猜想成立. ②假设当 n=k(k≥2)时,猜想成立,即 ak>2. 当 n=k+1 时,ak+1=f(ak)= 𝑎𝑘 2 2(𝑎𝑘 -1) , 所以 ak+1-2= 𝑎𝑘 2 -4𝑎𝑘+4 2(𝑎𝑘 -1) = (𝑎𝑘 -2) 2 2(𝑎𝑘 -1) . 由 ak>2,知 ak+1-2>0,所以 ak+1>2. 根据①和②可知,当 a≠2 时,对于一切不小于 2 的正整数 n 都有 an>2. 综上所述,当 a=2 时,an=2;当 12(n≥2);当 a>2 时,an>2